MATEMATYKA III KLASA GIMNAZJUM

MTEMTYK III KLS GIMNZJUM SZZEIN 2016

ogdańska eata Maczan leksandra Staniewska Iwona Szuman Michał

Spis treści 1 TWIERZENIE TLES 2 2 TRÓJKĄTY POONE 18 3 STYZN O OKRĘGU 29 4 ZWOROKĄT OPISNY N OKRĘGU 45 5 WIELOKĄTY FOREMNE 52 6 POLE I OWÓ KOŁ 56 7 WSTĘP O STEREOMETRII, PROSTOPŁOŚINY 66 8 GRNISTOSŁUPY 73 9 OSTROSŁUPY 81 10 KĄT MIĘZY PROSTĄ I PŁSZZYZNĄ 87 11 RYŁY OROTOWE 91 12 PROENTY W Z. TEKSTOWYH 98 13 WYKRESY I FUNKJE 113 13.1 Odczytywanie wykresów..................... 113 13.2 Pojęcie funkcji.......................... 118 13.3 Sposoby określania funkcji.................... 119 13.4 Terminologia związana z pojęciem funkcji........... 123 13.5 Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne......... 129 13.6 naliza wykresów......................... 136

14 STTYSTYK I PRWOPOOIEŃSTWO 139 14.1 Średnia arytmetyczna...................... 139 14.2 Mediana.............................. 142 14.3 Moda............................... 145 14.4 oświadczenia losowe i prawdopodobieństwo......... 145 15 SYMETRIE 151

Rozdział 1 TWIERZENIE TLES Obecnie zajmiemy się bardzo ważnym twierdzeniem geometrii elementarnej: twierdzeniem Talesa. Twierdzenie to pozwoli nam zrozumieć pojęcie podobieństwa figur geometrycznych. Tales z Miletu grecki filozof i matematyk. Żył w latach ok. 620 p.n.e. ok. 540 p.n.e. Według przekazów historycznych mierzył wysokość piramid egipskich z wykorzystaniem ich cienia oraz trójkątów podobnych. Przypomnijmy wpierw dwa twierdzenia o polu trójkąta, z którymi zapoznaliśmy się już w drugiej klasie, a z których będziemy korzystać w dowodzie twierdzenia Talesa. Takie twierdzenia pomocnicze w dowodzie jakiegoś twierdzenia nazywamy zazwyczaj lematami. Mamy zatem: LEMT 1 Jeżeli dwa trójkąty mają podstawy leżące na jednej prostej i wspólny wierzchołek poza tą prostą, to stosunek pól tych trójkątów równy jest stosunkowi długości tych podstaw. a h E b owód: la dowodu spójrz na rysunek i zauważ przy tym, że P E = 1 2 ah, P E = 1 2 bh, stąd P E P E = 1 2 ah 1 2 bh = a b.

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 3 LEMT 2 Jeżeli trójkąty mają wspólną podstawę, a pozostałe wierzchołki leżą na prostej równoległej do tej podstawy, to trójkąty te mają równe pola. owód: 1 2 Rozpatrzmy trójkąty 1 i 2 o wspólnej podstawie, przy czym 1 2. Zauważmy, że wobec tego h h wysokości 1 1 i 2 2 opuszczone na prostą mają taką samą długość, którą oznaczmy h, zaś długość podstawy 1 2 oznaczmy a. Wobec tego mamy P 1 = 1 2 ah, jak również P 2 = 1 2 ah. Korzystając z powyższych dwóch lematów udowodnimy obecnie TWIERZENIE (Talesa) Jeżeli prosta równoległa do boku trójkąta przecina boki i w punktach i E, to T 1 : owód: (tezy T 1 ) Wobec tego mamy = P E P E = E E = P E P E. E T 2 : = E Wpierw zauważmy, że podstawy i trójkątów E i E leżą na jednej prostej oraz że trójkąty te mają wspólny wierzchołek E, wobec tego na mocy lematu 1 = P E P E. Trójkąty E i E mają wspólną podstawę E, zaś ich wierzchołki i leżą na prostej, która jest równoległa do tej podstawy, wobec czego na mocy lematu 2 P E = P E. Ostatnia równość wynika z lematu 2. Zauważmy teraz, że trójkąty E i E mają podstawy leżące na jednej prostej i wspólny wierzchołek. Wobec tego mamy = P E P E = P E P E = E E przy czym ostatnia równość wynika z lematu 1. Z powyższego ciągu równości wynika, że = E E co jest końcem dowodu tezy T 1. Przed dowodem drugiej tezy, dla nabycia wprawy w pewnych przekształce-

4 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES niach, zróbmy ćwiczenie. 1. W każdej z poniższych sytuacji ramiona kąta zostały przecięte dwiema lub trzema prostymi równoległymi. Wyznacz długości wskazanych odcinków. 5 6 4 a) x y 3 7 5 x b) 4 y 14 x 7 8 23 c) 4 x 1 1,5 2 y d) 3 4 6 x 5 y e) x f) 3 x 12 7 8 x y 8 x 2 x y x 4 x 9 y g) x + y = 30 9 h) 12 i) 7 3 j) 4 x y 11 5 6 x y k) x + y = 17 6 7 8 x y 9 l)

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 5 Obecnie udowodnimy drugą tezę twierdzenia Talesa. owód: (tezy T 2 ) Mamy pokazać, że = E. F E Na bokach trójkąta obieramy punkty, E, F tak, że l E l, zaś l EF l. Na mocy tezy T 1 mamy E E = F F, bo EF. odając do obu stron powyższej równości liczbę 1 mamy czyli E E + 1 = F F + 1, E + E F + F E = F, czyli E = F. Ponieważ F = E, bo F E jest równoległobokiem, więc E = E, lub też biorąc odwrotności tych wyrażeń możemy zapisać E = E, co kończy dowód tezy T 2. 2 d) 3 7 x x 7 a) 5 y y 3 8 9 2 5 3 x y b) e) x 4 x 3 2 x 9 y x c) 3 y y 5 2. Na rysunkach obok dwa ramiona kąta zostały przecięte parą prostych równoległych. Wyznacz długości wskazanych odcinków. 3. W trapezie o podstawach i mamy: = 10, = 5, = 4. Przedłużenia ramion trapezu przecinają się w punkcie E. Oblicz długość odcinka E. 4. W trójkącie bok ma długość 6. Na boku wybrano punkt M tak, że odcinek M jest 3 razy dłuższy od odcinka M. Przez punkt M poprowadzono prostą równoległą do boku, która przecięła bok w punkcie P. Oblicz długości odcinków P i P.

6 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES G H F E 5. Na rysunku obok wierzchołek kwadratu, leży na boku G kwadratu EF G. P = 49, P EF G = 64. Oblicz P EF H. 6. Na rysunku obok punkt jest środkiem boku, a odcinek E jest równoległy do boku. Oblicz obwody trójkątów i E. 4 11 E 5 7. W trójkącie punkt leży na boku, punkt E leży na boku, E, = = 5, = 12, E = 6. Wyznacz obwód trójkąta E. 8. W trójkącie mamy:, E, E, E = 5, = 9, E = 2 E. Wyznacz i. 9. Oblicz pola zacieniowanych trapezów na rysunkach obok. a) 3 6 7 2 3 2 6 b) k l m 16 x 9 8 n 10. Na rysunku obok k l zaś m n. Wyznacz x.

