Tomasz Zamek-Gliszczyński. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy. Matematyka. atematyka

atematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Matematyka Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy

Spis treści Wstęp 4 1 Liczby 5 2 Algebra 24 3 Funkcje 31 4 Ciągi 61 5 Geometria na płaszczyźnie 69 6 Trygonometria 87 7 Geometria analityczna 99 8 Stereometria 107 9 Statystyka i prawdopodobieństwo 119 Odpowiedzi 132

Wstęp Każdy rozdział książki zawiera: krótkie przypomnienie teorii (ważnym uzupełnieniem jest wkładka zestaw najważniejszych wzorów), serię zadań zamkniętych, zadań otwartych krótkiej odpowiedzi oraz zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi Niektóre zadania na maturze będą wymagać pomysłu, nowego rozumowania Znajdziesz tu zadania tego rodzaju, żeby móc wyćwiczyć radzenie sobie z takimi problemami Na egzaminie nie będą one groźnymi niespodziankami Zadania szczególnie trudne oznaczyłem gwiazdką (*) Sprawdzaj swoje tempo rozwiązywania zadań Im bliżej egzaminu, tym sprawniej powinno Ci to iść Nie panikuj, jeśli rozwiązywanie zadań zabiera Ci za dużo czasu Po prostu musisz nabrać wprawy Nie poddawaj się, nie zaglądaj do odpowiedzi za szybko Zastanów się nad techniką rozwiązywania zadań zamkniętych Czasem warto najpierw odrzucić niepasujące odpowiedzi, dopiero potem sprawdzić pozostałe Zwróć uwagę na sposób pisania odpowiedzi do zadań otwartych Czytelne przedstawienie rozumowania jest ważne nie tylko dla sprawdzającego, ale też dla Ciebie bywa, że dopiero przy formułowaniu rozwiązania przychodzi pomysł na przekonujące i krótkie ujęcie Jeśli zorientujesz się, że z jakąś częścią materiału masz kłopoty, możesz zajrzeć do Kompendium* Warto współpracować z koleżankami i kolegami, którzy też ćwiczą rozwiązywanie takich zadań Od nich możesz się czegoś dowiedzieć A pomagając innym, Ty też się uczysz Ważne jest wsparcie nauczycieli, którzy na pewno będą starali się Ci pomóc Mam przekonanie, że ten zbiór przyczyni się do Twojego sukcesu, czego Ci serdecznie życzę Autor * Aleksandra Gębura, Matematyka. Kompendium maturalne Zakres podstawowy, Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro, Warszawa 2014

5. Geometria na płaszczyźnie 5. Geometria na płaszczyźnie Powtórzenie 5.1. Podstawowe definicje i fakty Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt o bokach długości a, b i c jest prostokątny, przy czym bok a jest prostopadły do boku b, to a 2 + b 2 = c 2 Twierdzenie odwrotne Jeżeli w trójkącie o bokach a, b i c zachodzi równość a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt jest prostokątny, a bokami prostopadłymi są boki a i b c 2 b 2 a 2 Wysokość trójkąta prostokątnego opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których jest średnią geometryczną Figury geometryczne wypukłe i wklęsłe Figura geometryczna jest wypukła, gdy wraz z dowolnymi dwoma jej punktami A i B należą do niej również wszystkie punkty odcinka AB Figury wypukłe Figury niewypukłe 69

