Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście między zajściem szody a wypłatą odszodowania występuje opóźnienie, a taże regresy występują z opóźnieniem w stosunu do wypłat odszodowań. Rozład opóźnienia od zajścia szód do wypłaty odszodowań dany jest współczynniami: ( + )( + ) w 5 5, 0,,,... gdzie w oznacza udział wypłat odszodowań doonanych w miesiącu t + ze szód zaszłych w miesiącu t w całowitej wartości odszodowań za szody zaszłe w miesiącu t. Rozład opóźnienia od wypłat odszodowań do regresów z tytułu tych wypłat dany jest współczynniami: r + 5 5, 0,,,... gdzie r oznacza udział regresów uzysanych w miesiącu τ + z tytułu odszodowań wypłaconych w miesiącu τ w całowitej wartości regresów z tytułu odszodowań wypłaconych w miesiącu τ. Rozład opóźnienia regresów w stosunu do wypłaty odszodowań jest tai sam bez względu na to ja odszodowanie było opóźnione w stosunu do zajścia szody. Niech net dla 0,,,... oznacza wypłaty netto (odszodowania minus regresy) doonane w miesiącu t + z tytułu szód zaszłych w miesiącu t, podzielone przez całowitą wartość odszodowań za szody zaszłe w tym miesiącu. Oczywiście zachodzi: net. 0 Liczba całowita nieujemna K taa, że: net K > 0 oraz net < K + 0, wynosi: (A) K 5 (B) K 6 (C) K 7 (D) K 8 (E) taa liczba nie istnieje
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym ubezpieczeniu mają nastąpić duże zmiany relacji cen: stawi odszodowań za szody osobowe wzrosną, podczas gdy ceny w jaich wyrażają się szody rzeczowe pozostaną na dotychczasowym poziomie. Przed zmianą relacji cen obserwowano następujące prawidłowości: rozład opóźnienia wypłat odszodowań dany był współczynniami: 5 w exp( 5) 0,,,...,! gdzie w oznacza udział łącznej wartości odszodowań wypłacanych w miesiącu t + ze szód zaszłych w miesiącu t w całowitej wartości odszodowań za szody z miesiąca t, a w tym: 9 0 w wynosił udział wartości odszodowań za szody rzeczowe, ( 9 0) w wynosił udział wartości odszodowań za szody osobowe; (w obu przypadach chodzi o udział w całowitej wartości odszodowań za szody z miesiąca t). Oczywiście przed zmianą cen średnie opóźnienie wynosiło 5. Średnie opóźnienie po zmianie rozładu spowodowanej dwurotnym wzrostem stawe odszodowań za szody osobowe wyniesie (z dobrym przybliżeniem): (A) 5.09 (B) 5. (C) 5.7 (D) 5.56 (E) 5.77 0 w
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. Zmienna losowa X przyjmuje wartości nieujemne tzn. Pr ( < 0) 0 Dla dwóch puntów d i F X ( d i ): X. d taich, że 0 < d < d znamy wartości dystrybuanty i d F i X d i 0.50 0 0.80 Wiemy też: że wartość oczeiwana nadwyżi zmiennej X ponad wynosi 0: E X, [( ) + ] 0 oraz że warunowa wartość oczeiwana zmiennej X na przedziale (, 0] E ( X X (, 0] ) 5 Wobec tego wartość oczeiwana nadwyżi zmiennej X ponad 0 wynosi: (A) 7. (B) 7. (C) 7.5 (D) 7.7 (E) 8.0 wynosi 5:
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 4. Łączna wartość szód w pewnym portfelu ryzy: S Y + K+ YN, ma złożony rozład Poissona o wyładniczym rozładzie wartości pojedynczej szody Y o wartości oczeiwanej E ( Y ). β Rozważmy podział ryzya pomiędzy ubezpieczyciela i reaseuratora. Parametrem tego podziału jest nieujemna liczba d. Reaseurator porywa łączną wartość nadwyże ażdej ze szód ponad wartość d: S d Y d + K + Y d R ( ) + ( N ) +, zaś na udziale ubezpieczyciela pozostaje zmienna SU ( d ) S S R ( d ) S ( d ) min{ Y, d} + K + min{ Y d}. U N, Przyjmijmy oznaczenie: VAR SU ( d ) + VAR S h( d ) VAR( S ) * Niech osiąga wartość minimalną. * ( d ) ( ( d )) R, a więc: d będzie taą wartością parametru podziału ryzya, przy tórej funcja h ( d ) h wynosi: (A) exp( ) (B) exp( ) (C) exp( ) (D) exp( ) (E) exp 4
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 5. W pewnej (niejednorodnej) populacji ryzy łączna wartość szód X z jednego ryzya ma warunowo (przy danej wartości λ parametru Λ ) złożony rozład Poissona. Doładniej, X Y +... + YN jest sumą pierwszych N wyrazów ciągu niezależnych zmiennych losowych Y, Y, Y,... o tym samym rozładzie (przyjmujemy X 0 gdy N 0 ), niezależnych taże od zmiennej N. Zależność rozładu zmiennej X od parametru ryzya Λ jest taa, że: E ( N Λ λ ) λ, E ( Y n Λ λ ) ( + λ)µ dla n,,,... Bezwarunowy rozład parametru Λ w populacji ryzy dany jest rozładem gamma: α β α f Λ ( λ) λ exp( βλ), Γ( α ) o parametrach: α, β 5 Iloraz warunowych wartości oczeiwanych: E( Y N ) E( Y N ) wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 0 9 9 0 Interpretacja: w miarę wzrostu liczebności próbi obserwacji statystycznych z tej populacji średnia wartość szody z tych polis, tóre wygenerowały doładnie szód, E Y N dążyć będzie do wartości. 5