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 7 11. W prostokącie na rysunku obok prosta EF jest równoległa do przekątnej i podzieliła bok na odcinki o podanych na rysunku długościach. Wyznacz pole prostokąta oraz trapezu F E. 3 E 2 4 F 10 P 2 P 1 3 3 3 3 12. Na podstawie informacji na rysunku obok wyznacz pola P 1 i P 2. 13. W trójkącie na rysunku obok kąt jest prosty, zaś przeciwprostokątna ma długość 75. Trójkąt ten został przecięty prostą EF równoległą do przeciwprostokątnej. Prosta ta podzieliła przyprostokątną na odcinki o podanych na rysunku długościach, odcinając od wyjściowego trójkąta trapez F E. Wyznacz: a) długość wysokości trójkąta opuszczonej na przeciwprostokątną, F 75 b) długość krótszej podstawy trapezu, c) pole trapezu, 15 E 30 14. Odcinek E na rysunku obok jest równoległy do przyprostokątnej trójkąta prostokątnego. Na podstawie podanych długości odcinków wyznacz E,, P E. E 3 2 3

8 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES E 4 5 2 15. Na rysunku obok E. Na podstawie podanych długości czterech odcinków wyznacz Ob E. 9 16. W trójkącie na rysunku obok E, E = E = 5, E = 6, = 7. Wyznacz P E. 7 6 5 E 5 b a c d Twierdzenie Talesa można formułować na bardzo wiele równoważnych sposobów. ardzo wygodnym sformułowaniem jest poniższe: Jeżeli ramiona kąta przetniemy trzema równoległymi prostymi, to długości wyciętych odcinków na jednym ramieniu są proporcjonalne do długości odcinków na drugim ramieniu, co zapisujemy a b = c d lub b a = d c lub a c = b d. 17. Na obu rysunkach k l m. Na podstawie podanych długości odcinków wyznacz x. 4 x 9 11 k l m 4 7 x 3 k l m

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 9 18. Na poniższych dwóch rysunkach trójkąty są prostokątne, zaś czworokąty EF są równoległobokami. Na podstawie podanych długości dwóch odcinków wyznacz P EF. 4 7 F E 3 F E 3 5 5 Obecnie uzasadnimy, że prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. mianowicie TWIERZENIE Jeżeli w trójkącie prosta k przecina boki i w punktach i E, a przy tym = E E, to k l. owód: (nie wprost) Przypuśćmy, że pomimo iż spełnione są założenia twierdzenia, to jednak l E l. Wobec tego z aksjomatu 2, który mówi, że przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta do niej równoległa, wynika że przez punkt przechodzi jakaś inna prosta, która jest równoległa do l, i która przecina bok w jakimś punkcie. Oznaczmy sobie ten punkt E. Wówczas na mocy tezy T 1 twierdzenia Talesa mamy: = E E. Z założenia naszego twierdzenia mamy = E E. E Z obu powyższych równości wynika, że E = E E. Ta ostatnia równość oznacza natomiast, że punkt E i punkt E to jest ten sam punkt czyli, że l E = l E, czyli że jednak l E. k E E

10 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 19. Punkty,,, i E są położone na dwóch półprostych tak jak na rysunku poniżej. Rozstrzygnij w każdym przypadku czy E, jeżeli długości odcinków są następujące E E a) = 2, = 3 2, E = 4 3, E = 1. b) = 2, = 3 2, E = 1, E = 4 3. c) = 3, = 2, = 3 2, E = 2 2. d) = 2, = 2 E. 20. Zbadaj czy można rozstrzygnąć, a jeśli można to rozstrzygnij, czy E gdy punkty,,, i E są położone tak jak na rysunku obok i przy tym a) = 2, = 5, E = 3, = 15 2. b) E = 1, E = 6, E = 3, = 9 21. W trójkącie na boku obrano punkt, a na boku punkt E tak, że = E E = 2 5, E = 78. Wyznacz. 22. W trójkącie, E, = 3, E = 2 E, = 16. Wyznacz E. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika poniższe twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta. E TWIERZENIE Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość równa jest połowie długości trzeciego boku. owód: Ponieważ jest środkiem odcinka, zaś E środkiem odcinka, wobec tego 1 = = E E, więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa E. Z drugiej tezy twierdzenia Talesa mamy = E, a ponieważ = czyli = 1 E 2, więc = 1 2 czyli E = 1 2. 23. Obwód trójkąta wynosi 12cm. Środki boków trójkąta połączono odcinkami tworząc trójkąt. Wyznacz obwód otrzymanego trójkąta.

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 11 24. W trójkącie o bokach długości a, b, c łączymy środki kolejnych boków uzyskując trójkąt. Oblicz obwód uzyskanego trójkąta. 25. ługości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równe są a i b. Odcinek łączący ich środki dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt prostokątny. a) Uzasadnij, że czworokąt ten jest trapezem. b) Wyznacz pole tego czworokąta (spróbuj w pamięci). c) Wyznacz wysokość wyjściowego trójkąta opuszczoną na przeciwprostokątną. d) Wyznacz długość krótszej podstawy trapezu. e) Wyznacz wysokość uzyskanego trapezu licząc tylko odpowiednie pola. 26. W trójkącie równobocznym o boku długości a połączono środki dwóch boków odcinkiem. Oblicz obwód powstałego czworokąta. 27. W trójkącie o podstawie a i wysokości h opuszczonej na tę podstawę prowadzimy prostą równoległą do tej podstawy i przechodzącą przez środki ramion tego trójkąta. Wyznacz pole uzyskanego trapezu. Oblicz jakim procentem wyjściowego trójkąta jest pole uzyskanego trapezu. 28. Uzasadnij, że odcinki łączące środki kolejnych boków czworokąta tworzą równoległobok. wsk. o trzeba dorysować, aby to uzasadnić? P Q M E 29. W trójkącie na rysunku obok poprowadzono środkowe E i, które przecinają się w punkcie M. W trójkącie M punkty P i Q są środkami boków. Pokaż, że czworokąt EQP jest równoległobokiem. 30. any jest prostokąt o bokach długości a i b. Łączymy kolejno środki boków tego prostokąta. a) Uzasadnij, że uzyskany tym sposobem czworokąt jest rombem b) Wyznacz pole powierzchni tego rombu (w pamięci) c) Wyznacz wysokość tego rombu

12 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 31. W czworokącie łączymy środki jego boków uzyskując w ten sposób czworokąt będący równoległobokiem. Oblicz jakim procentem wyjściowego czworokąta jest pole uzyskanego równoległoboku. 32. W trapezie prostokątnym dłuższa podstawa ma długość a, krótsza ma długość b. Ramię o długości d jest prostopadłe do obu podstaw. Łączymy kolejno środki boków tego trapezu. a) Uzasadnij, że uzyskany czworokąt jest równoległobokiem. b) Wyznacz długości boków tego równoległoboku. c) Wyznacz obie wysokości równoległoboku oraz pole powierzchni. 33. W czworokącie punkty E, F, G i H są kolejno środkami boków,, i. Przekątna wyjściowego czworokąta ma długość d i podzieliła równoległobok EF GH na dwa równoległoboki. Wysokość trójkąta opuszczona na podstawę ma długość h. a) Oblicz pole trójkąta HG. b) Oblicz pole tego równoległoboku, który leży w trójkącie. 34.* any jest trójkąt ostrokątny o podstawie i wierzchołku. Prowadzimy dwusieczne kątów zewnętrznych <) i <). Rzutujemy prostopadle punkt na każdą z tych dwusiecznych. Oznaczmy punkty rzutowania przez P i Q. Pokaż, że P Q = 1 2 ( + + ). wsk. zrób staranny rysunnek TWIERZENIE Odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do obu podstaw, a jego długość jest równa połowie sumy długości podstaw. owód. Wpierw zauważmy, że b jako podstawy trapezu, <) F = <) F G kąty wierzchołkowe, <) F = <) GF kąty naprzemianległe, E F F = F z założenia. a G Wobec tego na mocy KK przystawania trójkątów F GF. Z tego wynika, że = G (czyli G = b) oraz F = F G jako długości odpowiadających sobie boków w trójkątach przystających. zyli G = a + b. Wobec tego odcinek EF łączy środki boków trójkąta G, więc jest on równoległy do boku G a jego długość równa jest połowie długości boku G czyli 1 2 (a + b).

