Górnictwo i Geoin ynieria Rok 33 Zeszyt 3 009 Ryszard Wosz* UGIÊIE STROPU BEZPOŒREDNIEGO I ZASADNIZEGO NAD EKSPLOATOWANYM POK ADEM WSPÓ ZYNNIK KONENTRAJI NAPRÊ ENIA W OBSZARZE PROPAGUJ EJ SZZELINY W PRZEKROJU ZGINANEJ BELKI STROPOWEJ**. Wstêp Praca jest kontynuacj¹ badañ dotycz¹cych opisu zachowania siê warstw górotworu nad eksploatowanym, systemem komorowo-filarowym z ugiêciem stropu, z³o em rud miedzi w LGOM. Dotychczas opisano ugiêcie warstwy stropu bezpoœredniego i zasadniczego nad eksploatowanym z³o em []. Model skonstruowano w ten sposób, e w stropie wydzielono dwie charakterystyczne warstwy: strop bezpoœredni i strop zasadniczy. Strop i z³o e charakteryzuj¹ siê w³aœciwoœciami oœrodka sprê ystego, które to w³aœciwoœci opisuj¹ nastêpuj¹ce parametry: wspó³czynnik oporu w³aœciwego z³o a c, wspó³czynnik oporu w³aœciwego zrobów (podsadzki) c, wspó³czynnik odkszta³calnoœci pod³u nej E warstwy stropowej, wspó³czynnik Poissona. W nawi¹zaniu do rozwi¹zania belki z propaguj¹c¹ szczelin¹ [7], jako model przyjêto belkê obustronnie utwierdzon¹ i obci¹ on¹ równomiernie na swej d³ugoœci (rys. ). Technologicznie stan taki odpowiada fazie rozwijania eksploatacji w nowym polu eksploatacyjnym. Od góry belka jest obci¹ ona nadk³adem w postaci pionowej sk³adowej p z tensora naprê enia pierwotnego. Zadanie sprowadza siê do rozwi¹zania modelu opisuj¹cego ugiêcie belki na sprê ystym pod³o u. W skonstruowanym modelu o wartoœci krzywizny osi belki decyduje moment zginaj¹cy i si³a œcinaj¹ca [5]. elem pracy [7] by³o przedstawienie rozwi¹zania koncepcyjnego modelu opisuj¹cego powstanie i propagacjê szczeliny zniszczenia w przekroju belki stropu zasadniczego. Szczelina zniszczenia jest generowana przez dwie pary si³ o przeciwnych momentach. Obecnoœæ szczeliny powoduje lokalne os³abienie przekroju * Wydzia³ Górnictwa i Geoin ynierii, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków ** Praca zrealizowana w ramach badañ statutowych. Nr umowy.00.77, tytu³ pracy: Badanie zjawisk fizykomechanicznych wywo³anych dzia³alnoœci¹ górnicz¹ 5
i dalsz¹ propagacjê powierzchni zniszczenia. Do obliczeñ przyjêto sekwencyjnie zmieniaj¹c¹ siê d³ugoœæ szczeliny od 3 m do 5 m.na podstawie wyników obliczeñ sformu³owano wniosek, e przy d³ugoœci szczeliny oko³o 5 m rozpoczyna siê proces przyspieszonego rozwierania siê szczeliny i utraty statecznoœci ca³ej konstrukcji stropowej. elem artyku³u jest podanie rozwi¹zania, w którym zostanie przedstawiona zale noœæ stanu naprê enia od wymiarów szczeliny. Jako parametr opisuj¹cy tê relacjê przyjêto wspó³czynnik koncentracji naprê enia w obszarze powsta³ej szczeliny. Wartoœæ wspó³czynnika zale y miêdzy innymi od geometrii szczeliny. Przyjêto eliptyczny kszta³t konturu szczeliny (Griffith theory). Wymiary przedstawiono na rysunku. a W c Rys.. Schemat odcinka belki z brzegow¹ szczelin¹ o kszta³cie elipsy. Za³o enia modelowe Lokalne