Gry z naturą 1 Gry z naturą to gry dwuosobowe, w których przeciwnikiem jest natura. Przeciwnik ten nie jest zainteresowany wynikiem gry, a więc grę rozwiązuje się z punktu widzenia jednego z graczy. Optymalną strategię można uzyskać stosując jedną z reguł decyzyjnych: 2 Kryterium Walda (reguła max-min) kryterium ostrożne, zakłada, że zajdzie sytuacja najmniej korzystna dla podejmującego decyzję 3. Kryterium Hurwicza pozwala znaleźć rozwiązanie, które nie jest nazbyt ryzykanckie (np. reguła max-max) lub asekuranckie (np. reguła Walda). Wykorzystuje się tu współczynnik ostrożności oznaczany symbolem, który jest liczbą z przedziału [0,1] opisującą niechęć decydenta do podjęcia ryzyka. 1 oznacza skrajną awersję do ryzyka (skrajny pesymizm), 0 skrajna skłonność do ryzyka (skrajny optymizm). minimalna wypłata dla decyzji i - maksymalna wypłata dla decyzji i Kryterium Bayesa strategia, która daje największą przeciętną wygraną (stopę zysku) obliczanej dla każdej strategii jako zwykłą średnią arytmetyczną (wszystkie stany natury są jednakowo prawdopodobne) Kryterium optymistyczne (reguła max-max) polega na określeniu dla każdej strategii maksymalnej wygranej (stopy zysku) i wyborze strategii, dla której wygrana ta jest największa Kryterium Savage a (reguła minimalnego żalu) punktem wyjścia jest chęć zminimalizowania utraconych korzyści, związanych z podjęciem decyzji, która okazała się nietrafna w kontekście zrealizowanego stanu natury. (Znajdujemy dla każdej kolumny maksymalną wygraną, od której odejmujemy pozostałe wygrane w tej kolumnie tworzymy macierz żalu Z. Macierz Z interpretujemy jako miarę strat poniesionych w wyniku podjęcia nietrafnej decyzji w stosunku do zaistniałego później stanu natury. Z wierszy macierzy Z wybieramy wartości maksymalne, a potem spośród tych wartości wybieramy te minimalizują stratę). Przykład Rolnik może zdecydować się na uprawę owsa, pszenicy albo jęczmienia, przy czym jego zysk (w tys. zł) zależy nie tylko od wyboru uprawy, ale także od stanu pogody. Dane na ten temat podaje tabela: 1 Na podstawie: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, red. K. Kukuła, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2011, Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, T. Trzaskalik, PWE, Warszawa 2008 2 W wymienionych regułach zakładamy, że macierz wypłat składa się z elementów oznaczających zyski (dochody), które decydent chce maksymalizować. 3 W przypadku macierzy wypłat, gdzie kolejne wiersze oznaczają straty (koszty) wykorzystuje się regułę minmax.
Pogoda (stan natury) \ Uprawa Owies Pszenica Jęczmień S1 5 1 12 S2 2 3 6 S3 5 11 3 Które zboże powinien uprawiać rolnik, jeżeli: a) pragnie zagwarantować sobie pewien minimalny poziom przychodu, b) pragnie zminimalizować względną stratę wynikającą z wyboru nieoptymalnej decyzji, c) przy wyborze uprawy pragnie wziąć zarówno najlepsze jak i najgorsze możliwe warianty. Wariant najgorszy ma czterokrotnie wyższy wpływ na jego decyzję, d) pragnie realizować swoją decyzję przez najbliższe pięć lat. Rozwiązanie: a) Rolnik wybierze najlepszą uprawę według kryterium Wybrane zboże:.. b) W tym przypadku do wyznaczenia optymalnej decyzji posłuży kryterium... Wybrane zboże:... c) Skoro rolnika interesują najwyższe i najniższe zyski dla poszczególnych upraw, musi zastosować kryterium... Ze względu na fakt, że najniższy zysk jest czterokrotnie ważniejszy od najwyższego, współczynnik ostrożności musi wynieść... (wtedy ). Należy wybrać uprawę... d) Rolnik będzie uprawiał wybrane zboże przez kilka kolejnych lat, a więc musi brać pod uwagę średnie zyski przynoszone przez poszczególne uprawy wybierze kryterium... Najwyższy średni dochód gwarantuje wybór, a więc właśnie to zboże powinien wybrać rolnik. Rozwiązanie w STORM: 1) uruchom program STORM, wybierz moduł (17) Decision Analysis i utwórz nowy model (Create a new data set). 2) wprowadź parametry do sekcji górnej: title rolnik number of alternatives 3 number of indicators 0 number of states 3 sample information cost 0 objective type - MAX 3) wpisz dane z tabeli do tablicy głównej, pamiętaj o nazwaniu kolumn i wierszy, zwróć uwagę na ich rozmieszczenie w STORM, w wierszu STATE PROB wpisz prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych stanów natury, np.: 0.3, 0.3, 0.4 4) rozwiąż model (F7) 5) opcje wyników: Deterministic analysis: Detailed report: y
