Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora jest normalny, oszacować metodą przedziałową przeciętne jego plony na poziomie ufności 1 α=0, 95. Zad. 2. Pewien prywatny przedsiębiorca jest właścicielem sieci małych i średnich sklepów spożywczych. Przedmiotem zainteresowania przedsiębiorcy są wzajemne zależności: dziennego obrotu Y oraz liczby zatrudnionych ekspedientek X. Tablica przedstawia niezbędne do analizy informacje o sklepach tego przedsiębiorcy: Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 3 2 2 4 5 a. Obliczyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona b. Oszacować funkcję regresji Y względem X. c. Wyznaczyć współczynnik determinacji i zbieżności. d. Dokonać interpretacji wyników. Zad. 3. Spośród 300 losowo wybranych mieszkańców wsi należących do gminy Trzciana Dolna tylko 50 korzysta z prenumeraty czasopism. Wyznaczyć na poziomie ufności 1 α=0, 95 przedział ufności dla frakcji stałych prenumeratorów czasopism gminy Trzciana Dolna. Zad. 4. W losowo wybranej próbie 200 studentów pewnej uczelni 30% osób wydaje miesięcznie na gazety i czasopisma ponad 10 zł. Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka studentów, którzy wydają na ten cel ponad 10 zł na poziomie ufności 1 α=0,9. Zad. 5. Losowa próba n=200 studentów pewnej uczelni dała odchylenie standardowe s=7 papierosów wypalanych dziennie przez studentów tej uczelni. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że odchylenie standardowe liczby wypalanych dziennie papierosów przez studentów wynosi 5.
Zad. 6. Wykonano niezależne pomiary wydajności pracy 6 pracowników pierwszej zmiany i 8 pracowników drugiej zmiany. Dla pierwszej zmiany uzyskano następujące wydajności (w szt/h) 6,4,5,6,8,7, zaś dla drugiej zmiany: 7,3,3,5,4,5,8,5. Zweryfikować, przyjmując poziom istotności α=0,05, hipotezę o jednakowym zróżnicowaniu wydajności pracowników obu zmian. Zad. 7. Zapytano 200 losowo wybranych przedstawicieli rodzin, kto podejmuje poważniejsze decyzje finansowe? W 36% tych rodzin decyzje podejmuje małżonek. Jaki jest 99% przedział ufności dla odsetka rodzin, w których decyzje podejmuje małżonek? Podać interpretację wyznaczonego przedziału. Zad. 8. Obserwując liczbę kilometrów, jaką w ciągu roku przebywają prywatne samochody osobowe, otrzymano w losowej próbie 100 samochodów x=12500 km i s=2400 km. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że przeciętna ilość kilometrów przebytych rocznie przez prywatny samochód wynosi 12 000 km. Zad. 9. W celu zbadania zależności między wydatkami X na czasopisma i wielkością dochodu Y wybrano losowo 10 rodzin i otrzymano następujące wyniki średnie wydatki x=58 tys. zł; średni dochód y=6 mln zł oraz n n x i x y i y =584,5 ; x i x 2 n =6860 ; y i y 2 =63,7. a. Czy gospodarstwa domowe są bardziej zróżnicowane pod względem wydatków czy też dochodów? b. Ocenić siłę zależności liniowej między badanymi zmiennymi. c. Oszacować wielkość wydatków na czasopisma przy dochodzie rodziny wynoszącym 10 mln zł. Zad. 10. Pobrano losowo dwie próby: 9-elementową próbę lekarzy wiejskich i 8-elementową próbę lekarzy miejskich. Średni wiek lekarzy wiejskich wynosił 42 lata, a lekarzy miejskich 46 lat. Odchylenie standardowe wieku lekarzy zatrudnionych na wsi i w mieście było wynosiło odpowiednio 2,4 i 2,6. Zakładając, że rozkład wieku lekarzy jest normalny, zbadać czy zróżnicowanie wieku lekarzy na wsi i w mieście jest jednakowe. Czy średni wiek lekarzy na wsi jest mniejszy niż w mieście?
Zad. 11. W zakładach produkujących chemikalia wylosowano z populacji 2000 pracowników niezależną próbę 260 osób i przeprowadzono wśród nich ankietę na temat stanu BHP. 75% pracowników oceniło warunki bezpieczeństwa i higieny pracy jako niezadowalające. Przyjmując poziom ufności 1 α=0, 95 oszacować metodą przedziału ufności frakcję pracowników niezadowolonych z istniejących warunków BHP. Zad. 12. Wylosowana do badań budżetów rodzinnych w pewnym roku próba 150 rodzin zamieszkałych w Warszawie dała średnią x=400 zł miesięcznych wydatków na mieszkanie oraz odchylenie standardowe s=120 zł. Natomiast losowa próba 120 rodzin zamieszkałych w Łodzi dała średnią x=420 zł miesięcznych wydatków na mieszkanie oraz odchylenie standardowe s=150 zł. Przyjmując poziom istotności α=0,01 zweryfikować hipotezę o jednakowych średnich wydatkach na mieszkanie rodzin w Warszawie i Łodzi. Zad. 13. Wylosowano 10 par zawierających związek małżeński i otrzymano dla nich następujące dane o wieku (w latach) kobiety i mężczyzny. wiek kobiety X 20 25 30 28 34 30 20 23 22 28 wiek mężczyzny Y 21 27 31 31 36 42 23 26 27 30 Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że istnieje dodatnia korelacja między wiekiem osób zawierających małżeństwo. Zad. 14. Zbadano jak kształtuje się wysokość obrotów firm (w mln zł) w zależności od liczby reklam pewnego wyrobu: Liczba reklam x i 3 5 4 9 6 7 8 Wielkość obrotu y i 115 133 142 150 148 152 150 1. Obliczyć oraz zinterpretować współczynnik regresji liniowej opisującej zależność wysokości obrotów firm od liczby reklam danego wyrobu. 2. Na poziomie istotności 0,1 zbadać statystyczną istotność współczynnika regresji opisującej daną zależność. Zad. 15. W 1996 roku zebrano informacje w sześciu krakowskich uczelniach o liczbie studentów Y oraz o powierzchni w m 2 sal dydaktycznych tych uczelni X.