pêkniêcie oœrodka skalnego i propagacja szczeliny prowadz¹ do zniszczenia materia³u skalnego na wiêksz¹ skalê, co z kolei mo e generowaæ zjawiska dynamiczne, jak wstrz¹sy i t¹pania. Przyczyn¹ powoduj¹c¹ wyst¹pienie zjawiska dynamicznego towarzysz¹cego zniszczeniu materia³u jest energia sprê ysta potencjalna, której gromadzenie powodowane jest sprê ystym odkszta³caniem siê górotworu do przestrzeni powsta³ej po wybraniu partii z³o a. W artykule przedstawiono rozwi¹zanie opisuj¹ce wielkoœæ maksymalnego naprê enia w przekroju zginanej belki stropowej. Miar¹ tego naprê enia jest wartoœæ wspó³czynnika koncentracji. Koncentracja jest efektem os³abienia przekroju belki szczelin¹. Do analizy przyjêto model belki obci¹ onej ciê arem warstw nadleg³ych oraz uwzglêdniono ciê ar w³asny belki. Nadano sprê yste w³asnoœci odkszta³ceniowe górotworu. Jako parametr wytrzyma³oœciowy przyjêto granicê wytrzyma³oœci na zginanie. 6
Za³o ono, e w po³owie d³ugoœci belki, na jej brzegu powsta³a szczelina o kszta³cie elipsy i wymiarach: pó³oœ d³u sza a, oœ krótsza c (rys. ). Szczelina powoduje zaburzenie istniej¹cego stanu równowagi konstrukcji, co mo e staæ siê przyczyn¹ utraty statecznoœci belki (pêkniêcie i z³amanie) oraz ogniskiem wstrz¹sów i drgañ propaguj¹cych na zewn¹trz. Ocenê stopnia zagro enia przeprowadzono na podstawie wartoœci bezwymiarowego wspó³czynnika koncentracji naprê enia, zdefiniowanego jako iloraz wielkoœci lokalnego naprê enia na œciankach szczeliny w wierzcho³ku do naprê enia panuj¹cego w konstrukcji poza obszarem zaburzonym szczelin¹. 3. Konstrukcja i parametry modelu obliczeniowego Model belki pokazano na rysunku. Jest to belka obustronnie utwierdzona, obci¹ ona równomiernie roz³o onym ciê arem nadk³adu q oraz w³asnym ciê arem q 0. D³ugoœæ belki wynosi l, wysokoœæ W. Przekrój belki jest prostok¹tny o wymiarach b W. Wartoœci liczbowe zestawiono w tabeli. a) q+q 0 b W l q+q 0 b) c) M M Rys.. Model belki, a) z³o ony, b) prosty I, c) prosty II TABELA d³ugoœæ l, m wysokoœæ W, m obci¹ enie nadk³adem q, MN/m obci¹ enie ciê- arem w³asnym q 0, MN/m d³ugoœæ szczeliny a, m 00 60 5,5 od 0, do 3,0 m 7
Szczelina powoduje zmniejszenie powierzchni czynnego przekroju oraz zmniejszenie wartoœci momentu bezw³adnoœci przekroju poprzecznego belki. To niekorzystne zjawisko iloœciowo opisano wspó³czynnikiem koncentracji naprê enia K. K rz n () gdzie: rz n naprê enie na œciance szczeliny w wierzcho³ku, naprê enie poza obszarem szczeliny. Wartoœæ wspó³czynnika koncentracji zale y od kilku czynników, z których najwiêkszy wp³yw maj¹: wielkoœæ naprê enia poza obszarem szczeliny, wymiary szczeliny, uk³ad geometryczny szczeliny (kszta³t i orientacja wzglêdem kierunku obci¹ enia). W równaniach uk³ad geometryczny szczeliny reprezentuje odpowiedni wspó³czynnik. Rozpatrywany model belki, z mechanicznego punktu widzenia, nale y do klasy modeli jednokrotnie statycznie niewyznaczalnych. Rozwi¹zanie modelu, polegaj¹ce na wyznaczeniu funkcji rozk³adu momentu zginaj¹cego i równania linii ugiêcia, przedstawiono w [7]. 