Inżynieria Finansowa: 3. Ceny obligacji i stopy procentowe

Inżynieria Finansowa: 3. Ceny obligacji i stopy procentowe Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa

Stopy procentowe Co to jest stopa procentowa? PV t, T = FV (1 + r) n Podzielmy obydwie strony równania (Present Value, Future Value) przez FV i załóżmy, że instrument wypłaca tylko i wyłącznie w terminie zapadalności. B t, T = 1 (1 + r) n B(t,T) obligacja zerokuponowa wypłacająca 1 w terminie zapadalności

Stopy procentowe Co to jest stopa procentowa? c.d. B t, T = 1 (1 + r) n Cena wykupu B(T,T)=1 Różnica określająca stopę zwrotu Cena bieżąca B(t,T) t T

Stopy procentowe Ile dziś warte jest 1 PLN otrzymane na pewno za rok? PV t, T = B t, T = 1 (1 + r) n Ile jest warte 3 PLN otrzymane za rok? PV t, T = 3 (1 + r) n lub inaczej 1 3 = B(t, T) 3 (1 + r) n Dlatego cena obligacji B(t,T) jest zarazem czynnikiem dyskontującym na okres (t,t)

Stopy procentowe Co to jest stopa procentowa? B(t,T)=DF(t,T)=1/(1+r)^n B obligacja zerokuponowa (wypłaca jedynie w terminie zapadalności) DF czynnik dyskontowy (PV=FV*DF) Cena wykupu B(T,T)=1 Cena bieżąca B(t,T) Różnica określająca stopę zwrotu B t, T = 1 1 + f( T t, r(t)) t T Jeśli T 1 <T 2 B t, T 1 < B t, T 2

Stopy procentowe a czynnik dyskontowy zwykle B t, T B t, T = 1 + f( T t, r(t)) = (1 + r(t)) (T t)

Rentowność Stopy procentowe krzywa dochodowości Krzywa dochodowości: funkcja określająca poziom stóp procentowych (czynników dyskontowych) zależnie od horyzontu czasowego Krzywa dochodowości Premia terminowa Stopy oczekiwane Termin do zapadalności 1Y 5Y 10Y 15Y 20Y 25Y 30Y Hipoteza oczekiwań długie stopy jako średnia oczekiwanych stóp krótkich Hipoteza segmentacji rynku/preferowanych habitatów (Modigliani i Sutch (1966), Vayanos i Vila (2009)) Poszczególni inwestorzy preferują określone segmenty krzywej: podaż papierów współdeterminuje rentowności

Rentowność Krzywa dochodowości a sytuacja makroekonomiczna Normalna nachylenie Płaska Odwrócona 1Y 5Y 10Y 15Y 20Y 25Y 30Y Termin do zapadalności Płaska i zwłaszcza odwrócona Oczekiwane spadki stóp krótkoterminowych Stopy krótkoterminowe determinowane przez bank centralny Obniżki stóp oczekiwania na spadek presji inflacyjnej/spowolnienie/recesję

Stopy procentowe - obligacje Obligacja wypłacająca kupony jest złożeniem obligacji zerokuponowych P t, T = CF 1 (1 + i) 1 + CF 1 (1 + i) 2 + + CF 1 + N (1 + i) T i wewnętrzna stopa zwrotu, yield-to-maturity P t, T = CF 1 (1 + r(1)) 1 + CF 1 (1 + r(2)) 2 + + CF 1 + N (1 + r(t) T r(t)-stopa zerokuponowa dla odpowiedniego tenoru (powyżej t=0) Rodzaje stóp procentowych Skarbowe < repo < międzybankowe (LIBOR, WIBOR)

Yield to maturity i: Yield to maturity 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Cena t, T = CF 1 (1 + i) 1 + CF 1 (1 + i) 2 + + CF 1 + N (1 + i) T Obserwując cenę na rynku możemy z powyższego wzoru określić YTM

Yield to maturity i: Yield to maturity 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Cena 0,2 = 113,4895 = 10 (1 + i) 1 + 110 (1 + i) 2 i = YTM = 2,95%

Stopy zerokuponowe vs. yield to maturity Ile powinna kosztować obligacja 3Y wypłacająca co roku 10 i 100 po trzech latach? Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy stworzyć krzywą dochodowości, która pozwoli nam określić bieżącą wartość dowolnego przepływu pieniężnego. Krzywa YTM tego nie umożliwia, gdyż opisuje ona bieżącą wartość jedynie konkretnych obligacji. Stworzymy krzywą zerokuponową, daną wzorem: P t, T = CF 1 (1 + r(0,1)) 1 + CF 1 (1 + r(0,2)) 2 + + CF 1 + N (1 + r(0, T) T Odpowiada ona hipotetycznym obligacjom, które nie dają żadnych płatności kuponowych, ale wypłacają jedynie na koniec. Wycena polega na zdyskontowaniu dowolnej struktury przepływów odpowiednią strukturą stóp dyskonta (zerokuponowymi).

Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity YTM 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Stopy zerokuponowe P t, T = CF 1 (1 + r(0,1)) 1 + CF 1 (1 + r(0,2)) 2 + + CF 1 + N (1 + r(0, T) T Cena 0,1 = 100,9804 = 103 r 0,1 = 2% (1 + r(0,1)) 1

Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity YTM 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Stopy zerokuponowe 2% P t, T = Cena 0,2 = 113,9804 = CF 1 (1 + r(0,1)) 1 + CF 1 (1 + r(0,2)) 2 + + CF 1 + N (1 + r(0, T) T 10 (1 + 2%) 1 + 110 r 0,2 = 3% (1 + r(0,2)) 2

Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity YTM 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Stopy zerokuponowe 2% 3% P t, T = Cena 0,3 = 107,1439 = CF 1 (1 + r(0,1)) 1 + CF 1 (1 + r(0,2)) 2 + + CF 1 + N (1 + r(0, T) T 6 (1 + 2%) 1 + 6 (1 + 3%) 2 + 106 r 0,3 = 3,5% (1 + r(0,3)) 3

Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity YTM 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Cena 1Y bond 2,00% 103 100,9804 2Y bond 2,95% 10 110 113,4895 3Y bond 3,45% 6 6 106 107,1439 4Y bond 3,92% 6 6 6 100 102,43 5Y bond 4,32% 10 10 10 10 110 125,067 Stopy zerokuponowe 2% 3% 3,5% 4% 4,5%

Krzywa zerokuponowa vs. Yield to maturity

Stopy procentowe - konwencja Konwencje liczby dni dla naliczania odsetek ACT/360, ACT/365, 30/360, ACT/ACT Sposoby kwotowanie stóp procentowych Stopa prosta (rynek pieniężny) 1 B t, T = 1 + T t r(t, T) Stopa złożona m-krotna kapitalizacja w ciągu roku (niektóre obligacje, instrumenty pochodne) 1 B t, T = m(t t) r(t, T) 1 + m Kapitalizacja ciągła (teoretyczna, używana w modelowaniu) B t, T = e r(t,t)(t t)

Kapitalizacja i siła procentu składanego Kapitalizacja ciągła jako graniczny przypadek kapitalizacji złożonej lim 1 + r mt = e rt m m

Stopy procentowe - konwencja Rodzaje stóp procentowych Skarbowe < repo < międzybankowe (LIBOR, WIBOR) Sposoby kwotowanie stóp procentowych Stopa prosta (rynek pieniężny) 1 B t, T = 1 + T t r(t, T) Stopa złożona m-krotna kapitalizacja w ciągu roku (niektóre obligacje, instrumenty pochodne) 1 B t, T = m(t t) r(t, T) 1 + m Kapitalizacja ciągła (teoretyczna, używana w modelowaniu) B t, T = e r(t,t)(t t)

Konwencje Potrzebujemy płynności na 1 dzień 100 mln PLN. Czy wolimy pożyczkę na 6%, czy pożyczkę na 7% w skali roku *? * 28 lutego (środa), pożyczka na 6% kapitalizacja dzienna konwencja 30/360, 7% roczna konwencja ACT/365

Konwencje Potrzebujemy płynności na 1 dzień 100 mln PLN. Czy wolimy pożyczkę na 6%, czy pożyczkę na 7% w skali roku *? Kwota do zwrotu przy 6% B t, T = 1 + 6%) 360 3 10 8 50 tys. PLN Kwota do zwrotu przy 7% B t, T = 1 + 7% 1 365 10 8 19 tys. PLN * 28 lutego (środa), pożyczka na 6% kapitalizacja dzienna konwencja 30/360, 7% roczna konwencja ACT/365

Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka t1 t2-1,04 mln PLN: zwrot pożyczki t1-1mln PLN: zakup obligacji t2 +1,10mln PLN: wykup obligacji +1 mln PLN: pożyczka +1,04mln PLN: pożyczka +1,10mln t1 t2 PLN: depozyt -1mln PLN: depozyt -1,04 mln PLN: pożyczka -1,097 mln PLN: spłata pożyczki

Stopy terminowe Stopa terminowa [depozyt za T, kończący się w S]=[sprzedaż obligacji zapadającej w S w ilości B(t,T)/B(t,S)]+[kupno obligacji zapadającej w T] Stopa terminowa (t<t<s) 1 + (S T)F t, T, S = B(t, T) B(t, S) F t, T, S = 1 B t, T B(t, S) S T B(t, S) Kapitalizacja ciągła: e F(t,T,S)(S T) = B(t,T) 1 ln (B t,s ) ln(b(t,t) ; F t, T, S = B(t,S) S T S T

Stopy terminowe - przykład 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Stopy zerokuponowe 2% 3% 3,5% 4% 4,5% Czynnik dyskontowy DF(0,T)=B(0,T) 0,980392 0,942596 0,901943 0,854804 0,802451 Stopy terminowe 2% Stopa terminowa (t<t<s) F 0,1,2 = 1 B 0,1 B(0,2) 2 1 B(0,2) B(t, T) 1 + (S T)F t, T, S = B(t, S) B t, T B(t, S) F t, T, S = S T B(t, S) = 1 0.9804 0.9426 2 1 0.9426 = 0.04010

Stopy terminowe - przykład 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y Stopy zerokuponowe 2% 3% 3,5% 4% 4,5% Czynnik dyskontowy DF(0,T)=B(0,T) 0,980392 0,942596 0,901943 0,854804 0,802451 Stopy terminowe 2% 4,01% 4,507% 5,515% 6,524% Stopa terminowa (t<t<s) B t, T F t, T, S = S T B(t, S) 1 F t, T, S = B t, T = S T B t, S = 1 (1 + r T ) T 1 = 1 (1 + r S ) S (1 + r S ) S (T S)(1 + r T ) T

Stopy terminowe - przykład F 0,3,4 = 1 B t, T B(t, S) S T B(t, S) F 0,3,4 = (1 + r 4) 4 (1 + r 3 ) = 1 0.9441 0.9153 4 3 0.9153 (1 + 0.02237) 3 1 = (1 + 0.019362) 3 1 = 0.024866 4 = 0.024866

Jeśli premia za ryzyko (płynnościowe, inflacyjne, kredytowe) występuje, to stopy długoterminowe są wyższe niż średnia oczekiwanych stóp krótkoterminowych. Stopy terminowe a stopy oczekiwane Stopy terminowe Jest stopą zgodną z zasadą braku arbitrażu. Traktując krzywa dochodowości jako daną liczymy stopy terminowe. Odpowiadają one cenie syntetycznych instrumentów, które możemy stworzyć pożyczając i lokując na krzywej dochodowości. Stopy oczekiwane Jeśli hipoteza oczekiwań jest prawdziwa i nie ma premii za ryzyko, to stopy oczekiwane równają się terminowym.

Cena a rentowność obligacji Z równości PV=FV/(1+r)^n wiemy, że cena obligacji jest negatywnie związana z wysokością stopy procentowej. Jak dokładniej wygląda ta zależność? Przypomnijmy, że zmianę wartości (różniczkowalnej) funkcji możemy przedstawić za pomocą wielomianu jej pochodnych, rozwijając ją w szereg Taylora: P r P r + r = r dp dr + 1 2! ( r)2d2 P dr 2 + 1 3! ( r)3d3 P dr 3+ BPV, Duracja Wypukłość Dla małych r wyższe potęgi ( r) n zmierzają do zera i zwykle dobra aproksymacja wymaga przybliżenia do drugiego rzędu włącznie (ale nie zawsze).

