MODELOWANIE PREFERENCJI UśYTKOWNIKA W SYSTEMIE WSPOMAGANIA DECYZJI Andrzej Łodzńsk Szkoła Główna Gospodarstwa Wejskego Katedra Ekonoetr Inforatyk e-al: alodznsk@ors.sggw.waw.pl Streszczene W pracy przedstawono sposób odelowana preferencj uŝytkownka w systee wspoagana podejowana decyzj. Proces decyzyjny odeluje sę przy poocy optyalzacj welokryteralnej. Metody optyalzacj welokryteralnej ne dają jednego rozwązana, ale cały zbór rozwązań. Modelowana preferencj wspoagane podejowana decyzj polega na nteraktywny prowadzenu procesu podejowana decyzj, w który rola uŝytkownka systeu jest nadrzędna. Wybór decyzj dokonuje sę przez rozwązywane probleu z paraetra, które określają aspracje uŝytkownka ocene otrzyywanych rozwązań. Słowa kluczowe Model preferencj uŝytkownka, optyalzacja welokryteralna, rozwązane optyalne w sense Pareto, funkcja skalaryzująca, wspoagane podejowana decyzj.. Wprowadzene W pracy przedstawono odelowane preferencj uŝytkownka w systee wspoagana podejowana decyzj. Proces decyzyjny odeluje sę przy poocy optyalzacj welokryteralnej. Metody optyalzacj welokryteralnej ne dają jednego rozwązana, ale cały zbór rozwązań. Modelowane preferencj wspoagane podejowana decyzj polega na nteraktywny prowadzenu procesu podejowana decyzj. Wybór decyzj dokonuje sę przez rozwązywane probleu z paraetra sterujący, które określają aspracje uŝytkownka ocene otrzyywanych rozwązań. UŜytkownk zadaje paraetr, dla którego wyznaczana jest decyzja Pareto-optyalna. Następne ocena otrzyaną decyzję akceptując ją lub odrzucając. W drug przypadku uŝytkownk podaje nową wartość paraetru proble jest rozwązywany ponowne dla nowego paraetru. Proces podejowana decyzj ne jest procese jednorazowy, ale teracyjny procese uczena sę decydenta o problee decyzyjny. Stosując ten sposób wyboru decyzj decydent oŝe otrzyać taką decyzję, jaką chce, a nawet ją polepszyć. Jak jakś pozo aspracj jest neoŝlwy do osągnęca, to oŝna sę do nego najlepej przyblŝyć. 2. Modelowane sytuacj decyzyjnej Podejowane decyzj jest to proces wyboru decyzj cele rozstrzygnęca określonego probleu. Decyzją nazyway wybór poędzy weloa oŝlwośca, które nazywa sę opcja (waranta) decyzyjny. Dokonywane wyboru oznacza węc dzałana zwązane z wybore jednej oŝlwośc ze zboru welu oŝlwośc, gdze sa wybór jest zaledwe częścą podejowana decyzj [], [2], [5], [7], [8]. Proble decyzyjny opsuje sę ateatyczne wprowadzając zenne decyzyjne x z pewnej przestrzen decyzj X, której eleenty jednoznaczne opsują podjęte decyzje.
Zenne decyzyjne ne ogą przyjować dowolnych wartośc. Występują ogranczena na te zenne wynkające na przykład z określonego zasobu surowców, ogranczonych nakładów fnansowych czy oŝlwośc technologcznych. Zenne decyzyjne x pownny naleŝeć do pewnego ustalonego zboru decyzj dopuszczalnych X. Zbór X nazywa sę zbore decyzj dopuszczalnych, a naleŝące do nego zenne decyzyjne x X zenny dopuszczalny. W probleach decyzyjnych występują pewne ary jakośc podejowana decyzj. Mateatyczne arę jakośc decyzj wyraŝa sę za poocą funkcj oceny: przy poocy jednego lub welu kryterów. Przyjujey następujące oznaczena: n x decyzja naleŝąca do zboru decyzj dopuszczalnych, X R X Y, y skutek, czyl rezultat decyzj x naleŝący do zboru rezultatów osągalnych, Y R, = f x) f : X y ( Y odwzorowane decyzj w ch rezultaty, które zawera teŝ reprezentację nepewnośc. Wększość probleów a charakter welokryteralny, czyl ne a w nch jednego wskaźnka jakośc, którego optyalna wartość zapewnłaby decyzję najlepszą. Decyzje są scharakteryzowane przez wele kryterów, które są sprzeczne ędzy sobą, tzn. polepszene jednego z nch powoduje pogorszene nnego lub nnych kryterów. Podejowane decyzj przy welu kryterach oceny jest