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 13 35. Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 7cm, a jedna z jego podstaw dłuższa jest od drugiej o 4cm. Wyznacz długości podstaw. 36. Stosunek długości podstaw w trapezie równy jest 2 : 3, a odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 5m. Wyznacz długość podstaw tego trapezu. TWIERZENIE Jeżeli prosta przechodzi przez środek jednego ramienia trapezu i jest równoległa do podstaw trapezu, to przechodzi ona również przez środek drugiego ramienia trapezu. 37. Udowodnij powyższe twierdzenie. 38. Punkty,, leżą na jednaj prostej, w tej właśnie kolejności. Trójkąty i E są równoboczne, przy czym punkty i E leżą po jednej stronie prostej. Niech F będzie środkiem odcinka, G środkiem odcinka, zaś H środkiem odcinka E. Uzasadnij, że trójkąt F GH jest równoboczny. 39. Podstawy trapezu mają długości równe a i b, przy czym a > b. Wyznacz długość odcinka jaki przekątne tego trapezu wycinają na prostej łączącej środki ramion tego trapezu. 40. Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego w trapezie równoramiennym dzieli jego podstawę na odcinki o długościach a i b, a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki ramion tego trapezu. α α E TWIERZENIE Jeżeli jest dowolnym trójkątem, wówczas dwusieczna kąta np. <) dzieli przeciwległy bok na dwa odcinki o długościach proporcjonalnych do długości boków i, to znaczy czyli = =. owód: Niech będzie dwusieczną kąta przy wierzchołku. Poprowadźmy prostą, zaś przez punkt poprowadźmy prostą równoległą do dwusiecznej. Niech prosta ta przecina prostą w punkcie E.

14 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES Wówczas kąty <) i <) E są kątami odpowiadającymi, a kąty <) i <) E kątami naprzemianległymi. Ponieważ <) = <), bo jest dwusieczną, więc w trójkącie E kąty <) E i <) E są równe, czyli jest to trójkąt równoramienny, w którym = E. Mamy więc następującą sytuację: w trójkącie E zachodzi E, więc na mocy twierdzenia Talesa czyli =. E =, a ponieważ E = więc = Ma miejsce również twierdzenie odwrotne: TWIERZENIE Niech będzie dowolnym trójkątem. Z wierzchołka prowadzimy prostą, która dzieli przeciwległy bok w punkcie na dwa odcinki o długościach proporcjonalnych do długości boków i tzn, że. Wówczas ta prosta jest dwusieczną kąta. = UWG wusieczna kąta jest to półprosta wychodząca z wierzchołka kąta. zęsto w zadaniach o trójkącie używamy słowa dwusieczna rozumiejąc przez to odcinek zawarty w dwusiecznej kąta ograniczony wierzchołkiem kąta i punktem przecięcia dwusiecznej z przeciwległym bokiem. 41. W trójkącie dane są: = 5, = 8, <) = 120. Korzystając z twierdzenia o dwusiecznej wyznacz długość dwusiecznej kąta. 42. Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie środkowa jest dwusieczną, to on jest równoramienny. wsk. skorzystaj z twierdzenia o dwusiecznej. 43. Wyznacz długość d dwusiecznej kąta prostego w trójkącie o przyprostokątnych długości a i b. wsk. skorzystaj z dowodu twierdzenia o dwusiecznej. 44. W równoległoboku punkt 1 jest środkiem boku, a 1 środkiem boku. Udowodnij, że odcinki 1 i 1 przecinając przekątną dzielą ją na trzy odcinki równej długości. 45.* Pokaż, że punkt przecięcia przekątnych w trapezie dzieli każdą z nich na odcinki, których długości są proporcjonalne do długości odpowiednich podstaw. 46.* Wierzchołki i dwóch trójkątów o wspólnej podstawie leżą po tej samej stronie podstawy. Z dowolnego punktu podstawy wykreślono

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 15 jedną prostą równoległą do, która przecina w punkcie F, oraz (z tego samego punktu) drugą prostą równoległą do, która przecina w punkcie G. Pokaż, że F G. 47. W trójkącie, na rysunku obok, poprowadzono dwusieczną. Niech = c, = a, = b. Wyznacz długości odcinków i w zależności od a, b, c. 48. W trójkącie równoramiennym o podstawie długości a, zaś ramionach długości b prowadzimy dwusieczną kąta przy podstawie. Przecina ona jedno z ramion trójkąta. Wyznacz długości odcinków na jakie dwusieczna podzieliła to ramię. 49. W trójkącie równoramiennym ramiona mają długość a, zaś podstawa ma długość b. wusieczne kątów (wewnętrznych) przy podstawie przecinają ramiona trójkąta w punktach i. Wyznacz długość odcinka. 50. W trójkącie ostrokątnym wysokość podzieliła podstawę na odcinki o długościach: = 3, = 5. ok ma długość 7. Symetralna podstawy przecina bok w punkcie F. Wyznacz F, oraz P F. TWIERZENIE Punkt w którym przecinają się dwie środkowe w trójkącie dzieli każdą z nich w stosunku 2:1 (począwszy od wierzchołka). E Wszystkie trzy środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie. F owód: G Niech i E będą środkowymi przecinającymi się w punkcie F. Przez punkt E poprowadźmy odcinek EG równoległy do F. Wpierw rozważmy trójkąt, w którym po pierwsze E = E, bo E jest środkiem odcinka, a po drugie GE, bo tak wybraliśmy sobie punkt G. Wobec tego na mocy twierdzenia Talesa mamy 1 = E E = G G. Z tego wynika, że punkt G jest środkiem odcinka. Ponieważ jest środkiem odcinka, więc wobec tego = 2 G. Rozważmy teraz trójkąt GE, w którym F GE, wobec tego na mocy

16 ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES twierdzenia Talesa mamy F G = 2 1. Pokazaliśmy zatem, że punkt F, w którym przecinają się środkowe E i dzieli środkową E w stosunku 2 : 1. W podobny sposób, czyli prowadząc przez punkt równoległą do środkowej E możemy uzasadnić, że punkt F dzieli środkową w stosunku 2 : 1. Ponieważ tylko jeden punkt F może F E = G = 2 G podzielić środkową tak, że F F = 2 1, więc z tego wynika, że trzecia środkowa trójkąta wychodząca z wierzchołka, również przechodzi przez punkt F. EFINIJ Punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta nazywamy środkiem ciężkości trójkąta i oznaczamy go zazwyczaj literą G (skrót od grawitacja). Fizycznie oznacza to, że gdybyśmy trójkąt wykonali z jednorodnej płyty i podparli ten trójkąt umieszczony poziomo w punkcie G, to pozostałby on w stanie równowagi. Podobnie środek odcinka jest jego środkiem ciężkości, co oznacza, że gdybyśmy wzięli jednorodny pręt i w pozycji poziomej podparli go w środku, to pozostałby on w stanie równowagi. 51. Na boku trójkąta obrano punkt K tak, że K : K = 2 : 1. W jakim stosunku środkowa 1 dzieli odcinek K? 52. W trójkącie kąt jest prosty, = 12, = 16. Niech będzie środkiem boku, zaś G środkiem ciężkości trójkąta. Wyznacz P G oraz odległość punktu G od każdego z boków trójkąta. 53. W trójkącie ostrokątnym długości boków są następujące: = 16, = 20, = 24. Wyznacz wysokość h c wychodzącą z wierzchołka oraz P. Wyznacz odległość środka ciężkości G trójkąta od boków trójkąta. Wskazówki i odpowiedzi. 1. a) 3 1 3, b) x = 2 1 7, y = 5 3 5, c) x = 12 1 4, y = 26 2 7 d) x = 4 3, y = 6, e) x = 7 1 2, y = 3 3 4, f) x = 6, g) x = 16, y = 14, h) x = 4, y = 4 1 2, i) x = 6, y = 18, j) x = 6 2 7, y = 4 5 7, k) x = 7 8 11, y = 9 3 11, l) x = 12, y = 10 1 2 2. a) x = 4 1 5, y = 3 1 3, b) x = 1 1 5, y = 1 17 25 c) x = 8 1 3, y = 3 1 3, d) x = 5 2 5, y = 11 2 3, e) x = 6, y = 7 1 2 3. E = 4

