trójkąta ABC. Wykazać, że te proste zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR.

1. W trójkącie ABC boki AB i BC są różnej długości. Wykazać, że punkt przecięcia dwusiecznej kąta przy wierzchołku B i symetralnej boku AC należy do okręgu opisanego na trójkącie ABC. 2. Pięciokąt ABCDE jest wpisany w okrąg. Wykazać, że dwusieczne kątów ACB, ADB i AEB przecinają się w jednym punkcie. 3. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg, a jego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Wykazać, że <) AFB + <) CED = <) APB. 4. Sześciokąt ABCDEF jest wpisany w okrąg, półproste BC i AD przecinają się w punkcie P. Wykazać, że <) AFB <) CED = <) APB. 5. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trapezie ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie E. Wykazać, że <) CEB <) CSB. 6. Trójkąty ostrokątne ABC i PQR są wpisane w okrąg o. Proste AP, BQ i CR zawierają wysokości trójkąta ABC. Wykazać, że te proste zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR. 7. Trójkąty ostrokątne ABC i PQR są wpisane w okrąg o. Proste AP, BQ i CR zawierają dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta PQR. Wykazać, że te proste zawierają wysokości trójkąta ABC. 8. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, a odcinek AD jest wysokością tego trójkąta. Wykazać, że <) BAD <) SAC. 9. Czworokąt ABDC jest wpisany w okrąg. Łuk AD (do którego nie należy B) i łuk BC (do którego nie należy A) są przystające. Wykazać, że odcinek AB jest równoległy do odcinka CD 10. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Odcinek AB jest równoległy do odcinka CD. Wykazać, że łuk AD (do którego nie należy B) i łuk BC (do którego nie należy A) są przystające. 11. Okrąg o jest opisany na trójkącie ABC. Prosta k, przechodząca przez C, jest styczna do okręgu o i k AB. Wykazać, że CA = CB. 12. Okrąg o jest opisany na trójkącie ABC. Prosta k, przechodząca przez C, jest styczna do okręgu o i CA = CB. Wykazać, że k AB. 13. Czworokąty ABCD i PQRS są wpisane w ten sam okrąg i AB PQ, BC QR, CD RS. Wykazać, że DA SP. 14. Dwa czworokąty o bokach odpowiednio równoległych są wpisane w ten sam okrąg. Wykazać, że przekątne jednego z tych czworokątów są równe odpowiednim przekątnym drugiego czworokąta. 15. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AML, BKM, CLK leżą na okręgu wpisanym w trójkąt ABC.

16. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Półprosta AS przecina okrąg opisany na ABC w punkcie D. Wykazać, że DB = DS. 17. Punkty A i B należą do okręgu o. Znaleźć zbiór środków okręgów wpisanych w takie trójkąty ABP, że punkt P należy do okręgu o. 18. Dany jest okrąg o, punkty A i B należące do tego okręgu oraz odcinek długości r. Wpisać w okrąg o taki trójkąt ABC, by promień okręgu wpisanego w ten trójkąt miał długość r. 19. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BCS. Wykazać, że punkty A, S, D są współliniowe.

20. Dany jest trójkąt ABC. Wykazać, że okręgi o średnicach AB i AC przecinają się na prostej BC. 21. Wykazać, że obraz ortocentrum trójkąta ABC przy symetrii względem prostej AB należy do okręgu opisanego na trójkącie ABC (rozważyć różne przypadki). 22. Punkt H jest ortocentrum trójkąta ABC. Wykazać, że okręgi opisane na trójkątach ABH, BCH i CAH są przystające. 23. Punkty P, Q, i należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC. Okręgi opisane na trójkątach BPR i CPQ przecinają się w punktach P i S. Wykazać, że na czworokącie ARSQ można opisać okrąg. 24. Środkowe AD, BE i CF trójkąta ABC przecinają się w punkcie S. Na każdym z czworokątów AFSE i BDSF można opisać okrąg. Wykazać, że trójkąt ABC jest równoboczny. 25. Kąt B trójkąta ABC jest równy 60. Dwusieczne AD i CE przecinają się w punkcie M. Wykazać, że MD = ME. 26. Odcinki AB i CD są średnicami okręgu o, a punkt M należy do tego okręgu. Punkty P i R są rzutami prostokątnymi punktu M na proste AB i CD. Wykazać, że przy ustalonych średnicach AB i CD długość odcinka PR nie zależy od wyboru punktu M. 27. Punkty P, Q, R, S leżą odpowiednio na bokach AB, BC, CD, DA czworokąta wypukłego ABCD. Odcinki PR i QS dzielą czworokąt ABCD na cztery czworokąty. Wykazać, że jeśli na trzech spośród tych czterech czworokątów można opisać okręgi, to: (a) także na czwartym czworokącie można opisać okrąg, (b)abcd jest równoległobokiem. 28. Dany jest okrąg o i punkt A. Znaleźć zbiór środków cięciw okręgu o, wyznaczonych przez proste przechodzące przez punkt A. 29. Podzielić kwadrat na trójkąty ostrokątne (im mniej trójkątów, tym lepszy wynik). Jaka jest najmniejsza liczba takich trójkątów? 30. Dane są punkty B i C, kąt oraz odcinek długości h. Skonstruować taki trójkąt ABC, aby <) CAB =, a wysokość poprowadzona z wierzchołka A miała długość h. 31. Dana jest prosta k oraz okręgi o 1 i o 2, leżące po tej samej stronie prostej k i styczne do niej odpowiednio w punktach A i B. Dany jest też kąt. Skonstruować taki punkt S należący do odcinka AB, aby suma kątów, pod jakimi widać z punktu S okręgi o 1 i o 2, była równa.

