Józef Nowak PRZETWARZANIE WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCYCH POLE ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE

Józef Nowak PRZETWARZANIE WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJĄCYCH POLE ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE Wrocław 9

SPIS TREŚCI WSTĘP 5.WIELKOŚCI ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE 6.. ŁADUNEK I INDUKCJA ELEKTRYCZNA 6.. NATĘŻENIE POLA I NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE 7.3. POLARYZACJA ELEKTRYCZNA 9.4. PRĄD ELEKTRYCZNY.5. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO I NAPIĘCIE MAGNETYCZNE 3.6. POTENCJAŁ WEKTOROWY 4.7. POTENCJAŁ SKALARNY 6.8. MOMENT MAGNETYCZNY 8.9. MAGNETYZACJA.. INDUKCJA MAGNETYCZNA.. STRUMIEŃ MAGNETYCZNY 3.. MOC ELEKTRYCZNA 4. PRZETWARZANIE WARTOŚCI NAPIĘCIA ELEKTRYCZNEGO 8.. PRZEKŁADNIK NAPIĘCIOWY 8.. DZIELNIK REZYSTANCYJNY 3 3. DZIELNIK INDUKCYJNY 35.4. DZIELNIK POJEMNOŚCIOWY 38 3. PRZETWARZANIE PARAMETRÓW NAPIĘCIA ZMIENNEGO NA NAPIĘCIE STAŁE 39 3.. ŚREDNIA BEZWZGLĘDNYCH WARTOŚCI CHWILOWYCH 39 3.. PRÓBKOWANIE 4 3.3. PRÓBKOWANIE CAŁKOWE 4

4. PRZETWARZANIE ANALOGOWO-CYFROWE 44 4.. PRZETWORNIK ANALOGOWO-CYFROWY O PODWÓJNYM CAŁKOWANIU 44 4.. SYNCHRONIZACJA CYKLU PRZETWARZANIA CAŁKUJĄCEGO PRZETWORNIKA A/C 47 4.3. KOMPENSACYJNY PRZETWORNIK ANALOGOWO-CYFROWY 48 5. PRZETWARZANIE PRĄDU SIECIOWEGO 53 5.. PRZEKŁADNIK PRĄDOWY 53 5.. REZYSTANCYJNE PRZETWARZANIE PRĄDU 57 5.3. INDUKCYJNE PRZETWARZANIE PRĄDU 6 5.3. Czujniki indukcyjne o jednorodnym obwodzie magnetycznym 6 5.3. Czujniki indukcyjne ze zworami ferromagnetycznymi 66 6. INDUKCYJNE PRZETWARZANIE PODSTAWOWYCH WIELKOŚCI MAGNETYCZNYCH 69 6.. PRZETWARZANIE SKŁADOWEJ STYCZNEJ NATĘŻENIA POLA MAGNETYCZNEGO 69 6... Cewka w postaci półpierścienia 69 6... Cewka płaska 7 6.. PRZETWARZANIE INDUKCJI MAGNETYCZNEJ 76 7. PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Z CZUJNIKÓW INDUKCYJNYCH 8 7.. SYGNAŁ PRZYROSTU STRUMIENIA SKOJARZONEGO 8 7.. WYZNACZANIE WARTOŚCI CHWILOWYCH STRUMIENIA METODĄ PRÓBKOWANIA SYGNAŁU Z CZUJNIKA INDUKCYJNEGO 87 7.3. WYZNACZANIE WARTOŚCI CHWILOWYCH STRUMIENIA METODĄ CAŁKOWĄ 88 8. PRZETWARZANIE INDUKCYJNE Z WYKORZYTSTANIEM WŁAŚCIWOŚCI MAGNETYCZNYCH FERROMAGMETYKÓW 9 8.. KOMPARACJA NATĘŻEŃ PÓL MAGNETYCZNYCH 9 3

