PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 40092 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1
Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Największa wartość funkcji f (x) = 1 + 12x x 3 A) nie istnieje B) jest równa 4 C) jest równa 17 D) jest równa 15 ZADANIE 2 (1 PKT) Dany jest okrag o równaniu (x + 4) 2 + (y 7) 2 = 36. Długość tego okręgu jest równa A) 12π B) 24π C) 36π D) 6π ZADANIE 3 (1 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + ax 2 + bx + 1, gdzie a i b sa liczbami całkowitymi. Zatem A) Równanie W(x) = 0 może nie mieć rozwiazań. B) Jeżeli równanie W(x) = 0 ma pierwiastek całkowity, to a + b = 2. C) Jeżeli równanie W(x) = 0 ma ujemny pierwiastek wymierny, to a = b. D) Równanie W(x) = 0 musi mieć co najmniej 2 różne pierwiastki. ZADANIE 4 (1 PKT) Przedział 2, 3 jest zbiorem rozwiazań nierówności A) 2, 5 + x 1 B) 2, 5 + x 0, 5 C) 2, 5 x 0, 5 D) 2, 5 x 1 ZADANIE 5 (1 PKT) x Granica jednostronna lim 2 x 6 x 2 (x+2) 2 A) jest równa + B) jest liczba rzeczywista C) nie istnieje D) jest równa 2
ZADANIE 6 (2 PKT) Rozwiaż równanie 3 51 x 2 x 81 = 0. ZADANIE 7 (2 PKT) Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = x 6, dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz x 2 +4 wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1 2. 3
ZADANIE 8 (3 PKT) Promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kacie środkowym 60 ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka. 4
ZADANIE 9 (4 PKT) Dwa motocykle wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 360 km. Motocykl jadacy z miasta A do miasta B wyjechał o 30 minut wcześniej niż motocykl jadacy z miasta B do miasta A i jechał z prędkościa o 12 km/h mniejsza. Motocykle te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te motocykle. 5
ZADANIE 10 (4 PKT) Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokatny ABCDA B C D o podstawach ABCD i A B C D, oraz krawędziach bocznych AA, BB, CC i DD. Oblicz pole trójkata BDC wiedzac, że przekatna ściany bocznej ma długość 13 i jest nachylona do podstawy pod takim katem α, że tg α = 12 5. 6
ZADANIE 11 (4 PKT) Liczby niezerowe a, b, c sa wyrazami ciagu geometrycznego o numerach odpowiednio p, r, s. Oblicz wartość wyrażenia a r b s c p a s b p c r. 7
ZADANIE 12 (4 PKT) Udowodnij, że jeśli a) x, y sa liczbami rzeczywistymi, to x 2 + y 2 2xy. b) x, y, z sa liczbami rzeczywistymi takimi, że x + y + z = 1, to x 2 + y 2 + z 2 3 1. 8
ZADANIE 13 (5 PKT) Dane sa punkty A(0, 0) i B(4, 2). a) Znajdź takie punkty C i D aby trójkaty ABC i ABD były równoboczne. b) Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb ABCD. c) Oblicz pole figury, która otrzymamy po usunięciu z rombu ABCD wnętrza wpisanego w niego koła. 9
ZADANIE 14 (5 PKT) Funkcja liniowa f określona jest wzorem f (x) = ax + b dla x R. a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009, 2009 2 ). i b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór A = {(x, y) : x 1, 3 i y = 12 x + b } b 2, 1. 10
ZADANIE 15 (6 PKT) W trójkacie o obwodzie 14 jeden z boków jest dwa razy dłuższy od drugiego boku. Oblicz cosinus najmniejszego kata, tego spośród trójkatów spełniajacych podany warunek, w którym suma kwadratów długości boków jest najmniejsza. 11
ZADANIE 16 (6 PKT) Korzystajac ze wzoru 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + + nx n 1 = nxn+1 (n + 1)x n + 1 (1 x) 2, który jest prawdziwy dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby x = 1, wykaż, że ( ) 5 2 7 5 4 73 5 6 75 5 8 77 log 5 = 8 79 + 9 7 8 1. 5 5 3 72 5 5 74 5 7 76 64 12
ODPOWIEDZI DO ARKUSZA NR 40092 1 2 3 4 5 A A C C A 6. x { 9, 63} 7. f ( 1 2 ) = 156 289 8. 6π 9. 60 km/h oraz 72 km/h 10. 5 2 313 11. 1 12. Uzasadnienie. 13. a) C = (2 3, 1 + 2 3) i D = (2 + 3, 1 2 3), b) (x 2) 2 + (y 1) 2 = 15 4, c) 10 3 15π 4 14. a) Tak, należy. 15. 13 15 16. Uzasadnienie. Odpowiedzi to dla Ciebie za mało? Na stronie HTTP://WWW.ZADANIA.INFO/40092 znajdziesz pełne rozwiazania wszystkich zadań! 13