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy Kąty wypukłe Kąty wklęsłe Kąty wierzchołkowe, przyległe, kąty utworzone przez parę prostych i trzecią nierównoległą do nich (sieczną) odpowiadające (np. a 1 i a 3 ), jednostronne wewnętrzne (np. b 2 i a 3 ), jednostronne zewnętrzne (np. b 1 i a 4 ), naprzemianległe wewnętrzne (np. b 2 i b 3 ), naprzemianległe zewnętrzne (np. a 1 i a 4 ) Kąty wierzchołkowe są równe: k 2 1 2 1 a 1 = a 2, b 1 = b 2 Kąty przyległe sumują się do 180 : a 1 + b 1 = 180, a 1 + b 2 = 180, a 2 + b 2 = 180, a 2 + b 1 = 180 3 3 Jeśli proste k i l są równoległe, to l kąty odpowiadające, kąty naprzemianległe wewnętrzne, 4 4 naprzemianległe zewnętrzne, są równe (a 1 = a 2 = a 3 = a 4 m i b 1 = b 2 = b 3 = b 4 ), a kąty jednostronne wewnętrzne, jednostronne zewnętrzne sumują się do 180 (b 2 + a 3 = 180, a 2 + b 3 = 180, a 1 + b 4 = 180, b 1 + a 4 = 180 ) Jest też na odwrót: Jeśli kąty odpowiadające są równe lub kąty naprzemianległe są równe lub kąty jednostronne wewnętrzne bądź zewnętrzne sumują się do 180, to proste k i l są równoległe Jeśli a 1 + b 3 = 180, to proste k i l są równoległe Jeśli ramiona jednego kąta są prostopadłe do ramion drugiego kąta, to te kąty albo są równe, albo sumują się do 180 Kąty w wielokącie Kąty wewnętrzne Kąty zewnętrzne W dowolnym wielokącie wypukłym suma kątów zewnętrznych jest równa 360 70

5. Geometria na płaszczyźnie Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180 Kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie nieprzyległych kątów wewnętrznych Dwa trójkąty są przystające, gdy są identyczne w tym sensie, że jeden można nałożyć na drugi (przekształcić przez przesunięcie, symetrię, symetrię i przesunięcie lub obrót) Cechy przystawania trójkątów: oba trójkąty mają równe boki (cecha bbb) oba trójkąty mają taką samą parę boków i taki sam kąt między bokami tej pary (cecha bkb) oba trójkąty mają równy jeden bok i dwa kąty przyległe do niego (cecha kbk) Dwa trójkąty są podobne, gdy jeden z nich jest powiększeniem drugiego Cechy podobieństwa trójkątów: w obu trójkątach proporcje pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami są te same oba trójkąty mają te same kąty oba trójkąty mają parę boków, między którymi jest ta sama proporcja i pomiędzy którymi jest ten sam kąt Szczególne punkty w trójkącie Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu opisanego na trójkącie Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie i jest to środek okręgu wpisanego w trójkąt Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie Fizycznie jest to środek ciężkości trzech wierzchoków trójkąta, również środek ciężkości trzech jego boków, jeśli przyjmiemy, że każdy bok ma tę samą wagę, i jednocześnie środek ciężkości wnętrza trójkąta Środkowe dzielą się w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka Wysokości trójkąta lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie zwanym ortocentrum 71

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy Kąty w okręgu Niech dany będzie okrąg i dwa różne punkty na nim i niech będzie wybrany jeden z dwóch łuków okręgu, na które dzielą okrąg te dwa punkty Kątem środkowym opartym na łuku jest ten kąt o wierzchołku w środku okręgu i ramionach przechodzących przez końce łuku, który zawiera cały łuk Kątem wpisanym opartym na łuku jest każdy kąt o wierzchołku na okręgu (poza łukiem), którego ramiona przechodzą przez końce łuku i który zawiera cały łuk 2 2 Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest od niego dwa razy większy Wnioski Kąt wpisany oparty na półokręgu (inaczej mówiąc: oparty na średnicy) jest prosty Wszystkie kąty wpisane w okrąg i oparte na tym samym łuku są równe W czworokącie wpisanym w okrąg suma przeciwległych kątów jest równa 180 Kąt wpisany oparty na cięciwie jest równy kątowi dopisanemu do tej cięciwy (kąt dopisany do odcinka koła jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym odcinku) Spójrz na dwa przypadki na rysunku Okrąg i prosta Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia wystawionego w punkcie styczności Na rysunku poniżej prosta PT 1 jest prostopadła do ST 1 Jej odległość od środka okręgu jest równa promieniowi tego okręgu Z jednego punktu P poza okręgiem można przeprowadzić dwie styczne do tego okręgu Prosta PS jest osią symetrii całego rysunku W szczególności oznacza to, że odległości od punktu P do każdego z tych dwóch punktów styczności są równe: PT 1 = PT 2 oraz prosta PS dzieli kąt T 1 PT 2 na połowy 72