8... Wykrywanie przejścia natężenia pola magnetycznego i prądu przez wartość zerową 9 8... Przetwarzanie natężenia pola magnetycznego i prądu stałe 95 8..3. Modulacja fazy impulsów wyjściowych, zastosowanie do wykrywania przejścia natężenia pola i prądu przez wartość zerową 97 8.. MODULACJA PARZYSTYCH HARMONICZNYCH 9. PRZETWARZANIE Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW MAGNETOGALWANICZNYCH 6 9.. EFEKT HALLA 6 9.. MAGNETOREZYSTANCJA 9 9.3. MAGNETOREZYSTANCYJNY PRZETWORNIK NATĘŻENIA POLA MAGNETYCZNEGO. PRZETWARZANIE Z WYKORZYSTANIEM EFEKTÓW KWANTOWYCH W NADPRZEWODNIKACH 6.. EFEKTY KWANTOWE W NADPRZEWODNIKACH 6.. MAGNETOMETRY SQUID-OWE. PRZETWARZANIE Z WYKORZYSTANIEM ZJAWISK KWANTOWYCH W PARAMAGNETYKACH 6.. JĄDROWY REZONANS PARAMAGNETYCZNY 6.. WYKRYWANIE REZONANSU JĄDROWEGO METODĄ ABSORPCYJNĄ 34.3. SWOBODNA PRECESJA JĄDROWA 4.3.. Wykrywanie rezonansu paramagnetycznego metodą depolaryzacji 44 4

WSTĘP W elektrotechnice właściwości elektryczne i magnetyczne obiektów bada się za pomocą uproszczonych modeli obwodów elektrycznych. Zakłada się, że obwody są liniowe, a przebiegi napięcia źródeł sinusoidalne. Przy tych założeniach, stosując przekształcenia zespolone, obwody zastępujące obiekty można analizować za pomocą równań algebraicznych. Wielkości elektryczne i magnetyczne są jednak tak zdefiniowane, że określają nie tylko właściwości obwodów elektrycznych, ale przede wszystkim właściwości pola elektrycznego, magnetycznego i elektromagnetycznego. Za pomocą tych wielkości, stosując modele elektrodynamiki oraz współczesne techniki przetwarzania sygnałów i danych, można badać właściwości elektromagnetyczne obiektów bezpośrednio w warunkach ich pracy nawet wtedy, gdy przebiegi napięcia nie są sinusoidalne, ciągle zmienia się ich wartość i kształt, a ponadto obiekty są nieliniowe. Obiekt można ogólnie traktować jako przestrzeń ograniczoną zamkniętą powierzchnią, do której są doprowadzone przewody wiodące prąd elektryczny. Według modeli elektrodynamiki właściwości obiektu można badać tylko za pomocą wielkości występujących na powierzchni ograniczającej obiekt. Dostępna informacja o właściwościach elektromagnetycznych obiektu jest więc zawarta w napięciu przyłożonym do przewodów i prądzie w przewodach. Napięcie i prąd są traktowane w elektrotechnice jako wielkości podstawowe. W powiązaniu z innymi wielkościami tworzą system, którego równania można wykorzystać do przetwarzania wielkości i sygnałów, a także do wyznaczania parametrów charakteryzujących właściwości elektromagnetyczne obiektów. System zależności wielkości elektrycznych i magnetycznych jest przedstawiony w pierwszym rozdziale niniejszego opracowania Zagadnienia przetwarzania wielkości charakteryzujących pole elektryczne i magnetyczne, przedstawione w następnych rozdziałach, były analizowane i badane w ramach prac dyplomowych, prac własnych oraz przy projektowaniu i realizacji specjalistycznych przyrządów pomiarowych. Niniejsze opracowanie obejmuje materiał zawarty w mojej książce: Przetwarzanie wielkości charakteryzujących pole magnetyczne, który rozszerzono o zagadnienia występujące w procesach przetwarzania wielkości charakteryzujących pole elektryczne. Planuje się uzupełnianie i doskonalenie przedstawionego materiału. Bardzo cenne byłyby więc pytania i uwagi Czytelników oraz propozycje zmian i uzupełnień kierowane na adres: jozef.nowak@pwr.wroc.pl.wielkości ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE Józef Nowak: Przetwarzanie wielkości charakteryzujących pole magnetyczne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 5. 5

