ZADANIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW EKONOMICZNYCH

P I O T R DUDZIŃSKI ZADANIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW EKONOMICZNYCH GDYNIA 2003

Piotr Dudziński, Zadania z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych, Gdynia 2003, s. 84, bibliografia 5 poz. Skrypt zawiera rozwiązania przykładowych zadań z analizy matematycznej i algebry liniowej. Do każdego rozdziału są dołączone zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania oraz przykłady testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego tematu i przykładowe kolokwia (także w formie testów wyboru). Na końcu książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań. Opracowanie komputerowe: dr PiotrDudziński Recenzent: prof. dr hab. Andrzej Borysowicz Druk: Drukarnia Wydawnictwa Diecezji Pelplińskiej Bernardinum" w Pelplinie ISBN 83-918369-0-8

SPIS TREŚCI Wstęp 5 Granice ciągów, granice funkcji, ciągłość 7 Rachunek różniczkowy 19 Rachunek całkowy 37 Algebra liniowa 42 Odpowiedzi 65 Bibliografia 83

WSTĘP Niniejszy skrypt jest adresowany do studentów pierwszego roku studiów w Wyższej Szkole Administracji i Biznesu w Gdyni i oparty jest na wykładzie z matematyki jaki tam jest prowadzony. Materiał jaki jest omawiany pozwala jednak na korzystanie z książki także przez studentów kierunków ekonomicznych innych uczelni. Opanowanie przez studentów przedmiotu jakim jest matematyka wymaga pracy zarówno w trakcie zajęć w szkole, jak i samodzielnego rozwiązywania zadań w domu. Prezentowana książka jest pomyślana jako pomoc zarówno w jednym, jak i w drugim. Każdy rozdział zawiera na początku szczegółowe rozwiązania szeregu typowych zadań z danego zakresu partii materiału, co pozwala na samodzielną ich analizę. Do każdego rozdziału jest dołączona duża ilość zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania. Na końcu książki są zamieszczone odpowiedzi do wszystkich zadań. Każdy rozdział kończy się przykładami testów wielokrotnego wyboru dotyczących danego tematu. Ponadto dołączone zostały propozycje przykładowych kolokwiów (także w formie testów).

Rozdział 1 GRANICE CIĄGÓW, GRANICE FUNKCJI, CIĄGŁOŚĆ Zadanie 1. Obliczyć granice ciągów: 6n 3-4n 2 + 3n - 7

ZADANIA

Przykładowy test

Odpowiedzi 1. A) nie, B) tak, C) nie, 2. A) nie, B) tak, C) tak, 3. A) tak, B) tak, C) tak, 4. A) tak, B) nie, C) nie, 5. A) tak, B) nie, C) tak, 6. A) nie, B) tak, C) tak, 7. A) nie, B) nie, C) tak, 8. A) nie, B) tak, C) tak.

Rozdział 2 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

3) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji / w punkcie XQ, gdy

Przykładowy test

Odpowiedzi 1. A) nie, B) tak, C) tak, 2. A) tak, B) nie, C) tak, 3. A) tak, B) nie, C) tak, 4. A) tak, B) nie, C) nie, 5. A) tak, B) nie, C) tak, 6. A) tak, B) tak, C) nie, 7. A) nie, B) tak, C) tak, 8. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowe kolokwium 1

B) maleje w przedziale (2,4), C) osiąga w punkcie x = 4 maksimum lokalne. A) TAK NIE B) TAK NIE Odpowiedzi 1. A) nie, B) tak, C) tak, 2. A) tak, B) nie, C) tak, 3. A) tak, B) tak, C) nie, 4. A) tak, B) tak, C) nie, 5. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowe kolokwium 2

Przykładowe kolokwium 3

Przykładowe kolokwium 4

A) TAK NIE B) JAK 1 NIE Odpowiedzi 1. A) tak, B) nie, C) nie, 2. A) tak, B) nie, C) tak, 3. A) tak, B) tak, C) nie, 4. A) tak, B) nie, C) tak, 5. A) tak, B) nie, C) tak. 36

Rozdział 3

Zadanie 2. Obliczyć całki oznaczone:

Rozdział 4

wierszach. Są to: zamiana wierszy, pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera, oraz dodanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę. Każda z tych operacji prowadzi do układu równoważnego z wyjściowym, tzn. posiadającego ten sam zbiór rozwiązań. W niniejszym przykładzie dokonujemy następujących przekształceń: Z ostatniego równania wynika, że z = 3. Po podstawieniu tego wyniku do drugiego równania otrzymujemy y 1. Wstawiamy obie liczby do pierwszego równania, skąd wynika, że x 2. Ostatecznie rozwiązaniem układu X - 2 równań jest \ y 1. z = 3

Powyższy układ rozwiązujemy parametryzując tę niewiadomą, której nie ma na głównej przekątnej, w tym przypadku jest to zmienna z. Przyjmujemy z = t, gdzie t e R i przenosimy parametr t w każdym równaniu na stronę wyrazów wolnych. Układ równań przyjmuje następującą postać: = 1 + t = 3-2* 2 Z ostatniego równania otrzymujemy y = 1 -t. Wstawiamy uzyskaną 5 wartość do pierwszego równania i po przekształceniach otrzymujemy x = t.

ZADANIA

5) Rozwiązać równania macierzowe:

6) Rozwiązać układy równań liniowych stosując metodę eliminacji Gaussa.

Przykładowy test 1

4) Układ równań

Przykładowy test 2

Przykładowy test 3

A) nie ma rozwiązań? B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z t = 0, C) ma nieskończenie wiele rozwiązań. A) ITAK] NIE B) [TAK] 1 NIE C) [TAK NIE Odpowiedzi 1. A) tak, B) nie, C) tak, 2. A) tak, B) nie, C) nie, 3. A) tak, B) tak, C) tak, 4. A) tak, B) nie, C) nie.

Przykładowy test 4

A) nie ma rozwiązań, B) ma rozwiązanie takie, że x + 2y + z = 0, C) ma nieskończenie wiele rozwiązań. A) TAK NIE B) TAK NIE C) [TAK] NIE Odpowiedzi 1. A) tak, B) tak, C) nie, 2. A) nie, B) tak, C) nie, 3. A) tak, B) tak, C) tak, 4. A) tak, B) nie, C) nie.

ODPOWIEDZI

Rozdział 2.

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) -1 1 3-2 7-4 -5 3 1 0 2 2 1 i u i 11 2 11 3 11 1 1-2 O -2-3 O -1-2 2-1 2 1-1 -1-1 1 2 (5.1) X = (5.2) X = (5.3) X = (5.4) X = (5.5) X = (5.6) X = 1 2 1-1 6 1 8 2 2-6 0 2 1 4-1 O 2 1 10-6 -34 25 5 8 3 5 78

BIBLIOGRAFIA 1. W.Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa. 1993. 2. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, Wyd. Akad. Ekon., Poznań, 2000. 3. J. Piszczała, Matematyka i jej zastosowanie w naukach ekonomicznych, ćwiczenia, Wyd. Akad. Ekon., Poznań, 1999. 4. M. Sadowski, T. Spanily. Matematyka w zadaniach dla studentów kierunków ekonomicznych, Wyd. Uniw. Gda., Gdańsk, 1999. 5. T. Spanily, Elementy matematyki dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Administracji i Biznesu, Gdynia, 1996.