ROZZIŁ 1. TWIERZENIE TLES 17 4. P = 4 1 2, P = 1 1 2 5. H = 56 15, P EF H = 46 14 15 6. Ob = 29, Ob E = 14 1 2 7. Ob E = 17 8. = 6, = 15 9. a) P = 12 6 25, b) P = 9 10. x = 18 11. P = 33 1 3, P F E = 10 2 3 12. P 1 = 3 3 4, P 2 = 18 3 4 13. a) = 36, b) EF = 25, c) P F E = 1200 14. E = 5, = 5 2 5, P E = 21 4 5 15. E = 10, E = 18 7, Ob E = 26 4 7 16. P E = 18 6 17. a) 4 8 9, b) 8 1 4 18. a) P EF = 16, b) P EF = 21 19. a) są, b) nie są, c) są, d) są 20. a) można są równoległe, b) można nie są równoległe 21. = 273 22. E = 5 1 3 23. Ob = 6 24. Ob = 1 2 (a + b + c) 25. b) P = 3 ab 8ab, c) h =, a 2 +b 2 d) p = 1 2 a 2 + b 2, e) h = ab 2 a 2 +b 2 26. 2 1 2 a 27. P = 3 8ah, 75% 30. b) P = 1 ab 2ab, c) h = a 2 +b 2 31. 50% 32. b) 1 2 d 2 + b 2, 1 2 a 2 + d 2, c) h 1 = ab+bd d 2 +b 2, h 2 = ad+bd d 2 +a 2 33. a) P HG = 1 8 dh, b) 1 4 dh 35. 5 i 9 36. 4 i 6 39. 1 2 (a b) 40. a 41. d = 40 13 43. d = ab 2 a+b 44. wsk. co trzeba dorysować? 47. = bc ac a+b, = a+b ab 48. a+b, b 2 a+b 49. = ab a+b 50. F = 7 5, = 2 6, P F = 8 5 6 51. 3 : 1 52. P G = 16, d(g, ) = 16 5, d(g, ) = 16 3, d(g, ) = 4, 53. h c = 15 2 7, P = 60 7, d(g, ) = 5 2 7, d(g, ) = 5 3 7, d(g, ) = 1 2 7.

Rozdział 2 TRÓJKĄTY POONE EFINIJ wa trójkąty nazywamy podobnymi jeżeli mają takie same kąty. Fakt, że trójkąt jest podobny do trójkąta P QR będziemy zapisywać P QR. Zapis ten R oznacza równość odpowiednich kątów, a mianowicie <) = <) P, <) = <) Q, <) = <) R. P Q 1. Uzasadnij, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego dzieli ten trójkąt na trójkąty podobne, przy czym oba z nich są podobne do wyjściowego trójkąta. Zapisz zgodnie z konwencją podaną w definicji podobieństwa trójkątów odpowiednie związki. 2. Uzasadnij, że zacieniowany trójkąt na rysunku poniżej jest podobny do trójkąta. α α 3. Narysuj dowolny prostokąt. Poprowadź linie wzdłuż których należy go rozciąć aby otrzymać a) 2 trójkąty podobne b) 3 trójkąty podobne c) 4 trójkąty podobne d) 5 trójkątów podobnych

ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 19 R P Q 6. Wyznacz miary kątów trójkąta równoramiennego, jeżeli dwusieczna kąta przy podstawie odcina trójkąt podobny do wyjściowego trójkąta. 7. W trójkącie na rysunku obok poprowadzono dwie wysokości. Które z trójkątów są podobne do trójkąta? Zapisz odpowiednie związki. 4. oki trójkąta na rysunku obok zostały przecięte prostymi prostopadłymi do jego boków, tworząc trójkąt P QR. Uzasadnij, że trójkąt P QR, jest podobny do trójkąta i zapisz odpowiedni związek. 5. W trapezie o podstawach i przekątne i przecinają się w punkcie O. Uzasadnij, że O O. E F F E 30 8. Na rysunku obok mamy dwa trójkąty prostokątne o wspólnym wierzchołku. Które trójkąty na tym rysunku są podobne do trójkąta? Zapisz odpowiednie związki. 9. Na rysunku obok boki trójkąta połączono odcinkami E i F tak, że <) = <) E i <) = <) F. Wskaż wszystkie pary trójkątów podobnych występujących na tym rysunku, zapisując odpowiednie związki. F E 10. W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma 36. Uzasadnij, że dwusieczna kąta przy podstawie dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty równoramienne, przy czym jeden z nich jest podobny do wyjściowego trójkąta.

20 ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 11. W trójkącie ostrokątnym poprowadzono wysokości, E i F, które przecinają się w punkcie O. Sporządź rysunek, wskaż wszystkie pary trójkątów podobnych zapisując odpowiednie związki. 12. ane jest koło k(o, r) i punkt P należący do wnętrza koła. Przez punkt P prowadzimy średnicę i dowolną cięciwę. Wykaż, że P P. 13. W trójkącie wpisanym w okrąg dwusieczna kąta przecina bok w punkcie, zaś okrąg, w punkcie E. Pokaż, że E E. Jaka jest druga trójka trójkątów podobnych? Zapisz odpowiednie związki. 14. any jest okrąg i punkt P na zewnątrz tego okręgu. Przez punkt P prowadzimy dwie proste: jedną przez środek okręgu, która przecina go kolejno w punktach i, drugą przecinającą go kolejno w punktach i. Pokaż, że P P i P P. Obecnie sformułujemy dwa twierdzenia, które pozwalają rozstrzygnąć, czy dane dwa trójkąty są podobne. Są to tzw. cechy podobieństwa trójkątów. EH K R Jeżeli dla trójkątów i P QR zachodzą równości: P R = P Q oraz <) = <) RP Q, to P QR. P Q O P 6 4 O 3 8 15. Na rysunku obok proste i przecinają się w punkcie O. Na podstawie cechy K podobieństwa oraz długości podanych odcinków uzasadnij, że trójkąty O i O są podobne. Uzasadnij następnie, że.

ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 21 16. Na podstawie cechy K podobieństwa trójkątów uzasadnij, że trójkąt jest podobny do zacieniowanego trójkąta E. Zapisz odpowiedni związek. Na rysunku zaznaczaj odpowiadające sobie kąty taką samą ilością łuków. Pod rysunkiem wpisz skalę podobieństwa (większego do mniejszego). 10 2 E 4 λ =... 2 31 13 λ =... 22 E 4 16 75 65 λ =... E 40 17. Na rysunku obok proste i przecinają się w punkcie O. Na podstawie cechy K oraz długości podanych odcinków rozstrzygnij czy a), b) EF. 3 E 5 6 7 O 4 F 5 EH R Jeżeli dla trójkątów P i P QR zachodzi P Q = QR = P R, to P QR. Q Innymi słowy: jeżeli w dwóch trójkątach ilorazy długości boków jednego trójkąta przez długości odpowiadających im boków drugiego trójkąta są równe, to te trójkąty są podobne. 18. any jest trójkąt. Punkty P, Q i R są środkami boków, i odpowiednio. Pokaż, że QRP.