.. ŁADUNEK I INDUKCJA ELEKTRYCZNA Są dwa rodzaje ładunku elektrycznego umownie oznaczane znakiem plus i minus. Globalnie, ładunki dodatnie i ujemne dokładnie się kompensują. Każdy ładunek jest skwantowany. Ładunek elementarny (kwant) wynosi 9 e = (,67733 ±,49) C. (..) Ujemny ładunek elementarny posiada elektron. Każde środowisko ma właściwości elektryczne, gdyż tworzące go molekuły posiadają ładunek elektryczny. Określone właściwości elektryczne ma także próżnia. Właściwości elektryczne środowiska ujawniają się, gdy ładunki elektryczne różnych znaków są rozdzielone. Wytwarzanie energii elektrycznej polega również na rozdzielaniu ładunków przeciwnych znaków. Makroskopowe rozdzielanie ładunków elektrycznych występuje w różnych procesach energetycznych. W procesie przemiany energii cieplnej chemicznej, mechanicznej itp. W skali masowej, przy produkcji energii elektrycznej, ładunki są rozdzielane w wyniku działania siły F = e( v ) (..) B na swobodne elektrony w prętach metalowych (miedzianych) poruszających się z prędkością v względem pola magnetycznego o indukcji B. Właściwości przestrzeni wokół ładunku elektrycznego zmieniają się; powstaje wektorowe pole elektryczne. Jeśli nie skompensowany ładunek q zostanie otoczony zamkniętą powierzchnią, to na tej powierzchni wyindukuje się ładunek równy q (prawo Gaussa). Właściwość tę opisuje wektor indukcji elektrycznej D tak skonstruowany, aby s = D n ds = D d q. (..3) Równanie (..3) jest spełnione w każdym środowisku o dowolnych właściwościach elektrycznych. Zakłada się, że równanie (..3) jest spełnione także dla dowolnie małej objętości przestrzeni V, czyli że istnieje granica lim V D n ds = V divd = ρ. (..4) 6

Granica (..4) diwergencja indukcji elektrycznej określa gęstość ρ ładunku elektrycznego w przestrzeni, czyli gęstość źródeł pola elektrycznego. Operacje wektorowe można przedstawiać jako działanie na dany wektor operatora różniczkowego (nabla) traktowanego również jako wektor. We współrzędnych prostokątnych operator nabla ma postać = i + j + k. (..5) x y z Operacja (..4) na wektorze D zapisana za pomocą operatora ma postać iloczynu skalarnego divd = D = D x x + D y y + D z z (..6).. NATĘŻENIE POLA I NAPIĘCIE ELEKTRYCZNE Na ładunek q znajdujący się w polu elektrycznym działa siła dążąca do jego skompensowania F = qe, (..) gdzie E natężenie pola elektrycznego. Natężenie pola elektrycznego jest wynikiem działania wszystkich ładunków w przestrzeni; zależy od ich wartości i rozkładu oraz od przenikalności elektrycznej środowiska. Przesunięcie ładunku q z punktu M do punktu M wymaga wykonania pracy W = M M q E dr = q Er dr. (..) M M gdzie E r składowa wektora natężenia pola styczna do elementu długości. Napięcie elektryczne między punktami M i M jest równe pracy (..) przypadającej na jednostkę ładunku M W u = = E r q dr. (..3) M 7

Jeśli pole elektryczne jest statyczne (ładunki się nie poruszają ), to praca (..) wykonana na dowolnej drodze zamkniętej (od punktu M do punktu M, a następnie od punktu M do punktu M ) jest równa zeru, czyli E r dr =. (..4) Wynika stąd, że napięcie między dowolnymi punktami jest funkcją tylko współrzędnych tych punktów (nie zależy od drogi łączącej te punkty).pole, które spełnia warunek (..4) nazywa się polem potencjalnym. Równanie (..4) jest spełnione również w otoczeniu powierzchni granicznych oddzielających różne środowiska. Napięcie między dwoma dowolnymi punktami leżącymi na powierzchni granicznej wyznaczone bezpośrednio nad powierzchnią i pod powierzchnią jest więc jednakowe. Wynika stąd, że składowa styczna natężenia pola elektrycznego jest na powierzchni granicznej ciągła. Potencjał pola elektrycznego otrzymuje się całkując natężenie pola od dowolnego punktu początkowego do punktu końcowego znajdującego się w nieskończoności, gdzie przyjmuje się, że natężenie pola zanika do zera V e M = E dr. (..5) r Potencjał jest funkcją współrzędnych taką, że lub E r Ve = (..6a) r E = gradve = V Ve Ve V = i + j + k e x y z e (..6b) Na podstawie definicji potencjału można określić napięcie między punktami M, M jako różnicę potencjałów w tych punktach u = V M ) V ( ). (..7) e ( e M Jeśli ładunki elektryczne poruszają się, to w polu elektrycznym powstają wiry i równanie (..4) nie będzie spełnione w każdym obszarze przestrzeni. Do badania właściwości pól wektorowych (na przykład pola E ) służy również operacja wektorowa rot (rotacja). Wynikiem operacji jest wektor. Jego składową w kierunku n normalnym do powierzchni S jest granica 8

