Część IV. Elektryczność i Magnetyzm

Część IV. Elektryczność i Magnetyzm Uczyć się bez myślenia to zmarnowana praca, Myśleć bez uczenia się to pustka. Konfucjusz (właściwie K ung Ch iu, 551 479 p.n.e.) Dialogi, II/15 Wykład 10 Wprowadzenie Początki nauki o elektryczności sięgają czasów Talesa z Miletu (VI w. p.n.e.), który obserwował przyciąganie źdźbła trawy przez potarty bursztyn. Wykład będzie dotyczył doświadczalnego opisu zjawisk elektromagnetycznych. Zjawiskom tym towarzyszą siły. Siły elektromagnetyczne są jednymi z czterech podstawowych sił w przyrodzie. Bursztyn zwany: jantar, amber (z łac. sucinum, czasem także elektrum z gr. ἤλεκτρον - elektron) 1

10.1. Ładunek elektryczny Część IV. Elektryczność i Magnetyzm Atomy, cząsteczki zbudowane są z elektronów, protonów i neutronów; dwa ostatnie zwane nukleonami, tworzą jądro atomowe. Elektrony, protony oraz neutrony posiadają następujące ładunki elektryczne: q q q e p n (1.602177 33 0.000 000 49) x10 (1.602177 33 0.000 000 49) x10 0.4 1.1 x10 21 x q e 19 19 [ C] [ C] (1.1) Ładunki protonu i elektronu są sobie równe, w granicy błędu pomiarowego. Dla wygody definiujemy ładunek elementarny (ujemny) e q e q p : e 1.602 x10 19 [ C] Każdy ładunek elektryczny, z którym mamy do czynienia jest całkowitą wielokrotnością ładunku elementarnego. (1.2) Elementarne ładunki: e - : elektrony -e p + : protony +e n : neutrony 0 e + : pozytrony +e 2

Ładunek elektryczny 10.1.1. Kwantyzacja ładunku elektrycznego Obecna idea: istnieje elektryczny ładunek elementarny e i każdy eksperymentalnie wykryty ładunek elektryczny jest wielokrotnością jego wielkości: q = ne, n = 0, 1, 2, 3,, (1.3) e = 1.6021773310-19 C 1.6010-19 C [ładunek elektryczny, tzw. ładunek elementarny]. 1: Ładunek elementarny e jest stałą naturalną = stałą przyrody. 2: Jeżeli wielkość fizyczna, np. ładunek, istnieje tylko w dyskretnych paczkach a nie w postaci wartości zmieniającej się w sposób ciągły, mówimy, że dana wielkość jest skwantowana. Mechanika Kwantowa 3: W obiektach materialnych istnieją ogromne ilości dodatnich i ujemnych ładunków, np. 3.11 g miedzi zawiera 1.3710 5 C dodatnich i ujemnych ładunków, więc ładunek ogólny takiego obiektu jest zbliżony do neutralnego. 3

Część IV. Elektromagnetyzm 10.1.2. Ładunek elektryczny jest zachowany 4

Ładunek elektryczny 10.2. Podział materiałów ze względu na właściwości elektryczne Przewodniki Izolatory Półprzewodniki Nadprzewodniki Ładunki elektryczne (tj. elektrony przewodnictwa), pomimo pewnego oporu elektrycznego, mogą poruszać się swobodnie w całym materiale. W większości przypadków ładunki elektryczne są nieruchome. Materiały (np. krzem, german) pośrednie pomiędzy przewodnikami a izolatorami posiadają specyficzne właściwości dzięki pasmom energetycznym w których elektrony (i dziury) mogą się poruszać. Materiały które mogą przenosić prąd elektryczny bez oporu; np. niektóre metale i stopy = nadprzewodniki konwencjonalne (w niskich temperaturach) lub nowe wysokotemperaturowe Gęstość elektronów w materiałach: Przewodniki: 10 23 elektronów przewodnictwa na cm 3. Półprzewodniki: 10 10 10 12 na cm 3. Izolatory: <1 na cm 3. 5