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 6. Pewne ryzyo generuje szody zgodnie z procesem Poissona, a więc ilość szód N () t na odcinu czasu ( 0, t] ma rozład Poissona o wartości oczeiwanej λ t. Wartości olejno pojawiających się szód Y Y,,... są zmiennymi losowymi, Y niezależnymi nawzajem i niezależnymi od przebiegu procesu N ( t) jednostajnym na przedziale ( 0, ). Ubezpieczyciel wystawia polisę na to ryzyo na ores czasu (, ], o rozładzie 0 z limitem odpowiedzialności równym jeden. Realizowane jest to w tai sposób, iż jeśli przez Z Z,,... oznaczymy wartości odszodowań wypłacanych za olejne szody, to:, Z Y Z (o ile oczywiście do co najmniej jednej szody w ciągu rou dojdzie, czyli N () ) Z min Y, Z (o ile N ) Z min Y, Z Z (o ile N ) { } { } Z min{ Y, Z Z Z } (o ile 4 itd. 4 4 N ) Oblicz wartość oczeiwaną odszodowania za drugą z olei szodę (warunową, pod waruniem że do drugiej szody dojdzie) (A) E Z N() 4 (B) E Z N() 7 4 (C) E Z N() (D) E Z N() (E) E Z N() 8 5 6
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 7. W pewnej populacji ryzy z jednego ryzya może wystąpić w ciągu rou co najwyżej jedna szoda, a wartość ażdej szody wynosi jeden. Na populację sładają się ryzya uczciwe oraz oszuści, tórych niestety ex ante nie odróżniamy. 9 Prawdopodobieństwo wylosowania ryzya uczciwego wynosi Pr ( U ), zaś na 0 oszusta Pr ( O ). 0 Ryzyo uczciwe generuje szodę z prawdopodobieństwem Pr ( N U ), jeśli zaś już szoda wystąpi, to moment jej wystąpienia T 0 ma rozład jednostajny na przedziale ( 0, ) (jednostą pomiaru czasu jest ro) Oszust generuje szodę z prawdopodobieństwem jeden, a moment jej, t t. wystąpienia ma na przedziale ( 0 ) rozład dany gęstością: ft O () Znajdź taą wartość s ( 0, ), dla tórej zachodzi: Pr ( O ( N ) T s) (A) (B) (C) (D) s 9 s s s 0 9 9 (E) s 0 7
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 8. Wartość pojedynczej szody Y ma rozład Pareto dany gęstością: 0000 dla y 0 f Y ( y) ( 00 + y) 0 dla y < 0 Rozważamy lasyczny model procesu nadwyżi ubezpieczyciela U ( t) w czasie ciągłym. Ta więc szody pojawiają się zgodnie z procesem Poissona z intensywnością λ, a intensywność sładi (napływającej w sposób ciągły) wynosi c. Niech T inf { t : t 0, U () t < 0} oznacza moment czasu, w tórym dochodzi do ruiny (przyjmujemy T jeśli dla dowolnego t 0 nadwyża jest nieujemna). Przyjmujemy iż: nadwyża początowa jest zerowa c 500, λ 0 Rozważmy funcję: G( h) Pr (( T < ) ( U ( T ) < h) ), h 0, tóra oreśla prawdopodobieństwo zdarzenia, iż do ruiny dojdzie, i że deficyt w momencie ruiny przeroczy wartość h. * Niech h oznacza taą wartość h, dla tórej G ( h). 6 * h wynosi: (A) 00 (B) 00 (C) 400 (D) 500 (E) 600 Uwaga: dla prawdziwości twierdzenia, na tórym należy oprzeć rozwiązanie zadania, wystarczy założenie iż c > λ E( Y ) (a więc w szczególności iż E ( Y ) < ), co w nietórych podręczniach atuarialnych (np. Actuarial Mathematics, Bowers et al.) nie jest wyraźnie zaznaczone 8
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 9. Rozważamy proces nadwyżi ubezpieczyciela z czasem dysretnym postaci: U n u + c n S n, n 0,,,... gdzie S n W + W +... + Wn jest procesem o przyrostach niezależnych o jednaowym rozładzie. Rozład przyrostów W i jest rozładem Gamma o wartości oczeiwanej równej jedności i wariancji równej jednej czwartej. Słada wynosi 56 c ln. 8 Wartość współczynnia dopasowania (adjustment coefficient) dla tego procesu wynosi: (A) R (B) R 4 (C) R (D) R 4 (E) R 9
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie 0. Klasyczny proces nadwyżi ubezpieczyciela charateryzują parametry: λ - intensywność (roczna) Poissonowsiego procesu pojawiania się szód, u - nadwyża początowa, rozład zmiennej Y - wartości pojedynczej szody, θ - stosunowy narzut na sładę netto. Załóżmy, że zmienna Y ma rozład jednostajny na przedziale ( 0, M ), gdzie M > 0. Załóżmy taże, że u 5 M. Przyjmijmy wreszcie, że nasz cel to salulowanie sładi ta, aby zachodził 5 warune bezpieczeństwa: exp( R u) exp, gdzie R to współczynni dopasowania (adjustment coefficient). Oblicz θ. (A) θ 6 e 9 (B) θ 6 e 0 (C) θ 6 e 8 (D) θ 8 e 9 (E) θ 8 e 0
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Egzamin dla Atuariuszy z październia 00 r. Matematya ubezpieczeń majątowych Arusz odpowiedzi * Imię i nazwiso... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Puntacja B B E 4 A 5 E 6 C 7 B 8 B 9 A 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Aruszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.