Er dr rot n Er = lim, (..8) S P S gdzie P jest punktem na powierzchni S, a całkowanie odbywa się wzdłuż konturu ograniczającego powierzchnię S. Wektor rot E zapisany za pomocą operatora nabla ma postać iloczynu wektorowego We współrzędnych prostokątnych rot E = E. (..9) i E = x E x j y E y k z E z. (..) W obszarach, gdzie rot E nie równa się zeru napięcie w obwodzie zamkniętym (okrężne) jest również różne od zera, czyli pole E w tych obszarach nie jest potencjalne.3. POLARYZACJA ELEKTRYCZNA W próżni indukcja elektryczna jest proporcjonalna do natężenia pola D = ε E. (.3.) Współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność elektryczna próżni - ε = 8,8548787 Fm. (.3.) W środowisku materialnym molekuły tworzące to środowisko polaryzują się w polu elektrycznym. Posiadają bowiem własny moment elektryczny spowodowany trwałym przesunięciem ładunków różnych znaków lub moment indukowany przez zewnętrzne pole elektryczne. Modelem elementarnego momentu elektrycznego jest dipol składający się z dwu ładunków punktowych o przeciwnych znakach przesuniętych o wektor dążący do zera. Moduł momentu jest iloczynem wartości jednego z ładunków i długości wektora przesunięcia, a kierunek wektora momentu jest zgodny z kierunkiem wektora przesunięcia. 9

Zjawisko polaryzacji charakteryzuje wektor polaryzacji (polaryzacja). P = M e lim, (.3.3) V V gdzie M e wypadkowy moment elektryczny w elemencie objętości V. Polaryzacja jest wielkością charakteryzującą dielektryki, czyli środowiska w których nie występują swobodne ładunki elektryczne. W dielektryku stałe pole elektryczne nie powoduje ruchu ładunków elektrycznych, które są uwięzione w molekułach. Na skutek polaryzacji, związane ładunki pojawiają się również na powierzchni dielektryku. Ich gęstość jest równa składowej polaryzacji normalnej do powierzchni. Natomiast na powierzchni przewodników umieszczonych w zewnętrznym polu elektrycznym pojawiają się ładunki swobodne. Ładunki swobodne są tak rozłożone na powierzchni przewodnika, że ich pole wewnątrz przewodnika kompensuje pole zewnętrzne. W stanie statycznym natężenie pola w przewodniku jest więc równe zeru. Indukcję elektryczną w dielektryku tworzą dwa składniki: polaryzacja dielektryku i indukcja próżni zajętej przez dielektryk D ε E + P. (.3.4) = Iloraz P κ = (.3.5) E ε określa podatność elektryczną środowiska. Z zależności (.3.4) i (.3.5) wynika, że D ) = ε ( + κ E = ε ε E, (.3.6) gdzie ε względna przenikalność elektryczna środowiska. Podatność κ i względna przenikalność. elektryczna ε są tensorami, gdyż na ogół wektory D, E i P nie są równoległe..4. PRĄD ELEKTRYCZNY Swobodny ładunek elektryczny q przepływający przez daną powierzchnię w jednostce czasu tworzy prąd przewodzenia o natężeniu