szukane koprosu w sytuacj konflktu kryterów. Chcey znaleźć taką decyzję, która byłaby akceptowalna dla kaŝdego kryteru. Powstaje węc zadane znalezena odpowednego rozwązana koprosowego. Aby wyznaczyć taką decyzję naleŝy stosować etody optyalzacj welokryteralnej, które pozwalają wyznaczać decyzje Pareto-optyalne. Proble decyzyjny rozpatruje sę jako zadane optyalzacj welokryteralnej: ax{( f ( x),..., f ( x)) : x X } x gdze: x X wektor zennych decyzyjnych, f = f,..., f ) funkcja wektorowa, która przyporządkowuje kaŝdeu wektorow ( zennych decyzyjnych x X wektor ocen y = f (x) f reprezentują skalarne funkcje ocen, () ; poszczególne współrzędne X zbór decyzj dopuszczalnych. Zadane () polega na znalezenu takej decyzj dopuszczalnej x X dla której ocen przyjuje jak najlepsze wartośc. Zadane () rozpatruje sę w przestrzen ocen, tzn. rozpatruje sę następujące zadane: ax{( y,..., y ) : y Y} (2) x gdze: x X wektor zennych decyzyjnych, y = y,..., y ) wektorowy wskaźnk jakośc,; poszczególne współrzędne ( y reprezentują pojedyncze, skalarne krytera, Y zbór dopuszczalnych wektorów ocen. Funkcja y = f (x) przyporządkowuje kaŝdeu wektorow zennych decyzyjnych x wektor ocen y Y, który erzy jakość decyzj x z punktu wdzena ustalonego układu
wskaźnków jakośc y,..., y. Obraz zboru dopuszczalnego X dla funkcj y stanow zbór osągalnych wektorów ocen Y. 3. Model preferencj Proble wyboru najlepszej decyzj sprowadza sę do zadana wyboru najlepszego wektora ocen w zborze osągalnych wektorów ocen Y = ( y Y : y = f ( x), x X ). Z kaŝdy problee decyzyjny zwązany jest pewen odel preferencj. Podstawową forą odel preferencj są odele preferencj oparte na pojecu relacj. Relacja preferencj defnowana jest jako pewen podzbór loczynu kartezjańskego Y Y przestrzen rezultatów decyzj Y z sobą saą spełnający odpowedne własnośc. Model preferencj porównuje dwa rezultaty (dwóch róŝnych decyzj), czyl dwa wektory 2 2 2 2 y = ( y, y2,..., y ) R y = ( y, y2,..., y ) R. Model tak ustala, Ŝe dla pewnych par wektorów ocen określone jest, który z nch jest lepszy. WyraŜane jest to za poocą relacj ścsłej preferencj P 2 2 y Py y jest lepszy( preferowany) nŝ y Dla pewnych par wektorów ocen oŝna stwerdzć Ŝe, są one jednakowo dobre. WyraŜa sę to za poocą relacj równowaŝnośc I 2 2 y Iy y jest tak sao dobry jak y Dla pewnych par wektorów ocen oŝna stwerdzć jedyne, Ŝe jeden z nch jest ne gorszy od drugego. Zapsuje sę to za poocą relacj słabej preferencj S 2 2 y Sy y ne jest gorszy nŝ y Model preferencj jest całkowce określony przez relację słabej preferencj S. Relacje ścsłej preferencj równowaŝnośc są ndukowane przez relację słabej preferencj według następujących wzorów: 2 2 2 y Py y Sy ~ y Sy 2 y Iy 2 y Sy 2 y Sy Relacja preferencj słabej wraz z wynkający z nej relacja nazywa sę strukturą preferencj. W ogólny przypadku odel preferencj oŝe ne być spójny, tzn. ogą stneć pary neporównywalnych wektorów ocen, dla których ne zachodz Ŝadna z relacj P, S, I. W probleach decyzyjnych zakłada sę, Ŝe relacja preferencj S jest zwrotna ysy y przechodna (tranzytywna) 2 y Sy 2 3 y Sy 3 y Sy 2 3 y, y, y antysyetryczna 2 y Sy 2 y Sy 2 y = y. Relacja preferencj spełnająca warunk zwrotnośc, przechodnośc antysyetrycznośc stanow tzw. porządek częścowy. Mogą stneć wtedy wektory ocen neporównywalne w sense danej relacj preferencj S. W przypadku welowyarowych wektorów ocen tzn. 2 2 2 2 y = ( y, y2,..., y ) R y = ( y, y2,..., y ) R. relacja preferencj S zdefnowana jest następująco 2 2 y Sy y y dla =,2,...,