32. Wykazać, że w czworokącie wypukłym suma przekątnych jest większa od sumy dwóch boków przeciwległych. 33. Punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej k. Znaleźć taki punkt P, należący do prostej k, by suma PA + PB była najmniejsza. 34. Punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej k. Znaleźć taki punkt P, należący do prostej k, by wartość wyrażenia PA PB była największa. 35. Punkt P należy do wnętrza trójkąta ABC. Wykazać, że AP + BP < AC + BC. 36. Czworokąt wypukły c 1 jest zawarty w czworokącie wypukłym c 2. a) Wykazać, że obwód czworokąta c 1 jest mniejszy od obwodu czworokąta c 2. b) Czy suma przekątnych i obwodu czworokąta c 1 musi być mniejsza od sumy przekątnych i obwodu czworokąta c 2? 37. Czworościan c 1 jest zawarty w czworościanie c 2. Czy suma wszystkich krawędzi czworościanu c 1 musi być mniejsza od sumy krawędzi czworościanu c 2? 38. Suma przekątnych czworokąta wypukłego jest równa s, a jego obwód jest równy 2p. Wykazać, że p s 2 p. 39. Suma przekątnych pięciokąta wypukłego jest równa s, a jego obwód jest równy 2p. Wykazać, że 2 p s 4 p. 40. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC. Proste PA, PB i PC przecinają boki tego trójkąta odpowiednio w punktach D, E i F. Wykazać, że PD + PE + PF < AB. 41. Dany jest kąt wypukły i punkt A, leżący wewnątrz tego kąta. Znaleźć takie punkty B i C, należące do różnych ramion tego kąta, by obwód trójkąta ABC był najmniejszy. 42. Dany jest kąt wypukły i punkt A, leżący wewnątrz tego kąta. Przez punkt A poprowadzić taką prostą, która od kąta odetnie trójkąt o najmniejszym polu. 43. Dane są dwa okręgi: o 1 = o(a, r 1 ) i o 2 = o(b, r 2 ). Zbadać wzajemne położenie tych okręgów w zależności od wartości parametrów t i s jeśli: a) AB = t, r 1 = 3, r 2 =, b) AB = 3t, r 1 = t + 1, r 2 = 5 t, c) AB = 2 ts, r 1 = t, r 2 = s, d) AB = (t + s) 2, r 1 = t 2, r 2 = s 2, e) AB = cos 40, r 1 = cos 2 20, r 2 = sin 2 20. 44. Na płaszczyźnie dane są trzy niewspółliniowe punkty. Znaleźć wszystkie proste jednakowo oddalone od tych punktów. 45. W przestrzeni dane są cztery punkty, nie leżące na jednej płaszczyźnie. Znaleźć wszystkie płaszczyzny jednakowo oddalone od tych punktów. 46. Na płaszczyźnie dane są trzy niewspółliniowe punkty. Znaleźć wszystkie okręgi jednakowo oddalone od tych punktów. 47. Na płaszczyźnie dane są cztery punkty. Znaleźć wszystkie okręgi jednakowo oddalone od tych punktów. 48. Okręgi o 1 i o 2 przecinają się w punktach A i B. Punkty E i F leżą odpowiednio na okręgach o 1 i o 2, a punkty E, A i F są współliniowe. Prosta styczna do okręgu o 1 w punkcie E i prosta styczna do okręgu o 2 w punkcie F przecinają się w punkcie K. Wykazać, że punkty E, K, F i B leżą na jednym okręgu.