4. Wspó³czynnik koncentracji naprê enia w obszarze szczeliny Wspó³czynnik koncentracji wyznaczono, stosuj¹c zasadê superpozycji. Model wyjœciowy zosta³ zast¹piony dwoma modelami prostymi (rys. ). Poniewa obydwa proste obci¹ enia dzia³aj¹ce w p³aszczyÿnie g³ównej modelu jest to p³aszczyzna pionowa przechodz¹ca przez oœ pod³u n¹ belki generuj¹ naprê enia tego samego typu i o tych samych kierunkach dzia³ania (rozci¹gaj¹ce przekrój poni ej osi obojêtnej belki), model z³o ony (rys. a) zast¹piono dwoma modelami prostymi I i II (rys. b i c). Model prosty I belka dwustronnie podparta równomiernie obci¹ ona. Wspó³czynnik koncentracji naprê enia dla takiego modelu [6] opisuje zale noœæ K af a W () gdzie: F naprê enie poza szczelin¹, a po³owa d³u szej osi elipsy szczeliny, W wysokoœæ belki, a funkcja kszta³tu modelu belki [6] W 8
Funkcja kszta³tu modelu belki ma postaæ F a W 99, ( )( 5, 393, 7, ) ( )( ) 3 (3) gdzie: a W Model prosty II belka obci¹ ona na koñcach momentami zginaj¹cymi. Wspó³czynnik koncentracji naprê enia dla takiego modelu [6] opisuje zale noœæ a K W a a W 3 4 W 3 (4) gdzie:,, 3, 4 funkcje zale ne od a/r. Jeœli a/r zawiera siê w granicach: 05, a/ r 0,, to funkcje 4 obliczamy ze wzorów 3 4 a a 79548 0 r,,, r 3, 544 3, 677 0, 578 a a r r 5, 4593, 69 a r a 0, 565 r a a, 678 53, 0, 05 r r (5) Jeœli a/r zawiera siê w granicach:, 0 a/ r 0, 0, to funkcje 4 obliczamy ze wzorów 3 4 a a 9660 50 0 009 r,,, r 6, 475, 6 0, 09 a a r r 8, 0353, a r a 00, r a 3, 57 0, 634 0, 0 a r r (6) 9
Wielkoœæ naprê enia opisuje wzór max K 6 M n n B( W a) (7) gdzie: naprê enie poza szczelin¹, M moment obci¹ aj¹cy belkê, B gruboœæ modelu, B = m. n 5. Algorytm obliczeñ Wartoœæ wspó³czynnika koncentracji naprê enia jest zale na od wymiarów belki (d³ugoœæ l, wysokoœæ W i szerokoœæ B przekroju poprzecznego), wymiarów (a, c), kszta³tu i uk³adu szczeliny w przekroju, obci¹ enia konstrukcji belki oraz od wielkoœci ujmuj¹cych relacje miêdzy niektórymi parametrami, np. a/ W, a/ r, gdzie r jest promieniem krzywizny wierzcho³ka szczeliny (Griffith theory). Do obliczeñ zbudowano pakiet programu MO Excel. Najpierw obliczono wielkoœæ obci¹ enia modeli, czyli w przypadku modelu prostego I wartoœæ si³y równomiernie roz³o onej wzd³u belki q i q 0 i momentu zginaj¹cego dla modelu prostego II. Wielkoœæ si³y oszacowano z przyjêtej g³êbokoœci H = 000 m i œredniej wartoœci ciê aru objêtoœciowego nadk³adu = 0,05 kn/m 3. Wielkoœæ momentu zginaj¹cego przyjêto jako wartoœæ ( qq0 ) l momentu utwierdzenia w modelu z³o onym M max. Poszukiwanym rozwi¹zaniem jest zale noœæ miêdzy rozmiarami szczeliny i wielkoœciami wspó³czynnika koncentracji naprê enia (wzory i 4). Obliczenia przeprowadzono, przyjmuj¹c zakres zmiennoœci parametru a/ r w granicach od zera do 5. By³o to uwarunkowane zakresem obowi¹zywania wzorów (5) i (6). Natomiast zakres wartoœci a/ Wprzyjêto w granicach od 0 do 0,05, czyli d³ugoœæ szczeliny wynosi³a maksymalnie 3 m, co stanowi³o 5% wysokoœci przekroju poprzecznego belki. Wyniki obliczeñ zestawiono w tabeli oraz przedstawiono na rysunkach 3 i 4. 