SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów: Budownictwo, studia stacjonarne I-go stopnia Rok I, Semestr I Liczba godzin: ćwiczenia 30 10 zajęć po 3 godziny Osoba prowadząca przedmiot: dr Wiesława Drozda, Katedra Matematyki Stosowanej Wydział Matematyki i Informatyki UWM w Olsztynie 1. Krótki opis przedmiotu Zajęcia wyrównawcze z matematyki mają na celu wyrównanie różnic edukacyjnych z zakresu szkoły średniej. Zajęcia prowadzone są w formie ćwiczeń. Na początku każdych zajęć, przypominane są wiadomości teoretyczne dotyczące omawianego zagadnienia. Treści programowe zawierają wybrane wiadomości z zakresu szkoły średniej niezbędne dla studentów rozpoczynających studia na kierunku Budownictwo. Program zawiera powtórzenie wiadomości z zakresu: geometrii analitycznej, trygonometrii, funkcji: liniowej, kwadratowej, potęgowej, logarytmicznej, wykładniczej ze szczególnym uwzględnieniem technik rachunkowych dotyczących przekształcania wyrażeń algebraicznych oraz rozwiązywania równań i nierówności różnego typu. 2. Treści ćwiczeń: 1. Działania na potęgach. Wyrażenia algebraiczne. 2. Geometria analityczna na płaszczyźnie rachunek wektorowy. 3. Geometria analityczna linia prosta. 4. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej. 5. Funkcje liniowa i funkcja kwadratowa. 6. Trygonometria. 7. Wielomiany, funkcje wymierne, równania i nierówności wyższych stopni. 8. Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne. 9. Krzywe stopnia drugiego. 3. Zasady zaliczania przedmiotu: obecność obowiązkowa, napisanie testu początkowego pierwsze zajęcia, zaliczenie testu końcowego ostatnie zajęcia, 1
4. Zalecana literatura: 1. Henryk Pawłowski, Matematyka 3. Zakresy podstawowy i rozszerzony Zbiór zadań, 2012, Operon. 2. Jerzy Nowik, Zbiór zadań z matematyki, liceum ogólnokształcące, liceum profilowane i technikum, Zakres podstawowy i rozszerzony, 2005, Wydawnictwo Nowik. 3. Robert Całka: Matematyka korepetycje, część 1, 2, 3. Liceum, 2012, Wydawnictwo Greg. 4. Alicja Cewe, Halina Nahorska, Matematyka klasa 1 3, poziom rozszerzony. Matura z matematyki od roku 2010, zbiór zadań, Wydawnictwo Podkowa. 5. Marek Zakrzewski, Danuta Zakrzewska, Tomasz Żak, Matematyka, matura na 100%. Repetytorium, 2005, Wydawnictwo Szkolne PWN. 6. Krystyna Dobrowolska, Wacław Dyczka, Helena Jakuszenkow, Matematyka repetytorium, 1995, Wydawnictwo Helpmath. 7. Norbert Dróbka, Karol Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla klasy III i IV liceum ogólnokształcącego, 1990, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne. 2
ZAJĘCIA NR 1 I. Działania na potęgach. Wyrażenia algebraiczne. 1. Definicje potęg o wykładniku: naturalnym, całkowitym, wymiernym, rzeczywistym. 2. Pierwiastek arytmetyczny. 3. Własności działań na potęgach: - iloczyn, iloraz potęg o tych samych podstawach, - potęga potęgi, - iloczyn, iloraz potęg o tych samych wykładnikach. 4. Wzory na potęgowanie wzór dwumienny Newtona, trójkąt Pascala. 5. Wzory uproszczonego mnożenia. Zadania 1. Obliczyć: d) e) 2. Wykonać działania: 3
3. Uprościć wyrażenia: 4. Usunąć niewymierność z mianownika: d) e) 5. Rozwinąć według wzoru dwumiennego Newtona wyrażenie 4
6. Napisać czwarty wyraz rozwinięcia 7. W rozwinięciu wyrażenia znaleźć wyraz proporcjonalny do ZAJĘCIA NR 2 II. Geometria analityczna na płaszczyźnie rachunek wektorowy. 1. Definicja,długość, wersor wektora. 2. Działania na wektorach, środek odcinka. 3. Iloczyn skalarny własność, kąt między wektorami, warunek prostopadłości wektorów. 4. Wyznacznik pary wektorów warunek równoległości wektorów, pole trójkąta. Zadania 1. Dane są punkty Obliczyć współrzędne i długości wektorów:,, 2 4, 2 3,,. 2. Dany jest wektor Zbadać czy istnieje taka liczba rzeczywista, aby zachodziła równość gdy: Co można powiedzieć o wektorach, gdy taka liczba istnieje? 3. Punkt jest środkiem odcinka Wyznaczyć współrzędne punktu, mając dane współrzędne punktu. 4. Czy czworokąt o kolejnych wierzchołkach jest trapezem? 5. Korzystając z wyznacznika wektorów, obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach: 6. Obliczyć cosinus kąta między wektorami jeżeli:, 5