Cena a rentowność obligacji: przybliżenie W przypadku ceny obligacji danej jako: P t, T = CF 1 (1 + r) 1 + CF 1 (1 + r) 2 + + CF 1 + N (1 + r) T Pierwsza pochodna ceny po rentowności to: dp dr = T t k C k k=1 (1+r) t k +1 Mierzy ona liniową zależność pomiędzy wartością funkcji a jej argumentem w otoczeniu punktu r. Odpowiadającą jej miarą jest BPV oraz modyfikowana duracja (modified duration) Druga pochodna to d2 P dr 2 = T k=1 t k (t k +1)C k (1+r) t k +2 Mierzy ona stopień wypukłości funkcji w otoczeniu punktu r, a więc nieliniowość, która nie została uchwycona poprzez pierwszą pochodną. Odpowiadającą jej miarą jest wypukłość obligacji (convexity).

BPV Basis Point Value (BPV) gdzie r to 0.0001 czyli 1 pb. BPV = dp dr r Ta miara mówi o ile (monetarnie) zmieni się cena obligacji w reakcji na zmianę st.proc. o 1pb. Czasem wygodniej jest jednak pracować na zmianach względnych.

BPV - przykład Zainwestowaliśmy 30 mln PLN w trzy obligacje: 2Y, 10Y, 30Y Każda wypłaca kupony w wysokości 7% Bieżąca stopa procentowa to 7% Kupon BPV (r=7%, 10^7 PLN) Przybliżenie ceny 2Y 7% 1 800 BPV = 10Y 7% 7 023 dp dr r N 30Y 7% 12 409 Wrażliwość pochodnej na wysokość kuponu i stopę bieżącą Kupon Stopa bieżąca BPV 10Y 3% 3% 8 530 10Y 7% 5% 7 338 10Y 11% 2% 7 305

Modyfikowana duracja Modyfikowaną duracja (modified duration): D = 1 P dp dr = Jak ją wykorzystujemy? T k=1 t k C k T k=1 C k 1 + r (t k+1) 1 + r t k P r P r + r P(r) D r Mówi o ile względnie (w przybliżeniu) zmieni się cena obligacji w wyniku zmiany stopy procentowej o (zwykle jako r wstawiamy 0.01 czyli 1 p.p.) Duracja a BPV BPV = P D/10000

Duracja Macauleya Duracja Macauleya (~ średni termin zapadalności zdyskontowanych płatności): MacD = D(1 + r) Obligacje zerokuponowe mają MacD równą terminowi zapadalności Dla kapitalizacji ciągłej obie modyfikowana duracja i duracja Macauleya są sobie równe

Modufikowana duracja - zależności Modyfikowana duracja jest tym wyższa im (ceteris paribus): Dalszy jest termin do zapadalności Niższe są kupony Niższa jest stopa procentowa Dla obligacji o zmiennej stopie procentowej (Floating Rate Note) modyfikowana duracja jest bliska zeru: cena obligacji nie zmienia się wraz ze zmianą stóp procentowych Jaka w związku z tym jest duracja większości kredytów hipotecznych w Polsce?

Hipoteczne kredyty walutowe w Polsce Pierwotna zapadalność zadłużenia gospodarstw domowych Przeznaczenie kredytów udzielanych gospodarstwom domowym Źródło: NBP, obliczenia własne Uwagi: Ostatnia obserwacja kwiecień 2012 r. Kredyty Inwestycyjne: kredyty inwestycyjne, dla rolników i indywidualnych przedsiębiorców. Kredyty Inwestycyjne i Inne dla lat 1996-2001: dane szacunkowe z uwagi na zmiany klasyfikacji.

Hipoteczne kredyty walutowe - ryzyko Zależność między poziomem stopy procentowej i kursu walutowego Zmienność rat kredytów walutowych i złotowych 4,0% 3,5% 25Y 5Y 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% CHF EUR PLN CHF EUR PLN 1999-2012 2003-2012 Źródło: Bloomberg, obliczenia własne Uwagi: Dane miesięczne 1999-2012 obrazujące gęstość empirycznej kopuli. Wartości bliskie 0 oznaczają skrajnie niskie realizacje zmiennej, bliskie 1 wysokie. Dane miesięczne. Założenie: Kredyty spłacane w równych ratach obejmujących część kapitałową i odsetkową. Zmienność= Odch.Standard./Średnia z próby.

