Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 1: Opis ogólny i plan pracy Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek studiów: Finanse i rachunkowość, Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Studia I stopnia/studia II stopnia Opracowała: dr hab. Ewa M. Syczewska, Instytut Ekonometrii, Kolegium Analiz Ekonomicznych SGH Warszawa, 2011

I. Informacje wstępne Na zagadnienie niestacjonarności ekonomicznych szeregów czasowych zwrócono uwagę, gdy okazało się, że próby prognozowania zmiennych makroekonomicznych i finansowych na podstawie regresji liniowych nie zdały egzaminu mimo iż model pomyślnie przechodził proces weryfikacji, prognozy uzyskane na jego podstawie nie zgadzały się z rzeczywistością, a rozbieżność wydawała się trudna do wytłumaczenia. Problem (tzw. regresja pozorna) został zbadany i wyjaśniony przez C.W.J. Grangera przyczyną była niestacjonarność zmiennych, typowa dla wielkości makroekonomicznych i finansowych. Wyobraźmy sobie wykres notowań akcji lub indeksów giełdowych, a będziemy mieć przykład zmiennej niestacjonarnej. Sposób postępowania zmierzający do uzyskania sensownych modeli ekonometrycznych powinien uwzględniać testowanie niestacjonarności zmiennych jako jeden z elementów procesu wyboru postaci modelu. Najprostszym testem stosowanym do badania niestacjonarności zmiennych jest test Dickeya-Fullera, wykorzystujący regresję przyrostów zmiennej względem jej opóźnionych wartości, a w przypadku autokorelacji składnika losowego regresję uzupełnioną o opóźnione wartości przyrostów. Test ten można przeprowadzić nawet w arkuszu kalkulacyjnym (zob. przykład dla obligacji w załączonym arkuszu Excela) pod warunkiem, że dysponujemy tablicami wartości krytycznych (w załączeniu przykładowy fragment tablic testu Dickeya-Fullera). Wygodniej jest jednak wykorzystać pakiety ekonometryczne, np. gretl. Tutaj test wywołujemy odpowiednim poleceniem z menu programu, uczymy się dobierać postać regresji i interpretować wyniki testu. Następna ważna kwestia po sprawdzeniu niestacjonarności poszczególnych zmiennych dotyczy kwestii budowy modelu dla tych zmiennych, umożliwiającego sensowne prognozowanie. Jest to związane z pojęciem kointegracji zmiennych jeśli zmienne są skointegrowane, to istnieje między nimi silny związek, który powoduje, że mimo że są niestacjonarne, jednak pewna zależność (opisana jako kombinacja liniowa) jest stacjonarna. Intuicyjnie: jeśli zmienna jest stacjonarna, to będzie się w przyszłości zachowywała podobnie jak do tej pory, więc gdy znajdziemy stacjonarną kombinację liniową badanych zmiennych, możemy na tej podstawie sensownie prognozować. Najprościej jest sprawdzić, czy wybrana kombinacja liniowa jest stacjonarna, przy użyciu testu Dickeya-Fullera. Można jednak zastosować bardziej skomplikowaną algebraicznie, ale skuteczniejszą metodę Johansena. Obie te metody są dostępne w pakiecie gretl (i w innych pakietach ekonometrycznych). 2