Część IV. Elektryczność i Magnetyzm 10.3. Cztery oddziaływania fundamentalne 1) Silne- (odpowiedzialne za wiązanie kwarków w nukleony oraz nukleonów w jądra atomowe) 2) Elektromagnetyczne (odpowiedzialne za siły działające między cząstkami posiadającymi ładunek elektryczny ) 3) Słabe- (odpowiedzialne za rozpad niektórych cząstek, np. neutronu ) 4) Grawitacyjne- (odpowiedzialne za przyciąganie między Cząstkami posiadającymi masę). Rys. Fundamentalne oddziaływania: siła, zasięg, gdzie dominują. Elektromagnetyzm, jedno z fundamentalnych oddziaływań występujących w przyrodzie. 6

Nośniki oddziaływań (cząstki przenoszące oddziaływanie): Tab. Własności cząstek pośredniczących Część IV. Elektryczność i Magnetyzm 7

10.4. PRAWO COULOMBA Ładunek elektryczny Charles Augustin Coulomb (1736-1806) zmierzył (w 1785) w sposób ilościowy przyciąganie i odpychanie elektryczne pomiędzy dwoma ładunkami. Odkrył on, że F k q 1 2 2 r q 1 4 o r q 1 2 2 r q k q 1 2 2 r q (4.1) Fot. źródło :jergym.hiedu.cz Rys. Siły działające między dwoma ładunkami. gdzie: k- stała elektrostatyczna, historycznie jest wyrażona przez przenikalność elektryczną o - przenikalność elektryczna próżni, wtedy: o k 12 2 2 8.8541878176210 C / N m 1 4 o 8.9910 9 N m r - przenikalność elektryczna ośrodka. 2 / C 2 8

Doświadczenie Coulomba Aparat użyty przez Coulomba: W układzie SI jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb (C): 1C ilość ładunku przenoszona przez przekrój poprzeczny przewodu w czasie 1sekundy przy prądzie płynącym w przewodzie o wartości 1 ampera. Eksperymentalna definicja 1 ampera (A): I = dq/dt (4.2) dq -ładunek w kulombach (C), przenoszony w czasie dt (w sekundach). Dlatego dwa 1 kulombowe ładunki umieszczone w odległości 1m od siebie odpychają się z siłą 8.9910 9 N. Rys. źródło: www.google.pl/ 9

Ładunek elektryczny 10.4.1. Porównanie oddziaływań: elektrostatycznego z grawitacyjnym Dla porównania przypomnijmy prawo ciążenia: F G M m 2 r rˆ (4.3) Gdzie, stała grawitacji G jest równa: G 2-11 m N 6.67428 10 2 kg (4.4) Iloraz tych stałych proporcjonalności w prawie Coulomba i prawie ciążenia wynosi: 1 4 0 / G 1.35 10 20 (4.5) Jednostki pomijamy, by dać pojęcie o skali tych wielkości: WNIOSEK: Analizując oddziaływanie elektrostatyczne (elektryczne) ładunków, oddziaływanie grawitacyjne mas tych ładunków może być pominięte (patrz wyżej na rysunek o czterech oddziaływaniach). 10

Ładunek elektryczny 10.4.2. Prawo Coulomba w postaci wektorowej: F 12 r 12 rˆ 12 : siła elektrostatyczna działająca na cząstkę 1 wywierana przez cząstkę 2. : wektor pozycyjny, określający pozycję cząstki 1 względem cząstki 2. r12 r - (kierunkowy wektor jednostkowy) 12 F 1 q q 1 2 12 rˆ 2 12 4 o r12 0 - przenikalność elektryczna próżni: o 12 8.8541878176210 C / N m 2 2 0.4.3. W ośrodku różnym od próżni musimy uwzględnić przenikalność elektryczną ośrodka, stąd: (4.6) 0 r r - względna przenikalność elektryczna ośrodka (stała bezwymiarowa). 11

Część IV. Elektryczność i Magnetyzm Tabela. Wartości przenikalności elektrycznej dla kilku wybranych materiałów Należy pamiętać, o związku między elektrycznymi i magnetycznym własnościami próżni a prędkością światła: 1 c (4.7) gdzie ε 0 to podatność elektryczna, μ 0 podatność magnetyczna próżni. 0 WNIOSEK: Oddziaływanie elektryczne ładunków zależy od ośrodka, w którym ładunki się znajdują. Ośrodek wpływa na oddziaływanie, ale też pole elektryczne oddziałuje na ośrodek (polaryzacja elektryczna ośrodka) 0 12