Summary report: y Optimistic parameter (alpha): 0.2 4 5) oczytaj rozwiązania dla określonych w zadaniu kryteriów podejmowania decyzji (kryterium Walda maximin, kryterium Savage a minimax regret, kryterium Hurwicza uwaga tutaj współczynnik to współczynnik optymizmu!, kryterium Bayesa equally likely). Zadania do rozwiązania Zadanie 1 Rolnik może wykorzystać pole pod jedną z następujących upraw: żyto, pszenica, rzepak, buraki i len. Zyski są uzależnione od stanów pogody. Opierając się na danych z tabeli wybierz, wykorzystując znane kryteria, najbardziej opłacalną uprawę (w metodzie Hurwicza przyjmij współczynnik ostrożności 0,75): a) gdy rolnik podejmuje decyzję raz na rok, b) gdy rolnik podejmuje decyzję raz na kilka lat. Uprawa Żyto Pszenica Rzepak Buraki Len Stan I 17 14 10 15 16 Stan II 18 24 25 30 22 Stan III 12 19 17 21 16 Stan IV 20 18 24 34 20 Zadanie 2 Strategia będzie realizowana tylko jeden raz. Tablica dochodów zależnych od podjętej decyzji i od zaistniałego stanu natury jest następująca: Dezycja\Stan natury S1 S2 S3 D1 6 9 11 D2 15 8 4 D3 9 10 7 D4 5 12 10 D5 8 6 10 D6 4 7 12 a) na podstawie reguły Bayesa, Savage a, Walda i Hurwicza ( wyznaczyć najodpowiedniejszą decyzję, jaką należy podjąć w celu maksymalizacji dochodów. Które decyzje można wykluczyć? Czy można jednoznacznie ustalić najlepszą decyzję? b) czy zmiana współczynnika ostrożności na ułatwiłaby decydentowi wybór najlepszej strategii? 4 UWAGA! w STORM przeciętna wygrana liczona jest według formuły: weigthed payoff = alpha * Maximal payoff + (1-alpha) * Minimal Payoff, gdzie alpha to współczynnik optymizmu (stąd należy wpisać 0.2 a nie 0.8)
Zadanie 3 Wytwórnia majonezu zamierza wprowadzić na rynek nowy produkt. Opracowano cztery receptury nowych gatunków majonezu: A, B, C i D, z których tylko jeden będzie produkowany. Przeprowadzono badania marketingowe rynku, które pozwalają ustalić spodziewane wielkości zysku (w mln zł) dla każdego gatunku w zależności od sytuacji, jaka będzie panowała na rynku. Zyski te przedstawiono w tabeli: A B C D S1 1,3 1,6 2,2 1,4 S2 4,3 1,3 1,1 2,5 S3 3,0 2,1 1,5 2,7 a) ustalić, jaki gatunek majonezu należy wprowadzić na rynek zgodnie z regułą maximin b) sprawdzić, czy ten wybór ulegnie zmianie, jeżeli zastosujemy regułę Savage a. Zadanie 4 Mamy możliwość zakupu akcji jednej z trzech spółek: A, B lub C. Spodziewane zyski zależą od stanu gospodarki (tabela, tys. zł): Stan gospodarki \ spółka A B C S1 4 3 8 S2 4 5 4 S3 6 1 3 a) uszereguj spółki według atrakcyjności, posługując się metodą Hurwicza (przyjmij współczynnik ostrożności równy 0,5) b) uszereguj spółki, posługując się regułą Walda c) wyznacz wskaźniki metody Hurwicza bez wykorzystania komputera Zadanie 5 Zrzeszenie przedsiębiorstw zamierza zwiększyć swój potencjał przemysłowy dzięki wybodowaniu nowego zakładu. Istnieją cztery warianty planu inwestycyjnego: 50, 100, 150 i 200 tys. zł, które w zależności od wielu czynników losowych mogą dać różne przyrosty produkcji. Wyróżniono cztery stany natury. Jako kryterium przyjęto uzyskanie możliwie wysokiego przyrostu produkcji w stosunku do poniesionych nakładów inwestycyjnych. Warianty i nakłady inwestycyjne (w tys. zł) Szacowany udział rocznego przyrostu produkcji w poniesionych nakładach inwestycyjnych w przypadku wystąpienia stanu natury I II III IV I 50 0,5 0,6 0,4 0,5 II 100 0,1 0,7 0,4 0,7 III 150 0,8 0,2 0,5 0,5 IV 200 0,1 0,8 0,5 0,7
Który z wariantów inwestycyjnych powinien wybrać dyrektor zrzeszenia: a) będąc pesymistą, b) będąc optymistą? Zadanie 6 Poszukiwanie uszkodzenia odbiornika radiowego można rozpocząć od jednego z czterech układów: A, B, C i D. W tabeli podano procent udanych prób uruchomienia odbiorników w określonym czasie w zależności od kolejności szukania uszkodzeń oraz miejsca występowania uszkodzenia. Układy A B C D A 80 30 10 25 B 12 90 42 36 C 25 40 85 52 D 10 70 40 95 Ustalić kolejność szukania uszkodzenia, jeżeli zależy nam, aby: a) przeciętna liczba udanych prób była największa, b) zminimalizować względne straty w stosunku do najlepszego możliwego stanu rzeczy, c) zastosować kryterium Hurwicza (. Zadanie 7 Rolnik ma wybrać jeden z trzech możliwych terminów siewów: I, II, III. Plony z ha w zależności od przyszłego możliwego stanu pogody: A, B, C, D, oraz terminu siewu podaje tabela: Terminy siewów Stan natury (pogody) A B C D I 21 15 32 16 II 28 20 10 20 III 13 27 25 15 Podjąć decyzję o wyborze terminu siewu, jeśli rolnikowi zależy na: a) jak największym przeciętnym plonie z 1 ha, b) jak najmniejszej stracie w stosunku do najlepszej możliwej sytuacji.