Uczelnia AR AE WSP UJ PK ASP Liczba studiujących (w tys.) 4 12 6 21 9 1 Powierzchnia sal dydaktycznych (w tys. m 2 ) 4,5 8,8 4,2 17 6 1,8 Należy: 1. Oszacować równanie regresji zmiennej Y względem zmiennej X. 2. Dokonać oceny stopnia dopasowania równanie regresji obliczając odchylenie standardowe reszt, błędy ocen parametrów oraz współczynniki determinacji i zbieżności 3. Obliczyć korelacji liniowej Pearsona. 4. Dokonać interpretacji wyników Zad. 16. W grupie losowo wybranych 300 osób cierpiących na pewną chorobę zanotowano 60 zgonów. Na poziomie ufności 0,95 zbudować przedział ufności dla współczynnika śmiertelności w tej chorobie. Zinterpretować otrzymany przedział. Zad. 17. Pobrano dwie losowe próby dwóch różnych odmian marchwi, a następnie zważono ich korzenie. Dla I odmiany otrzymano x 1 =240 g oraz S 12 x =2500 przy liczności n 1 =20, zaś dla odmiany II uzyskano x 2 =220 g oraz S 22 x =3600 przy liczebności n 2 =15. Na poziomie istotności α=0,05 zweryfikować hipotezę, że średnia masa obu odmian jest taka sama. Zad. 18. Z populacji studentów kończących Wydział Zarządzania wylosowano niezależnie 12 osób. Następnie odnotowano liczbę punktów jaką każdy z nich uzyskał na egzaminie wstępnym oraz średnią z wszystkich egzaminów na studiach. Dane te pozwoliły wyznaczyć wartość współczynnika korelacji liniowej między tymi cechami 0,522. Zweryfikować na poziomie istotności α=0,05 hipotezę, że istnieje zależność między wynikami egzaminu wstępnego a ocenami osiąganymi w trakcie studiów. Zad. 19. W celu ustalenia zależności wydajności pracy w szt./godz (y). od stażu pracy w latach (x), zbadano 35 losowo wybranych pracowników pewnej firmy. Po dokonaniu obliczeń otrzymano następujące wyniki: x i 2 =3468 x i x y i y = 275
x i x 2 =720 y i y 2 =210 y i y i 2 =54 1. Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji liniowej Pearsona. 2. Obliczyć i zinterpretować współczynnik regresji między wydajnością a stażem pracy. 3. Obliczyć oraz zinterpretować średni błąd oceny modelu i współczynnik zmienności losowej, wiedząc że średnia wydajność pracy wynosi 8 szt./godz. 4. Obliczyć oraz zinterpretować współczynnik determinacji i współczynnik zbieżności. 5. Czy równanie regresji cechy X względem cechy Y ma sens? Uzasadnić. Zad. 20. W celu ustalenia zależności między dochodami przypadającymi na członka rodziny a wydatkami na żywność wybrano do próby 7 rodzin. Otrzymano następujące wyniki: Dochody X (w 100 zł.) 1,5 1,8 2,0 1,9 3,0 4,1 4,5 Wyd. na żywność Y (w 100zł) 0,5 0,6 0,9 1,5 1,8 2,3 Y teor. 0,5 1,4 2,0 2,2 Na podstawie powyższych danych należy: A. oszacować parametry liniowej funkcji regresji opisującej zależność zmiennej Y od X, B. uzupełnić brakujące dane w tabeli, C. oszacować błędy ocen tych parametrów, D. znaleźć wartość współczynników determinacji i indeterminacji liniowej, E. zinterpretować otrzymane wyniki, F. czy zależność zmiennej X od zmiennej Y ma sens? Zad. 21. Zbudować przedział ufności dla wariancji będącej miarą zróżnicowania gęstości drzew w lesie, jeśli w 14 wylosowanych kwadratach lasu, o powierzchni 1 ara każdy, średnia liczba drzew wynosi x=29 oraz S 2 =13, 44. Badania wcześniejsze potwierdzają, że rozkład gęstości drzew w lesie jest rozkładem normalnym. Przy konstrukcji przedziału ufności przyjąć współczynnik ufności 0,9