dq i p =. (.4.) dt W stałym polu elektrycznym na ładunek działa stała siła (..). W przewodnikach w stanie ustalonym siła ta jest zrównoważona przez siłę tarcia powstającą w wyniku rozpraszania energii ruchu ładunku. Wypadkowa prędkość przepływu ładunku w przewodniku pod wpływem pola stałego jest więc również stała. Wynika stąd, że: prąd i p ma stałe natężenie, w każdej objętości przewodnika ładunek nie zmienia się jest stały, pole elektryczne (przepływowe) pozostaje więc stałe i potencjalne mimo ruchu ładunku. Prąd i w ogóle (nie tylko prąd przewodzenia) można przedstawić jako strumień jego gęstości na danej powierzchni S i = j n ds, (.4.) S gdzie j n składowa wektora gęstości prądu normalna do powierzchni. Dla prądu stałego strumień gęstości przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru j n ds =, (.4.3) gdyż ładunek wewnątrz każdej zamkniętej powierzchni nie zmienia się. Oznacza to, że: pole gęstości prądu stałego nie ma źródeł, linie prądu są zawsze zamknięte i w każdym punkcie przestrzeni div j =. (.4.4) Przepływ prądu i przez daną powierzchnię powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego. Jego natężenie spełnia zawsze równanie dl = H l dl = H i, (.4.5) gdzie H l składowa wektora H natężenia pola magnetycznego styczna do elementu zamkniętej linii obejmującej przepływ prądu (rys..4.). Równanie (.4.5) jest również spełnione w przypadku, gdy zamknięta linią całkowania obejmuje dowolnie małą powierzchnię, czyli w każdym punkcie przestrzeni rot H = j. (.4.6) To równanie wymaga aby divj =, gdyż musi być spełniona tożsamość

div rot H. (.4.7) dl H l H i i i 3 Rys..4.. Ilustracja wzoru (.4.5) Jeśli prąd nie jest stały lecz zmienny, to warunek (.4.4) na ogół nie jest spełniony. Ładunek q znajdujący się w danej objętości przewodnika ulega bowiem zmianie w czasie. Z równania (..3) (prawo Gaussa) D n ds = q wynika, że strumień wektora indukcji elektrycznej przenikający przez daną powierzchnię S φ e = S D n ds (.4.8) tworzy również prąd o natężeniu i d dφ e =. (.4.9) dt Prąd i d prąd przesunięcia dielektrycznego występuje tylko w polach zmiennych. W przewodnikach natężenie prądu przesunięcia jest pomijalnie małe w porównaniu z natężeniem prądu przewodzenia aż do częstotliwości leżących w podczerwieni. Natomiast w próżni występuje tylko prąd przesunięcia, a prąd przewodzenia jest równy zeru. W dielektrykach występuje głównie prąd przesunięcia spowodowany ruchem ładunków związanych oraz prąd przesunięcia w próżni zajętej przez dielektryk; gęstość tego prądu wynosi

dd de dp j d = = ε +. (.4.) dt dt dt Pole magnetyczne jest wynikiem przepływu prądu całkowitego i = i p + i d, (.4.) a natężenie pola magnetycznego określa równanie (.4.6). Gęstość prądu całkowitego jest więc taka, że spełniony jest warunek div j div j p + div j = (.4.) = d wymagany przez tożsamość (.4.7). Z ciągłości przepływu prądu całkowitego (.4.) wynika, że na granicy środowisk składowa normalna prądu całkowitego jest również ciągła, a może zmieniać się tylko udział prądu przewodzenia i prądu przesunięcia w prądzie całkowitym..5. NATĘŻENIE POLA MAGNETYCZNEGO I NAPIĘCIE MAGNETYCZNE Pole magnetyczne powstaje w wyniku przepływu prądu elektrycznego, a jego natężenie określa równanie (.4.5) lub równanie (.4.6). Jeśli prąd przepływa przez daną powierzchnię tylko w przewodach, to = N n = H dl., (.5.) l i n gdzie N liczba przewodów, a jeśli natężenie prądu w każdym z przewodów (zwojów) jest w każdej chwili takie same, to H dl = N i l. (.5.) W przypadku, gdy dowolna zamknięta linia całkowania w określonej przestrzeni nie obejmuje przepływu prądu, to oczywiście każda całka H l dl =, (.5.3) a pole w tej przestrzeni jest potencjalne, czyli istnieje funkcja współrzędnych punktu (potencjał) V m (x,y,z) taka, że 3

