Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów Matematyka Studia pierwszego stopnia Studia stacjonarne (5) Rodzaj podstawowy (6) Rok i semestr studiów I rok, I i II semestr (7) Imię i nazwisko koordynatora dr Renata Jurasińska (8) Imię i nazwisko osoby prowadzącej ( osób prowadzących) zajęcia z dr Renata Jurasińska wykład, mgr Krystyna Marzec, mgr Małgorzata Chudziak, mgr Barbara Sobek ćwiczenia audytoryjne (9) Cele zajęć z 1. Zapoznanie z podstawowymi pojęciami algebry liniowej. 2. Zapoznanie z podstawowymi pojęciami geometrii analitycznej. 3. Zapoznanie z podstawowymi metodami dowodowymi stosowanymi w algebrze liniowej i geometrii analitycznej.. Zapoznanie z podstawowymi technikami obliczeniowymi stosowanymi w algebrze liniowej i geometrii analitycznej. (10) Wymagania wstępne Wiadomości szkolne. (11) Efekty kształcenia Wiedza: - definiuje klasyczne pojęcia i formułuje podstawowe twierdzenia z zakresu algebry liniowej i geometrii analitycznej - posiada wiedzę dotyczącą metod dowodowych stosowanych w algebrze liniowej i geometrii analitycznej - posiada wiedzę dotyczącą technik obliczeniowych stosowanych w algebrze liniowej i geometrii analitycznej Umiejętności: - posługuje się pojęciami: grupy, ciała, przestrzeni liniowej, wektora, macierzy, przekształcenia liniowego, prostej i płaszczyzny, krzywej stożkowej, powierzchni obrotowej - potrafi wykonywać działania na liczbach zespolonych (w różnych postaciach) oraz interpretować różne zbiory liczb zespolonych - rozwiązuje równania w zbiorze liczb zespolonych - umie obliczać wyznaczniki i zna ich własności 1
- rozwiązuje układy równań liniowych o stałych współczynnikach, potrafi posłużyć się geometryczną interpretacją rozwiązań - znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach - oblicza wartości własne i wektory własne macierzy, potrafi wyjaśnić geometryczny sens tych pojęć - potrafi napisać różne równania prostych i płaszczyzn oraz badać ich wzajemne położenie - zna własności krzywych stożkowych i stosuje je w rozwiązywaniu zadań - potrafi napisać równania powierzchni obrotowych Kompetencje społeczne: - samodzielnie wyszukuje informacje w literaturze i właściwie je stosuje - potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień algebry liniowej i geometrii analitycznej, znajduje ich zastosowanie w życiu codziennym, - zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia - znajduje swoje miejsce w grupie (12) Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin Wykład 30 godzin w semestrze I i 30 godzin w semestrze II Ćwiczenia audytoryjne 30 godzin w semestrze I i 30 godzin w semestrze II A. Problematyka wykładu (13) Treści programowe Treści merytoryczne Działania: podstawowe własności i przykłady. Struktury algebraiczne i homomorfizmy: przegląd podstawowych struktur algebraicznych: grupy, ciała, homomorfizmy grup. Ciało liczb zespolonych: postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej, działania na liczbach zespolonych, wzór de Moivre a, pierwiastki z liczby zespolonej, interpretacje geometryczne zbiorów liczb zespolonych. Przestrzenie liniowe: kombinacja liniowa wektorów, liniowa zależność i niezależność wektorów, baza przestrzeni liniowej, wymiar przestrzeni liniowej, podprzestrzeń liniowa, suma prosta podprzestrzeni liniowych, przestrzeń ilorazowa. Macierze: podstawowe pojęcia, różne typy macierzy, działania na macierzach. Wyznacznik macierzy kwadratowej: definicja wyznacznika, własności wyznaczników, metody obliczania wyznaczników, wzór Laplace a, macierz odwrotna, minory i rząd macierzy. Liczba godzin 6 8 2
Układy równań liniowych: twierdzenie Kroneckera-Capellego, ogólna postać rozwiązań układu równań liniowych, badanie układu równań, wzory Cramera. Odwzorowania liniowe: definicja odwzorowania liniowego, jądro 8 i obraz odwzorowania liniowego, rząd odwzorowania liniowego, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm. Reprezentacja macierzowa odwzorowania liniowego. Mnożenie macierzy a składanie odwzorowań liniowych. Macierz przejścia, macierz odwzorowania liniowego po zmianie bazy. Endomorfizmy: wartość własna i wektor własny endomorfizmu, 2 wielomian charakterystyczny. Formy kwadratowe: odwzorowanie dwuliniowe, macierz i rząd 3 odwzorowania dwuliniowego, twierdzenie Lagrange a i Sylvestera, diagonalizacja formy kwadratowej. Euklidesowe przestrzenie wektorowe: iloczyn skalarny, norma 3 wyznaczona przez iloczyn skalarny, nierówność Schwarza, baza ortonormalna, macierz ortogonalna. Wektory: działania na wektorach w R 3 : dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy. Geometria analityczna w R 2 : Prosta na płaszczyźnie. Definicje 5 i równania krzywych stożkowych. Geometria analityczna w R 3 : Prosta i płaszczyzna w przestrzeni. 