II. Harmonogram/scenariusz realizacji/kolejność działań 1. Moderator omawia materiał teoretyczny, przedstawia cechy wybranych zmiennych stacjonarnych i niestacjonarnych (makroekonomicznych oraz finansowych). Należy zwrócić uwagę na zachowanie i cechy charakterystyczne zmiennej oraz jej przyrostów, obserwowane na wykresach. 2. Studenci oceniają i analizują cechy charakterystyczne wybranych szeregów czasowych obserwacji zmiennych oraz ich przyrostów, sporządzają wykresy funkcji autokorelacji i autokorelacji cząstkowej dla zmiennych oraz formułują wstępne wnioski co do jakościowych cech tych wykresów. 3. Estymacja w wybranym pakiecie ekonometrycznym (np. gretl) regresji przyrostów zmiennej względem zmiennej opóźnionej, czyli najprostszej wersji regresji testu Dickeya-Fullera. Testowanie niestacjonarności zmiennej oraz jej przyrostów. 4. Zastosowanie dostępnego w pakiecie testu Dickeya-Fullera do zmiennej i do jej przyrostów, porównanie wariantów testu (z wyrazem wolnym, z wyrazem wolnym i trendem), kwestia wyboru wariantu. 5. Na podstawie wyników punktu 4. należy sformułować wnioski dotyczące stopnia integracji zmiennej. Porównać je z przypuszczeniami sformułowanymi w punkcie 2, na podstawie cech jakościowych wykresów zmiennych. 6. Przeprowadzenie testowania kointegracji zmiennych metodą Engle a-grangera: a. Estymacja MNK regresji jednej ze zmiennych względem pozostałych. b. Testowanie stacjonarności reszt tej regresji. c. Sformułowanie wniosków co do kointegracji zmiennych. d. Sprawdzenie wyników przy użyciu odpowiednich narzędzi zawartych w pakiecie. 7. Ewentualnie przeprowadzenie testowania kointegracji metodą Johansena. 8. Studenci formułują wnioski co do wyników testowania niestacjonarności, starając się nawiązać do cech badanych zmiennych ekonomicznych. 9. Moderator wyjaśnia zależności między występowaniem kointegracji zmiennych a istnieniem stabilnej dynamicznej równowagi ekonomicznej. Interpretacja wyników testu Johansena. 10. Studenci przedstawiają wyniki otrzymane dla badanych przez siebie zmiennych. 11. Ocena końcowa pracy studentów omówienie zajęć przez prowadzącego. 3

III. Opis przypadku/sytuacji Ponieważ omawiane testy są zaimplementowane w programie gretl, więc możemy wykorzystać zbiory danych (makroekonomicznych i finansowych) w formacie gretl i zilustrować sposób przeprowadzenia testów na tym przykładzie. Test ADF można również przeprowadzić w arkuszu Excela, pod warunkiem dysponowania odpowiednimi tablicami wartości krytycznych. Program gretl można zainstalować pobierając odpowiednie pliki ze strony prof. Tadeusza Kufla http://www.kufel.torun.pl oprócz plików instalacyjnych pakietu gretl są tam umieszczone dodatkowe pliki zawierające m.in. dane dla gospodarki Polski. Podajemy przykład zastosowania testów ADF i KPSS dla jednego z nich. Plan działania: 1) Sprawdzamy cechy jakościowe zmiennej na podstawie jej wykresu. 2) Testujemy niestacjonarność zmiennej przy użyciu prostej wersji testu Dickeya-Fullera w arkuszu Excela. 3) Testujemy niestacjonarność zmiennej w gretl, przy użyciu testu ADF. 4) Testujemy kointegrację dwu zmiennych w gretl, przy użyciu metody Engle a-grangera. 4

ld_wig20zam 1. Zachowanie niestacjonarnych szeregów czasowych Zmienna stacjonarna powinna mieć stałą wartość oczekiwaną, stałą wariancję a współczynniki korelacji dla obserwacji z różnych okresów zależą tylko od różnicy między tymi okresami. Sprawdzenie warunków może wymagać pewnych testów i obliczeń, jednak niektóre cechy można zaobserwować na wykresach zmiennych. Np. dochód do dyspozycji gospodarstw domowych oraz konsumpcja zagregowana, obie zmienne w ujęciu realnym, są przedstawione na rys. 1. Widać, że podlegają trendowi wzrostowemu, zatem wartość oczekiwana nie jest stała w czasie. Rys. 1. Wykres konsumpcji i dochodu do dyspozycji gospodarstw domowych, w ujęciu realnym. 7000 realcons realdpi 6000 5000 4000 3000 2000 1000 1950 1960 1970 1980 1990 2000 Wykres na rys. 2 ilustruje inny przypadek: są to zwroty logarytmiczne notowań indeksu WIG20, widoczne jest charakterystyczne dla zmiennych finansowych tego typu tzw. grupowanie wariancji (okresy mniejszych i większych wahań następujących po sobie). Wartość oczekiwana jest stała, zmienna jest wariancja. Rys. 2. Zwroty logarytmiczne zmiennej WIG20, notowań zamknięcia. 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.1 0 500 1000 1500 2000 5

