Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska. Statystyka Mariusz Kaszubowski

Podobne dokumenty
Lean Six Sigma Black Belt

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Z poprzedniego wykładu

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Rozkłady zmiennych losowych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X

Rozkłady zmiennych losowych

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

Statystyka matematyczna

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

1.1 Wstęp Literatura... 1

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Statystyka opisowa. Robert Pietrzykowski.

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Probabilistyka I Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Prawdopodobieństwo Odp. Odp. 6 Odp. 1/6 Odp. 1/3. Odp. 0, 75.

Opis przedmiotu: Probabilistyka I

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

dr Jerzy Pusz, st. wykładowca, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Rozkłady statystyk z próby

Statystyka matematyczna

Statystyka. Zadanie 1.

Rachunek prawdopodobieństwa WZ-ST1-AG--16/17Z-RACH. Liczba godzin stacjonarne: Wykłady: 15 Ćwiczenia: 30. niestacjonarne: Wykłady: 9 Ćwiczenia: 18

Zmienne losowe zadania na sprawdzian

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Przestrzeń probabilistyczna

Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

Dyskretne zmienne losowe

STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Jednowymiarowa zmienna losowa

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Rozkłady statystyk z próby. Statystyka

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Recenzenci: prof. dr hab. Henryk Domański dr hab. Jarosław Górniak

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Matematyka 2. dr inż. Rajmund Stasiewicz

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Modelowanie systemów liczacych. Ćwiczenie 2.

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Zmienne losowe skokowe

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

LABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka matematyczna i ekonometria

Zmienne losowe dyskretne i Zmienne losowe ciągłe Rozkład Normalny

Zmienne losowe. Statystyka w 3

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Rozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26

Prawdopodobieństwo i statystyka

PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Teoria Estymacji. Do Powyżej

Przykłady do zadania 3.1 :

Statystyczna analiza danych

SIMR 2017/18, Statystyka, Przykładowe zadania do kolokwium - Rozwiązania

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Zmienna losowa i jej rozkład

4.Zmienne losowe X 1, X 2,..., X 100 są niezależne i mają rozkład wykładniczy z α = 0.25 Jakie jest prawdopodobieństwo, że 1

STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1

PROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41

Metody statystyczne w socjologii SYLABUS A. Informacje ogólne Opis

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Transkrypt:

Mariusz Kaszubowski Katedra Statystyki Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

Zmienna losowa i jej rozkład Statystyka matematyczna

Podstawowe pojęcia Zmienna losowa (skokowa, ciągła) Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta rozkładu dla zmiennej skokowej i ciągłej, funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej ciągłej Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej skokowej i ciągłej

Rozkład teoretyczny punktowy rozkład teoretyczny punktowy tworzymy dla zmiennej skokowej

Rozkład teoretyczny przedziałowy rozkład teoretyczny przedziałowy tworzymy dla zmiennej ciągłej

Parametry rozkładów zmiennych losowych skokowych Wartość oczekiwana Wariancja E( X ) xi pi m pi P X xi i 2 2 2 i i E X E X 2 2 D X x m p i Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności D X D 2 X 2 ( ) D X 100% V X E X m 100%

Parametry rozkładów zmiennych losowych ciągłych Wartość oczekiwana Wariancja E X x f x dx m 2 2 2 2 2 D X x m f x dx E X E X Odchylenie standardowe Współczynnik zmienności D X D 2 X 2 ( ) D X 100% V X E X m 100%

Zadanie 1 Dla zmiennej losowej przedstawiającej liczbę bramek strzelonych w poszczególnych meczach piłki nożnej w lidze Ekstraklasy rundy jesiennej 2008/2009 przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik zmienności). Plik o nazwie ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu

Rozwiązanie

Zadanie 2 Dla zmiennej losowej przedstawiającej wyniki ankiet odnośnie miesięcznych wydatków na środki pielęgnacyjne kobiet w wieku 20-40 lat przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz współczynnik zmienności). Plik miesięczne wydatki kobiet na waciki

Rozwiązanie

Rozkłady zmiennych losowych skokowych zero-jedynkowy dwumianowy Bernoulliego Poissona hipergeometryczny ciągłych jednostajny normalny Gaussa chi kwadrat Abbego Studenta

Rozkład Bernoulliego

Zadanie 1 W pomieszczeniu sypialnym domownicy zlokalizowali 10 osobników Culex pipiens (komary). Zastosowano środek owadobójczy o skuteczności 90%. Niech zmienną losową będzie ilość owadów, które przeżyły po zastosowaniu w pomieszczeniu preparatu. Określ parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń: a) żaden owad nie przeżyje b) wszystkie owady przeżyją c) dokładnie jeden owad przeżyje d) co najwyżej 3 owady przeżyją e) co najmniej 2 owady przeżyją

Rozwiązanie

Rozkład Poissona

Przykład W pewnej firmie po analizie danych historycznych stwierdzono, że w procesie produkcyjnym występują dziennie, średnio 3,84 wadliwe produkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybranych dniu liczba wadliwych produktów wyniesie 5?

Rozkład geometryczny

Przykład Prawdopodobieństwo znalezienia wadliwego produktu wynosi 0,01. Oblicz prawdopodobieństwo, że podczas kontroli dopiero 70-ta sprawdzona sztuka będzie wadliwa oraz prawdopodobieństwo, że musi być sprawdzone ponad 50 sztuk by wykryć pierwszą wadliwą sztukę.

Rozkład normalny Przykłady zmiennych charakteryzujące się rozkładem normalnym wzrost waga poziom IQ temperatura ciała średnia roczna temperatura Przykłady zmiennych, których rozkład nie jest normalny prędkość wiatru długość ciąży kobiet długość dzioba zięby afrykańskiej dobowa temperatura w okresie zimowym

Rozkład normalny

Rozkład normalny standardowy

Rozkład normalny

Zadanie 2 Ciężar jajek dostarczanych do skupu ma rozkład normalny ze średnią 2 dag i wariancją 0,1. Jajko kwalifikuję się do odpowiedniej klasy w zależności od masy co przedstawia poniższe zestawienie: klasa S klasa M klasa L klasa XL masa <= 1,5 dag 1,5 dag < masa <= 2,1 dag 2,1 dag< masa <= 2,7 dag masa > 2,7 dag Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz jaki procent jajek dostarczonych do skupu to jajka klasy a) S, b) M, c) L, d) XL.

Rozwiązanie Statistica 8.0 statystyka - kalkulator prawdopodobieństw

Zadanie 3 Wzrost dzieci w pewnej grupie przedszkolnej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wartości średniej 105 cm i wariancji 400. Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz na następujące pytania. Jaki procent dzieci to te wzroście: a) mniejszym niż 92 cm b) większym niż 120 cm c) większym niż 100 cm ale mniejszym niż 115 cm

Rozwiązanie

Zadanie 4 Pewne urządzenie produkuje kostki masła. Zakładamy, że masa wyprodukowanego produktu ma rozkład normalny o średniej 250 g i odchyleniu standardowym 5g. Prawdopodobieństwo tego, że kostka masła przekroczy masę M wynosi 0,05 zaś będzie poniżej masy m wynosi 0,13. Oblicz masy M, m. M = 258,22426 m = 244,36804

Rozkład wykładniczy

Przykład Linia produkcyjna średnio 2 razy wciągu miesiąca jest zatrzymywana z powodu awarii. Oblicz prawdopodobieństwo, że linia produkcyjna zostanie zatrzymana ponownie: a) później niż 15 miesięcy b) wcześniej niż 20 miesięcy c) zatrzymana będzie nie wcześniej niż za 10 i nie później niż za 15 miesięcy