Elektromagnetyzm 10.5. POJĘCIE POLA ELEKTRYCZNEGO. 10.6 Ładunek oddziałuje z polem wytworzonym przez drugi ładunek a nie oddziałują bezpośrednio ze sobą. definiuje się jako siłę na jednostkę ładunku: 10.5.1. Własności pola elektrycznego (5.1) E F q N C 13

Własności pola elektrycznego c.d. Elektromagnetyzm (5.2) 14

Własności pola elektrycznego c.d. (5) Natężenie pola elektrycznego spełnia prawo odwrotności kwadratu odległości: 1 E 2 r Pole elektryczne nie jest modelem abstrakcyjnym. Jest to twór fizyczny jak najbardziej realny. 15

10.6. Linie pola elektrycznego Rys. Linie natężenia pola elektrycznego wokół ładunku Q 16

LINIE POLA ELEKTRYCZNEGO- PRZYKŁADY 17

Pole elektryczne 10.7. Pole elektryczne układu ładunków punktowych (5.3) (5.4) 18

Pole elektryczne (5.5) 19

Pole elektryczne Przykład 1 Wykazać, że wartość natężenia pola elektrycznego (E) w punkcie P leżącym na osi X w dużej odległości od dipola (x>>d) wynosi: E( x) 1 4 0 qd 3 x 20

Rozwiązanie P1. Mamy wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego (E) w punkcie P leżącym na osi x. 21

(5.6) ( jest 22

Pole elektryczne i prawo Gaussa 10.7. 1 Pole elektryczne od ładunków o rozkładzie ciągłym. (7.1) 23

Przykład 1. Naładowany pierścień. Pole elektryczne i prawo Gaussa (7.2) Pierścień jednorodnie naładowany ładunkiem dodatnim. Element różniczkowy ładunku dq zajmuje pewną długość ds i wytwarza pole elektryczne de w punkcie P (rys.). Składowa de wyznaczona wzdłuż osi obrotu pierścienia wynosi dq = λdl de z = de cosθ. dla naładowanego pierścienia E(z) : (7.3) E z qz 2 2 4 o( z R ) 3/ 2 (7.4) dl (wyprowadzenie wzoru na tablicy) 24

Przykład 2. Naładowany dysk (7.5) (wyprowadzenie wzoru na tablicy): dq dv (7.6) 25

Elektryczność 10.8 Indukcja pola elektrycznego oraz przenikalność elektryczna ośrodka. Jak będzie wyglądało pole elektryczne w ośrodku różnym od próżni: w cieczach, gazach, czy ciałach stałych, czyli ośrodkach charakteryzujących się różną od jedności względną przenikalnością elektryczną? Musimy prowadzić nową wielkość. Pole elektryczne definiujemy w takich ośrodkach poprzez wektor indukcji pola elektrycznego D : D gdzie: D wektor indukcji pola elektrycznego, E wektor natężenia pola elektrycznego, - przenikalność elektryczna ośrodka. E C 1 ] [ 2 m (8.1) Przenikalność elektryczną ośrodka definiujemy: 0 r (8.2) 0 gdzie: - przenikalność elektryczna próżni, fundamentalna stała przyrody. Względna przenikalność elektryczna ośrodka r (stała bezwymiarowa), określa ile razy przenikalność danego ośrodka jest większa od przenikalności elektrycznej próżni 26

Wnioski: Przenikalność elektryczna ośrodka Elektryczność jest skalarem w ośrodku izotropowym, czyli takim, którego własności elektryczne są takie same, niezależnie od kąta w jakim dokonujemy pomiary. Oznacza to, że w ośrodku izotropowym wektory D i E są do siebie równoległe. W ośrodku anizotropowym, którego własności elektryczne zależą od kąta, w którym dokonuje się pomiarów, a wektory D i E przestają być równoległe. Przykład bryły izotropowej: kula. Przykład bryły anizotropowej: sześcian, ogólnie każda bryła nie będąca kulą (sferą). 27

