Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń 1. Podział obciążeń i odkształceń Oddziaływania na konstrukcję, w zależności od sposobu działania sił, mogą być statyczne lun dynamiczne. Obciążenia statyczne występują wtedy, gdy układ sił działający na konstrukcję nie zmienia się w czasie, tzn. wartość, zwrot, kierunek i punkt przyłożenia sił są stałe. W przypadku obciążeń dynamicznych układ sił działających na konstrukcję zmienia się w czasie. Jeżeli obciążenie zmienia się w sposób okresowy tak, że siły maksymalne i minimalne są tego samego znaku, to nazywamy je tętniącym. Jeżeli natomiast wartości graniczne obciążeń są przeciwnego znaku, to takie obciążenie nazywamy wahającym. Siły zewnętrzne działające na konstrukcje powodują w niej powstawanie różnych odkształceń. Odkształcenia te mogą mieć charakter nietrwały, czyli inaczej mówiąc sprężysty lub charakter trwały, czyli plastyczny. Odkształcenia powstają w wyniku sił powodujących rozciąganie, ściskanie, ścinanie, zginanie i skręcanie. 2. Prawo Hooke a a. Zależność wydłużenia od siły Podczas działania sił na elementy konstrukcyjne występują odkształcenia, czyli zmiana wymiarów. Zależność przyłożonej siły uzyskanego przyrostu długości przedstawia poniższy wykres (Rys. 1). W zakresie od początku układu współrzędnych do F h występuje zakres sprężysty tzn. działająca siła i przekrój są do siebie proporcjonalne. Po ustąpieniu siły wymiary przedmiotu powracają do stanu pierwotnego. Dla sił większych niż F h i mniejszych od F e mamy do czynienia z zakresem plastycznym, czyli po ustąpieniu iu siły rozciągającej przedmiot ulega trwałemu odkształceniu. Dalszy wzrost siły powoduje zmniejszanie się przekroju w sposób istotny. Po osiągnięciu siły F m wydłużenie nadal się zwiększa aż Rys. 1. Zależność wydłużenia od przyłożonej siły podczas następuje zerwanie przedmiotu. Opisywanym siłom rozciągania odpowiadają naprężenia: - Granica proporcjonalności, czyli zakres obowiązywania prawa Hooke a; - Granica plastyczności - Wytrzymałość mechaniczna - Naprężenie rozrywające Prawo Hooke a określa zależność wydłużenia materiału konstrukcyjnego w zależności od przyłożonej siły, które można sformułować następująco: Wydłużenie jest wprost proporcjonalne do długości początkowej i przyłożonej siły oraz odwrotnie proporcjonalne do przekroju i modułu sprężystości Younga. Prawo Hooke a opisuje poniższy wzór: 1

gdzie: l wydłużenie w [m]; F siła w [N]; l 0 długość początkowa w [m]; S pole przekroju w [m 2 ]; E moduł sprężystości Younga w [Pa]. Po przekształceniach wzór można doprowadzić do postaci: gdzie: to naprężenie i to wydłużenie względne. b. Moment bezwładności i wskaźnik przekroju Podczas obliczeń odkształceń i naprężeń przy zginaniu i skręcaniu należy korzystać z parametrów zależnych od kształtu przekroju elementu konstrukcyjnego. Są to moment bezwładności i wskaźnik przekroju. Ich wartości dla kilku najczęściej spotykanych kształtów przekrojów podaje poniższa tabelka. Przekrój Tabela 1. Wskaźniki przekroju i momenty bezwładności przekroju dla zginania i skręcania Wskaźnik przekroju w x [mm 3 ] Zginanie Moment bezwładności przekroju J x [m 4 ] Wskaźnik przekroju w 0 [m 3 ] Skręcanie Moment bezwładności przekroju J 0 [m 4 ] 32 64 16 32 32 64 16 32 6 12 0,141 0,208 6 12 1,5 2 4 6 k 1 0,196 0,229 0,281 0,299 k 2 0,231 0,246 0,282 0,299 W celu obliczenia lub sprawdzenia poprawności doboru konstrukcji należy obliczać naprężenia występujące w elementach konstrukcji i porównać je z naprężeniami dopuszczalnymi. Przeciętne wartości naprężeń dopuszczalnych przedstawia poniższa tabelka. Tabela 2. Naprężenia dopuszczalne dla różnych odkształceń Rodzaj odkształcenia Naprężenie dopuszczalne Rozciąganie 0,48 Ściskanie Zginanie 0,53 Ścinanie 0,27 Skręcanie 2