5. Geometria na płaszczyźnie T 1 S P T 2 Jeśli odległość prostej od środka okręgu jest większa od promienia okręgu, to prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem, jeśli jest mniejsza, to prosta i okrąg mają dwa punkty wspólne Dwa okręgi Okrąg o środku w punkcie O i promieniu r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku w punkcie P różnym od O i o promieniu R, gdy OP = r + R, a styczny wewnętrznie, gdy OP = R r (wtedy musi zachodzić nierówność r < R) O r R P O P r R Zadania Zadania zamknięte 1. W trójkącie długości boków są a, b i c, przy czym boki spełniają nierówności a b c Wskaż zdanie nieprawdziwe A Jeśli kąt między bokami a i b jest ostry, to a 2 + b 2 > c 2 B Jeśli a 2 + b 2 < c 2, to kąt między bokami a i b jest rozwarty C Jeśli trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, to trójkąt o bokach a + 1, b + 1 i c + 1 też jest prostokątny D Jeśli a 2 + b 2 = 2c 2, to trójkąt jest równoboczny 2. Wskaż zdanie prawdziwe A Pole trójkąta jest tym większe, im większy jest jego obwód B Jeśli pole trójkąta równobocznego i pole kwadratu są równe, to stosunek boku kwadratu do boku trójkąta jest jak 2 : 3 73

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy C Jeśli pole kwadratu jest 3 razy większe od pola trójkąta równobocznego, to stosunek boku kwadratu do boku trójkąta jest jak 3:2 D Jeśli pole kwadratu o boku jeden i pole trójkąta równobocznego o boku jeden są razem równe polu trójkąta równobocznego o boku a, to a = 1+ 3 3. Bok a i bok b prostokąta podzielono na 4 równe części, a następnie w ten prostokąt wpisano równoległobok jak na rysunku b Pole równoległoboku jest równe 3 A 4 ab B 9 16 ab C 5 8 ab D 3 4 ab 4. Wskaż zdanie prawdziwe A Wysokości w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i dzielą się w proporcji 2 : 1 B Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a jego odległość od wierzchołków trójkąta jest taka sama C Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, a ten jest równo odległy od boków trójkąta D Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą się wzajemnie w proporcji 2 : 1 5. Wskaż zdanie prawdziwe A Środek okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5, 5, 6 pokrywa się z przecięciem się środkowych trójkąta B Środek okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 5, 6, 7 leży na zewnątrz tego trójkąta C Trójkąt o bokach długości 5, 6, 7 jest rozwartokątny D Tylko jedna z wysokości w trójkącie o bokach długości 3, 4, 6 leży wewnątrz tego trójkąta 6. Trójkąt o bokach 5, 6, 7 jest podobny do trójkąta o bokach 10 A 25, 36, 49 B 2 5, 2 6, 2 7 C 74 2, 14, 6 2 D 6, 7, 8 2 a

5. Geometria na płaszczyźnie 7. Wysokość w trójkącie o bokach 3, 4, 5 opuszczona na bok o długości 5 jest równa A 2,5 B 2,4 C 2,3 D 3 8. Wysokość opuszczona na bok o długości 5 w trójkącie o bokach 3, 4, 5 dzieli ten bok A w proporcji 3 : 4 B w proporcji 9 : 16 C na odcinki o długości 2 i 3 D na odcinki o długości 15 7 i 20 7 9. Wskaż zdanie prawdziwe A Przekątne równoległoboku połowią się pod kątem prostym B Jeśli przekątne trapezu przecinają się pod kątem prostym, to ten trapez jest równoramienny C Jeśli dwa czworokąty mają równe przekątne, to ich pola są równe D Jeśli przekątne czworokąta, przecinając się, dzielą się wzajemnie w tej samej proporcji, to czworokąt jest trapezem 10. Pole równoległoboku o bokach a i b (a b) jest równe P Do tego równoległoboku dorysowano trapez jak na rysunku poniżej: b a P b A Pole trapezu jest dwa razy większe od pola równoległoboku B Stosunek pola trapezu do pola równoległoboku jest jak 3 : 2 C Dłuższa podstawa trapezu ma długość 2b D Trapez jest równoramienny Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi 1. Znajdź nieznaną długość boku trójkąta prostokątnego a) b) c) 4 3 3 2 11 4 2 d) 159 e) 50 f) 15 112 12 15 48 4 5 75