Modyfikowana duracja - przykład Kupon Mod. duracja (r=7%) Przybliżenie ceny 2Y 7% 1,80 P r + r 10Y 7% 7,02 (1 + D r)p(r) 30Y 7% 12,40

Wypukłość Wypukłość (Convexity): D = 1 P d 2 P dr 2 = T k=1 t k (t k + 1)C k 1 + r (t k+2) 1 + r t k T k=1 C k Jak ją wykorzystujemy? P r P r + r P(r) D r + 1/2 C r 2

Wypukłość - przykład Kupon Mod. Duracja D Wypukłość C Przybliżenie ceny 2Y 7% 1,80 5,01 P r + r 10Y 7% 7,02 64,9 1 + D r P r +1/2 C r 2 P r 30Y 7% 12,40 249,3

Immunizacja - przykład Załóżmy, że za dwa i pół roku musimy dokonać płatności w wysokości 10 mln PLN. Niestety na krzywej dochodowości jest dziura i są tylko zerokuponowe obligacje 2Y i 3Y o wartości nominalnej 100 (w terminie wykupu) stopie r=3%. Krzywa dochodowości jest płaska. Co możemy zrobić?

Immunizacja 1. (i) Kupić obligacje 2Y i terminie zapadalności złożyć depozyt na 6M lub (ii) zainwestować w 3Y i sprzedać pół roku przed terminem Problem: wystawiamy się na ryzyko stopy procentowej 2. Zabezpieczmy ryzyko stopy procentowej poprzez budowę portfela, którego wrażliwość na zmiany stopy procentowej jest taka sama jak naszego zobowiązania. Co musi się zgadzać? Wartość bieżąca Duracja Wypukłość

Immunizacja c.d. Wartość bieżąca PV portfel = X 100 B t, 2 + Y 100 B t, 3 PV zobowiazania = 10 000000 B t, 2.5 Duracja D portfel = X 2 1/r t, 2 + Y 3 1/r t, 3 D zobowiązania = 2,5 1/r t, 2.5

Wartość bieżąca Immunizacja c.d. X 100 B t, 2 + Y 100 B t, 3 = 10 000000 B t, 2.5 Duracja X 2 1 r t, 2 + Y 3 1 r t, 3 = 2,5 1 r t, 2.5 Przyjęliśmy, że krzywa jest płaska więc stopy 2,5 letnia r t, 2.5 jest dana. Tym samym możemy też policzyć B t, 2.5. Gdyby krzywa nie była płaska musielibyśmy je interpolować. Zatem mamy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi Przyjmując dla wygody kapitalizację ciągłą otrzymujemy: X = 49 260 Y = 1 X = 50 740

Immunizacja c.d. Wypukłość a dyspersja terminów zapadalności dd dr = d 1 dp dr P dr = d dr 1 P dp dr + 1 d P dr dp dr = 1 P 2 dp dr dp dr + 1 P d 2 P dr 2 = D 2 C = E w t k 2 E w t k 2 = Var w t k 2 C = Var w t k 2 + D 2 Wniosek: portfele o bardziej rozstrzelonych terminach zapadalność elementów składowych mają wyższą wypukłość (przy tych samych duracjach)

Immunizacja c.d. Chcielibyśmy aby C portfel > C zobowiązanie Jak jest wariancja terminów zapadalności zobowiązania? Wynosi 0 termin jest tylko jeden Var zobowiązania t k 2 = 0 D zobowiązania 2 C zobowiązania = 0 D zobowiązania 2 = C zobowiązania Portfel złożony z obligacji 2Y i 3Y ma dodatnią wariancję terminów zapadalności Var portfel t k 2 < 0 D portfel 2 C portfel < 0 C portfel > D portfel 2 Zatem C portfel > C zobowiązanie

Ograniczenia miar wrażliwości Zawodzą przy dużych zmianach stóp procentowych Mają zastosowanie dla równoległych zmian krzywej dochodowości wiele zmian nie ma takiego charakteru Dla odległych terminów zapadalności konieczne byłoby dostosowywanie struktury portfela wrażliwość jego składowych zmieniałaby się wraz z czasem

Ograniczenia miar wrażliwości Zawodzą przy dużych zmianach stóp procentowych Mają zastosowanie dla równoległych zmian krzywej dochodowości wiele zmian nie ma takiego charakteru Dla odległych terminów zapadalności konieczne byłoby dostosowywanie struktury portfela wrażliwość jego składowych zmieniałaby się wraz z czasem

Ograniczenia miar wrażliwości

Dlaczego długi koniec się obniża?

Pytanie Krzywa dochodowości jest rosnąca. Co jest wyższe: rentowność obligacji zerokuponowej czy rentowność obligacji stałokuponowej? Wyjaśnij dlaczego.