Do obliczeń są również potrzebne są również stałe materiałowe. Dla kilku przykładowych materiałów w tabeli są podane moduł sprężystości Younga E, Moduł skręcalności G, moduł Poissona P i współczynnik rozszerzalności cieplnej α. Tabela 3. Wybrane parametry dla kilku materiałów Materiał Moduł Younga E [GPa] Moduł skręcalności G [GPa] Moduł Poissona P Współczynnik rozszerzalności cieplnej α [1/K] Diament 1200 Aluminium 70 Miedź 130 Srebro 74 Złoto 79 Stal 210 Szkło 80 Granit 30 Pleksi 3,2 3. Rozciąganie 480 0,25 26 0,345 48 0,343 27 0,367 28 0,420 85 0,293 23 0,270 12 0,300 1,14 0,400 0,0118 10 4 0,224 10 4 0,162 10 4 0,195 10 4 0,142 10 4 0,12 10 4 0,005 10 4 0,083 10 4 0,8 10 4 Rozciąganie występuje, gdy dwie siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach (skierowane od siebie) działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego wydłużenie z jednoczesnym zmniejszeniem jego przekroju. Rys. 2. Rozciąganie pręta swobodnego Przykłady rozciągania pręta są pokazane na Rys. 2 i Rys. 3. Rys. 3. Rozciąganie pręta utwierdzonego b. Obliczanie odkształceń i wytrzymałości Wydłużenie rozciąganego pręta oblicza się z wzoru opisującego prawo Hooke a: gdzie: l wydłużenie bezwzględne wyrażone w jednostkach długości [m]; l 0 długość początkowa [m]; F siła powodująca rozciąganie [N]; E Moduł Younga [MPa]; S Przekrój pręta [m 2 ]. Przykład 1: Obliczyć, jakie wydłużenie spowoduje siła F=30 kn obciążająca pręt stalowy o średnicy d=20 mm i o długości l 0 =1,5 m.. Przyjąć, że moduł Younga dla stali wynosi E=2,1 10 5 MPa i Moduł Poissona P=0,293. Obliczyć również zmniejszenie średnicy pręta spowodowane wydłużeniem. Rozwiązanie: W celu obliczenia wydłużenia należy skorzystać z wzoru opisującego prawo Hooke a: 4 4 4 30 10 1,5 210000 10 3,14 0,02 6,82 10 0,682 3

0,000133 0,02 2,66 10 2,66 Odpowiedź: Pręt ulegnie wydłużeniu o l=0,682 mm, czyli jego długość osiągnie l=1,500682 m. Średnica pręta w wyniku rozciągania ulegnie zmniejszeniu o d=2,66 µm. 0,293 0,682 1500 0,000133 Przykład 2: Drut stalowy o długości l 0 =6 m uległ wydłużeniu o l=3 mm.. Obliczyć wydłużenie względne oraz sprawdzić naprężenie przyjmując naprężenie dopuszczalne k r =118 MPa i moduł Younga E=2,1 10 5 MPa = 2,1 1010 11 Pa. Rozwiązanie: Ze względu na nieznaną siłę i przekrój drutu musimy najpierw dokonać przekształcenia wzoru określającego prawo Hooke a: 1 1 Stąd już łatwo można obliczyć wydłużenie względne α i naprężenie σ: 3 0,0005 0,5 10 6000 0,5 10 2,1 10 105 10 105 Odpowiedź: Naprężenie w drucie wynosi σ=105 MPa i jest mniejsze od dopuszczalnego k r =118 MPa. Obliczanie wytrzymałości to między innymi dobór wymiarów konstrukcji takich jak długości i przekroje elementów oraz sprawdzenie dopuszczalnych naprężeń w konstrukcjach o podanych wymiarach. W obliczeniach należy stosować współczynniki bezpieczeństwa dość znacznie łagodzące warunki pracy konstrukcji. Punktem wyjścia jest naprężenie określone na granicy plastyczności R E oraz współczynnik zależny od rodzaju obciążenia. Przy rozciąganiu naprężenie dopuszczalne można przyjmować jako k r =0,48 R e. Przykład 3: Sprawdzić, czy pręt stalowy o średnicy d=20 mm może być obciążony siłą F=30 kn? Przyjąć, że naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi k r =118 MPa. Rozwiązanie: Aby sprawdzić obciążenie pręta, należy porównać naprężenie wywołane zadaną siłą z naprężeniem dopuszczalnym. Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy: 4 4 4 30 10 95,5 3,14 0,02 Odpowiedź: Obliczone naprężenie w pręcie jest mniejsze od dopuszczalnego, więc obciążenie jest prawidłowe. Przykład 4: Obliczyć długość drutu stalowego o przekroju S=1 mm 2 swobodnie zawieszonego jednym końcem (Rys. 4), w którym pod jego własnym ciężarem nie zostanie przekroczone naprężenie dopuszczalne. Do obliczeń przyjąć, że naprężenie dopuszczalne dla stali wynosi k r =118 MPa oraz gęstość stali γ=7800 kg/m 3. Rozwiązanie: Największe naprężenie występuje oczywiście w punkcie zawieszenia, ponieważ jego obciążenie jest równe całemu ciężarowi drutu. Przyjmujemy, że nie może być większe a co najwyżej równe naprężeniu dopuszczalnemu, czyli σ=k r. W pierwszej kolejności obliczamy wielkość występującej tu siły: Rys. 4. Ilustracja przykładu 4 4