,. 7. Dane są wierzchołki trójkąta. Znaleźć kąt wewnętrzny tego trójkąta przy wierzchołku. 8. Dla jakiej wartości parametru, wektor jest prostopadły do wektora, jeśli:. ZAJĘCIA NR 3 III. Geometria analityczna linia prosta. 5. Różne postacie równania prostej: Postać ogólna równania prostej, Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, Równanie kanoniczne, d) Równanie parametryczne, e) Postać odcinkowa równania prostej. 6. Współczynnik kierunkowy prostej równanie kierunkowe prostej. 7. Wzajemne położenie dwóch prostych: warunek prostopadłości, warunek równoległości, punkt przecięcia. 8. Odległość punktu od prostej. Zadania 1. Dane jest równanie ogólne prostej, znaleźć jej równanie kierunkowe i równanie parametryczne. 2. Dane są równania parametryczne prostej, znaleźć jej równanie ogólne. 3. Prosta ma równanie. napisać równanie prostej równoległej do i: 6
przechodzącej przez punkt, odległej od niej o jednostki. 4. Dane są punkty i. Znaleźć: równanie symetralnej odcinka, punkt symetryczny do punktu względem prostej wyznaczonej przez punkty i. 5. Dla jakiej wartości parametru proste: są: prostopadłe, równoległe? 6. Wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez początek układu i punkt. 7. Do prostej należą punkty i.prosta jest prostopadła do i przechodzi przez punkt Napisać równanie prostej mając dane: ;. 8. Dla jakich wartości parametrów proste o równaniach i Przecinają się w punkcie? 9. Obliczyć odległość punktu od prostej, mając dane współrzędne punktu i równanie prostej, ;,. 10. Mając dane punkty, znaleźć współrzędne punktu należącego do prostej i odległego od punktu o 5 jednostek. 11. Wyznaczyć kąt między prostymi: i. 7
ZAJĘCIA NR 4 IV. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej. 9. Definicja. 10. Wykres. 11. Dziedzina. 12. Funkcja różnowartościowa i funkcja odwrotna. 13. Własności: ograniczoność, monotoniczność, parzystość, okresowość. 14. Moduł (wartość bezwzględn. 15. Superpozycja funkcji. Zadania 1. Wyznaczyć dziedzinę następujących funkcji:,,,, d), e), f) g) - 2. Zbadać pod względem parzystości i nieparzystości funkcje: 3. Zbadać okresowość następujących funkcji: 8
4. Wyznaczyć okres podstawowy funkcji: d) e) 5. Wykazać, że funkcja elementarna dana poniższym wzorem jest różnowartościowa i wyznaczyć funkcje odwrotną: 6. Funkcja (naszkicuj jej wykres) nie jest różnowartościowa, ale pewne jej zawężenia są różnowartościowe. Wyznaczyć funkcje odwrotne do tych zawężeń. 7. Dane są funkcje: Utworzyć superpozycję d), e) f) V. Funkcje liniowa i funkcja kwadratowa. 16. Funkcja liniowa: definicja, wykres, własności. 17. Funkcja przedziałami liniowa. ZAJĘCIA NR 5 18. Układy równań liniowych interpretacja geometryczna. 19. Funkcja kwadratowa: definicja, wykres. 20. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej postać kanoniczna. 21. Wzory Viete a. 22. Nierówności liniowe i kwadratowe. Zadania 1. Narysować w jednym układzie wykresy funkcji danych wzorem: dla dla. 9
2. Napisać wzór określający funkcję liniową, która: dla ma wartość i dla ma wartość ma wartość i dla ma wartość dla argumentów przyjmuje wartości,. 3. W układzie dane są punkty:. Narysować łamaną i napisać wzory określające funkcję, której wykresem jest ta łamana. 4. Narysować wykres funkcji określonej wzorem : 5. Rozwiązać względem w zależności od parametru równanie:. 6. Rozwiązać następujące układy równań:. 7. Rozwiązać w zależności od parametrów następujące układy równań:. 8. Dane są funkcje:. Znaleźć miejsca zerowe, narysować wykresy, podać postać kanoniczną. 9. Pierwiastki i równania spełniają zależność. 10
wyznaczyć współczynnik. 10. Rozłożyć na czynniki:. 11. Dane jest równanie: Dla jakich wartości parametru będą istnieć pierwiastki dodatnie? 12. Rozwiązać następujące nierówności: d) e) f) g) h) i) ZAJĘCIA NR 6 VI. Trygonometria. 23. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. 24. Podstawowe wzory trygonometryczne. 25. Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego. 26. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej. 27. Własności i wykresy funkcji trygonometrycznych. 28. Związki między funkcjami trygonometrycznymi. 29. Równania i nierówności trygonometryczne. 30. Zastosowania funkcji trygonometrycznych. 11
Zadania 1. Zbadać, czy istnieje kąt taki, że: i i i d) i e) i. 2. Dane są wyrażenia: Każde z nich wyrazić jako funkcję zmiennej. 3. Przekształcić do najprostszej postaci wyrażenia: d) dla 4. Wykazać, że przy określonych założeniach (jakich?) prawdziwe są równości:,., d) e) 5. Rozwiązać równania trygonometryczne: 12