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy 2. Jeden bok trójkąta ma długość 14, a wysokość opuszczona na niego ma długość 12 Drugi bok trójkąta ma długość 15 Jaka jest długość trzeciego boku? 3. Trzy wysokości trójkąta są równe 3 a) Jaki to trójkąt? b) Oblicz pole tego trójkąta 4. Punkt D jest środkiem odcinka AB, a punkt E jest środkiem odcinka AC Odcinki BE i CD przecinają się w punkcie F Zobacz na rysunku BF = 4, DF = 3 Oblicz = EF i y = CF B D A 3 4 F E y C 5. Dwa kwadraty o polu P zachodzą na siebie w taki sposób, że wierzchołek jednego z nich leży w środku drugiego kwadratu Zobacz na rysunku Jaką częścią pola P jest część wspólna obu kwadratów (zacieniowana)? 6. Na boku CD kwadratu ABCD zbudowano trójkąt równoboczny DCE, zaś na przekątnej BD kwadratu trójkąt równoboczny BDF w taki sposób, żeby wierzchołek A kwadratu znalazł się we wnętrzu trójkąta BDF E D C F A B 76 Udowodnij, że trójkąty BDE i CBF są przystające

5. Geometria na płaszczyźnie 7. W sześciokącie foremnym ABCDEF przekątne AC i BF przecinają się w punkcie G a) Udowodnij, że trójkąty ABC i AGB są podobne b) Jaka jest skala podobieństwa? Podaj proporcje wymiarów trójkąta ABC do wymiarów trójkąta AGB E D F C G A B 8. Trapez równoramienny ABCD ma podstawy AB = 10 i CD = 4 oraz ramiona BC = DA = 5 a) Oblicz długości przekątnych tego trapezu b) Na trapezie ABCD da się opisać okrąg Środek tego okręgu leży na prostej przechodzącej przez środki obu podstaw w odległości poniżej dolnej podstawy Oblicz i udowodnij, że promień tego okręgu jest równy 5 8 65 c) Przedłużenia ramion BC i AD spotykają się w punkcie F, tworząc trójkąt równoramienny ABF Udowodnij, że pole tego trójkąta mieści się 3 razy w polu kwadratu o boku 10 9. Znajdź kąt a) b) c) 301 k 68 k 286 k k l l k l l k l l d) e) f) 44 320 21 77

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy 10. Oba okręgi na rysunku mają ten sam promień równy 4 Punkty A i D to środki okręgów, punkt B leży na okręgu o środku w A, punkt C leży na obu okręgach Popatrz na rysunek A 60 B C D a) Oblicz kąt BAD b) Oblicz długość AD c) Oblicz pole trójkąta ABD 11. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 36 Na boku AC zaznaczony jest taki punkt D, że BA = BD Znajdź miary kątów a i b Zobacz na rysunku C 36 D A B 12. Od średnicy okręgu o środku w O wystawiono w punkcie A odcinek prostopadły o końcu leżącym na okręgu Jego długość to 6, a pozostała część średnicy od punktu A do okręgu ma długość 2 Zobacz na rysunku 6 2 A O Oblicz promień tego okręgu 78

5. Geometria na płaszczyźnie 13. W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C połączono punkt C ze środkiem O boku AB Kąt BAC jest równy a Wyraź kąt OCB za pomocą kąta a 14. Wszystkie cztery mniejsze okręgi mają środki na jednej średnicy dużego okręgu i są do siebie styczne zewnętrznie, tak jak na rysunku Udowodnij, że suma obwodów tych czterech okręgów jest równa obwodowi dużego okręgu 15. Jaki jest obwód narysowanej poniżej figury składającej się z samych półokręgów? (Bok kwadratu narysowanego przerywaną linią ma długość 2) 16. Każdy z poniższych wielokątów ma wszystkie boki równe i daje się wpisać w okrąg Oblicz miary zaznaczonych kątów a) b) c) d) 79