49. Punkty P, Q, R, S są środkami odpowiednio boków AB, BC, CD i DA czworokąta wypukłego ABCD. Odcinki AQ, BR, CS i DP dzielą czworokąt ABCD na 4 trójkąty i 5 czworokątów. Wykazać, że suma pól tych trójkątów jest równa polu tego z czworokątów, który nie ma punktów wspólnych z brzegiem czworokąta ABCD. 50. Proste PA i PB są styczne do okręgu o odpowiednio w punktach A i B. Punkt F jest rzutem prostokątnym punktu B na średnicę AE okręgu o. Odcinki EP i BF przecinają się w punkcie S. Wykazać, że punkt S jest środkiem odcinka BF. 51. Czy dwusieczne dwóch kątów trójkąta mogą przecinać się pod kątem prostym? 52. W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Obliczyć stosunek trzeciej środkowej do boku AB. 53. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną CD kąta ACB. Środek okręgu wpisanego w trójkąt ADC pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC. 54. Punkty D i E należą do boku AB trójkąta ABC i <) BAC <) BCD, a półprosta CE jest dwusieczną kąta ACD. Wykazać, że BC = BE. 55. Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o kącie prostym przy wierzchołku C. Punkt P jest środkiem okręgu o, wpisanego w ten trójkąt. Odcinek EF jest prostopadły do boku AB, styczny do okręgu o, przy czym punkt E należy do boku AB, punkt F należy do boku BC. Wykazać, że EF = PC. 56. W trójkącie ABC poprowadzono środkowe AD, BE i CF, przecinające się w punkcie S. Odcinki AD i EF przecinają się w punkcie M. Obliczyć stosunek odcinków MS i AD. 57. Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do boków tego trójkąta w punktach P, Q, R. Wykazać, że trójkąt PQR jest ostrokątny. 58. Punkty K i L są środkami boków CD i DA równoległoboku ABCD. Proste BK i BL przecinają przekątną AC odpowiednio w punktach M i N. Wykazać, że suma pól trójkątów ALN, BMN i CKM jest równa 3 1 pola równoległoboku ABCD. 59. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC, punkty D, E, F są rzutami prostokątnymi punktu P na boki BC, CA, AB tego trójkąta. Wykazać, że suma długości odcinków PD, PE, PF nie zależy od wyboru punktu P. 60. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC, punkty D, E, F są rzutami prostokątnymi punktu P na boki BC, CA, AB tego trójkąta. Wykazać, że suma pól trójkątów PAE, PBF, PCD nie zależy od wyboru punktu P. 61. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, natomiast AH jest wysokością tego trójkąta. Wykazać, że kąty OAC i BAH są przystające. 62. Wykazać, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych jest mniejsza od sumy przeciwprostokątnej i wysokości poprowadzonej na przeciwprostokątną. 63. Odcinki AP i BR są wysokościami trójkąta ABC. Wykazać, że jeśli AC AP BC BR, to trójkąt ten jest równoramienny. 64. Na papierze w kratkę narysowany jest trójkąt o wierzchołkach leżących w punktach kratowych. Skonstruować środek ciężkości tego trójkąta, posługując się linijką i ołówkiem.

65. Okręgi, których średnicami są ramiona trapezu, są styczne zewnętrznie. Wykazać, że w ten trapez można wpisać okrąg. 66. Dane są dwa różne punkty A i B. Znaleźć zbiór punktów styczności okręgów stycznych zewnętrznie, takich, że jeden z nich jest poza tym styczny do prostej AB w punkcie A, a drugi w punkcie B. 67. Punkt A należy do boku BE, punkt C do boku BF trójkąta EBF, odcinki AF i CE przecinają się w punkcie D. Wykazać, że jeśli AB + AD = CB + CD, to EB + ED = FB + FD. 68. ABCD jest czworokątem wypukłym. Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne do AC w punktach odpowiednio P i R. Wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy P = R. 69. Podstawą ostrosłupa jest równoległobok ABCD, punkt S jest jego wierzchołkiem, punkt A spodkiem wysokości. Okręgi wpisane w ściany SBC i SDC są styczne. Wykazać, że podstawą tego ostrosłupa jest romb. 70. Wykazać, że jeśli istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu to sumy przeciwległych krawędzi tego czworościanu są równe. 71. Wykazać, że jeśli w czworościanie sumy przeciwległych krawędzi są równe, to istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi tego czworościanu. 72. Dany jest kąt, punkt A i odcinek o długości p. Przez punkt A poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p. 73. Dany jest kąt i dwa odcinki o długości odpowiednio p i h. Poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p i wysokości h. 74. Dany jest kąt o wierzchołku A i dwa odcinki o długości odpowiednio p i a. Poprowadzić prostą, odcinającą od danego kąta trójkąt ABC o obwodzie 2p i boku BC o długości a. 75. Dany jest kąt, punkt A i odcinek o długości p. Poprowadzić prostą odcinającą od kąta trójkąt o obwodzie 2p i największym polu. 76. Dany jest czworokąt ABCD. Wykazać, że jeśli okręgi wpisane w trójkąty ABC i ADC są styczne, to i okręgi wpisane w trójkąty BCD i BAD są styczne. 77. Punkt E należy do boku AB, punkt F do boku BC trójkąta ABC, odcinki AF i CE przecinają się w punkcie D i AE = CF. W czworokąt DEBF można wpisać okrąg. Wykazać, że AB = BC. 78. Środkowe AP i CQ trójkąta ABC przecinają się w punkcie D. W czworokąt BPDQ można wpisać okrąg. Wykazać, że AB = BC. 79. Punkt P należy do boku AB, a punkt R do boku AD czworokąta wypukłego ABCD; proste PD i RB przecinają się w punkcie S. W każdy z czworokątów APSR i CDSB można wpisać okrąg. Wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