,,, d), e), f), g), h), i), j), k), l). 6. Naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:,,, d). ZAJĘCIA NR 7 VII. Wielomiany, funkcje wymierne, równania i nierówności wyższych stopni. 31. Definicja wielomianu. 32. Pierwiastki wielomianu twierdzenie Bezouta. 33. Dzielenie wielomianów. 34. Rozkład wielomianu na czynniki równania wyższych stopni. 35. Definicja funkcji wymiernej. 36. Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste. 13
37. Nierówności wyższych stopni. Zadania 1. Wykonać dzielenie wielomianów: przez, przez, przez. 2. Rozwiązać równania:,,, d), e), f), g). 3. Rozłożyć na ułamki proste następujące funkcje wymierne:,,. 4. Rozwiązać nierówności:,,, d). 5. Znaleźć dziedzinę funkcji: 14
,. ZAJĘCIA NR 8 VIII. Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne. 38. Definicja funkcji potęgowej dla różnych wartości wykładnika c. 39. Dziedzina, wykres, własności funkcji potęgowej. 40. Pojęcie funkcji wykładniczej. 41. Wykresy funkcji dla różnych podstaw. 42. Własności funkcji wykładniczej. 43. Równania i nierówności wykładnicze. 44. Logarytm liczby dodatniej. 45. Własności logarytmu: logarytm iloczynu, ilorazu, potęgi, logarytm ilorazu, wzór na zmianę podstawy logarytmu. 46. Funkcja logarytmiczna i jej własności. 47. Wykresy funkcji dla różnych wartości podstawy. 48. Równania i nierówności logarytmiczne. Zadania 1. Dla każdej z podanych funkcji określić dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności oraz naszkicować wykres:,,, d), e). 2. Rozwiązać równania i nierówności: 15
d) e) f) g) 3. Na podstawie wykresu funkcji sporządzić wykresy następujących funkcji d) e) 4. Rozwiązać równania i nierówności wykładnicze: d) e) 16
f) g) h) i) j) k) l) m) 5. Obliczyć:,,, d),, f), g), h), i), j), k). 6. Wyznaczyć, jeżeli:,,, d), e), f). 7. Korzystając z definicji logarytmu rozwiąż równania: d) 17
8. Rozwiązać równania i nierówności:, log,, d), e), f), g) log, h), i), j), k), l), m). ZAJĘCIA NR 9 IX. Krzywe stopnia drugiego. 49. Równanie okręgu. 50. Definicja i równanie elipsy. 51. Kierownice elipsy. 52. Definicja i równanie hiperboli. 18
53. Hiperbole równoosiowe i sprzężone, asymptoty hiperboli. 54. Parabola: definicja, równanie, własności. Zadania 1. Znaleźć środek i promień okręgu: 2. Dla jakich wartości parametru równanie:. przedstawia okrąg? 3. Narysować krzywą dana równaniem:. 4. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez trzy dane punkty,. 5. Dla elipsy o równaniu wyznaczyć: długości półosi, odległość ogniskową, ogniska, d) mimośród, e) równania kierownic. 6. Znaleźć równanie elipsy, której osiami symetrii są osie układu współrzędnych, znając jej ognisko i mimośród. 7. Znaleźć równanie hiperboli symetrycznej względem osi układu współrzędnych, o ogniskach należących do osi, jeśli jej wierzchołki są odległe o 8, a współczynnik kierunkowy jednej z asymptot wynosi. 8. Znaleźć wierzchołki i ogniska hiperboli. 19
9. Znaleźć wartość parametru,przy której asymptoty hiperboli:, są prostopadłe. 10. Znaleźć wierzchołek, ognisko i równania kierownic paraboli: d). 11. Określić jaką krzywą przedstawia równanie, a następnie naszkicować tą krzywą:,,, d), e), f), g), h), i), j), k), l). 20
Zajęcia wyrównawcze dla studentów I roku budownictwa WNT UWM Test początkowy z matematyki 1. Wykonać działania: 2. Dane są punkty,,. Obliczyć: iloczyn skalarny, iloczyn skalarny, pole trójkąta, d) pole równoległoboku zbudowanego na wektorach i, e) cosinus kąta między wektorami i. 3. Dobrać parametr tak, by proste i były prostopadłe, jeśli: :,. 4. Znaleźć środek i promień okręgu:. 5. Określić jaką krzywą przedstawia równanie, a następnie naszkicować jej wykres:,,, d). 6. Wykazać, że funkcja jest różnowartościowa na zbiorze 7. Sprawdzić, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta, czy też nie ma żadnej z tych własności, gdy: 21
,,, d). 8. Podać przykład układu równań postaci:, dla którego: istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, istnieje nieskończenie wiele rozwiązań, nie istnieje żadne rozwiązanie. 9. Rozwiązać równania:,,, d), e), f), g) 10. Rozwiązać nierówności:,,, d), e), f) 22
Zajęcia wyrównawcze dla studentów I roku budownictwa WNT UWM Test końcowy z matematyki 23
24