10.9. Strumień pola elektrycznego Pole elektryczne i prawo Gaussa S: E E ds E ds cos (9.1) - kąt zawarty między wektoram E, a wektorem ds normalnym do powierzchni S. Całkowity strumień pola elektrycznego możemy policzyć jako sumę strumieni cząstkowych: E E ds S (9.2) S 28

Pole elektryczne i prawo Gaussa Przykład 1. Znajdź wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię sferyczną (A) w odległości r od środka ładunku punktowego q. Zatem, całkowity strumień przechodzący przez naszą zamkniętą powierzchnię sferyczną wynosi : E q 0 Rys. http://www.mif.pg.gda.pl 29

Pole elektryczne i prawo Gaussa Przykład 2. Znajdź wyrażenie na strumień pola elektrycznego przechodzący przez dowolną zamkniętą powierzchnię. Rozważmy kontur o dowolnym Kształcie otaczający kulę. Przeprowadźmy stożek o wierzchołku w q, wycinający z kuli element o powierzchni a, a z konturu element A. Rys. http://www.mif.pg.gda.pl Porównajmy strumienie przez te dwa elementy: Ponieważ każdemu elementowi powierzchni zewnętrznej możemy przypisać element sfery, zatem całkowity strumień jest jednakowy dla obu powierzchni. Wniosek: Strumienie przez oba elementy są sobie równe. 30

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Jeżeli będziemy rozważać wiele ładunków zawartych w naszej powierzchni możemy zastosować zasadę superpozycji: natężenie pola elektrycznego od wielu źródeł można przedstawić jako sumę natężeń pola od pojedynczych źródeł. (9.3) 10.10. PRAWO GAUSSA dla pola elektrycznego: 0 E ds q (10.1) S lub Rys. źródło: http://www.ftj.agh.edu.pl Strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchni ę zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni : 31

Pole elektryczne i prawo Gaussa Przykład 1. Kuliste rozkłady ładunków - jednorodnie naładowana kula Pole elektryczne na powierzchni Gaussa jest równe: (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R). Ostatecznie otrzymujemy dla r < R : lub Rys. Zależność pola E od odległości od środka naładowanej kuli o promieniu R 32

Pole elektryczne i prawo Gaussa 10.10.1. Prawo Gaussa a prawo Coulomba Wykazać, że prawo Coulomba wynika z prawa Gaussa. Przyjąć.,że E =const. L Z prawa Gaussa strumień przechodzących przez sferę o promieniu r, otaczającą ładunek Q (rys.) : E ds Q (10.2) 0 S Obliczymy teraz lewą stronę powyższego równania, mamy: F 4 r q 2 0 E ds 0E ds 0E r 0 4 S S Przyrównując powyższe wyrażenie z prawą stroną równania (9.2), otrzymujemy Prawo Coulomba: F 1 4 0 Qq r 2 (10.4) 2 (10.3) 33

Potencjał pola elektrostatycznego 10.11. POTENCJAŁ POLA ELEKTRYCZNEGO Pole elektryczne jest polem wektorowym, ale również polem skalarnym. Pole elektryczne jest polem zachowawczym, tzn. praca wykonana przez siłę elektrostatyczną nie zależy od drogi, lecz od położeń punktu początkowego i końcowego. (11.1) Rys. Pole elektryczne od dipola. Dlatego praca wykonana dla drogi zamkniętej jest równa zero. W F ds q E ds 0 (11.2) Powyższe równanie jest prawdziwe dla każdego pola zachowawczego (np. pole grawitacyjne). Jeżeli pole jest polem zachowawczym, to znaczy, że dla takiego pola istnieje potencjał i energia potencjalna. 34

Pole elektryczne r (r) U 10.11.1. Energię potencjalną w punkcie, czyli definiujemy jako: U ( r ) r F dr q r E dr q r E dr (11.3) jest to praca wykonaną przez siły zewnętrzne przy przenoszeniu ładunku punktowego q z nieskończoności do punktu r. Przykład. Dla dwóch ładunków punktowych odległych o r, energia potencjalna takiego układu ładunków wynosi: 1 q q U( r) F dr q E dr 1 2 1 (11.4) 4 r Praca wykonana przez siły pola przy przesunięciu ładunki z r 1 do r 2 wynosi: r2 r2 W( r1 r2 ) F dr F dr F dr U( r1 ) U( r2 ) r1 r1 i jest równa różnicy energii potencjalnej w tych punktach. U( ) 0 Jeśli ustalimy, że :, to W U ( r 2. ) r r 0 (11.5) (11.6) 35