22 ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 19. W trójkącie prostokątnym kąt jest prosty, zaś = 3, = 4. W trójkącie P QR kąt R jest prosty, zaś P Q = 25, P R = 15. Korzystając z cechy podobieństwa trójkątów, uzasadnij, że trójkąty i P QR są podobne. Zapisz odpowiedni związek. Obecnie sformułujemy trzy twierdzenia, które mówią nam jakie własności mają trójkąty podobne. Jedna z tych własności jest podstawą określenia tzw. funkcji trygonometrycznych. TWIERZENIE 1 Jeżeli P QR, to wówczas 1. P Q = QR czyli = P Q QR 2. <) = <) P QR. czyli QR = P Q, Zauważmy, że jest to odwrócenie cechy K podobieństwa trójkątów. Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne do cechy a mianowicie TWIERZENIE 2 Jeżeli P QR, to P Q = QR = P R. Twierdzenie to mówi, że stosunek długości odpowiadających sobie boków w dwóch trójkątach podobnych jest stały. Nazywamy go skalą podobieństwa tych trójkątów i oznaczamy zazwyczaj literą λ lub k. TWIERZENIE 3 Jeżeli P QR i = λ, to stosunek długości jakichkolwiek P Q dwóch odpowiadających sobie elementów w trójkątach i P QR jest równy λ. Liczbę λ nazywamy skalą podobieństwa tych trójkątów. PRZYKŁ h a Q P h p R Na rysunku obok P QR, przy czym P Q = QR = P R = λ, wobec tego h a h p = λ, gdzie h a i h p są to wysokości wychodzące odpowiednio z wierzchołków i P. 20. ięciwy i okręgu przecinają się w punkcie P. Wykaż, że P P P P = P P, czyli, że P = P.

ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 23 P Q α R α 21. Trójkąty prostokątne i P QR na rysunku obok są podobne. Wiedząc, że = 4, = 3, P R = 12, wyznacz P Q i QR. 22. ięciwy i okręgu przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że = 42, P : P = 3 : 4 i P : P = 1 : 3, oblicz długość odcinka. 23.* W trójkącie równobocznym przez punkt przecięcia środkowych poprowadzono prostą równoległą do boku. W jakim stosunku dzieli ona boki i? 24. Przekątne i trapezu przecinają się w punkcie S w ten sposób, że S : = 3 : 4. Wyznacz jeżeli = 12. 25. Proste k i l na rysunku obok są równoległe. Wskaż równe kąty w obu trójkątach. Wyznacz długość odcinka x. Q 70 48 x 9 17 18 70 P 62 2 l 2 26. (matura 2016) Uzasadnij, że trójkąty i P QR są podobne. R Wyznacz długość odcinka. 27. Punkt P leży na zewnątrz okręgu. Prowadzimy przez ten punkt dwie proste. Jedna z nich przechodzi przez środek okręgu i przecina okrąg kolejno w punktach,, a druga przecina okrąg kolejno w punktach,. Uzasadnij, że P P = P P. 28.* W trójkącie ostrokątnym poprowadzono wysokości 1 i 1. Pokaż, że 1 = 1, tym samym 1 1. 29. ane są trójkąty i, przy czym. ługości boków trójkąta są równe 36, 63, 81. Obwód trójkąta jest równy 140. Wyznacz skalę podobieństwa tych trójkątów oraz boki trójkąta. x k 4

24 ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 30. Trójkąty i na rysunku obok są podobne, przy czym. oki trójkąta mają długości = 2, = 3, = 4. Znajdź długości boków i. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? 31. W trapezie o podstawach i przekątne i przecinają się w punkcie O, = 9, = 6. Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów O i O. 32. Podstawy trapezu mają długości odpowiednio 9 i 15, a jego wysokość ma długość 12. Wyznacz odległość punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od jednej i drugiej podstawy. 33.* W trójkącie prostokątnym kąt jest prosty, = 15 i = 20. Wysokość podzieliła trójkąt na dwa trójkąty i. Każde dwa z tych trzech trójkątów są podobne. Wyznacz skalę podobieństwa dla każdej z tych trzech par trójkątów. 34. Podstawa trójkąta ma długość 10. Punkty i E leżą na ramionach trójkąta, przy czym E. Wysokość trójkąta E wychodząca z wierzchołka ma długość 3, zaś wysokość trapezu jest równa 5. Wyznacz P E. 35. W trapezie podstawa ma długość 12, a podstawa długość 8. Wysokość trapezu ma długość 6. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie O. Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów O i O. Oblicz odległość punktu przecięcia przekątnych tego trapezu od podstaw. 36.* W trapezie prostokątnym podstawy mają długości 12 i 4. Wysokość tego trapezu wynosi 6. Wyznacz odległość punktu, w którym przecinają się przekątne trapezu, od obu podstaw i od obu ramion. 37. Punkt M jest środkiem boku równoległoboku. Zbadaj jaką część pola równoległoboku stanowi pole trójkąta N. M N

ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 25 E 38. Na rysunku obok E. Wiedząc, że = 9, = 2, = 6, E = 5, wyznacz E i E. Wyznacz skalę podobieństwa tych trójkątów. 39. W równoległoboku kąty <) i <) są rozwarte. Na prostych i obrano odpowiednio punkty M i N będące rzutami prostopadłymi punktu na te proste. Pokaż, że <) = <) MN i MN. 40. W trójkąt wpisano kwadrat P QRS tak, że wierzchołki P i Q leżą na bokach i, a wierzchołki R i S na boku. Wyznacz długość boku kwadratu w zależności od a i h, gdzie h oznacza wysokość wychodzącą z wierzchołka, zaś a oznacza długość boku. 41. W trójkącie prostokątnym kąt jest prosty, punkt N leży na boku, przy czym, N. Oznaczmy długości poszczególnych odcinków: = b, = a, N = h, N = d, N = e, = c. Pokaż, że b 2 = cd, a 2 = ce, h 2 = de. h a a P h p = λ h a TWIERZENIE 4 Jeżeli P QR i skala podobieństwa jest równa λ, tzn. P Q = λ, h p = λ h a, to wówczas P P QR = λ 2 P. Q P λ a R owód: Oznaczmy = a, = h a, wówczas QR = λa, P P = λh a. Mamy wówczas P = 1 2 ah, zaś P P QR = 1 2 λa λh a = λ 2 1 2 ah = λ2 P. 42. W trapezie podstawa ma długość 3, a podstawa ma długość 2. Przekątne i przecinają się w punkcie E. Wyznacz stosunek pól trójkątówe i E, 43. Skala podobieństwa trójkąta do trójkąta XY Z jest równa 2 1 2 : 1 (czyli λ = 5 2 ) Pole trójkąta XY Z jest równe 50. Wyznacz pole trójkąta.

26 ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 44. Trójkąt jest podobny do trójkąta XY Z. Pole trójkąta jest równe 12 1 2, a pole trójkąta XY Z jest równe 32. Najdłuższy bok w trójkącie jest równy 5. Jaka jest skala podobieństwa tych trójkątów? Jaka jest wobec tego długość najdłuższego boku w trójkącie XY Z. 45. Trójkąty i XY Z są podobne. Najkrótszy bok w trójkącie ma długość 6, a w trójkącie XY Z 15. Pole trójkąta jest równe 12. Wyznacz pole trójkąta XY Z. 46. Patryk porównał dwa plany swojej miejscowości. Jeden z nich był sporządzony w skali 1:5 000, a drugi 1:20 000. Na pierwszym odległość mierzona w linii prostej między budką telefoniczną koło jego szkoły a przystankiem autobusowym przy przy jego domu jest o 4,5 cm większa, niż na drugim planie. Jak jest rzeczywista odległość w linii prostej między tymi miejscami? 47. ziałka budowlana o powierzchni 16 arów na planie ma powierzchnię 1,6 10 3 m 2. Jaka jest skala tego planu? 48. Prostokąt P 1 ma pole 5 cm 2 i jest podobny do prostokąta P. Prostokąt P ma wymiary 5 cm i 9 cm. Jaka jest skala podobieństwa prostokąta P 1 do P? 49. Przez punkt leżący na boku trójkąta poprowadzono proste E i F, E, F. równoległe do pozostałych boków trójkąta. Pole trójkąta E wynosi 1, a pole trójkąta F jest równe 4. Znajdź pole trójkąta. 50. W trapezie podstawa ma długość a, podstawa ma długość b. Przekątne i przecinają się w punkcie O. Wyznacz skalę podobieństwa trójkątów O i O. 51. Przez punkt przecięcia przekątnych trapezu prowadzimy prostą równoległą do jego podstaw. Prosta ta przecina ramiona trapezu w punktach E i F. Znajdź długość odcinka EF, wiedząc, że podstawy trapezu mają długości a i b. 52. W trapezie podstawa ma długość 3, a podstawa ma długość 2. Przekątne i przecinają się w punkcie E. Wyznacz stosunek pól trójkątów a) E i E, b) E i E.

ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 27 EFINIJ wa wielokąty nazywamy podobnymi jeżeli odpowiadające sobie kąty w tych wielokątach są równe, a stosunek długości odpowiadających sobie boków jest równy stałej wielkości λ. Liczbę λ nazywamy skala podobieństwa tych wielokątów. TWIERZENIE 5 (o wielokątach podobnych) Jeżeli dwa wielokąty, na przykład pięciokąty E i P QRST są podobne P Q i ich skala podobieństwa jest równa λ, tzn. = QR = RS = ST E = P T = λ, to wówczas E 1. stosunek dwóch odpowiadających sobie wielkości w tych wielokątach jest równy λ, 2. P P QRST = λ 2 P E. 1. 4. QRP Wskazówki i odpowiedzi. 6. kąty przy podstawie maja po 72, kąt przy wierzchołku ma 36 7. E F F E 8. E F F E 9. E F 11. E OF OE F, F O OF, OE O E. 13. E E 16. a) E = = 1 3, E, λ = 3 b) E = = 1 2, E, λ = 2 c) E, λ = 7 5 17. a) tak, b) nie 19. P R = RQ = P Q = 5 zatem P QR 21. P Q = 16, QR = 20 22. = 48

28 ROZZIŁ 2. TRÓJKĄTY POONE 23. wsk. co trzeba dorysować? 1 : 2 24. = 4 25. x = 1. 26. = 8 1 2 29. λ = 9 7, = 28, = 49, = 63 30. = 16 3, = 8 3, λ = 3 4. 31. λ = 3 2 32. d 1 = 4 1 2, d 2 = 7 1 2 33. / = 5 4, / = 5 3, / = 4 3 34. P E = 34 3 8 35. λ = 3 2, d 1 = 2 2 5, d 2 = 3 3 5 36. od podstaw 1 1 2, 4 1 2, od ramion 3, 9 5 37. P N = 1 3 P 38. E = 23 5, E = 45 8, λ = 8 5 40. P Q = ah a+h 42. 9 4 43. P = 8 44. λ = 8 5, najdłuższy bok w tr. XY Z ma długość 8. 45. P XY Z = 75 46. 300 m 47. λ = 1 : 1000 48. λ = 3 49. P = 9, 50. λ = a b 51. 2ab a+b 52. a) 9 4, b) 2 3

Rozdział 3 STYZN O OKRĘGU EFINIJ Jeżeli prosta i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny, to tę prostą nazywamy styczną do okręgu, a ich jedyny punkt wspólny nazywamy punktem styczności. Odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem okręgu nazywamy promieniem. Posługując się pojęciem stycznej do okręgu będziemy wielokrotnie korzystać nie z definicji stycznej tylko z jej własności, które wynikają z definicji. Własności te wyrażamy zazwyczaj w postaci następujących dwóch twierdzeń: k r TWIERZENIE Jeżeli prosta k jest styczna do okręgu, to jest ona prostopadła do promienia tego okręgu wychodzącego z punktu styczności. O TWIERZENIE Jeżeli prosta k jest prostopadła do promienia O w okręgu o środku w punkcie O i przechodzi przez punkt leżący na tym okręgu, to jest ona styczna do tego okręgu. 1. Prosta MP jest styczna do okręgu K(O, 7) w punkcie P. Odległość od punktu M do punktu O wynosi 25. Wyznacz MP. 2. Punkt leży na zewnątrz okręgu K(, 15). Prosta jest styczna do tego okręgu w punkcie. P = 150. Wyznacz i.

30 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 3. Niech prosta l przechodząca przez punkt M będzie styczna do okręgu K(O, 10) w punkcie P i niech MP = 24. Półprosta MO przecina ten okrąg kolejno w punktach Q i R. Wyznacz MR. 4. Prosta l przechodząca przez punkt M jest styczna do okręgu K(O, 4) w punkcie P, zaś prosta MO przecina okrąg K kolejno w punktach Q i R. Odcinek MP jest o 3 dłuższy od odcinka MQ. Wyznacz kolejno: a) MP, b) P MOP, c) d(p, l MO ). P M O L I 5. Na rysunku obok mamy dwa półokręgi o wspólnym środku O. Promień mniejszego półokręgu ma długość 3, a większego 5. Proste LM i P I są styczne do mniejszego półokręgu. Wyznacz LM i P I. 6. ane są dwa okręgi współśrodkowe o promieniach 15 i 9. Jaka jest długość cięciwy większego okręgu, która jest styczna do mniejszego okręgu. 7. any jest kąt prosty o wierzchołku P. Okrąg styczny w punkcie M do jednego ramienia tego kąta przecina drugie ramię w punktach i. Oblicz promień tego okręgu wiedząc, że P M = 24, = 20. 8. Niech M będzie punktem leżącym na zewnątrz okręgu o środku w punkcie O. Prosta l przechodzi przez punkt M i jest styczna do okręgu w punkcie P. ruga prosta k przechodzi przez punkt M i przez środek okręgu. Przecina ona okrąg w punktach Q i R. Pokaż, że MP 2 = MQ MR. 9. Kąt utworzony przez dwa promienie okręgu wynosi 130. Wyznacz kąt ostry, który tworzą styczne poprowadzone przez końce promieni. 10. Z punktu zewnętrznego poprowadzono styczne i do okręgu o środku w punkcie O, przy czym i są punktami styczności. Kąt pomiędzy stycznymi ma 35. Jaki jest kąt wypukły pomiędzy promieniami poprowadzonymi ze środka okręgu do punktów styczności? 11. o danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce i średnicy tego okręgu są odległe od stycznej o 25 cm i 15 cm. Wyznacz długość średnicy. 12. Niech l będzie prostą styczną do pewnego okręgu, a odcinek dowolną jego średnicą. Oznaczmy przez i rzuty prostokątne punktów i na prostą l. Udowodnij, że = +.

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 31 x O 50 13. Proste i na rysunku obok są styczne do okręgu. Wyznacz miarę kąta. 14. Na rysunku obok z punktu P wychodzą dwie proste styczne do okręgu w punktach i. Punkt leży na okręgu. Wyznacz ε. 2ε ε P EFINIJ Okrąg styczny do wszystkich trzech boków trójkąta nazywamy okręgiem wpisanym (w ten trójkąt). 15. Okrąg na rysunku obok wpisany jest w trójkąt, przy czym, E, F są punktami styczności, zaś punkt O jest środkiem okręgu. Wyznacz kolejno kąty x, y, z. α Q γ M β P O E x 36 z 78 y F 16. Trójkąt na rysunku obok jest opisany na okręgu. Punkty P, Q, M są punktami styczności. Wyznacz γ w zależności od α i β.