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy 17. Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym o bokach a, b, c, gdzie c jest przeciwprostokątną, promień okręgu opisanego R i promień okręgu wpisanego r wyrażają się wzorami: c ab a) R = b) r = 2 a + b + c a + b c) Udowodnij, że R + r = 2 a + b c d) Wykaż, że w trójkącie prostokątnym r = 2 18. Dany jest czworokąt jak na rysunku y 15 z 12 16 a) Oblicz nieznane długości i y b) Udowodnij, że czworokąt jest trapezem c) Oblicz długość przekątnej z 19. Trójkąt równoboczny o boku 2 został powiększony o trzy odcinki koła o promieniu 2 Zobacz na rysunku Powstała różna od koła figura o stałej średnicy, w tym przypadku równej 2 Oblicz pole tej figury 20. Z punktu P na okręgu o promieniu r narysowany został łuk o takim promieniu R (R > r), że dwa punkty przecięcia łuku i okręgu z punktu P widać pod kątem 60 Zobacz na szkicu 60 P Jaką część koła stanowi zacieniowany obszar? 80

5. Geometria na płaszczyźnie 21. W kwadracie o boku 4 narysowano 4 trójkąty egipskie (3, 4, 5) Zobacz rysunek 3 Jakie jest pole niezacieniowanego kwadratu? 4 22. Udowodnij, że jeśli w trapezie obie przekątne są dwusiecznymi kątów przy dolnej podstawie, to ramiona i górna podstawa tego trapezu są równe Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi 1. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c Wysokość h opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na dwa odcinki c a i c b Wyraź ich długości za pomocą a, b i c a h b c a c b c = c a + c b 2. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt ABC C D A B Punkt D jest przecięciem dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku A i dwusiecznej kąta wewnętrznego przy wierzchołku B Punkt E jest punktem przecięcia dwusiecznych dwóch zewnętrznych kątów trójkąta przy wierzchołku A i przy wierzchołku B a) Udowodnij, że punkt E leży na dwusiecznej wewnętrznego kąta trójkąta przy wierzchołku C E 81

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy b) Udowodnij, że kąty między dwusieczną kąta wewnętrznego i dwusieczną kąta zewnętrznego przy jednym wierzchołku są proste, czyli że na rysunku kąty DAE i EBD są proste c) Pokaż, że AEB + ADB = 180 d) Udowodnij, że EAB + ABE = ADB 3. Dany jest trójkąt ABC Niech środkiem odcinka AB będzie punkt D, a środkiem boku AC punkt E Bok AB jest średnicą okręgu o D o środku w D i promieniu AD, a bok AC jest średnicą okręgu o E o środku w E i promieniu AE Zobacz na rysunku Okręgi o D i o E przecinają się w dwóch punktach Jednym z tych punktów jest A Udowodnij, że drugi punkt przecięcia tych okręgów leży na prostej BC i jest spodkiem wysokości trójkąta ABC opuszczonej z punktu A A o E o D D E B F C 4. Punkty B i C leżą na okręgu o o środku w punkcie A Prosta l jest styczna do okręgu o w punkcie B, a prosta m jest styczna do okręgu o w punkcie C Proste l i m przecinają się w punkcie G Punkt D leży na krótszym łuku BC, a prosta n jest do niego styczna w punkcie D i przecina prostą l w punkcie E, a prostą m w punkcie F Odcinek EF widać ze środka okręgu pod kątem b, a z punktu G pod kątem a l n B E A D m C F G a) Udowodnij, że kąt, pod jakim widać odcinek EF ze środka okręgu, nie zależy od tego, w którym miejscu łuku BC jest punkt D, a dokładniej że β = 1 2 CAB b) Udowodnij, że 2b + a = 180 82

5. Geometria na płaszczyźnie 5. Udowodnij, że z każdych dwóch wysokości trójkąta krótsza jest ta, która pada na dłuższy bok (prostą wyznaczoną przez dłuższy bok) 6. Udowodnij, że suma odwrotności dowolnych dwóch wysokości w trójkącie musi być większa niż odwrotność trzeciej wysokości 7. Dwa koła o promieniach R i r (R > r) są styczne do siebie i oba są styczne do jednej prostej Zobacz na rysunku a) Jaka jest odległość punktów styczności z prostą? r R b) Trójkąt, który można dorysować na poprzednim rysunku, ma wymiary R + r, R r i 2 Rr Zobacz na rysunku r R + r 2 Rr R R r Znajdź parę takich przykładów liczb R i r, aby powstał trójkąt, którego boki mają długości wyrażone w liczbach naturalnych c) Jakie muszą być liczby R i r, żeby powstał trójkąt pitagorejski o bokach 5, 12, 13? d)* Jakie warunki musi spełniać para liczb R i r, żeby powstał trójkąt o całkowitych długościach boków a, b i c, takich, że ich największym wspólnym dzielnikiem jest jeden? 8. Trzy okręgi są styczne do jednej prostej, a jednocześnie są styczne do siebie Patrz rysunek poniżej r R 83