Rozszerzenie: Dodatkowym wykresem ilustrującym zachowanie szeregu jest wykres funkcji autokorelacji z próby, ACF. W gretl wywołujemy go poleceniem korelogram. Dla zmiennych stacjonarnych współczynniki korelacji maleją wraz ze wzrostem opóźnień, dla zmiennych niestacjonarnych wygasanie jest bardzo powolne to może być oznaką występowania pierwiastka jednostkowego: Rys. 3. Wykres funkcji autokorelacji z próby dla notowań WIG20. ACF dla zmiennej WIG20zam 1 +- 1.96/T^0.5 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 opónienia PACF dla zmiennej WIG20zam 1 +- 1.96/T^0.5 0.5 0-0.5-1 0 5 10 15 20 25 30 opónienia 2. Test pierwiastka jednostkowego Dickeya-Fullera w Excelu Test pierwiastka jednostkowego jest na tyle prosty, że można go przeprowadzić nawet w arkuszu kalkulacyjnym, lub dowolnym pakiecie zawierającym estymację regresji metodą najmniejszych kwadratów. Trzeba tylko wykorzystać odpowiednie tablice wartości krytycznych. W przykładowym arkuszu podane są dzienne notowania obligacji brytyjskich, japońskich, amerykańskich i zachodnioniemieckich. Każdy szereg liczy 960 obserwacji. Należy wyznaczyć przyrosty zmiennej (np. notowań obligacji brytyjskich) oraz zmienną opóźnioną. Następnie szacujemy regresję przyrostów względem zmiennej opóźnionej i sprawdzamy, jaka jest wartość statystyki obliczanej tak jak iloraz typu t Studenta, tzn. jako iloraz oceny parametru przez błąd szacunku. Porównujemy ją z wartościami krytycznymi z tablic testu ADF. 6

Rys. 4. Regresja w Excelu dla testu ADF dla obligacji brytyjskich Wyniki pierwszej regresji w Excelu są następujące (czerwonym kolorem zaznaczono poprawione terminy). Oszacowano regresję przyrostów reszt względem reszt opóźnionych, czyli wersję z wyrazem wolnym. Statystyka t Studenta oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, mówiącej że wyraz wolny jest równy zeru. Ocena parametru Błąd standardowy Statystyka t Studenta Poziom istotności Wyraz wolny 0,0313 0,0298 1,0481 0,2949 BONDUK_1-0,0028 0,0029-0,9649 0,3348 Dlatego oszacowano drugą regresję, bez wyrazu wolnego.: Ocena Błąd Statystyka Poziom parametru standardowy t Studenta istotności Przecięcie 0 #N/D! #N/D! #N/D! BONDUK_1 0,000227 0,00030558 0,7432936 0,4574862 7

Interesuje nas wartość statystyki ADF = 0,7433. Jest ona dodatnia, a więc większa niż wartość krytyczna odczytana z tablic dla testu ADF, która jest ujemna. Ponieważ wartość obliczona statystyki ADF jest większa niż wartość krytyczna dla odpowiedniej liczby obserwacji i przyjętego poziomu istotności, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że badany szereg jest niestacjonarny. Następnym krokiem jest testowanie niestacjonarności przyrostów zmiennej. 3. Test pierwiastka jednostkowego i test stacjonarności w gretl Mamy do wyboru test ADF (rozszerzony test Dickeya-Fullera), dla którego hipoteza zerowa zakłada niestacjonarność szeregu spowodowaną występowaniem pierwiastka jednostkowego, oraz test Kwiatkowskiego, Phillipsa, Schmidta i Shina (KPSS), w którym hipoteza zerowa zakłada stacjonarność szeregu. Wywołanie testów w gretl: Zmienna Test ADF Po wywołaniu testu ADF można wybrać odpowiednie opcje: a) Dobieramy maksymalną liczbę opóźnień przyrostów zmiennej w regresji testu ADF (w przykładzie: 10 opóźnień) b) Wybieramy odpowiednią wersję regresji testu ze stałą, stałą i trendem liniowym lub stałą i trendem kwadratowym; c) Warto wybrać opcję testowania przez program odpowiedniej liczby opóźnień; d) Zaznaczamy, czy test ma być przeprowadzony dla zmiennej, czy dla przyrostów: 8