Pole elektryczne 10.11.2. ELEMENTY TEORII POLA PODSTAWOWE DEFINICJE: Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkowujemy wartość liczbową, to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Pole skalarne przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego funkcji. Np. pole gęstości danego ciała, pole temperatur, pole potencjału elektromagnetycznego. Jeżeli każdemu punktowi obszaru przyporządkowujemy wektor, to obszar ten nazywamy polem wektorowym. Pole wektorowe przyjmuje nazwę w zależności od sensu fizycznego wektora. Np. pole prędkości cieczy, pole grawitacyjne, pole elektrostatyczne, magnetyczne. A 36

Pole elektryczne Definicja Symbol (nabla*), oznacza wektorowy operator rózniczkowy, zwany operatorem nabla albo Hamiltona. W układzie współrzędnych kartezjańskich ma szczególnie prostą postać: x, y, z lub x i y j z k (11.7) Definicja 2 Gradientem pola skalarnego nazywamy pole wektorowe, określone następująco: grad i x j y k z (11.8) *nabla z semickiego harfa, przypomina staroegipską harfę 37

Definicja 3 DYWERGENCJĄ pola wektorowego określone następująco: Pole elektryczne diva A A [ P, Q, R] P x Q y nazywamy pole skalarne, R z. (11.9) Własności dywergencji Niech A, B będą różniczkowalnymi polami wektorowymi,a będzie różniczkowalnym polem skalarnym. Wtedy: 1) 2) div( ka lb) kdiva ldivb, gdzie k, l R; div( A) diva grad A. 38

Pole elektryczne 10.11.2. OGÓLNA ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY SIŁĄ A ENERGIĄ POTENCJALNĄ gradu ( r) U ( r) Przypominam, że wektorowy operator różniczkowy w układzie współrzędnych kartezjańskich ma postać: F, zwany operatorem nabla, x, y, (11.10) z Równanie (11.10) pozwala policzyć siłę działającą na ładunek umieszczony w punkcie o energii potencjalnej U(r). Jeżeli znamy siłę, a chcemy obliczyć energię potencjalną posłużymy się zależnością wynikającą z równania (11.5): U( r1 ) U( r2 ) r r 1 2 F dr (11.11) Równania (11.10 ), (11.11) są słuszne dla każdego pola zachowawczego, np. pola elektrycznego, pola grawitacyjnego. 39

Pole elektryczne 10.11.3. POTENCJAŁ ELEKTRYCZNY Potencjał V (r) jest to energia potencjalna przypadająca na jednostkowy ładunek: V ( r) U( r) q (11.12) Różnica potencjałów w dwóch punktach jest zatem równa: U V U( r ) U( r ) W( r r ) V ( r ) V ( r ) 1 2 1 2 1 2 q q (11.13) i jest nazywana napięciem (U). U3: W układzie SI jednostką napięcia jest 1 V [volt]. 40

Pole elektryczne 10.11.4. Potencjał a natężenie pola elektrycznego Podstawiając do równania (11.12) definicję energii potencjalnej (równ. 11.3), otrzymany potencjał będzie określony przez zależność: V ( r ) r E dr E dr r (11.14) Powyższe równanie jest równaniem całkowym. Związek między potencjałem a wektorem natężenia pola elektrycznego można również przedstawić w postaci równania różniczkowego: E gradv ( r) V ( r) (11.15) Przykład. Dla ładunku punktowego q potencjał wyniesie: V ( r) E dr 1 r 4 0 q r (11.16) 41

Pole elektryczne i prawo Gaussa Związki między wielkościami charakteryzującymi pole elektryczne: Zapamiętaj Powierzchnie ekwipotencjalne powierzchnie stałego potencjału, spełniające równanie V( r ) const. Praca przy przesunięciu ładunku na pow. ekwipotencjalnej= 0! Praca wykonana przy przesunięciu ładunku między różnymi powierzchniami ekwipotencjalnymi jest różna od zera! 42

KONIEC 43