KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia. Zanim przejdę do sedna, przypomnę definicję silni. Silnią liczby naturalnej n nazywamy iloczyn wszystkich dodatnich liczb naturalnych nie większych niż n. W skrócie zapisujemy to następująco: Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Mówiąc obrazowo jest to każde możliwe ustawienie n elementów po kolei. Liczba permutacji zbioru złożonego z elementów jest właśnie równa. Dowód: na 1-szym miejscu możemy ustawić n elementów, na drugim n-1 elementów, wreszcie na n-tym 1 element. Zatem liczba ustawień wynosi. Fakt ten zapisujemy: Przykład: Z trzech danych elementów: można utworzyć następujące permutacje:. Liczba ich wynosi. KOMBINACJE Kombinacją k-elementową utworzoną ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k- elementowy podzbiór tego zbioru. Kombinacja, to jedna z możliwości wyboru kilku elementów z większego zbioru, przy czym kolejność wyboru elementów nie ma znaczenia. Dwa podzbiory złożone z tych samych elementów, a różniące się tylko ich kolejnością, stanowią tę samą kombinację. Liczba k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się tzw. symbolem Newtona.. Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje:. WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ Wariacją k-elementową bez powtórzeń utworzoną ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnych elementów z tego zbioru. Z k-wyrazowymi wariacjami bez powtórzeń zbioru złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy bez zwracania po jednym elemencie z danego zbioru, przy czym ma znaczenie kolejność wyboru elementów. Oczywiście n-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru n-elementowego to po prostu permutacje tego zbioru. Liczba k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: 1 Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć sześć następujących dwuelementowych wariacji bez powtórzeń:. WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu). Z k-wyrazowymi wariacjami z powtórzeniami zbioru złożonego z n elementów mamy do czynienia, gdy k razy wybieramy ze zwracaniem po jednym elemencie z danego zbioru, przy czym ma znaczenie kolejność wyboru elementów.
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć osiem następujących 2-wyrazowych wariacji z powtórzeniami:. Warto wspomnieć, że istnieją jeszcze permutacje z powtórzeniami (zbiór ma n elementów przy czym niektóre się powtarzają). Niech w zbiorze tym będzie elementów, które powtarzają się odpowiednio razy. Liczba permutacji z powtórzeniami wyraża się wzorem: A także kombinacje z powtórzeniami (k-elementowe podzbiory zbioru n-elementowego z możliwością powtarzania się elementów), Wówczas liczba kombinacji z powtórzeniami wyraża się wzorem: Na przykład liczba 2-elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru 4-elementowego A = {a, b, c, d} wynosi. Mamy tu 10 elementów:. Ot i z grubsza cała kombinatoryka z jaką będziemy mieli okazję się zetknąć. Dociekliwym polecam dalsze zgłębianie tematu. Przykład 1. Na ile sposobów można ustawić w szeregu 10 osób? Tu mamy do czynienia z permutacjami (10-wyrazowy ciąg zbioru 10-elementowego). Liczba permutacji wynosi 10!. Zatem 10 osób można ustawić na 3628800 sposobów. Niesłychane Przykład 2. Ile jest możliwości wylosowania 6 ponumerowanych kul z 49 (Duży Lotek)? Wybieramy 6 kul bez zwracania przy czym kolejność oczywiście jest nieistotna. Zatem mamy do czynienia z kombinacjami. Liczba kombinacji wynosi Przykład 3. Ile można ułożyć 5-literowych wyrazów (z sensem czy bez) z 32-literowego alfabetu? Litery mogą się powtarzać (losujemy ze zwracaniem ) i liczy się ich kolejność. Zatem mamy do czynienia z wariacjami z powtórzeniami. Liczba wariacji wynosi. Swoją drogą ciekawe ile z tych wyrazów ma sens Przykład 4. Ile różnych liczby czterocyfrowych można ułożyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 tak, aby żadna cyfra się nie powtarzała? Cyfry mogą się powtarzać (losujemy bez zwracania ) i liczy się ich kolejność. Zatem mamy do czynienia z wariacjami bez powtórzeń. Liczba wariacji wynosi. 2