80. Punkty P, Q, R, należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC, proste AP, BQ, CR przecinają się w punkcie S. W każdy z czworokątów PCQS i PBRS można wpisać okrąg. Wykazać, że i w czworokąt SQAR można wpisać okrąg. 81. Punkty P, Q i R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC. Proste AP, BQ i CR przecinają się w punkcie S. W czworokąt PCQS jest wpisany okrąg o 1, a w czworokąt PBRS jest wpisany okrąg o 2. Okrąg o 1 jest styczny do QS w punkcie E, a okrąg o 2 jest styczny do RS w punkcie F. Wykazać, że EQ = FR. 82. W czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Punkt M należy do boku AB tego czworokąta. W trójkąty ADM, DMC, MCB wpisano okręgi. Wykazać, że istnieje prosta styczna do tych okręgów. 83. Dany jest trójkąt ABC. Punkt X należy do boku AB tego trójkąta. Prosta l X, różna od prostej AB, jest styczna zewnętrznie do okręgów wpisanych w trójkąty ACX i BCX. Wyznaczyć zbiór punktów przecięcia prostych l X i CX dla wszystkich punktów X należących do odcinka AB. 84. Czworokąt wypukły ABCD został podzielony na dziewięć czworokątów, jak na rysunku. Wykazać, że jeśli w każdy z narożnych czworokątów i w centralny czworokąt można wpisać okrąg, to również w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. D A B C 85. Wykazać, że jeśli w każdy z czworokątów 1 i 3 można wpisać okrąg, to w czworokąt PQRS można wpisać okrąg. 86. Wykazać, że jeśli w każdy z czworokątów 2 i 4 można wpisać okrąg, to w czworokąt PQRS można wpisać okrąg. P S 4 3 1 2 R Q 87. Dany jest prostokąt ABCD. Punkty P i Q należą do wnętrza tego prostokąta. Wyznaczyć konstrukcyjnie taką drogę punktu P, aby trafił w punkt Q po: (a) jednym odbiciu, (b) dwóch odbiciach, (c) trzech odbiciach od brzegu prostokąta ABCD. 88. Dany jest kąt wypukły i punkt A należący do jego wnętrza. Punkt A, pchnięty w pewnym kierunku, odbija się od ramion kąta. Wykazać, że niezależnie od kierunku takiego pchnięcia, punkt A odbije się od ramion kąta skończoną liczbę razy.

