Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
Zmienna losowa i jej rozkład Statystyka matematyczna
Podstawowe pojęcia Zmienna losowa (skokowa, ciągła) Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta rozkładu dla zmiennej skokowej i ciągłej, funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej ciągłej Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej skokowej i ciągłej
Rozkład teoretyczny punktowy rozkład teoretyczny punktowy tworzymy dla zmiennej skokowej
Rozkład teoretyczny przedziałowy rozkład teoretyczny przedziałowy tworzymy dla zmiennej ciągłej
Parametry rozkładów zmiennych losowych skokowych Wartość oczekiwana Wariancja E( X ) xi pi m pi P X xi i 2 2 2 i i E X E X 2 2 D X x m p i Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności D X D 2 X 2 ( ) D X 100% V X E X m 100%
Parametry rozkładów zmiennych losowych ciągłych Wartość oczekiwana Wariancja E X x f x dx m 2 2 2 2 2 D X x m f x dx E X E X Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności D X D 2 X 2 ( ) D X 100% V X E X m 100%
Zadanie 1 Dla zmiennej losowej przedstawiającej liczbę bramek strzelonych w poszczególnych meczach piłki nożnej w lidze Ekstraklasy rundy jesiennej 2008/2009 przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik zmienności). Plik o nazwie ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu
Rozwiązanie
Zadanie 2 Dla zmiennej losowej przedstawiającej wyniki ankiet odnośnie miesięcznych wydatków na środki pielęgnacyjne kobiet w wieku 20-40 lat przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik zmienności). Plik miesięczne wydatki kobiet na waciki
Rozwiązanie
Rozkłady zmiennych losowych skokowych zero-jedynkowy dwumianowy Bernoulliego Poissona hipergeometryczny ciągłych jednostajny normalny Gaussa chi kwadrat Abbego Studenta
Rozkład Bernoulliego
Zadanie 1 W pomieszczeniu sypialnym domownicy zlokalizowali 10 osobników Culex pipiens (komary). Zastosowano środek owadobójczy o skuteczności 90%. Niech zmienną losową będzie ilość owadów, które przeżyły po zastosowaniu w pomieszczeniu preparatu. Określ parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń: a) żaden owad nie przeżyje b) wszystkie owady przeżyją c) dokładnie jeden owad przeżyje d) co najwyżej 3 owady przeżyją e) co najmniej 2 owady przeżyją
Rozwiązanie
Rozkład Poissona
Przykład W pewnej firmie po analizie danych historycznych stwierdzono, że w procesie produkcyjnym występują dziennie, średnio 3,84 wadliwe produkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybranych dniu liczba wadliwych produktów wyniesie 5?
Rozkład geometryczny
Przykład Prawdopodobieństwo znalezienia wadliwego produktu wynosi 0,01. Oblicz prawdopodobieństwo, że podczas kontroli dopiero 70-ta sprawdzona sztuka będzie wadliwa oraz prawdopodobieństwo, że musi być sprawdzone ponad 50 sztuk by wykryć pierwszą wadliwą sztukę.
Rozkład normalny Przykłady zmiennych charakteryzujące się rozkładem normalnym wzrost waga poziom IQ temperatura ciała średnia roczna temperatura Przykłady zmiennych, których rozkład nie jest normalny prędkość wiatru długość ciąży kobiet długość dzioba zięby afrykańskiej dobowa temperatura w okresie zimowym
Rozkład normalny
Rozkład normalny standardowy
Rozkład normalny
Zadanie 2 Ciężar jajek dostarczanych do skupu ma rozkład normalny ze średnią 2 dag i wariancją 0,1. Jajko kwalifikuję się do odpowiedniej klasy w zależności od masy co przedstawia poniższe zestawienie: klasa S klasa M klasa L klasa XL masa <= 1,5 dag 1,5 dag < masa <= 2,1 dag 2,1 dag< masa <= 2,7 dag masa > 2,7 dag Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz jaki procent jajek dostarczonych do skupu to jajka klasy a) S, b) M, c) L, d) XL.
Rozwiązanie Statistica 8.0 statystyka - kalkulator prawdopodobieństw
Zadanie 3 Wzrost dzieci w pewnej grupie przedszkolnej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 105 cm i wariancji 400. Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz na następujące pytania. Jaki procent dzieci to te wzroście: a) mniejszym niż 92 cm b) większym niż 120 cm c) większym niż 100 cm ale mniejszym niż 115 cm
Rozwiązanie
Zadanie 4 Pewne urządzenie produkuje kostki masła. Zakładamy, że masa wyprodukowanego produktu ma rozkład normalny o średniej 250 g i odchyleniu standardowym 5g. Prawdopodobieństwo tego, że kostka masła przekroczy masę M wynosi 0,05 zaś będzie poniżej masy m wynosi 0,13. Oblicz masy M, m. M = 258,22426 m = 244,36804
Rozkład wykładniczy
Przykład Linia produkcyjna średnio 2 razy wciągu miesiąca jest zatrzymywana z powodu awarii. Oblicz prawdopodobieństwo, że linia produkcyjna zostanie zatrzymana ponownie: a) później niż 15 miesięcy b) wcześniej niż 20 miesięcy c) zatrzymana będzie nie wcześniej niż za 10 i nie później niż za 15 miesięcy