118 10 1 10 118 Długość drutu obliczymy z jego objętości (objętość = przekrój długość), natomiast objętość możemy obliczyć wyznaczając masę: Odpowiedź: Długość drutu spełniającego warunki zadania wynosi l=1,54 km. 4. Ściskanie 118 12,03 9,81 12,03 7800 1,542 10 1,542 10 1 10 1542,12 1,54 Ściskanie występuje, gdy dwie siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach (skierowane do siebie) działają wzdłuż osi np. pręta. Powoduje to jego skrócenie z jednoczesnym zwiększeniem jego przekroju. Rys. 5. Ściskanie pręta swobodnego Przykłady rozciągania pręta są pokazane na Rys. 5 i Rys. 6. Rys. 6. Ściskanie pręta utwierdzonego b. Obliczanie odkształceń i wytrzymałości Długość ściskanego pręta oblicza się Parametry Przykład 5: Pręt stalowy o długości l 0 =999 mm i o średnicy d=20 mm umieszczono między dwiema nieruchomymi ścianami odległymi od siebie o l 1 =1 m. Obliczyć naprężenie występujące w pręcie po ogrzaniu go o υ=100 K.. Do obliczeń przyjąć współczynnik rozszerzalności cieplnej α υ =0,12 10-4 1/K,, moduł Younga E=2,1 10 5 MPa. Rozwiązanie: Rozwiązanie zostanie podzielone na dwie części. Najpierw zostanie obliczony przyrost temperatury, który spowoduje wydłużenie pręta do długości l1,, czyli nie spowoduje naprężeń. Następnie zostanie obliczony brakujący przyrost temperatury, który już wywoła naprężenia oraz samo naprężenie i wywołującą je siłę. Z wzoru na rozszerzalność cieplną obliczamy przyrost temperatury υ 1. 1 1000 999 83,42 999 0,12 10 Dalszy wzrost temperatury o 100 83,42 16,58 spowodowałby dalszy wzrost długości do l 2. Oczywiście ten wzrost musi być ściśnięty do długości l 1 wywołując siłę i naprężenie. Najpierw obliczamy długość l 2 a następnie naprężenie σ i siłę F: Odpowiada to wydłużeniu względnemu: 1 10001 0,12 10 16,58 1000,2 5

Stąd naprężenie i siła są równe: 2,1 10 0,2 10 42 4 42 10 3,14 10 13188 13,2 Odpowiedź: Podczas ogrzania pręta najpierw osiąga on długość równą odległości między ścianami, a następnie dalszemu wzrostowi długości towarzyszy mu ściskanie, w wyniku, czego naprężenie osiąga wartość σ=42 Mpa. 5. Ścinanie 1000,2 1000 0,0002 0,2 10 1000 3,14 0,02 4 3,14 10 Ścinanie występuje wtedy, gdy para sił o bardzo małym ramieniu działa na konstrukcję powodując przesunięcie jednej części powodując jego przecięcie. Ze względu na działanie sił jest to oddziaływanie podobne do ściskania. Różnica polega na tym, że przy ścinaniu siły są nieco przesunięte względem siebie. Przykładem występowania ścinania mogą być nożyce lub gilotyna, gdzie dąży się do rozcięcia materiału. W tym wypadku naprężenia tnące muszą przekroczyć wytrzymałość ciętego materiału. Natomiast połączenia nitowane, gdzie również występują siły tnące, musi być tak dobrane, aby siły styczne nie zerwały nitu. Rys. 7. Ścinanie Przykład ścinania pręta jest pokazany na Rys. 7. Rys. 8. Zginanie pręta dwiema parami sił b. Obliczanie odkształceń i wytrzymałości Podczas ścinania siły działają poprzecznie na przekrój elementu konstrukcyjnego. Aby stwierdzić, czy siły działające w układzie mechanicznym nie spowodują ścięcia elementu konstrukcyjnego, należy sprawdzić naprężenie ścinające, jak w poniższym przykładzie. Przykład 6: Obliczyć, jaka powinna być średnica nitu d (Rys. 9), aby nie doszło do zniszczenia pod wpływem ścięcia jeżeli działa siła F= = 4000 N i dopuszczalne naprężenie tnące wynosi k t =55 MPa. Rozwiązanie: Szukaną średnicę nitu obliczamy z wzoru na naprężenie wykonując proste przekształcenie. Rys. 9. Połączenie nitowane do przykładu 6 4 4 4 4000 3,14 55 10 0,00962 9,62 Odpowiedź: Minimalna średnica nitu wynosi d=9,62 mm.. Należy dobrać najbliższy większy znormalizowany np. d=10 mm. 6