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy Jeśli znamy promienie R i r, to trzeci promień r (grecka litera ro) można wyliczyć ze 1 1 1 wzoru ρ = R + r a) Udowodnij ten wzór b) Oblicz r, wiedząc, że R = 25, a r = 9 9. Dany jest trójkąt ABC Długość boku BC to a, długość boku AC to b Prosta CD jest przedłużeniem dwusiecznej kąta ACB Przecina ona bok AB w punkcie D, dzieląc go na odcinki o długości c 1 i c 2 Prosta równoległa do dwusiecznej CD przechodząca przez punkt A przecina prostą CB w punkcie E Prosta równoległa do AB i przechodząca przez C przecina prostą AE w punkcie F B C a b c 1 D c 2 A b c 2 F E a) Udowodnij, że trójkąt EFC jest podobny do trójkąta CDB b) Udowodnij, że CE = b c) Udowodnij, że CF = c 2 d) Korzystając z podobieństwa trójkątów EFC i CDB, pokaż, że a c = 1 b c2 e) Na jakie długości dzieli bok o długości 4 w trójkącie egipskim (3, 4, 5) dwusieczna kąta między bokami o długości 3 i 5? Patrz rysunek 5 4 y 3 84 10. Udowodnij, że jeśli boki trójkąta tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q, to 5 1 5 + 1 < q < 2 2 (Liczba ϕ = 5 + 1 2 przedstawia złotą proporcję, a κ = 5 1 2 jej odwrotność )

5. Geometria na płaszczyźnie 11.* W trójkącie prostokątnym ABC z kątem prostym przy wierzchołku C narysowano odcinek CD o długości AB prostopadły do AB Zobacz na rysunku Długości odcinków oznaczono małymi literami: BC = a, AC = b, AB = c, BD =, AD = y Wyraź długości i y za pomocą a i b D B y c c E a A b C 12. W trójkąt prostokątny o bokach a, b i c, gdzie c jest przeciwprostokątną, wpisano na przeciwprostokątnej kwadrat tak, aby dotykał przyprostokątnych Bok tego kwadratu ma długość Zobacz na rysunku Wyraź przez a, b i c a b c 13. Dany jest trapez ABCD z podstawami AB = a, CD = b (a > b) i wysokością h Przedłużono ramiona BC i AD tak, że się spotkały w punkcie E i utworzyły trójkąt ABE z wysokością opuszczoną z wierzchołka E na prostą AB o długości H a) Wyraź wysokość H tylko za pomocą zmiennych a, b i h b) Pokaż, że stosunek pola trójkąta DCE do pola trapezu ABCD jest jak b 2 : (a 2 b 2 ) 14. W trójkąt równoboczny o boku 4 wpisano trzy przystające okręgi jak na rysunku Oblicz promień wpisanych okręgów 85

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy Do rozwiązania zadania 15 bardzo się przydaje następujące twierdzenie Ptolemeusza: W czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów przeciwległych boków jest równa iloczynowi przekątnych 15.* Na podstawie danych przedstawionych na rysunku znajdź długości, y i z 60 y z 65 52 16. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie długości 6 i ramionach długości 5 a) Oblicz wysokość tego trójkąta padającą na podstawę b) Oblicz odległość punktu przecięcia środkowych tego trójkąta od jego podstawy c) Oblicz odległość środka okręgu opisanego od podstawy d) Oblicz odległość środka okręgu wpisanego od podstawy 17. Na bokach równoległoboku ABCD zbudowano 4 kwadraty, ich środki nazwano K, L, M, N Zobacz na rysunku M N D C A B L K a) Udowodnij, że czworokąt KLMN jest kwadratem b) Udowodnij, że pole kwadratu KLMN jest równe polu równoległoboku ABCD powiększonemu o jedną czwartą sumy pól czterech kwadratów zbudowanych na bokach równoległoboku (Patrz zadanie 5 na stronie 76 ) 86