32 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU EFINIJ wa okręgi nazywamy stycznymi gdy mają one dokładnie jeden punkt wspólny. Mają one wówczas wspólną styczną przechodzącą przez ich punkt styczności. Okręgi mogą być styczne zewnętrznie lub wewnętrznie. Przykład pary okręgów zewnętrznie stycznych oraz pary okręgów wewnętrznie stycznych wraz z ich wspólną styczną. O 1 O 2 TWIERZENIE Jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie lub wewnętrznie, to ich środki oraz punkt styczności leżą na jednej prostej. O 1 O 2 WNIOSEK Jeżeli okręgi K(O 1, r 1 ) i K(O 2, r 2 ) są zewnętrznie styczne, to O 1 O 2 = r 1 + r 2, zaś gdy są wewnętrznie styczne, to { r 1 r 2 gdy r 1 > r 2 O 1 O 2 = r 2 r 1 gdy r 2 > r 1 17. Trzy okręgi o promieniu 1 są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozostałych. Wyznacz boki i kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności oraz pole trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów. 18. Środki trzech okręgów parami zewnętrznie stycznych są wierzchołkami trójkąta o bokach długości 3, 4, 5. Wyznacz długości promieni okręgów. 19. Okręgi K(, r 1 ) i K(, r 2 ) są zewnętrznie styczne, a jednocześnie każdy z nich jest styczny wewnętrznie do okręgu K(, r 3 ). Oblicz długości promieni r 1, r 2 i r 3, wiedząc, że = 4, = 5 i = 3. 20. Okręgi K 1 (O 1, r 1 ) i K 2 (O 2, r 2 ) są styczne zewnętrznie, a równocześnie styczne wewnętrznie do okręgu K 3 (O 3, r 3 ). Obwód trójkąta O 1 O 2 O 3 jest równy 26. Wyznacz r 3.

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 33 Q P 21. Okrąg o środku w punkcie ma promień długości 3, zaś styczny do niego okrąg o środku w punkcie ma promień długości 12. Punkty P i Q leżą na okręgu i są punktami styczności. Wyznacz pole czworokąta P Q. 22. any jest trapez o ramionach długości 24 i 32. Ramiona trapezu są średnicami okręgów, które są zewnętrznie styczne. Wyznacz sumę długości podstaw trapezu. 23. Okręgi K 1 i K 2 o środkach S 1 i S 2 są styczne zewnętrznie w punkcie. Przez punkt prowadzimy prostą l, która przecina okrąg K 1 w punkcie, zaś okrąg K 2 w punkcie, tak że <) S 2 = 25. Wyznacz miarę kąta S 1. o możesz powiedzieć o prostych S 2 i S 1? 24. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozostałych. Wyznacz boki i kąty trójkąta utworzonego przez punkty styczności oraz pole trójkąta wyznaczonego przez środki okręgów. 25.* wa okręgi K 1 i K 2 o środkach S 1 i S 2 są styczne a) zewnętrznie b) wewnętrznie w punkcie. Przez punkt prowadzimy prostą różną od prostej l S1 S 2, która przecina okrąg K 1 w punkcie 1, zaś okrąg K 2 w punkcie 2. Uzasadnij, że 1 S 1 2 S 2. 3 4 k k 2 1 26. (matura 2016) Okręgi k 1 (, 3) i k 2 (, 4) są styczne. Prosta jest styczna do okręgu k 2 w punkcie, zaś jest punktem wspólnym okręgu k 1 i tej stycznej. Wyznacz.

34 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU K 1 m X S 2 S 1 l 52 27. Okręgi K 1 i K 2 na rysunku obok są styczne zewnętrznie w punkcie X. Przez punkt X prowadzimy proste l i m, które przecinają okręgi we wskazanych punktach. Wiadomo, że <) X = 52. Wyznacz kolejno <) XS 2, <) XS 1, <) S 1 X, <) X. o możesz powiedzieć o czworokącie? K 2 28. Okręgi K 1 i K 2 są styczne a) zewnętrznie b) wewnętrznie w punkcie X. Przez punkt X prowadzimy proste m i n. Prosta m przecina okrąg K 1 w punkcie, zaś okrąg K 2 w punkcie. Prosta n przecina K 1 w punkcie, zaś K 2 w punkcie. Pokaż, że a) l l ; b) trójkąty X i X mają takie same kąty. 29. Na rysunku obok okrąg k jest wewnętrznie styczny do większego okręgu. Punkt M jest środkiem większego okręgu, a punkt O mniejszego. Odcinek SM jest średnicą okręgu k, zaś SP jest dowolną cięciwą w zewnętrznym okręgu, R jest punktem przecięcia okręgu k i cięciwy SP. Uzasadnij, że okrąg k dzieli cięciwę SP na połowy, czyli że P R = SR. P R M O S Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wypukłego wiemy, że punkt leży na dwusiecznej kąta wtedy i tylko wtedy gdy jest on równo odległy od obu ramion kąta. Z tego wynika następujące twierdzenie: TWIERZENIE Wszystkie trzy dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest tak samo oddalony od każdego boku czyli jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. I

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 35 Z r I r r Y owód: la dowodu poprowadźmy dwusieczne kątów i. Te dwusieczne przecinają się w punkcie I. Uzasadnimy, że dwusieczna kąta też przechodzi przez ten punkt, czyli że wszystkie trzy dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. X Zauważmy, że IZ = IX, bo punkt I leży na dwusiecznej kąta <) IX = IY, bo punkt I leży na dwusiecznej kąta <) z tych równości wynika, że IZ = IY, a to oznacza, że punkt I leży na dwusiecznej kąta <). zyli dwusieczne wszystkich trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Z tego wynika, że odcinki IX, IY, IZ są wysokościami trójkątów I, I, I. α αα O ϕ ψ β β β 30. Na rysunku obok dwie półproste wychodzące z wierzchołka dzielą kąt na trzy równe części. Podobnie dwie półproste wychodzące z wierzchołka dzielą kąt na trzy równe części. Natomiast wszystkie cztery półproste przecinając się tworzą czworokąt. Pokaż, że wskazana na rysunku przerywaną linią przekątna tego czworokąta jest dwusieczną kąta <) O tzn, że ϕ = ψ. 31. Punkt O jest wierzchołkiem kąta (wypukłego). Punkty i leżą na jednym ramieniu kąta, zaś punkty i na drugim ramieniu, przy czym O = O, O = O. Niech E będzie punktem przecięcia prostych i. Uzasadnij, że punkt E leży na dwusiecznej kąta O. 32. Trójkąt wpisany jest w okrąg, zaś punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. Półprosta I przecina okrąg w punkcie. Uzasadnij, że = I =.

36 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU TWIERZENIE Pole trójkąta o bokach długości a, b, c i promieniu okręgu wpisanego długości r jest równe P = 1 (a + b + c) r } 2 {{} połowa obwodu czyli krótko mówiąc: pole trójkąta jest równe iloczynowi połowy obwodu tego trójkąta przez promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. owód Zauważ, że promienie łączące środek okręgu z punktami styczności są wysokościami w trójkątach I, I, I wychodzącymi z wierzchołka I w każdym z trójkątów, i wobec tego P = P I + P I + P I = 1 2 ar + 1 2 br + 1 2 cr = 1 (a + b + c) r 2 UWG bardzo często połowę obwodu trójkąta oznacza się literą p, wówczas wzór na pole trójkąta zapisuje się krócej P = p r. 33. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 3 i 4. Wyznacz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 34. any jest trójkąt prostokątny. Punkt jest wierzchołkiem kąta prostego, = 3, = 4. wusieczna kąta dzieli trójkąt na dwa trójkąty: i. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt i w trójkąt. 35. W trójkąt równoboczny o boku długości 2 3 wpisano okrąg. Wyznacz długość promienia tego okręgu. 36. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o podstawie 2d i ramieniu długości l. 37. W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano okrąg. Wyznacz długość promienia tego okręgu. b c r r I r a

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 37 38. any jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 13 i podstawie długości 10. Wyznacz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. 39.* any jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 i 12. Okrąg K(P, 1), jest styczny do obu przyprostokątnych. Wyznacz odległość punktu P od przeciwprostokątnej. 40. Okrąg K(O, R) styczny jest do przyprostokątnych trójkąta prostokątnego. ługości przyprostokątnych są równe 6 i 8. Punkt O leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wyznacz R. Ma miejsce następujące twierdzenie zwane zasadniczym twierdzeniem planimetrii R TWIERZENIE Jeżeli punkt R leży poza okręgiem, to wówczas przez ten punkt przechodzą dokładnie dwie styczne do tego okręgu, a przy tym odcinki zawarte między punktem R a punktami styczności z okręgiem, są równej długości, (czyli trójkąt R jest równoramienny). Na rysunku O obok tymi odcinkami są R i R. K owód: Zauważ, że trójkąty RO i RO są prostokątne. Mają one wspólną przeciwprostokątną RO, mają tej samej długości przyprostokątne O i O bo są one promieniami tego okręgu. Wobec tego z twierdzenia Pitagorasa wynika, że pozostałe dwie przyprostokątne czyli R i R też są tej samej długości. la wykorzystania tego twierdzenia wprowadzimy dodatkowe pojęcie, a mianowicie: EFINIJ Okrąg styczny do jednego z boków trójkąta oraz styczny do przedłużeń dwóch pozostałych boków nazywamy okręgiem dopisanym do trójkąta.

