Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania jak kształtują się ceny rynkowe samochodów średniej klasy [w zł] w zależności od ich wieku [w latach] wybrał losowo 13 ofert. Dane dotyczące ceny i wieku samochodu przedstawia tabela poniżej: Wiek 12 9 10 6 8 4 8 7 5 6 3 1 1 Cena 10,5 14,6 11,8 21,3 11,9 35,2 20,8 25,0 27,6 32,6 36,4 42,9 38,7 Na podstawie posiadanych informacji: a) wprowadzić dane do programu Gretl, b) dokonać estymacji parametrów modelu yt 0 1xt t, Parametr Wartość Błąd standardowy a 0 a 1 Oszacowany model ma postać: yˆ t... c) podać interpretację parametru a 1 i dokonać jego oceny merytorycznej, Interpretacja parametru a 1 : Ocena merytoryczna parametru a 1 : Interpretacja standardowego błędu szacunku parametru a 1 S(a 1 ): 1
d) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej, współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji, e) przyjmując krytyczną wartość współczynnika determinacji 2* R 0,90 zbadać zgodność otrzymanego modelu z danymi empirycznymi, f) przyjmując krytyczną współczynnika zmienności losowej otrzymanego modelu, * V 10% zbadać wyrazistość g) podać interpretację wyników, Interpretacja Odchylenie standardowe reszt wynosi. Oznacza to, że teoretyczne ceny samochodów wyznaczone na podstawie modelu różnią się od wartości empirycznych średnio o tys. zł. Odchylenie standardowe reszt stanowi % średniej ceny samochodów. Świadczy to o. zmienności resztowej. Zmienność ceny samochodów została w % wyjaśniona przez ich wiek, natomiast nie została wyjaśniona w %. h) zbadać istotność parametru strukturalnego α 1, I. Sformułowanie hipotez statystycznych: H 0 : [α 1 =0] wiek samochodu nie miał istotnego wpływu na jego cenę H 1 : [α 1 0] wiek samochodu miał istotny wpływ na jego cenę II. Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p: Ustalamy poziom istotności = a następnie odczytujemy wartość komputerowego poziomu istotności p 2
III. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej: 24. W pliku test.gdt znajdują się dane dotyczące kształtowania się wyników testu z matematyki w zależności od ilorazu inteligencji w próbie złożonej z 19 uczniów. Na podstawie posiadanych informacji: a) dokonać estymacji parametrów modelu liniowego yt 0 1xt t, Parametr Wartość Błąd standardowy a 0 a 1 Oszacowany model ma postać: yˆ t... b) podać interpretację parametru a 1 i dokonać jego oceny merytorycznej, Interpretacja parametru a 1 : Ocena merytoryczna parametru a 1 : Interpretacja standardowego błędu szacunku parametru a 1 S(a 1 ): c) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej, współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji, 3
d) ustalić krytyczną wartość współczynnika determinacji tego modelu z danymi empirycznymi, 2* R, a następnie zbadać zgodność e) ustalić krytyczną współczynnika zmienności losowej modelu ekonometrycznego, * V, a następnie zbadać wyrazistość f) podać interpretację wyników, Interpretacja g) zbadać istotność parametru strukturalnego α 1, I. Sformułowanie hipotez statystycznych: H 0 : [α 1 =0]... H 1 : [α 1 0]... I. Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p: Ustalamy poziom istotności = a następnie odczytujemy wartość komputerowego poziomu istotności p II. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej: 4
3.2. Estymacja parametrów i ocena dopasowania liniowych funkcji trendu 25. W poniższej tabeli znajdują się dane dotyczące kształtowania się liczby wypadków drogowych w Polsce w latach 1998 2006. Rok 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Liczba wypadków 61588 55106 57331 53799 53559 51078 51069 48100 47120 Na podstawie posiadanych informacji: a) wprowadzić dane do programu Gretl, b) dokonać estymacji i interpretacji parametrów liniowej funkcji trendu yt 0 1t t, Parametr Wartość Błąd standardowy a 0 a 1 Oszacowana funkcja trendu ma postać: Interpretacja parametru a 1 : yˆ t... c) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej, współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji, d) przyjmując krytyczną wartość współczynnika determinacji 2* R 0,90 zbadać zgodność otrzymanej funkcji trendu z danymi empirycznymi, 5
e) przyjmując krytyczną współczynnika zmienności losowej otrzymanej funkcji trendu, * V 10% zbadać wyrazistość f) podać interpretację wyników, Interpretacja Zaobserwowana liczba wypadków drogowych w Polsce w latach 1998 2006 różni się przeciętnie (w sensie oceny odchylenia standardowego składnika resztowego) o wypadków od teoretycznych wartości tej zmiennej, wynikających z oszacowanej funkcji trendu. Udział odchylenia standardowego składnika resztowego w przeciętnej liczbie wypadków drogowych w Polsce w latach 1998 2006 wyniósł. Świadczy to o. zmienności resztowej. Zmienność analizowanej liczby wypadków drogowych a została wytłumaczona trendem liniowym, natomiast nie została wyjaśniona w. g) zbadać istotność parametru strukturalnego α 1, I. Sformułowanie hipotez statystycznych: H 0 : [α 1 =0] zmienna czasowa nie miała istotnego wpływu na liczbę wypadków H 1 : [α 1 0] zmienna czasowa miała istotny wpływ na liczbę wypadków II. Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p: Ustalamy poziom istotności = a następnie odczytujemy wartość komputerowego poziomu istotności p III. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej: 26. W pliku studenci.gdt znajdują się dane dotyczące kształtowania się liczby studentów w Polsce w latach 1998 2006. Na podstawie posiadanych informacji: a) dokonać estymacji i interpretacji parametrów liniowej funkcji trendu yt 0 1t t, Parametr Wartość Błąd standardowy a 0 6
a 1 Oszacowana funkcja trendu ma postać: Interpretacja parametru a 1 : yˆ t... b) wyznaczyć wartości odchylenia standardowego reszt, współczynnika zmienności losowej, współczynnika zbieżności, współczynnika determinacji, c) ustalić krytyczną wartość współczynnika determinacji otrzymanej liniowej funkcji trendu z danymi empirycznymi, 2* R, a następnie zbadać zgodność d) ustalić krytyczną współczynnika zmienności losowej funkcji trendu, * V, a następnie zbadać otrzymanej e) podać interpretację wyników, Interpretacja 7
b) zbadać istotność parametru strukturalnego α 1, I. Sformułowanie hipotez statystycznych: H 0 : [α 1 =0]... H 1 : [α 1 0]... II. Ustalenie poziomu istotności i odczytanie komputerowego poziomu istotności p: Ustalamy poziom istotności = a następnie odczytujemy wartość komputerowego poziomu istotności p III. Podjęcie decyzji weryfikacyjnej: 8