1 S t r o n a Teoria Gier Praca domowa 1 - rozwiązania Zadanie 1 Gdy korzystamy z toalet publicznych dominującą strategią jest: nie sprzątać po sobie. Skorzystanie z toalety przynosi dodatnią wypłatę, natomiast sprzątanie jej niesie ze sobą koszt. Naturalnie skorzystanie z czystej toalety przynosi wyższą wypłatę niż skorzystanie z brudnej. Ponieważ jednak prawdopodobieństwo skorzystania z tej samej toalety jest bardzo małe, nie opłaca nam się jej sprzątać. Nie sprzątając unikamy także kosztu związanego ze sprzątaniem. Z tego wynika, że nie sprzątać jest strategią dominującą względem sprzątać. Zadanie 2 Udział w wyborach niesie ze sobą koszt, np. należało gdzieś dojechać lub nie udało się pójść w tym czasie z dziećmi do Zoo, albo nawet trzeba było się czegoś dowiedzieć na temat kandydatów zanim zagłosujemy. Naturalnie z głosowaniem może wiązać się pozytywna wypłata jeśli kandydat przez nas preferowany zostanie wybrany. Jeśli jednak w głosowaniu bierze udział wiele osób korzyść z wzięcia udziału w głosowaniu jest bliska zeru. Jeśli większość osób głosuje na naszego kandydata to nasz głos nic nie zmienia. Z drugiej strony, gdy większość osób głosuje na drugiego kandydata nasz głos również nic nie zmienia. Jedyny przypadek, gdy nasz głos faktycznie przynosi korzyść to sytuacja, w której dokładnie tyle samo osób głosuje na naszego i tego drugiego kandydata. Wtedy nasz głos faktycznie się liczy. Dlatego, wyłączając przypadek dokładnie równego poparcia dla kandydatów, udział w głosowaniu jest strategią zdominowaną. Fakt ten tłumaczy obserwowaną niską frekwencję wyborczą. Belgia jest krajem, gdzie konstytucyjnie postanowiono zmienić wypłaty i głosowanie jest obligatoryjne pod groźbą kary. Jak długo kara za niegłosowanie jest wyższa niż koszt głosowania, udział w głosowaniu będzie strategią dominującą. Zakładając racjonalne zachowanie się głosujących, udział w wyborach należy tłumaczyć faktem, że głosujący otrzymują użyteczność z samego faktu głosowania, np. mają poczucie spełnienia obowiązku obywatelskiego. Zadanie 3 Przykładowa macierz gry podana jest poniżej. Ta gra ma równowagę w strategiach dominujących, gdy spełnione są warunki: W > 0, H > 0 oraz W/6 > H. Zawodnik 2 Bez dopingu Doping Zawodnik 1 Bez dopingu (W/2 ; W/2) (W/3 ; 2W/3 - H) Doping (2W/3 - H ; W/3) (W/2 - H ; W/2 - H)
2 S t r o n a Zadanie 4 Przykładowa macierz gry podana jest poniżej. Zauważcie, że przy takiej postaci wypłat potrzebne są warunki W>0 i H>0 oraz W > 5H, aby zapewnić równowagę w strategiach dominujących typu Dylemat Więźnia. Zawodnik 2 Bez dopingu Doping Zawodnik 1 Bez dopingu (6/10 W ; 4/10 W) (4/10 W ; 6/10 W - H) Doping (8/10 W - H ; 2/10 W) (6/10 W - H ; 4/10 W - H) Zadanie 5 Dla każdej liczby wymienionej przez jednego z graczy, najlepsza odpowiedź drugiego gracza podana jest w tabeli: Liczba wymieniona przez jednego z graczy Zbiory najlepszych odpowiedzi drugiego gracza 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 {10} {9, 10} {8, 9, 10} {7, 8, 9, 10} {6, 7, 8, 9, 10} {5, 6, 7, 8, 9, 10} {5, 6} {6} {7} {8} {9} G2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 G1 Najlepsze odpowiedzi zilustrowane są na wykresie. Z wykresu jasno wynika, że mamy cztery równowagi Nasha w strategiach czystych, które dają następujące wyniki gry: (5, 5), (5, 6), (6, 5), and (6, 6).
3 S t r o n a Zadanie 6 Cournot Wypłata firmy 1: Π 1 ( q 1,q 2 ) = (120 q 1 q 2 )q 1 12q 1 Firma 1 (firma 2 postępuje analogicznie) maksymalizuje swoją wypłatę za pomocą biorąc pod uwagę co robi frirma dwa. Warynki pierwszego rzędu dają: Π = 120 2q 1 - q 2 12 = 0 Po rozwiązaniu tego równania i symetrycznego równania dla firmy 2 otrzymujemy parę najlepszych odpowiedzi czyli funkcji reakcji: 1 2 54 1 2 54 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy: q 1 * = q 2 * = 36. Zyski firm wynoszą: Π i ( q 1 *,q 2 * ) = 1296 Stackleberg Rozwiązujemy za pomocą indukcji wstecznej. Firma 2 rusza się druga, zatem rozwiązuje problem taki sam jak w modelu Cournot. Jej funkcja reakcji dana jest wzorem: 54. Firma 1 (lider), korzystając z doskonałej informacji bierze pod uwagę 54 i rozwiązuje następujący problem: Π 1 ( q 1,q 2 ) = [120 q 1 ( - q 1 + 54 )]q 1 12q 1 Warunek pierwszego rzędu: Π = -q 1 + 54 = 0, spełniony dla W równowadze doskonałej firma 2 będzie produkować: Zyski obu firm: q 1 * = 54. q 2 * = 54-54 = 27 Π 1 (54, 27) = (120 54 27 )*54 12*54 = 1458 Π 2 (54, 27) = (120 54 27)*27 12*27 = 729
4 S t r o n a Zadanie 7 Równowaga Nasha w grze jednoczesnej to profil strategii: ś ś firma 2 firma 1 25, 9 33, 10 30, 13 36,12 Wersja dynamiczna gry: F1 F2-1 F2-2 25 ; 9 33 ; 10 30 ; 13 36 ; 12 Forma strategiczna gry sekwencyjnej: Firma 2 i jeśli Firma1 25,9 33,10 25,9 33,10 SPNE 30,13 36,12 36,12 30,13 Równowaga doskonała to profil strategii: ś ś
5 S t r o n a Druga równowaga Nasha w grze sekwencyjnej: jest najlepszą odpowiedzią gracza 1 na strategię równowagi gracza 2 dlatego, że w odpowiedzi na gracz 2 wybiera. Ta równowaga nie jest równowagą doskonałą ponieważ nie bierze pod uwagę sekwencyjnej natury gry. Jeśli gracz drugi, korzystając z doskonałej informacji, wie w którym punkcie decyzyjnym się znajduje, w F2-1 nigdy nie wybierze.