Oszacować z góry liczbę odbić. 89. Dany jest kwadrat o boku długości 1. Wierzchołki czworokąta ABCD leżą na różnych bokach tego kwadratu. Wykazać, że obwód czworokąta ABCD jest nie mniejszy niż 2 2. 90. Dany jest kąt prosty o wierzchołku P. Punkt A należy do wnętrza tego kąta, a punkty B i C do jego różnych ramion. Wykazać, że AB + BC + CA > 2 AP. 91. Odcinki AB i CD są podstawami trapezu ABCD, punkt S jest środkiem ramienia BC. Wykazać, że AS + SD > AB + CD. 92. Punkt P jest środkiem boku AD, a punkt Q jest środkiem boku BC czworokąta wypukłego ABCD. Wykazać, że 2 PQ AB + CD. 93. Dane są: punkt B, prosta k i okrąg o. Skonstruować takie punkty A i C, należące odpowiednio do prostej k i okręgu o, by punkt B był środkiem odcinka AC. 94. Punkt P należy do wnętrza trójkąta równobocznego ABC. Wykazać, że z odcinków PA, PB, PC można zbudować trójkąt. Znaleźć kąty tego trójkąta, znając kąty <) APB, <) BPC, <) CPA. 95. Punkt P należy do boku CD kwadratu ABCD; dwusieczna kąta BAP przecina bok BC w punkcie S. Wykazać, że BS + DP = AP. 96. Dana jest prosta k i punkt A nie należący do tej prostej. Znaleźć zbiór takich punktów P, dla których istnieje taki punkt B należący do prostej k, że trójkąt ABP jest równoboczny. 97. Dane są okręgi o 1 i o 2 oraz punkty A i B. Skonstruować taki równoległobok ABCD, by punkt C należał do okręgu o 1, a punkt D należał do okręgu o 2. 98. Dane są dwa okręgi i prosta k. Poprowadzić prostą równoległą do prostej k, wyznaczającą na danych okręgach przystające cięciwy. 99. Dane są odcinki a, b, c, d. Skonstruować trapez o podstawach o długości a i b oraz ramionach o długości c i d. 100. Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 1. Punkty P, Q, R, S są środkami odpowiednio boków BC, CD, DA, AB. Obliczyć pole czworokąta wyznaczonego przez proste AP, BQ, CR, DS. 101. Dany jest kąt wypukły i punkt B należący do wnętrza tego kąta. Poprowadzić taką prostą k, by punkt B był środkiem odcinka wyznaczonego na prostej k przez ramiona kąta. 102. Okręgi o 1 i o 2, każdy o promieniu r, są styczne w punkcie B. Punkt A należy do okręgu o 1, punkt C należy do okręgu o 2, a kąt ABC jest prosty. Wykazać, że AC = 2r. 103. Na zewnątrz trójkąta ABC zbudowano trójkąty równoboczne ABR, BCP, CAQ. Wykazać, że odcinki AP, BQ i CR są równe.

104. Dane są okręgi o 1 i o 2 oraz prosta k. Skonstruować taki kwadrat ABCD, by punkt A należał do okręgu o 1, punkt C należał do okręgu o 2, a punkty B i D należały do prostej k. 105. Na trójkącie ABC opisano okrąg. Punkty P, Q i R są symetryczne do środka tego okręgu, odpowiednio względem prostych BC, CA i AB. Wykazać, że trójkąty ABC i PQR są przystające. 106. Dany jest kwadrat ABCD. Punkty E i F należą odpowiednio do boków AB i BC tego kwadratu i BE = BF. Punkt S jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą EC. Wykazać, że kąt DSF jest prosty. 107. Dane są odcinki o długościach a, b, c, d. Skonstruować taki czworokąt ABCD, by długości jego boków AB, BC, CD, DA były równe odpowiednio a, b, c, d oraz by półprosta AC była dwusieczną kąta DAB. 108. Dany jest kąt ostry oraz punkty P i Q należące do jego wnętrza. Skonstruować taki trójkąt równoramienny ABC, by podstawa AB była zawarta w jednym z ramion kąta, wierzchołek C należał do drugiego z ramion, a punkty P i Q należały odpowiednio do boków AC i BC. 109. Dany jest trójkąt ABC oraz odcinek o długości a. Skonstruować taki prostokąt KLMN, aby punkty K i L leżały na prostej AB, a punkty M i N odpowiednio na bokach BC i CA trójkąta ABC oraz aby długość odcinka KL była równa a. 110. W czworokącie ABCD boki AB i CD mają jednakową długość. Punkty E i F są środkami boków BC i DA. Wykazać, że prosta EF tworzy z prostymi AB i CD równe kąty. 111. Dany jest punkt A, prosta k i odcinek długości r. Weźmy wszystkie okręgi o promieniu r, przechodzące przez punkt A i styczne do prostych równoległych do prostej k. Znaleźć zbiór wszystkich punktów styczności tych okręgów do tych prostych. 112. Dany jest odcinek długości r, okrąg oraz takie cięciwy AB i CD tego okręgu, które nie przecinają się. Na tym łuku CD, do którego nie należy punkt A, skonstruować taki punkt P, by odcinki PA i PB przecięły cięciwę CD w takich punktach Q i R, by odcinek QR miał długość r. 113. Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB = x i BC = y. Punkt P należy do wnętrza tego prostokąta i PA = a, PB = b, PC = c, PD = d. Wykazać, że istnieje czworokąt wypukły o prostopadłych przekątnych długości x i y oraz bokach długości a, b, c, d. 114. Dany jest równoległobok ABCD oraz punkt K, który nie należy do żadnej z prostych wyznaczonych przez boki tego równoległoboku. Przez punkty A, B, C, D prowadzimy proste k, l, m, n równoległe odpowiednio do prostych KC, KD, KA i KB. Wykazać, że proste k, l, m, n przecinają się w jednym punkcie. 115. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg, a punkty K, L, M, N są środkami jego boków AB, BC, CD, DA. Proste k, l, m, n przechodzą odpowiednio przez punkty K, L, M, N i są prostopadłe odpowiednio do prostych CD, DA, AB, BC. Wykazać, że proste k, l, m, n przecinają się w jednym punkcie.