6. Zginanie Zginanie pręta może wystąpić w następujących przypadkach. Pierwsza sytuacja dotyczy pręta, do którego końców zostały przyłożone dwie pary sił (momenty zginające) równych, lecz przeciwnie skierowanych. Zginanie występuje również w przypadku pręta podpartego w dwóch miejscach (przynajmniej jedna podpora jest swobodna) obciążonego siłą przyłożoną między podporami. Do zginania dochodzi również w przypadku pręta utwierdzonego jednym końcem a do drugiego końca jest przyłożona siła zginająca. Rys. 10. Zginanie pręta podpartego w dwóch punktach Rys. 11. Zginanie pręta utwierdzonego Opisane sytuacje są przedstawione na Rys. 8, Rys. 10 i Rys. 11. b. Obliczanie odkształceń i wytrzymałości Odkształcenia i wytrzymałość podczas zginania oblicza się nieco inaczej z tego powodu, że naprężenie nie jest jednakowe w różnych miejscach przekroju. Wielkość naprężeń jest zależna również od kształtu przekroju. Dlatego też do obliczeń nie wystarczy jedynie powierzchnia tego przekroju, ale też współczynnik zależny od kształtu. Mowa tu o wskaźniku przekroju oraz o momencie bezwładności przekroju. Wspomniane tu parametry dla kilku różnych kształtów są podane w tabeli 1. Wielkość ugięcia jest zależne oczywiście od wielkości siły lub momentu gnącego, ale również od kształtu przekroju i sposobu zamocowania pręta, belki, słupa itp. Współczynniki c zależne od sposobu mocowania i obciążenia podaje tabela 4. Tabela 4. Współczynniki do obliczania ugięcia w zależności od zamocowania i sposobu obciążenia Sposób mocowania Szkic Sposób obciążenia Współczynnik c Na końcu 1/3 Jeden koniec zamocowany, drugi swobodny Równomierne 1/8 W środku 1/48 Oba końce podparte Równomierne 5/384 W środku 1/192 Oba końce zamocowane Równomierne 1/384 7

Przykład 7: Słup krańcowy o przekroju kwadratowym i o wysokości h=12 m jest obciążony naciągiem trzech przewodów o sile F=450 N każdy. Dobrać wymiary przekroju słupa, jeżeli naprężenie dopuszczalne wynosi k g =15 MPa. Rozwiązanie: W celu obliczenia wymiarów przekroju słupa należy obliczyć moment gnący, wskaźnik wytrzymałości przekroju i ostatecznie wymiary poprzeczne słupa. 3 3 450 12 16200 16,2 Naprężenia mechaniczne w przekroju słupa powinny być mniejsze niż: 6 6 6 6 16200 15 10 0,1864 18,64 Odpowiedź: Minimalne wymiary przekroju słupa wynoszą a=16,64 cm. Przykład 8: Obliczyć wielkość ugięcia słupa z poprzedniego przykładu. Do obliczeń przyjąć moduł Younga E=150 GPa. Rozwiązanie: W celu obliczenia ugięcia słupa najpierw obliczamy moment bezwładności przekroju: Rys. 12. Obciążenie zginające do przykładu 7 i 8 1 12 1 12 0,1864 0,0001006 Następnie korzystamy z następującego wzoru przyjmując współczynnik c=0,333: Odpowiedź: Słup o długości h=12 m ugnie się pod wpływem obciążenia przewodami o x=15,5 cm. 7. Skręcanie 0,333 12 150 10 1350 0,155 15,5 0,0001006 Gdy końce pręta są obciążone dwiema parami sił leżącymi w płaszczyznach prostopadłych do osi pręta i o momentach przeciwnie skierowanych występuje odkształcenie zwane skręcaniem. Skręcanie występuje również w przypadku pręta utwierdzonego jednym kątem a na drugi koniec działa siła lub para sił w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta. Rys. 13. Skręcanie pręta swobodnego Przykłady skręcania pręta są przedstawione na Rys. 13 i Rys. 14. Rys. 14. Skręcanie pręta utwierdzonego b. Obliczanie odkształceń i wytrzymałości 8