Jest to relacjat zwrotna, przechodna antysyetryczna, a odpowedne relacje równowaŝnośc ścsłej preferencj są określone następująco 2 y Iy y = y dla =,2,..., 2 2 2 y Py y y dla =,2,..., oraz j y y j j Relacja nerównośc wektorowej jest porządke częścowy nazywany porządke Pareto. Porządek Pareto oŝna teŝ wyrazć za poocą stoŝka dodatnego, który defnuje eleenty nezdonowane. Rezultaty Pareto-optyalne (nezdonowane) są defnowane w następujący sposób: ~ Y ˆ ={yˆ Y :(y ˆ + D) Y = ) } (3) ~ gdze: D = D \{ } stoŝek dodatn bez werzchołka. Jako stoŝek dodatn oŝna przyjąć ~ D = R+ [2], [6], [7], [8]. Rezultaty Pareto-optyalne to take, w których ne oŝna poprawć jednego wskaźnka jakośc bez pogarszana wskaźnków pozostałych.. W przestrzen decyzj określa sę odpowedne decyzje dopuszczalne. Decyzję xˆ X nazywa sę decyzją efektywną (Pareto-optyalną), jeśl odpowadający u wektor ocen y ˆ = f ( xˆ ) jest wektore nezdonowany(pareto-optyalny). Relacja, która jest porządke częścowy, ale ne porządke lnowy ne gwarantuje oŝlwośc wyznaczena wektora najwększego w sense tej relacj, czyl wektora y Y takego, Ŝe ypy y Y tzn. wektora y Y który preferuje wszystke wektory tego zboru. MoŜlwe jest tylko wyznaczene wektora aksyalnego w sense porządku częścowego, czyl wektora y Y takego, Ŝe ne stneje wektor y Y spełnający relację yp y, tzn. wektora y Y którego ne preferuje Ŝaden wektor tego zboru. Rozwązane probleu decyzyjnego polega na wyznaczenu dopuszczalnego wektora zennych decyzyjnych z aksyalny (w sense danej relacj) wektore ocen, czyl wektora xˆ X takego, Ŝe ne stneje y Y spełnający zaleŝność ypf (xˆ ). W przypadku nespójnej relacj preferencj róŝne aksyalne wektory ocen ogą być neporównywalne. 4. Technka wyznaczana decyzj Dla relacj, która jest porządke częścowy oŝe stneć wele wektorów ocen aksyalnych w sense tej relacj. Relacja taka ne pozwala na jednoznaczne określene najlepszego wektora ocen. Uozlwa ona jedyne wyróŝnene zboru nezdonowanych wektorów ocen. Zbór eleentów nezdonowanych Y ˆ odgrywa podstawowa rolę w wspoaganu decyzj. Metodą wyznaczana poszczególnych decyzj rezultatów Pareto-optyalnych jest rozwązywane paraetrycznej skalaryzacj zadana welokryteralnego. Jest to zadane optyalzacj jednokryteralnej specjalne utworzonej funkcj skalaryzującej dwóch zennych - wskaźnka jakośc y Y paraetru sterującego y Ω R o wartośc rzeczywstej tzn. funkcj s : Y Ω R. Paraetr y jest w dyspozycj uŝytkownka, co uoŝlwa u przeglądane zboru rozwązań welokryteralnych. Aby wyznaczyć rozwązane Pareto-optyalne zadana welokryteralnego rozwązuje sę skalaryzację tego zadana z funkcją skalaryzującą s : Y Ω R :
ax{ s( f ( x), y) : x X o ax{ s( y, y) : x X o x X } = x X } (4) Rozwązane optyalne zadana (4) pownno być rozwązane zadana welokryteralnego. Funkcja skalaryzująca pownna charakteryzować sę dwea własnośca: własność wystarczalnośc własnoścą zupełnośc. Własność wystarczalnośc kaŝdy punkt aksyalny takej funkcj względe y jest zawarty w zborze Y ˆ, tzn. Arg ax s(y, y) Yˆ (5) y Y gdze: Argax oznacza zbór wszystkch punktów aksyalnych danej funkcj; Własność zupełnośc za poocą odpowednch zan y oŝna osągnąć dowolny rezultat ŷ, tzn. dla kaŝdego yˆ Yˆ stneje take y, Ŝe: yˆ Arg ax s(y, y) Yˆ (6 y Y ) Funkcja skalaryzująca ajaca własność wystarczalnośc własność zupełnośc w pełn charakteryzuje rozwązana Pareto-optyalne. KaŜde aksu takej funkcj jest rozwązane Pareto-optyalny. KaŜde rozwązane Pareto-optyalne oŝna osągnąć przyjując odpowedn pozo aspracj y [5], [6], [7], [8]. W pracy stosuje sę funkcję skalaryzującą o postac: s( y, y) = n( y y ) + ε ( y y = gdze: y = y,..., y ) wektorowy wskaźnk jakośc,; poszczególne współrzędne ( y reprezentują pojedyncze, skalarne krytera, y pozoy aspracj dla poszczególnych kryterów =,...,, ε arbtralne ały, dodatn paraetr regularyzacyjny. Taka funkcja skalaryzującą nazywa sę skalaryzującą funkcją osągnęca