116. Dane są: okrąg o, prosta k i punkt A. Skonstruować taki trójkąt równoboczny ABC, by punkt B należał do okręgu o, a punkt C należał do prostej k.

117. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: AB = PQ, AC = PR, środkowe AE i PT są równe. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 118. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: AB = PQ, AC = PR, wysokości AE i PT są równe. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 119. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: środkowe AE i PT są równe, <) BAE = <) QPT oraz <) CAE = <) RPT. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 120. Trójkąty ABC i PQR spełniają warunki: wysokości AE i PT są równe, <) BAE = <) QPT oraz <) CAE = <) RPT. Czy stąd wynika, że te trójkąty są przystające? 121. Dany jest trójkąt ABC. Punkt P, różny od punktu C, należy do dwusiecznej kąta zewnętrznego przy wierzchołku C. Wykazać, że PA + PB > CA + CB. 122. Dane są odcinki o długości p, q, m. Skonstruować wysokość takiego trapezu, aby długości jego przekątnych były równe p i q, a długość jego środkowej była równa m. Czy długości podstaw takiego trapezu są wyznaczone jednoznacznie? 123. Punkt M jest środkiem boku AB czworokąta wypukłego ABCD; pole trójkąta MCD jest dwa razy mniejsze od pola czworokąta ABCD. Wykazać, że AD BC. 124. W czworokącie wypukłym ABCD punkt P jest środkiem boku AD, a punkt Q jest środkiem boku BC. Wykazać, że 2 PQ = AB + CD wtedy i tylko wtedy, gdy proste AB i CD są równoległe. 125. Trójkąty równoboczne ABC i AEF mają taką samą orientację; punkty K, L, M są środkami odpowiednio odcinków BC, CE i EF. Wykazać że KL = LM. 126. Dany jest wielokąt A 1 A 2... A n. Skonstruować taki n-kąt, aby punkty A 1, A 2,..., A n były środkami jego kolejnych boków. 127. Dane są punkty A, B, C. Znaleźć punkt stały przekształcenia S C S B S A. 128. Dane są punkty A i B. Znaleźć punkt stały i proste stałe przekształcenia 90 90 R B R A. 129. Dany jest trójkąt ABC. Na zewnątrz trójkąta ABC dorysowano trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CAR, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R. Trójkąt prostokątny równoramienny PQM, o kącie prostym przy wierzchołku M, nie leży na zewnątrz trójkąta PQR. Wykazać, że punkt M jest środkiem odcinka AC. 130. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Na zewnątrz czworokąta ABCD dorysowano trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R, S. Wykazać, że PR = QS i PR QS. 131. Dany jest czworokąt wypukły ABCD oraz trójkąty prostokątne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS, o kątach prostych przy wierzchołkach P, Q, R, S. Trójkąty te nie leżą na zewnątrz czworokąta ABCD. Wykazać, że jeżeli P = R, to Q = S.

132. Dany jest trójkąt ABC. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB. Punkty K, L, M są środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach ARQ, BPR, CQP. Wykazać, że trójkąty ABC i KLM są podobne.