Wyniki testu ADF dla stopy bezrobocia oraz dla zmian stopy bezrobocia są następujące: Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej bezrob liczebność próby 118 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,145 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,00821919 Statystyka testu: tau_c(1) = -0,872058 asymptotyczna wartość p = 0,7976 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0,148 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,00834935 Statystyka testu: tau_ct(1) = -0,887747 asymptotyczna wartość p = 0,9559 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) Obliczona wartość statystyki testu jest większa niż wartość krytyczna odczytana z tablic (w Gretlu wykorzystywane są automatycznie asymptotyczne wartości krytyczne, ale dla skończonej liczby obserwacji możemy posłużyć się wartościami krytycznymi np. z książki Charemzy i Deadmana). 9

Empiryczny poziom istotności (ang. p-value) jest to prawdopodobieństwo uzyskania obliczonej wartości statystyki testu przy założeniu, że hipoteza zerowa jest prawdziwa. Jeśli to prawdopodobieństwo jest niewielkie (np. mniejsze niż 0,05), hipotezę zerową należy odrzucić. W naszym przykładzie prawdopodobieństwo (dla obu wersji testu) jest duże, nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o niestacjonarności stopy bezrobocia. Wywołujemy następnie procedurę ADF dla przyrostów zmiennej nie trzeba czynić tego dla obliczonych wcześniej przyrostów, wystarczy zaznaczyć odpowiednią opcję w teście ADF w gretl: W przypadku badania niestacjonarności przyrostów nie ma potrzeby uwzględniania trendu w równaniu regresji. Wyniki testu ADF dla zmian stopy bezrobocia są następujące: Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej d_bezrob liczebność próby 117 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,022 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,469515 Statystyka testu: tau_c(1) = -5,89422 asymptotyczna wartość p = 2,143e-007 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) 10

Jak widać, hipotezę zerową o niestacjonarności przyrostów należy odrzucić. W sumie: ponieważ stopa bezrobocia jest niestacjonarna, a jej pierwsze przyrosty są stacjonarne, więc stopa bezrobocia jest zmienną zintegrowaną stopnia 1. Wyniki testu KPSS dla stopy bezrobocia i dla inflacji są następujące: Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12 Zmienna zależna: bezrob Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 14,0026 0,441492 31,717 <0,00001 *** time 0,00396521 0,00633282 0,626 0,53243 Odporna estymacja wariancji (robust): 27,3697 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 208969 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. bezrob (z trendem) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0,530213 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,119 0,146 0,176 0,216 Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 119 obserwacji 1993:02-2002:12 Zmienna zależna: d_bezrob Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 0,0327731 0,0279405 1,173 0,24317 Odporna estymacja wariancji (robust): 0,20524 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 1237,53 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. d_bezrob (bez trendu) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0,425796 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,347 0,463 0,574 0,739 Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla stopy bezrobocia jest większa niż wartość krytyczna. Zatem stopa bezrobocia nie jest stacjonarna. Obliczona wartość statystyki testu KPSS dla zmian stopy bezrobocia jest mniejsza niż asymptotyczna wartość krytyczna przy poziomie istotności 0,05. Zatem zmiany stopy bezrobocia są stacjonarne. Oba testy dają tę samą odpowiedź: zmienna jest zintegrowana stopnia I(1), tzn. jest niestacjonarna, ale można ją sprowadzić do stacjonarnej przez policzenie pierwszych różnic. 11