Odpowiedzi b) Pierwszą taką liczbą jest 101, a ostatnią 297 Wzór na ciąg tych liczb to 101 + 297 a n = 7n + 94, a 1 = 101, a 29 = 297 Suma to 29 = 199 29 = 5771 2 c) 22,222222, d) 3 0 + 3 1 + + 3 7 = 3 8 1 = 3280 3 1 5. Geometria na płaszczyźnie Zadania zamknięte 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. C C C D D C B B D B Zadania krótkiej odpowiedzi 1. a) 13, b) 5 2, c) 113, d) 12, e) 14, f) 8 2. 13 3. a) równoboczny, b) 3 3 4. = 2, y = 6 5. 1 4 6. Wskazówka: BD = FB = 2, DE = BC = 1, BDE = 45 + 60 = 105, FBC = 60 45 + 90 = 105, a więc bkb 7. b) 3 : 1 8. a) 5 3, b) = 5 8 9. a) 121, b) 56, c) 37, d) 22, e) 160, f) 42 10. a) 90, b) 4 3, c) 8 3 11. a = b = 36 12. 10 13. 90 a 15. 8p 16. a) 36, b) 144, c) 22,5, d) 360 7 18. a) = 20, y = 25, b) Wskazówka: Oba trójkąty są podobne do egipskiego (3, 4, 5) c) z = 769 19. 2p 2 3 20. 1 2 21. 16 25 143

Matematyka. Zadania powtórkowe przed maturą. Zakres podstawowy Zadania rozszerzonej odpowiedzi 1. 2 2 a b ab ca =, cb =, h = c c c 5. Wskazówka Wykorzystaj wzór na pole trójkąta 7. a) = 2 Rr b) Na przykład: r = 36, R = 25 i wtedy a = 11, b = 60, c = 61 c) R + r = 13, R r = 5, skąd R = 9, r = 4 d) Obie muszą być kwadratowe, względnie pierwsze, a jedna z nich musi być parzysta 8. a) Wskazówka: Zacznij od 2 Rr = 2 rρ + 2 ρ R (zobacz poprzednie zadanie) b) 225 64 9. e) = 5 2, y = 3 2 2 2 11. = a + ( a b), y = b + ( a b) abc 12. = 2 c + ab a 13. a) H = a b h 14. r 3 2 2 2r r 3 2r + 2r 3 = 4, skąd r = 15. = 25, y = 39, z = 56 4 2 + 2 3 2 = 1 + 3 3 1 = 3 3 1 1 16. a) 4, b) 4 3, c) 7 8, d) 3 2 6. Trygonometria Zadania zamknięte 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. C D C C B C B A C D Uwaga do 4 Jeśli a, b, γ są równe 60, to A i B odpadają, jeśli a < 45, odpada D 144

Zbiór Zadania powtórkowe... pomoże uczniom w przygotowaniu się do matury z matematyki w zakresie podstawowym. Zadania dotyczą wszystkich treści nauczania, których znajomość będzie sprawdzana na egzaminie od roku 2015. Książka składa się z 9 skomponowanych tematycznie rozdziałów. Każdy rozdział zawiera: krótkie przypomnienie teoretyczne zadania zamknięte zadania otwarte krótkiej odpowiedzi zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi. Matematyka Na końcu są zebrane odpowiedzi i wskazówki do zadań. Staranne rozwiązanie zadań ze zbioru ułatwi radzenie sobie z mniej typowymi zadaniami w trakcie egzaminu. Do zbioru załączono zestaw wzorów matematycznych przydatnych na maturze oraz do rozwiązywania zadań w tym zbiorze. W przygotowaniu Zadania powtórkowe... obejmujące treści nauczania z matematyki w zakresie rozszerzonym. Matematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Zadania powtórkowe przed maturą Zakres podstawowy Matematyka Tomasz Zamek-Gliszczyński Zadania powtórkowe przed maturą Zakres rozszerzony Matematyka Matematyka Polecamy również: Matematyka Aleksandra Gębura Kompendium maturalne Zakres podstawowy M Matematyka Matematyka MTP Matematyka Aleksandra Gębura Kompendium maturalne Zakres rozszerzony M Dobry trening dziś, to mniejszy stres jutro M