38 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 41. Na rysunku obok wszystkie trzy proste są styczne do okręgu. Punkty, i są punktami styczności, R = 7. Powiedz jaki jest wobec tego obwód trójkąta QRS. Q R S! 42. Okrąg K jest okręgiem dopisanym do trójkąta stycznym w punkcie. Pokaż, że długość odcinka od wierzchołka do punktu styczności zawartego w przedłużeniu boku jest równa połowie obwodu tego trójkąta. 43. Wyznacz promień okręgu dopisanego do trójkąta równoramiennego prostokątnego o ramionach długości a. Rozpatrz dwa przypadki. 44. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 12, zaś promień okręgu wpisanego jest równy 2. Wyznacz długości pozostałych boków w tym trójkącie. 45. oki trójkąta mają długości 13, 20 21. Policz na jakiej długości odcinki dzielą boki tego trójkąta punkty styczności okręgu wpisanego w ten trójkąt. 46. Okręgi K 1 o środku S 1 i K 2 o środku S 2 są zewnętrznie styczne w punkcie. Przez ten punkt przechodzi prosta t styczna do obu okręgów. ruga prosta s jest styczna do okręgu K 1 w punkcie P a do okręgu K 2 w punkcie Q. Pokaż, że a) punkt przecięcia obu stycznych dzieli odcinek P Q na połowy. b) <) P Q = 90. c) <) S 1 S 2 = 90. 47. Oznaczmy przez a i b długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym zaś przez c długość przeciwprostokątnej. Pokaż, że wówczas promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość! r = a + b c. 2 Spójrz na rysunek i napisz odpowiednią równość. a r r r r b r c

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 39 48. W trójkącie prostokątnym suma długości przyprostokątnych równa jest 18, a przeciwprostokątna ma długość 4. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz pole trójkąta. 49. Przekątne w rombie mają długości 8 i 6. zielą one romb na cztery trójkąty prostokątne. Oblicz pole czworokąta, którego wierzchołkami są środki okręgów wpisanych w te cztery trójkąty. 50. W trójkącie prostokątnym wpisanym w okrąg o średnicy 5 5 jedna z przyprostokątnych jest 2 razy dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 51. Wysokość h w dowolnym trójkącie prostokątnym poprowadzona do przeciwprostokątnej dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Oznaczmy, przez r 1 i r 2 promienie okręgów wpisanych w te trójkąty, a przez r 3 promień okręgu wpisanego w trójkąt wyjściowy. Pokaż, że r 1 + r 2 + r 3 = h. 52.* W trójkącie prostokątnym środkowa przeciwprostokątnej jest dwa razy dłuższa od wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. Iloczyn długości przeciwprostokątnej, środkowej tej przeciwprostokątnej i wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną równy jest 27. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny utworzony przez środkową, wysokość wychodzące z wierzchołka kąta prostego i przeciwprostokątną wyjściowego trójkąta. 53. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równy jest 12,5. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt równy jest 4. Oblicz a) sumę długości przyprostokątnych, b) pole trójkąta 54.* W trójkącie równoramiennym mamy = = 10. Wysokość dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Promienie okręgów wpisanych w te dwa trójkąty mają długość 2. a) Wyznacz pole jednego z tych trójkątów prostokątnych. b) Wyznacz długość wysokości wychodzącej z wierzchołka. 55.* Pokaż, że jeżeli istnieje okrąg styczny do przedłużeń czterech boków czworokąta wklęsłego, to różnice długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe. 56. Wyznacz promień okręgu dopisanego do trójkąta równobocznego o boku długości a. Wsk. spróbuj to zrobić nie stosując twierdzenia Pitagorasa. Zrób tylko rysunek, dobrze nań popatrz i napisz odpowiedź.

40 ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 57. any jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Wyznacz promień okręgu dopisanego do tego trójkąta a) stycznego zewnętrznie do przeciwprostokątnej c b) stycznego zewnętrznie do krótszej przyprostokątnej a S 58. wa rozłączne okręgi na rysunku obok wpisane są w kąt ostry o wierzchołku S. Prowadzimy wspólną styczną do tych okręgów. Punkty styczności oznaczamy i. Punkty przecięcia stycznej z ramionami kąta oznaczamy i. Pokaż, że =. 59. W trójkącie wpisanym w okrąg = 20, = 15 zaś jest średnicą tego okręgu. Wysokość podzieliła trójkąt na trójkąty i. W trójkąt wpisano okrąg o środku w punkcie O 1, który jest styczny do boku w punkcie E, zaś w trójkąt wpisano okrąg o środku w punkcie O 2 styczny do boku w punkcie F. Wyznacz a) O 1 O 2 ; b) P EO1 O 2 F (wcale nie jest trudne, tylko nie robić na żywioł!) 60. Prostokąt, w którym = 20, = 15, dzielimy na dwa trójkąty prostokątne i. W trójkąt wpisujemy okrąg o środku w punkcie O 1, zaś w trójkąt wpisujemy okrąg o środku w punkcie O 2. Wyznacz: a) O 1 O 2 b) P O1 O 2 c) promień okręgu wpisanego w trójkąt O 1 O 2 61. W czworokącie wpisanym w okrąg punkty,, i są jego kolejnymi wierzchołkami. ługości boków czworokąta są następujące: = 24, = 20, = 15 i = 7. Jedna z przekątnych czworokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. W każdy z tych trójkątów wpisujemy okrąg. Wyznacz promienie okręgów wpisanych w trójkąty i oraz odległość d pomiędzy środkami tych okręgów.

ROZZIŁ 3. STYZN O OKRĘGU 41 Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą. α O α TWIERZENIE Kąt, jaki tworzy styczna do okręgu z cięciwą tego okręgu wychodzącą z punktu styczności jest taki sam jak kąt wpisany w ten okrąg oparty na łuku, którego końcami są końce tej cięciwy, a wierzchołek leży poza rozważanym kątem między cięciwą a styczną. owód: Niech O będzie środkiem okręgu, l styczną do niego w punkcie, cięciwą, zaś punktem na tym okręgu, a przy tym <) = α. Pokażemy, że <) = α. Wpierw zauważmy, że <) O = 90 α, bo O l. Również <) O = 90 α, bo trójkąt O jest równoramienny. Ponieważ suma kątów trójkąta równa jest 180, więc kąt środkowy O oparty na cięciwie jest równy 180 [(90 α)+(90 α)] = 2α. Ponieważ kąt jest kątem wpisanym opartym również na cięciwie, więc <) = α. 62. Na rysunku obok prosta l jest styczna do okręgu K w punkcie. Wyznacz α. 63. W trójkąt wpisano okrąg, przy czym 1, 1, 1 są punktami styczności odpowiednio do boków, i ; <) = 38, <) = 86. Wyznacz kąty trójkąta 1 1 1. K 3α + 25 O l α 40 43 O 64. Prosta na rysunku obok jest styczna do okręgu. Wyznacz kąty trójkąta. 65. Z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzono dwie półproste: jedna styczna do okręgu w punkcie Q, a druga przecinająca okrąg w punktach i. Pokaż, że P Q P Q.