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się tzw. doświadczeniami losowymi. Są to doświadczenia, w których nie da się dokładnie przewidzieć wyniku. Wynikiem takiego doświadczenia jest zajście tzw. zdarzenia losowego. ZDARZENIE LOSOWE Zdarzeniem losowym nazywamy pewien zbiór możliwych wyników danego eksperymentu. Przykład: niech doświadczeniem losowym będzie rzut kostką do gry. Wynikiem tego doświadczenia będzie pewne zdarzenie losowe, na przykład wyrzucenie parzystej liczby oczek, wyrzucenie 6-ki etc. Niech doświadczeniem losowym będzie losowanie 1 karty z talii. Zdarzeniem losowym może być wylosowanie kiera, wylosowanie blotki etc. ZDARZENIE ELEMENTARNE Najprostszy wynik doświadczenia losowego nazywać będziemy zdarzeniem elementarnym. W rzucie kostką mamy oczywiście 6 zdarzeń elementarnych ponieważ może wypaść 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek. Przy losowaniu karty z talii liczba zdarzeń elementarnych wynosi 52, zaś w rzucie monetą tylko 2 (orzeł, reszka). Zdarzenia elementarne (gdy jest ich na przykład k oznaczamy. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego oznaczamy. ZDARZENIE Zdarzeniem będziemy nazywać każdy podzbiór zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych. I tak na przykład w przypadku jednokrotnego rzutu kostką zbiór zdarzeń elementarnych ma 6 elementów: wypadła 1-ka, wypadła 2-ka, wypadła 3-ka. wypadła 4-ka, wypadła 5-ka i wypadła 6-ka. Gdy określimy zdarzenie A w rzucie kostką jako wypadła parzysta liczby oczek, wówczas, zaś zdarzenie B jako wypadła liczba >3, wówczas itd. Zdarzenie elementarne, które należy do zbioru reprezentowanego przez zdarzenie nazywamy zdarzeniem sprzyjającym danemu zdarzeniu. I tak zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to wypadła 2-ka, wypadła 4-ka, wypadła 6-ka, zdarzenia sprzyjające zdarzeniu B to wypadła 4-ka, wypadła 5-ka, wypadła 6-ka. Zdarzenie nazywamy zdarzeniem pewnym jeśli zbiór zdarzeń sprzyjających jest równy. Zdarzenie nazywamy zdarzeniem niemożliwym jeśli zbiór zdarzeń sprzyjających jest pusty. Na przykład jeśli dla rzutu kostką określimy zdarzenie jako wypadła liczba oczek <7, wówczas będzie to zdarzenie pewne. Jeśli zaś określimy zdarzenie jako wypadła liczba oczek >6 wówczas będzie to zdarzenie niemożliwe. DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH Ponieważ zdarzenia są po prostu zbiorami możemy na nich wykonywać działania. I tak: to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A lub zajdzie zdarzenie B. to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i zajdzie zdarzenie B. to zdarzenie polegające na tym, że zajdzie zdarzenie A i nie zajdzie zdarzenie B. Zdarzenia A i B są rozłączne (wykluczają się) jeśli. Zdarzenia A i A' są przeciwstawne jeśli. Zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B jeśli. 3
Pojęcie prawdopodobieństwa Definicja aksjomatyczna. Prawdopodobieństwo P jest funkcją określoną na zbiorze zdarzeń losowych A, spełniającą 3 warunki: 1. 2. 3. jeśli Definicja klasyczna. Jeżeli składa sie z n jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A składającego sie z k zdarzeń elementarnych wyraża sie wzorem: Właśnie z tą definicją będziemy mieli do czynienia najczęściej. Własności prawdopodobieństwa Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na tym zbiorze. Wówczas: 1. 2. jeżeli to 3. dla każdego zachodzi nierówność 4. 5. Prawdopodobieństwo warunkowe Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na W wielu przypadkach, zajście zdarzenia B ma pewien wpływ na prawdopodobieństwa zdarzenia A. Zdarzenie A pod warunkiem, że B oznaczamy. Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B: Prawdopodobieństwo całkowite ( ) Jeżeli zdarzenia są parami wykluczające się czyli dla oraz dla wszystkich i, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi: Niezależność zdarzeń Zdarzenia A oraz B są niezależne jeżeli: ( ) ( ) Fakt ten równoważny jest zależnościom: ( ), ( ) 4