6. Analiza wyników i wnioski Rysunek 3 przedstawia rozk³ad wartoœci wspó³czynników koncentracji w zale noœci od parametru a/ W. Z obliczeñ (tab. 3) wynika, e zmiana d³ugoœci szczeliny do 3mspo- woduje wzrost wspó³czynników koncentracji do oko³o 7,5 (w przypadku modelu obci¹ onego momentem zginaj¹cym) i oko³o (w przypadku modelu obci¹ onego równomiernie roz³o on¹ si³¹). Rysunek 4 przedstawia rozk³ad wielkoœci, bêd¹cych iloczynami wspó³czynników koncentracji i wartoœci naprê enia () obliczonych dla obydwu modeli prostych. 0
TABELA D³ugoœæ szczeliny a m Stosunek a/r Stosunek a/w Sta³a Sta³a Sta³a 3 Sta³a 4 Wspó³czynniki koncentracji naprê enia K zginanie si³¹ ci¹g³¹ K zginanie momentem Funkcja kszta³tu F(a/W) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,003333 3,065 6,643 8,585 4,004 6,483 3,0495,690 0,4 0,006667 3,93 8,586 0,58 4,9 8,65058 3,8563,3 0,6 3 0,0 4,39 9,68,60 5,384 0,543 4,9533,057 0,8 4 0,033333 4,83 0,675,75 5,948,39 4,6899,0034,0 5 0,06667 5,5,63 3,788 6,49 3,47957 5,06097,095, 6 0,0 5,654,547 4,8 7,06 4,69779 5,40893,09006,4 7 0,0333333 6,039 3,46 5,84 7,5 5,80374 5,7344,0853,6 8 0,0666667 6,406 4,67 6,767 8,004 6,8050 6,0373,08035,8 9 0,03 6,755 5,07 7,68 8,468 7,7643 6,3858,0757,0 0 0,03333333 7,086 5,835 8,553 8,9 8,6468 6,57845,07, 0,03666667 7,399 6,56 9,386 9,336 9,4779 6,8733,06685,4 0,04 7,694 7,5 0,79 9,74 0,673 7,0356,066,6 3 0,043333 7,97 7,90 0,93 0,4,0088 7,3373,05853,8 4 0,04666667 8,3 8,55,645 0,488,709 7,404,05456 3,0 5 0,05 8,47 9,09,38 0,83,4007 7,57094,0507
30 5 wspó³czynnik koncentracji naprê enia K 0 5 0 wartoœæ zale na od si³y wartoœæ zale na od momentu zginaj¹cego 5 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 a/w Rys. 3. Rozk³ad wartoœci wspó³czynnika koncentracji naprê enia w zaleznoœci od stosunku a/w 300 50 00 MPa 50 naprê enie wywo³ane obci¹ eniem ci¹g³ym naprê enie wywo³ane momentem zginaj¹cym 00 50 0 0 0,0 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 a/w Rys. 4. Rozk³ad naprê enia w obszarze szczeliny
TABELA 3 Wspó³czynniki koncentracji naprê enia Wartoœæ naprê enia MPa K zginanie si³¹ ci¹g³¹ K zginanie momentem rz = K n rz = K n 0 0 0 0 6,483 3,0495 05,658 4,6953 8,65058 3,8563 33,8968 60,0735 0,543 4,9533 49,436 73,09,39 4,6899 6,844 84,44 3,47957 5,06097 75,780 93,608 4,69779 5,40893 87,80 0,0680 5,80374 5,7344 99,056 09,748 6,8050 6,0373 09,69 6,8090 7,7643 6,3858 9,3953 3,367 8,6468 6,57845 8,484 9,498 9,4779 6,8733 36,78 35,590 0,673 7,0356 44,95 40,734,0088 7,3373 5,7 45,8946,709 7,404 57,365 50,8346,4007 7,57094 6,8799 55,5605 Przy wartoœci n = 7 MPa dla modelu prostego I, i n = 35 MPa dla modelu prostego II, wartoœci naprê eñ w obrêbie szczeliny wykazuj¹ znaczny wzrost odpowiednio do 60 MPa i 55 MPa. Mo na wnioskowaæ, e proces propagacji szczeliny wchodzi w fazê rozwoju dynamicznego. W pracy [7] otrzymano podobne wyniki. Rozwój procesu zniszczenia zapocz¹tkowa³a szczelina o d³ugoœci 5 m. 3