Skręcanie jest również obciążeniem, w którym występują różne naprężenia w różnych miejscach przekroju. Zależne są one od kształtu przekroju. Wynika z tego, że do obliczeń należy również stosować parametr zwany momentem bezwładności przekroju. Zależności pozwalające go obliczyć są umieszczone w tabeli 1. Przykład 9: Dobrać minimalną średnicę słupa przelotowego o wysokości l=12 m dla najbardziej niekorzystnego przypadku, gdy zerwaniu ulegną dwa skrajne, przeciwległe przewody. Siła naciągu pojedynczego przewodu wynosi F=1000 N,, długość poprzeczki słupa x=0,5 m.. Naprężenie dopuszczalne k s =5 MPa. Rozwiązanie: W pierwszej kolejności należy obliczyć moment skręcający: 2 2 1000 0,5 1000 Rys. 15. Ilustracja przykładu 9 i 10 Następnie z warunku wytrzymałości i wzoru na wskaźnik przekroju obliczamy minimalną średnicę słupa: 16 16 16 16 1000 3,14 5 10 0,1006 10,1 Odpowiedź: Minimalna średnica słupa wynosi d=10,1 cm. Przykład 10: Obliczyć skręcenie słupa z poprzedniego przykładu. Do obliczeń przyjąć moduł skręcalności G=70 GPa. Rozwiązanie: W celu obliczenia kąta skręcenia słupa korzystamy z poniższego wzoru: 2 32 32 1000 12 3,14 70 10 0,017 0,163 0,1006 Odpowiedź: Skręcenie słupa wyniesie ϕ=0,017 rad. 8. Twardość materiałów Jednym ze sposobów pomiaru twardości jest metoda Brinella. Polega ona na wywołaniu nacisku odpowiednią siłą na badany materiał głowicą zakończoną kulką o średnicy D (stosowane średnice kulki są następujące: 10 5 2,5 2 1 mm). Następnie mierzy się średnicę odcisku d i oblicza się stopień twardości HR. b. Obliczanie odkształceń i stopnia twardości Przykład 11: Obliczyć stopień twardości materiału, jeżeli średnica użytej kulki wynosi D=10 mm, średnica odcisku d=1,5 mm a siła nacisku F=3000 N = 300 dan. Rozwiązanie: W celu obliczenia twardości należy skorzystać z wzoru: 2 Odpowiedź: Twardość wynosi 168,88 HB. 2 300 3,14 10 10 10 1,5 10 10 10 10 10 Rys. 16. Metoda Brinella badania twardości materiałów 168,8 9

Przykład 12: Obliczyć promień powierzchni styku kulki o promieniu R=5 mm naciskającej siłą F=3000 N na powierzchnię badaną. Do obliczeń przyjąć moduł sprężystości kuli E 1 =530 GPa oraz materiału badanego E 2 =210 GPa. Rozwiązanie: Aby obliczyć promień powierzchni styku kulki naciskającej na powierzchnię badaną należy podstawić dane zawarte w treści zadania do wzoru: 2 3 1 Odpowiedź: Promień odcisku wyniesie r=4,05 mm. 9. Sprężyna Wydłużenie sprężyny o N zwojach, o średnicy D=2R wykonanej z drutu o średnicy d=2r pod wpływem siły F wywołującej, wołującej, co najwyżej naprężenie dopuszczalne w materiale sprężyny. Przykład 13: Obliczyć wydłużenie sprężyny o N=20 zwojach, o średnicy D=20 mm,, wykonanej z drutu o średnicy d=1 mm przyjmując naprężenie dopuszczalne k s =50 MPa.. Do obliczeń przyjąć moduł skręcalności G=85 GPa. Rozwiązanie: Do obliczeń korzystamy z wzoru: 4 Odpowiedź: Wydłużenie wyniesie 19 mm. 1 2 3 3000 5 1 530 10 1 210 10 4,05 4 20 0,02 50 10 0,019 19 0,001 85 10 10