5 Powierzchnie obrotowe w R 3 (walce, stożki, hiperboloidy, paraboloidy). Suma godzin 60 B. Problematyka ćwiczeń Gaudytoryjnych Treści merytoryczne Liczba godzin Działania: badanie własności działań. 1 Struktury algebraiczne i homomorfizmy: sprawdzanie, czy struktura 3 algebraiczna jest grupą, ciałem; sprawdzanie, czy funkcja jest homomorfizmem grup, wyznaczania jądra i obrazu homomorfizmu. Ciało liczb zespolonych: postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza liczby zespolonej, działania na liczbach zespolonych w różnych postaciach, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Ciało liczb zespolonych interpretacje geometryczne zbiorów liczb 2 zespolonych, rozwiązywanie równań w zbiorze liczb zespolonych. Przestrzenie liniowe: badanie liniowej zależności i niezależności 2 wektorów. Przestrzenie liniowe: wyznaczania bazy przestrzeni liniowej; wyznaczanie współrzędnych wektora w bazie, wyznaczanie wymiaru przestrzeni liniowej. Przestrzenie liniowe: podprzestrzeń liniowa. 2 Macierze: działania na macierzach. 2 Wyznacznik macierzy kwadratowej: obliczanie wyznaczników 2 z wykorzystaniem ich własności. Macierz odwrotna: wyznaczania macierzy odwrotnej do danej 2 macierzy z definicji i z wykorzystaniem wzoru. Rząd macierzy: wyznaczanie rzędu macierzy. 2 3
Układy równań liniowych: badanie niesprzeczności układu równań liniowych z wykorzystaniem twierdzenia Kroneckera-Capellego, rozwiązywanie różnych układów równań, układ i wzory Cramera, wykorzystanie macierzy odwrotnej w rozwiązywaniu układów Cramera. Odwzorowania liniowe: sprawdzanie liniowości odwzorowania, 2 wyznaczania jądra i obrazu odwzorowania liniowego. Macierz odwzorowanie liniowego: wyznaczanie macierzy 2 odwzorowania w różnych bazach, wyznaczania i wykorzystywanie reprezentacji macierzowej odwzorowanie liniowego. Działania na odwzorowaniach liniowych: dodawanie, mnożenie przez 2 skalar, składanie; związek z macierzami odwzorowań. Macierz odwzorowania po zmianie bazy, macierz przejścia. 2 Endomorfizmy: wartość własna i wektor własny endomorfizmu, 2 wielomian charakterystyczny. Formy kwadratowe: sprawdzanie dwuliniowości odwzorowania, 3 wyznaczanie macierzy i rzędu odwzorowania dwuliniowego, przedstawianie formy kwadratowej w postaci diagonalnej. Euklidesowe przestrzenie wektorowe: badanie i wykorzystywanie 3 własności iloczynu skalarnego, obliczanie normy wyznaczonej przez iloczyn skalarny, zastosowanie nierówności Schwarza, sprawdzanie ortogonalności macierzy. Wektory: dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar, iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy w R 3 ; zastosowanie działań na wektorach do rozwiązywania zadań. Geometria analityczna w R 2 : Prosta na płaszczyźnie, różne rodzaje 2 równań prostych, wzajemne położenie prostych. Geometria analityczna w R 2 : Definicje i równania krzywych 3 stożkowych, własności krzywych stożkowych, styczne do krzywych stożkowych. Geometria analityczna w R 3 : Prosta i płaszczyzna w przestrzeni, różne 3 rodzaje równań, badanie wzajemnego położenia dwóch prostych, prostej i płaszczyzny, dwóch płaszczyzn. Symetria osiowa i płaszczyznowa. Geometria analityczna w R 3 : Powierzchnie obrotowe w R 3 (walce, 2 stożki, hiperboloidy, paraboloidy) równania i własności. Suma godzin 60 (1) Metody dydaktyczne Wykład, rozwiązywanie zadań. (15) Sposób(y) i forma(y) zaliczenia (16) Metody i kryteria oceny Ćwiczenia: zaliczenie na ocenę na podstawie sprawdzianów pisemnych w każdym semestrze oraz aktywności na zajęciach. Egzamin: część pisemna - zadaniowa i część ustna teoretyczna.
(17) Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS (18) Język wykładowy polski (19) Praktyki zawodowe w ramach nie dotyczy Aktywność Nakład pracy studenta w godz. I semestr wykład 30 ćwiczenia 30 udział w konsultacjach 6 przygotowanie do kolokwiów 15 przygotowanie do ćwiczeń 5 przygotowanie do egzaminu 20 udział w egzaminie SUMA GODZIN 150 LICZBA PUNKTÓW ECTS 6 II semestr wykład 30 ćwiczenia 30 udział w konsultacjach 6 przygotowanie do kolokwiów 15 przygotowanie do ćwiczeń 5 przygotowanie do egzaminu 20 udział w egzaminie SUMA GODZIN 150 LICZBA PUNKTÓW ECTS 6 5