zgodną z porządke. Maksyalzacja takej funkcj ze względu y Y wyznacza rozwązane Pareto-optyalne ŷ generującą ją decyzję Pareto-optyalną xˆ. Wyznaczone rozwązane Pareto-optyalne ŷ zaleŝy od wartośc pozoów aspracj y [2], [6], [7], [8]. Rozwązane w sense welokryteralny jest prawe zawsze zbór, a ne punkt. Wyboru rozwązana pownen dokonywać uŝytkownk w nterakcj z koputere. Decydent patrząc na zbór osągalnych wskaźnków jakośc jest stane ustosunkować sę do zboru Pareto. Na początku procesu decyzyjnego decydent określa ogólne swoje wyagana w postac prostego odelu preferencj. Mateatyczne oznacza to przyjęce odelu preferencj w postac porządku częścowego porządku Pareto oŝlwoścą jego odyfkacj przez decydenta w trakce procesu decyzyjnego. Proces podejowana decyzj ne jest akte jednorazowy, ale procese teracyjny dokonuje sę w następujący sposób: ) (7)
a) uŝytkownk określa pozoy aspracj y dla poszczególnych rezultatów decyzj. Te pozoy aspracj są określane adaptacyjne w procese uczena sę, b) wybór decyzj ne jest pojedynczy akte optyalzacj, ale dynaczny procese poszukwana rozwązań, w trakce, którego uŝytkownk uczy sę oŝe zenć swoje preferencje, c) proces ten kończy sę, gdy uŝytkownk znajdze taką decyzję, która pozwala na osągnęce rezultatów spełnających jego aspracje lub w pewny sense najblŝszych do tych aspracj. Tak sposób podejowana decyzj ne narzuca decydentow Ŝadnego sztywnego scenarusza analzy probleu decyzyjnego dopuszcza oŝlwość odyfkacj jego preferencj w trakce analzy probleu. W ty sposobe podejowana decyzj uŝytkownk spełna rolę nadrzędną. Koputer ne zastępuje uŝytkownka w podejowanu decyzj. Cały procese podejowana decyzj steruje uŝytkownk. 5. Zakończene W pracy przedstawono sposób odelowana preferencj decydenta w wspoaganu podejowana decyzj oparty na analze welokryteralnej. W proponowanyn sposobe postępowana uŝytkownk spełna rolę nadrzędną. Metoda ne zastępuje uŝytkownka w podejowanu decyzj. Cały procese podejowana decyzj steruje uŝytkownk. Lteratura. Fndesen W., Szyanowsk J., Werzbck A., P. Teora etody oblczenowe optyalzacj. PWN, Warszawa, 977. 2. Lewandowsk A. and Werzbck A. eds. Aspraton Based Decson Support Systes. Lecture Notes n Econocs and Matheatcal Systes. Vol. 33, Sprnger-Verlag, Berln- Hedelberg, 989. 3. Łodzńsk A The use of reference objectves for selectng polyoptal control n ultstage process. Syste Analyss Modellng Sulaton. Vol. 8. Akadee Verlag Berln, 99. 4. Łodzńsk A. Interaktywne welokryteralne sterowane procese weloetapowy. Zeszyty Naukowe WSI w Łodz, Teora Zastosowane Inforatyk Nr 2, (n Polsh), 23. 5. Ogryczak W. Welokryteralna optyalzacja lnowa dyskretna. Wydawnctwa UW, Warszawa r. 997. 6. Werzbck A. The use of reference objectves n ultobjectve optzaton. In G. Fandel, T. Gal (eds): Multple Crtera Decson Makng; Theory and Applcatons, Lecture Notes n Econoc and Matheatcal Systes Vol. 77, Sprnger-Verlag, Berln- Hedelberg, 98. 7. Werzbck A., Makowsk N., Wessels J. Model_Based Decson Support Methology wth Envronental Applcatons, IIASA Kluwer, Laxenburg Dordrecht 2. 8. Werzbck A., P., J. Granat Optyalzacja we Wspoagau Decyzj. (aszynops) 23.
USER PREFERENCES MODELLING IN DECISION SUPPORT SYSTEM Keywords: preferences odellng, ultcrtera optzaton, scalarzaton functon, optalty n a Pareto sense, decson akng. Suary: User preferences odellng of user n decson support syste has been presented n ths paper. Methods of ultobjectve optalzaton do not gve one unque soluton, but a whole set of the. A decson akng reles on nteractve conductng of the decson akng process. Selecton of gven decson s ade by way of solvng a proble wth paraeters defnng user s aspratons and the evaluaton of obtaned results.