Polecenie: Poniżej podane są wyniki testu ADF oraz testu stacjonarności KPSS dla zmiennej produkcja. Proszę odpowiedzieć na pytanie, czy zmienna ta jest niestacjonarna, odpowiedź uzasadnić. Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla rzędu opóźnienia 1, dla zmiennej produk liczebność próby 118 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1 - L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,086 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,0221616 Statystyka testu: tau_c(1) = -1,30176 asymptotyczna wartość p = 0,6311 z wyrazem wolnym i trendem liniowym model: (1 - L)y = b0 + b1*t + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: -0,029 estymowana wartość (a-1) wynosi: -0,311726 Statystyka testu: tau_ct(1) = -3,92024 asymptotyczna wartość p = 0,0113 Wartości p z pracy MacKinnon (Journal of Applied Econometrics, 1996) Równanie regresji testu KPSS (Kwiatkowski, Phillips, Schmidt i Shin) Estymacja KMNK z wykorzystaniem 120 obserwacji 1993:01-2002:12 Zmienna zależna: produk Zmienna Współczynnik Błąd stand. Statystyka t Wartość p const 9924,62 423,606 23,429 <0,00001 *** time 290,165 6,07627 47,754 <0,00001 *** Odporna estymacja wariancji (robust): 1,61402e+007 Suma kwadratów dla skumulowanych reszt: 8,94651e+010 Hipoteza zerowa: proces stacjonarny; test KPSS dla zm. produk (z trendem) Parametr rzędu opóźnienia (lag truncation) = 4 Statystyka testu = 0,38493 10% 5% 2,5% 1% Krytyczna wart.: 0,119 0,146 0,176 0,216 4. Przykład stabilnej zależności ekonomicznej Przykładem stabilnej zależności ekonomicznej jest zależność między konsumpcją zagregowaną a dochodem do dyspozycji gospodarstw domowych. Wyraz wolny regresji konsumpcji względem dochodu to konsumpcja autonomiczna (niezależna od dochodu), parametr przy dochodzie wyraża krańcową skłonność do konsumpcji. Jest ona stała dla danego społeczeństwa, na ogół w przedziale od 0,6 do 0,9. 12

Polecenie: Proszę otworzyć w gretlu plik danych greene5_1.gdt i oszacować regresję realcons względem realgdp. Zapisać reszty regresji pod nazwą uhat1. Następnie zastosować do nich test ADF i test KPSS. Odpowiedzieć na pytania: a) Jaka jest ocena krańcowej skłonności do konsumpcji? Czy jest zgodna z intuicją ekonomiczną? b) Czy reszty regresji konsumpcji względem dochodu są stacjonarne? Jakie wnioski można sformułować o występowaniu kointegracji zmiennych? 5. Metoda Engle a Grangera w gretl Zamiast szacować osobno regresję metodą najmniejszych kwadratów, można dla tych samych zmiennych wywołać gotową procedurę testowania kointegracji metodą Engle a-grangera lub Johansena. Odpowiednie polecenie to: Model Modele szeregów czasowych Testy kointegracji Test Engle a-grangera. Ważna jest kolejność wyboru zmiennych w naszym przykładzie jako pierwszą wybieramy konsumpcję. Rezultatem jest tablica zawierająca a) wyniki testu ADF dla każdej ze zmiennych w regresji, b) oszacowanie regresji konsumpcji względem dochodu, c) wyniki testu ADF dla reszt regresji. Krok 1: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realcons Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realcons dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)realcons liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) 13