133. Przekątne trapezu przecinają się w punkcie P, a proste zawierające ramiona trapezu przecinają się w punkcie Q. Wykazać, że prosta PQ przechodzi przez środki podstaw tego trapezu. 134. Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisać w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by dwa sąsiednie wierzchołki prostokąta należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA. 135. Dany jest trójkąt ABC. W kąty przy wierzchołkach A i B wpisać dwa przystające, styczne zewnętrznie okręgi. 136. Dany jest okrąg o i dwa różne punkty A, B należące do tego okręgu. Znaleźć zbiór środków ciężkości wszystkich takich trójkątów ABP, że punkt P należy do okręgu o. 137. Dane są punkty A i B oraz prosta k. Znaleźć zbiór środków ciężkości wszystkich takich trójkątów ABP, że punkt P należy do prostej k. 138. Punkt P należy do wnętrza czworokąta wypukłego ABCD. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów ABP, BCP, CDP i DAP są wierzchołkami równoległoboku. 139. Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB są wierzchołkami sześciokąta, którego przeciwległe boki są równoległe i równe. 140. Przystające, rozłączne okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Punkt P należy do okręgu o, odcinki PA i PB przecinają okręgi o 1 i o 2 w punktach odpowiednio C i D. Wykazać, że proste AB i CD są równoległe. 141. Okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie w punkcie B. Cięciwa AC okręgu o 1 jest styczna do okręgu o 2 w punkcie M. Wykazać, że półprosta BM jest dwusieczną kąta ABC. 142. Rozłączne zewnętrznie okręgi o 1 i o 2 są styczne wewnętrznie do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Prosta k, nie rozdzielająca okręgów o 1 i o 2, jest do nich styczna w punktach odpowiednio P i Q. Wykazać, że proste AP i BQ przecinają się w punkcie należącym do okręgu o. 143. Okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku P oraz w kąty wierzchołkowe o wierzchołku Q. Punkt R należy do okręgu o 1, a proste PR i QR przecinają okrąg o 2 w czterech punktach. Wykazać, że dwa spośród tych punktów są końcami jednej średnicy okręgu o 2. 144. Dany jest okrąg o i punkty A, B należące do tego okręgu. Rozważmy wszystkie pary takich okręgów o 1 i o 2 stycznych zewnętrznie, które są styczne do okręgu o w punktach odpowiednio A i B. Każda taka para okręgów wyznacza środki jednokładności przekształcających okrąg o 1 na okrąg o 2. Znaleźć zbiór wszystkich środków takich jednokładności. 145. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem ciężkości, punkt H jest ortocentrum, a punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Wykazać, że punkty D, H, O są współliniowe i DH = 2 DO. 146. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AC w punkcie D. Odcinek DE jest średnicą tego okręgu, a prosta BE przecina bok AC w punkcie F. Wykazać, że AF = CD. 147. Okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku P. Okrąg o jest styczny zewnętrznie do okręgów o 1 i o 2 w punktach odpowiednio A i B. Wykazać, że punkty P, A, B są współliniowe.

148. Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB = a, BC = b. Na bokach AB i BC tego prostokąta zbudowano trójkąty równoboczne ABE i BCF, jeden na zewnątrz prostokąta, drugi do wewnątrz. Obliczyć długość odcinka EF. 149. Wysokość trójkąta prostokątnego ABC, poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli ten trójkąt na trójkąty o obwodach 2p i 2q. Znaleźć obwód trójkąta ABC. 150. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a prosta k jest styczna do nich w różnych punktach E i F. Dane są promienie tych okręgów. Obliczyć długość odcinka EF. 151. Odcinek EF jest średnicą okręgu o, a cięciwa AB jest prostopadła do tej średnicy. Punkt P należy do krótszego łuku AF okręgu o. Proste PE i PF przecinają prostą AB odpowiednio w punktach Q i R. Wykazać, że. RA QA RB QB 152. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Długość odcinka BD jest większa od długości odcinka CD. Wykazać, że odcinek AB jest dłuższy od odcinka AC. 153. W czworokącie wypukłym ABCD iloczyny długości przeciwległych boków są równe. Wykazać, że dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C w tym czworokącie przecinają się w punkcie należącym do przekątnej BD. 154. Punkty A i B należą do okręgu o. Na jednym z łuków AB skonstruować taki punkt P, aby stosunek odcinków PA i PB był równy danej liczbie a. 155. Dane są trzy odcinki o długości odpowiednio b, c i d. Skonstruować taki trójkąt ABC, aby AB = c, AC = b oraz by długość dwusiecznej AD była równa d. 156. Wykazać, że w dowolnym trójkącie większy kąt ma krótszą dwusieczną. 157. Rozłączne okręgi o 1 i o 2 są wpisane w kąt o wierzchołku S i są styczne do jednego z ramion tego kąta w punktach odpowiednio K i L. Prosta k, przechodząca przez punkt S przecina te okręgi kolejno w punktach: A, B, C i D (licząc od S), a prosta l kolejno w punktach E, F, G i H. Wykazać, że na każdym z czworokątów: BCGF, BCHE, FGLK można opisać okrąg. 158. Dane są dwa rozłączne zewnętrznie okręgi o 1 i o 2 oraz punkt A nie należący do żadnego z tych okręgów. Skonstruować taki okrąg styczny zewnętrznie do okręgów o 1 i o 2, aby punkty styczności były współliniowe z punktem A. 159. Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Każda z przekątnych AD, BE i CF tego sześciokąta dzieli go na dwa czworokąty o równych polach. Wykazać, że te przekątne przecinają się w jednym punkcie. 160. Boki AB, BC, CA trójkąta ABC są styczne do okręgu wpisanego w punktach odpowiednio R, P, Q. Prosta równoległa do BC, przechodząca przez A, przecina proste PQ i PR w punktach E i F. Wykazać, że A jest środkiem odcinka EF. 161. Wykazać, że trójkąt nierównoramienny można przykryć dwoma trójkątami podobnymi do niego, ale mniejszymi (te dwa trójkąty mogą się częściowo nakrywać).