Twierdzenie Bayesa (prawdopodobieństwo przyczyny) Często stykamy się z zagadnieniami, w których znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn. Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy wzór Bayesa. Jeżeli zdarzenia są parami wykluczające się oraz dla wszystkich i, to dla każdego zdarzenia ( ) ( ) ( ) ( ) Ot z grubsza i wszystko co trzeba wiedzieć z rachunku prawdopodobieństwa. Lecz czymże by była teoria bez zastosowań praktycznych? Jak policzyć prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia. A oto przykłady ilustrujące powyższe suche wzory. PRZYKŁADY OBLICZANIA PRAWDOPODOBIEŃSTW Przykład 1. Wybieramy losowo jedną literę z wyrazu MATEMATYKA. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to litera M?. Rozwiązanie: Określmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. Liczy on 10 elementów, zatem. Zbiór zdarzeń sprzyjających Liczy on 2 elementy, zatem Czyli na mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzucamy trzema monetami. Podaj prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów. Nietrudno stwierdzić, że przestrzeń zdarzeń elementarnych. liczy 8 elementów. Zbiór zdarzeń sprzyjających liczy elementów 3 (orzeł może paść na sposoby). Czyli na mocy klasycznej definicji prawdopodobieństwa Przykład 3. Z talii 52 kart losujemy 9. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowano dokładnie 2 walety. Przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy elementów. Pozostaje policzyć liczbę elementów zbioru zdarzeń sprzyjających. W tym celu należy obliczyć na ile sposobów można wylosować 2 walety z 4 oraz na ile sposobów można wylosować 7 pozostałych kart, a następnie pomnożyć uzyskane wyniki. Zatem A liczy elementów. Zatem. Przykład 4 (niezależność zdarzeń). Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie A polega na wylosowaniu liczby o różnych cyfrach. Zdarzenie B polega na wylosowaniu liczby, której suma cyfr wynosi 6. Zbadaj niezależność zdarzeń A i B. Rozwiązanie: Doświadczenie polega na wylosowaniu jednej liczby spośród 90 liczb, ponieważ tyle jest liczb naturalnych dwucyfrowych, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy 90 elementów. Aby obliczyć liczbę elementów zbioru A (ile liczb naturalnych dwucyfrowych ma różne cyfry) należy od ilości wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych odjąć ilość liczb naturalnych dwucyfrowych o takich samych cyfrach. Jest ich 9: (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Tak więc prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb wynosi Liczby naturalne dwucyfrowe, których suma cyfr wynosi 6, to: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Jest ich 6, więc prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb wynosi Zdarzenie zajdzie, gdy wylosujemy liczbę naturalną dwucyfrową o różnych cyfrach i o sumie cyfr równej 6. Zdarzeniu temu sprzyjają następujące liczby: 15, 24, 42, 51, 60. Jest ich 5, więc prawdopodobieństwo wylosowania jednej z tych liczb wynosi Wniosek: zdarzenia nie są niezależnie gdyż Przykład 5 (prawdopodobieństwo całkowite). W urnie A znajduje się 6 białych i 4 czarne kule, a w urnie B 3 białe i 3 czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B, a następnie z urny B losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała. 5
Rozwiązanie: Z urny A do urny B można przełożyć 2 kule białe lub 2 kule czarne lub 1 kulę białą i 1 czarną. Od zestawu kul, które zostaną przełożone zależy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny B. Oznaczmy zdarzenia: - wylosowanie kuli białej z urny B, - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul białych, - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul czarnych, - przełożenie z urny A do urny B 1 kuli białej i 1 kuli czarnej, - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule białe, - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule czarne, - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 1 kulę białą i 1 kulę czarną. Zdarzenia B 1, B 2, B 3 spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym (są parami wykluczające się, oraz mają niezerowe prawdopodobieństwa). Zatem ( ) ( ) ( ) Policzmy zatem wszystkie te prawdopodobieństwa. Na początku przekładamy 2 kule z urny A. Mamy zatem możliwości przełożenia kul o dowolnych kolorach. Możliwości przełożenia 2 kul białych jest ( ) dwóch czarnych jest zaś 1 białej i 1 czarnej jest. Zatem, Podobnie można wyliczyć prawdopodobieństwa warunkowe. Pokażę to na przykładzie ( ). Prawdopodobieństwo wyciągnięcia białej kuli gdy przełożyliśmy 2 białe jest równe stosunkowi liczby kul białych (obecnie 5) do wszystkich kul (obecnie 8). Zatem ( ) ( ) ( ). Ostatecznie zatem Przykład 6 (wzór Bayesa). W każdej z trzech urn jest 20 losów, przy czym w pierwszej jest 8 losów wygrywających, w drugiej 10, a w trzeciej 16. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jeśli suma oczek jest mniejsza od 5, to losujemy jeden los z urny pierwszej, jeśli suma oczek jest równa 5, z urny drugiej, jeśli suma oczek jest większa od 5, z urny trzeciej. Jeśli w wyniku opisanego doświadczenia uzyskamy los wygrywający, to jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie on pochodził z urny 3? Rozwiązanie: Oznaczmy A zdarzenie los wygrywa, U 1 zdarzenie losujemy z urny 1, U 2 zdarzenie losujemy z urny 1, U 3 zdarzenie losujemy z urny 3. ( ) ( ) ( ) Zatem szukane prawdopodobieństwo to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6
Średnia arytmetyczna ELEMENTY STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ Średnia arytmetyczna n liczb (próby), to po prostu suma tych liczb podzielona przez n. Fakt ten zapisujemy bardziej naukowo: Średnia arytmetyczna ważona Średnia ważona liczb z których każda określona ma przypisaną nieujemną wagę wyraża się wzorem nieco bardziej złożonym: Mediana Uporządkujmy w ciąg n liczb w kolejności rosnącej. Medianą n liczb będziemy nazywali liczbę dzielącą ów ciąg na dwie części liczące tyle samo liczb. W przypadku gdy n jest parzyste mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch liczb środkowych. Przykład: medianą liczb 2, 4, 5, 8, 10 jest oczywiście 5, ale medianą liczb 3, 5, 10, 12 jest 7.5 (dlaczego?) Dominanta Dominanta to po prostu wartość występująca w próbie najczęściej. Oczywiście w zbiorze n liczb może być więcej niż jedna dominanta jeśli każda z tych liczb jest inna, dominantą jest każda z nich! Wariancja Wariancję liczb o wartości średniej obliczamy ze wzoru: ( ) ( ) Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe oznacza średnie odchylenie od średniej arytmetycznej. Odchylenie standardowe to po prostu pierwiastek z wariancji (teraz nie dziwi już ten kwadrat we wzorze. ( ) ( ) Zmienna losowa Zmienna losowa, to funkcja, która zdarzeniom losowym przypisuje liczby. Na przykład, losując z pewnej grupy jednego osobnika przypisujemy mu jego iloraz inteligencji IQ. Niech będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników dwukrotnego rzutu kostką zbiór ten składa się z 36 par postaci (i j) gdzie i j. Następujące funkcje są zmiennymi losowymi: "iloczyn liczby oczek wyrzuconej za pierwszym i drugim razem", "suma liczby oczek wyrzuconej za pierwszym i drugim razem, "liczba oczek wyrzuconych za pierwszym razem". 7
Rozkład zmiennej losowej Rozkład zmiennej losowej określa z jakim prawdopodobieństwem zmienna losowa przyjmuje poszczególne wartości. Przypuśćmy, że zmienna losowa X przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami Rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par. Wartość oczekiwana zmiennej losowej Jest to wartość określająca spodziewany wynik doświadczenia losowego. Jeśli mamy zmienną losową o danym rozkładzie (patrz wyżej) to jej wartość oczekiwana EX oblicza się ze wzoru: Wariancja zmiennej losowej 8 Wariancja to w statystyce miara zmienności. Wariancję Odchylenie standardowe zmiennej losowej ( ) Oznaczane, to po prostu pierwiastek kwadratowy z wariancji. ( ) obliczamy z wzoru: Na koniec przykłady, w końcu bez nich to wszystko to czarna magia. Przykład 1 (średnia ważona). Ponieważ obliczanie średniej arytmetycznej jest tak proste, że aż wstyd je przytaczać, obliczmy średnią ważoną. Zapytano trzy grupy osób o to jak długo spały w ciągu ostatniej nocy. Pierwsza grupa licząca 10 osób spała 6 godzin. Druga grupa licząca 20 osób spała 7 godzin, a trzecia licząca 15 osób spała 8 godzin. Aby uzyskać rzetelne informacje jaka jest średnia senność należy policzyć właśnie średnią ważoną. Wartości zmiennej to liczby przespanych godzin (6, 7, 8), wagi to liczby osób (10, 20, 15). Zatem Przykład 2 (odchylenie standardowe). Oceny z jakiegoś przedmiotu to 2, 5, 1, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen to 2,75. Przykład 3 (wartość oczekiwana zmiennej losowej). Rzucamy trzykrotnie monetą. Zmienną losową oznaczamy jako liczbę uzyskanych orłów. Określmy przestrzeń zdarzeń elementarnych. oznacza zmienną losową wyrażającą liczbę wyrzuconych orłów. W doświadczeniu można otrzymać 0, 1, 2 lub 3 orły. 0 orłów można wyrzucić na 1 sposób, 1 orła na 3 sposoby, 2 orły na 3 sposoby i 3 orły na 1 sposób. Zatem prawdopodobieństwa wyrzucenia 0, 1, 2, 3 orłów wynoszą odpowiednio. Zatem Wynik dziwny choć nie za bardzo Przykład 4 (rozkład, wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe zmiennej losowej). Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Niech oznacza zmienną losową wyrażającą sumę uzyskanych oczek. Wyznacz rozkład tej zmiennej, jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Rozwiązanie: Zmienna losowa może przyjmować wartości ze zbioru: Należy obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem uzyskuje się powyższe sumy oczek. przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy 36 elementów. Wypiszmy mozolnie zdarzenia sprzyjające dla poszczególnych sum. Sumie 2 sprzyja zdarzenie sumie 3 sprzyjają zdarzenia, sumie 4 sprzyjają zdarzenia, sumie 5 sprzyjają zdarzenia, sumie 6 sprzyjają zdarzenia, sumie 7 sprzyjają zdarzenia sumie 8 sprzyjają zdarzenia
sumie 9 sprzyjają zdarzenia, sumie 10 sprzyjają zdarzenia sumie 11 sprzyjają zdarzenia i wreszcie sumie 12 sprzyja zdarzenie. Oznaczmy jako prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie k oczek. Zatem,,,,,,,,,,. Rozkład zmiennej losowej jest następujący: { } Wartość oczekiwana rozważanej zmiennej wynosi: Wariancja rozważanej zmiennej wynosi: ( ) Odchylenie standardowe rozważanej zmiennej wynosi zatem: 9
ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Ile można utworzyć -kolorowych flag mając 7 kolorów? Flaga ma mieć pionowe identycznej szerokości pasy 2. W szafie jest różnych par butów Na ile sposobów można je założyć? 3. Na ile sposobów można wybrać trzy osobowa delegację z grupy osób? 4. Ile jest różnych liczb 4-cyfrowych? (oczywiście liczba z na początku nie jest 4-cyfrowa) 5. Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można ułożyć z wyrazu TOK? 6. Ile różnych wyrazów mających sens lub nie można ułożyć z wyrazu BABA? 7. Na ile sposobów z talii 52 kart można wybrać kart tak aby był wśród nich dokładnie jeden as? 8. Na ile sposobów można ustawić na półce sześć książek tak aby dwie wybrane książki stały obok siebie? 9. Spotkało się osób Ile nastąpi powitań? 10. Na turnieju szachowym (w systemie każdy z każdym) rozegrano 42 partie Ilu było graczy? 11. Pewien wielokąt ma w sumie boków i przekątnych Jaki to wielokąt? 12. Z talii liczącej 52 karty wyciągnięto jedną Jakie jest prawdopodobieństwo że jest to figura? 13. Rzucamy razy monetą Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia pod rząd identycznych stron. 14. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 7 oczek rzucając 2 kostkami do gry 15. Sześcian pomalowano a następnie pocięto na jednakowych sześcianików Oblicz prawdopodobieństwo że losowy sześcianik będzie miał pomalowane 2 ściany i prawdopodobieństwo że ściany 16. Rzucamy 2 kostkami. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie parzystej liczby oczek na każdej z kostek czy wyrzucenie co najmniej jednej szóstki? 17. Rzucono razy kostką Oblicz prawdopodobieństwo że wylosowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny. 18. Losujemy wierzchołki sześcianu Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania trójkąta równobocznego? 19. Losujemy 4 wierzchołki sześcianu Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania prostokąta? 20. Do windy na parterze wsiadły 4 osoby Oblicz prawdopodobieństwo że każda wysiądzie na innym piętrze jeśli dom ma 5 pięter 21. Z sześciu odcinków o długościach 5 7 9 wybieramy trzy Oblicz prawdopodobieństwo że uda się z nich zbudować trójkąt 22. W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne Losujemy dwie kule (jednocześnie) Oblicz prawdopodobieństwo że obie będą białe 23. 7 ponumerowanych kul wrzucono losowo do 7 ponumerowanych szuflad. Oblicz prawdopodobieństwo że każda kula trafi do innej szuflady 24. Spośród n różnych punktów prostej wybrano losowo dwa punkty Jakie jest prawdopodobieństwo że nie są to punkty sąsiednie? 25. *W szafie jest 5 par butów Wyciągamy losowo 4 buty Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia że nie wyciągniemy ani jednej pary 10