LITERATURA [] Kasprzyk S.: Dynamika uk³adów ci¹g³ych, Wydawnictwa AGH, Kraków 994 [] K³eczek Z.: Geomechanika górnicza, Œl¹skie Wydawnictwo Techniczne, Katowice 994 [3] K³eczek Z.: Koncepcja zwalczania zagro enia wysokoenergetycznymi wstrz¹sami górotworu w kopalniach LGOM, UPRUM, nr 5, Wroc³aw 000 [4] K³eczek Z., Zorychta A.: Wstrz¹sy górotworu i t¹pania w kopalniach rud miedzi LGOM, Miêdzynarodowa Konferencja Naukowa GÓRNITWO 000, Gliwice 999 [5] Ozog T.: Ugiêcie stropu przy uwzglêdnieniu si³ œcinaj¹cych, praca doktorska, AGH, 964 [6] Pilkey W.D.: Formulas for Stress, Strain and Structural Matrices, Second Edition, John Wiley & Sons Inc. Hoboken, New Jersey 005 (www.wiley.com) [7] Praca zbiorowa: Monografia KGHM Polska MiedŸ S.A., Wydawnictwo BPM uprum, Lubin 996 [8] Sa³ustowicz A.: Mechanika górotworu, Wydawnictwo Górniczo-Hutnicze, Katowice 955 [9] Walczak J.: Wytrzyma³oœæ materia³ów oraz podstawy teorii sprê ystoœci i plastycznoœci, PWN, Warszawa 977 [0] Wang.H.: Introduction to Fracture Mechanics, http://www.google.pl/search?q=wang+.+h.+introduction+to+fracture+mechanics&ie=utf-&oe=utf-8&aq=t&rls=org.mozilla:pl:official&client=firefox-a [] Wosz R.: Ugiêcie stropu bezpoœredniego i zasadniczego przy eksploatacji z³o a systemem komorowo- -filarowym z ugiêciem stropu, Górnictwo (kwartalnik AGH) 000, z. 4 [] Wosz R.: Ugiêcie stropu zasadniczego przy eksploatacji z³o a systemem komorowo-filarowym z ugiêciem stropu z uwzglêdnieniem si³y oporu na kontakcie warstw, Górnictwo (kwartalnik AGH) 00, z. [3] Wosz R.: Ugiêcie stropu bezpoœredniego i zasadniczego przy eksploatacji z³o a systemem komorowo- -filarowym z ugiêciem stropu równanie linii ugiêcia wspornika stropu zasadniczego, Górnictwo i Geoin ynieria (kwartalnik AGH) 003, z. [4] Wosz R.: Wp³yw sposobu ugiêcia warstw stropowych na koncentracjê wytê enia górotworu. Górnictwo i Geoin ynieria (kwartalnik AGH) 003, z. 3 4 [5] Wosz R.: Ugiêcie stropu bezpoœredniego i zasadniczego nad eksploatowanym z³o em wytrzyma³oœciowy warunek zniszczenia wed³ug hipotezy Burzyñskiego, Górnictwo i Geoin ynieria (kwartalnik AGH) 004, z. [6] Wosz R.: Ugiêcie stropu nad eksploatowanym z³o em rud miedzi LGOM wp³yw wartoœci wspó³czynnika eksploatacji na powstanie stref odci¹ enia miêdzy warstwami stropowymi, Górnictwo i Geoin ynieria (kwartalnik AGH) 006, z. 3 [7] Wosz R.: Ugiêcie stropu bezpoœredniego i zasadniczego nad eksploatowanym pok³adem powstanie i propagacja szczeliny wywo³anej momentem pary si³, Górnictwo i Geoin ynieria (kwartalnik AGH) 008, z. 3