model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.022 opóźnione różnice: F(3, 194) = 10.546 [0.0000] estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00402931 Statystyka testu: tau_c(1) = 3.09418 asymptotyczna wartość p = 1 Krok 2: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej realgdp Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu realgdp dla opóźnienia rzędu 2 procesu (1-L)realgdp liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) test z wyrazem wolnym (const) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.002 opóźnione różnice: F(2, 195) = 9.674 [0.0001] estymowana wartość (a-1) wynosi: 0.00480286 Statystyka testu: tau_c(1) = 3.20683 asymptotyczna wartość p = 1 Krok 3: równanie kointegrujące Równanie kointegrujące - Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 1950:1-2000:4 (N = 204) Zmienna zależna: realcons współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p --------------------------------------------------------------- const -149.992 6.49056-23.11 1.26e-058 *** realgdp 0.690263 0.00129129 534.6 0.0000 *** Średn.aryt.zm.zależnej 2999.436 Odch.stand.zm.zależnej 1459.707 Suma kwadratów reszt 305556.9 Błąd standardowy reszt 38.89290 Wsp. determ. R-kwadrat 0.999294 Skorygowany R-kwadrat 0.999290 Logarytm wiarygodności -1035.264 Kryt. inform. Akaike'a 2074.528 Kryt. bayes. Schwarza 2081.164 Kryt. Hannana-Quinna 2077.213 Autokorel.reszt - rho1 0.827769 Stat. Durbina-Watsona 0.323727 Krok 4: test na pierwiastek jednostkowy dla zmiennej uhat Rozszerzony test Dickeya-Fullera dla procesu uhat dla opóźnienia rzędu 3 procesu (1-L)uhat liczebność próby 199 Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) +... + e Autokorelacja reszt rzędu pierwszego: 0.005 opóźnione różnice: F(3, 195) = 2.094 [0.1023] estymowana wartość (a-1) wynosi: -0.185159 Statystyka testu: tau_c(2) = -4.19058 asymptotyczna wartość p = 0.003719 14

Kointegracja występuje, jeżeli każdy wykorzystywany proces jest I(1), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym nie jest odrzucana oraz proces resztowy(uhat) z równania kointegrującego nie jest zintegrowany I(0), tzn. hipoteza zerowa o pierwiastku jednostkowym jest odrzucana. Polecenie: Proszę przeanalizować podane wyniki testu kointegracji w gretl, skomentować a) wartość oceny Krańcowej Skłonności do Konsumpcji b) wartość oceny wyrazu wolnego c) możliwość występowania kointegracji. 7. Przykładowe zadania sprawdzające Zadanie 1. Analizując związek między pieniądzem m i dochodem y pewien ekonometryk oszacował metodą najmniejszych kwadratów następujące równanie regresji na podstawie 25 obserwacji rocznych. (Dane wyrażone są w ujęciu realnym i w logarytmach.) mt 0,858yt ut, (5,31) R 2 = 0,80; DW = 0,75; ADF(u) = 1,75; ADF(m) = 3,22; ADF(y) = 4,31. W nawiasie podano wartość statystyki t Studenta, DW jest statystyką Durbina-Watsona dla reszt, ADF jest wartością rozszerzonego testu Dickeya-Fullera dla odpowiedniej zmiennej. Wartość krytyczna testu DF wynosi 3,8. Na podstawie powyższych wyników stwierdzić, czy: (a) szeregi m i y są zintegrowane tego samego stopnia? (b) Szeregi m i y są skointegrowane? (c) Czy ma sens szacowanie modelu dla pierwszych przyrostów, z uwzględnieniem mechanizmu korekty błędu lub bez niego? Zadanie 2. Oszacowano regresję zmiennej Y względem zmiennej X. Zastosowano test Dickeya- Fullera w celu zbadania niestacjonarności zmiennych oraz reszt regresji. Obliczone wartości statystyki ADF oraz wartość krytyczna podane są w tabeli: Dla Y: Dla X: Dla reszt regresji: Wartość krytyczna 0,27 1,12 3,91 3,87 Czy prawdziwe są następujące stwierdzenia? Odpowiedź uzasadnij. a) Zmienna Y oraz zmienna X są niestacjonarne. 15

b) Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o niestacjonarności reszt regresji. c) Reszty regresji są stacjonarne, a więc zmienne Y i X są skointegrowane. IV. Wymagane rezultaty pracy i ich forma Rezultatem pracy będzie krótki (kilkustronicowy) raport z opisem przeprowadzonych procedur, zawierający odpowiedzi na postawione pytania. 16