162. Pewien prostokąt można przykryć 25 kołami o promieniu 2. Wykazać, że ten prostokąt można przykryć 100 kołami o promieniu 1. 163. Odcinki BP i CQ są wysokościami trójkąta ABC. Wykazać, że trójkąty ABC i APQ są podobne. 164. Wysokości AP i BQ trójkąta ABC przecinają się w punkcie H, pola trójkątów AHQ i BHP są równe. Wykazać, że AC = BC. 165. W trójkącie ABC środkowe AD i BE są prostopadłe. Obliczyć stosunek trzeciej środkowej do boku AB. 166. Na zewnątrz trójkąta ABC zbudowano trójkąty równoboczne ABR, BCP i CAQ. Punkty K, L, M są środkami ciężkości tych trójkątów równobocznych. Wykazać, że trójkąt KLM jest równoboczny. 167. W trójkącie prostokątnym ABC z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość CD. Dane są promienie r 1 i r 2 okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty BCD i ACD. Wyznaczyć wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta BAC. 168. Trójkąt równoramienny ABC jest wpisany w okrąg o. Punkt D należy do podstawy BC tego trójkąta, a prosta AD przecina okrąg o w punktach A i E. Wykazać, że 2 AB AE AD. 169. Długości dwóch boków trójkąta równe są b i c. Dwusieczna poprowadzona na trzeci bok dzieli go na odcinki o długościach p i q. Długość tej dwusiecznej jest równa x. Wykazać, że x b c p q 2. 170. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o, a proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Dwusieczna kąta APB przecina odcinki AB i CD odpowiednio w punktach S i T. Wykazać, że BS CT AS DT. 171. Punkt P leży na zewnątrz okręgu o. Różne proste k i l, przechodzące przez punkt P, są styczne do okręgu o w punktach odpowiednio A i C. Prosta m, przechodząca przez punkt P, przecina okrąg o w punktach B i D. Wykazać, że AB CD BC DA. 172. Dany jest trapez o podstawach długości a i b. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych tego trapezu. Prosta przechodząca przez punkt S i równoległa do podstaw trapezu przecina jego ramiona w punktach A i B. Znaleźć długość odcinka AB. 173. Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC, proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie. Wykazać, że jeśli DA jest wysokością w trójkącie ABC, to jest dwusieczną kąta EDF.

174. Dany jest trapez o wysokości 12. Długości przekątnych tego trapezu są równe 15 i 20. Oblicz pole tego trapezu. 175. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Punkt E należy do przekątnej BD. Punkt F jest punktem przecięcia prostej AC z prostą równoległą do prostej AE, przechodzącą przez punkt D. Wykaż, że proste BF i CE są równoległe. 176. Dany jest taki ostrosłup czworokątny ABCDS o podstawie ABCD, w którym AS = BS = DS i 2 <) ASB = <) BSC, 2 <) BSC = <) CSD, 2 <) CSD = <) DSA. Wiadomo też, że <) SAB = 2 <) SAD. Wyznacz miarę kąta SAB. 177. Na stole stało prostopadłościenne akwarium całkowicie wypełnione wodą. Podstawa tego akwarium ma wymiary 35 cm x 15 cm, a jego wysokość ma 20 cm. W pewnej chwili akwarium uniesiono z jednej strony w taki sposób, że tylko jedna, krótsza krawędź podstawy nadal leżała na stole, a płaszczyzna podstawy tworzyła z płaszczyzną stołu kąt 30. Część wody wylała się. Oblicz objętość wody, która się nie wylała. 178. Dany jest trójkąt o kątach jak na rysunku. Pole tego trójkąta jest równe 12. Policz boki tego trójkąta. 80 65 179. Dany jest prostokąt p. Jeżeli szerokość prostokąta p zwiększymy o 50%, to jego szerokość zwiększy się o 25%. O ile procent zmniejszy się długość prostokąta p, jeśli jego długość zmniejszymy o 50%?