lub ogólnie dv µ = dl, H l (.5.4) H grad V = V µ. (.5.5) = µ Z równania (.5.3) wynika również, że składowa styczna natężenia pola na powierzchni granicznej, która oddziela dwa środowiska o różnych właściwościach magnetycznych i na której nie płyną prądy powierzchniowe, jest z obu stron tej powierzchni jednakowa Całka natężenia pola magnetycznego wzdłuż linii zamkniętej (.5.) przedstawia okrężne napięcie magnetyczne, które jest równe przepływowi prądu. Całkując wzdłuż linii otwartej otrzymuje się napięcie występujące w polu magnetycznym między końcami tej linii. H l dl = uµ. (.5.6) L Z równania (.5.) lub (.5.) wiadomo ile wynosi napięcie okrężne, ale nie można obliczyć, z wyjątkiem kilku szczególnych przypadków, napięcia między dwoma dowolnymi punktami lub natężenia pola w punkcie przestrzeni znając tylko przepływ prądu. Potrzebna jest jeszcze znajomość rozkładu gęstości przepływu prądu oraz dane o właściwościach magnetycznych środowiska. Poszukiwanie rozkładu natężenia pola magnetycznego lub napięcia magnetycznego (potencjału) w przestrzeni o niejednorodnych właściwościach magnetycznych jest zwykle trudnym zagadnieniem magnetostatycznym, możliwym do rozwiązania jedynie w przybliżeniu..6. POTENCJAŁ WEKTOROWY Natężenie pola magnetycznego w każdym środowisku spełnia równanie (.4.6) rot H = j. W środowisku jednorodnym o stałej przenikalności magnetycznej natężenie pola H spełnia także równanie div H = (.6.) i wtedy pole wektorowe H może być określone za pomocą innego pola wektorowego A potencjału wektorowego takiego, że 4

H = rot A, (.6.) div A =. (.6.3) Z równania (.4.6), uwzględniając (.6.) i (.6.3),otrzymuje się gdyż zachodzi tożsamość A = j, (.6.4) rot rota = grad diva A, (.6.5) gdzie - operator Laplacea (laplasian). We współrzędnych prostokątnych = + +, (.6.6) x y z Jeśli gęstość prądu jest statyczna (nie zależy od czasu), to rozwiązaniem równania (.6.4) jest wektor j( ξ, η, ς ) A ( x, y, z) = dv. (.6.7) 4π r We wzorze (.6.7), współrzędne (ξ,η,ζ) określają położenie elementu prądowego jdv, a współrzędne (x,y,z) punkt w którym potencjał wektorowy jest równy A, V r = ( ξ x) + ( η y) + ( ζ z). (.6.8) Prąd stały o danym natężeniu I płynie zwykle w przewodzie. Gęstość prądu stałego w przekroju poprzecznym przewodu przyjmuje się stałą i skierowaną wzdłuż przewodu. Wynika stąd, że j( ξ, η, ς ) dv = Idr, (.6.9) a uwzględniając tę zależność w równaniu (.6.7) otrzymuje się potencjał wektorowy pochodzący od prądu w przewodzie A = I, 4 dr π r P (.6.) 5

gdzie dr element długości przewodu. Aby otrzymać natężenie pola magnetycznego, wektor A należy przekształcić według równania (.6.) H = I r dr rot A =. 3 4π r P (.6.) Ostatnia zależność (.6.) jest znana jako wzór Biota Savarta. Ilustracja graficzna tego wzoru jest przedstawiona na rysunku.6.. I dr Q( ξ, η, ζ ) r dh P( x, y, z) Rys..6. Ilustracja wzoru Biota Savarta.7. POTENCJAŁ SKALARNY Jeśli przewód przez który płynie prąd stały o natężeniu I będzie tworzył zamkniętą pętlę (rys..7.), to wzór (.6.) określający potencjał wektorowy na zewnątrz przewodu będzie miał postać I dr A =. (.7.) 4π r Ponieważ we wzorze (.7.) występuje całka okrężna, więc do obliczenia natężenia pola(.6.) można zastosować twierdzenie Stokesa = I dr I ds I ds = = H rot rot rot graddiv ds. (.7.) 4π r 4π S r 4π S r S r Funkcja /r jest rozwiązaniem równania Laplace a, więc 6

S ds =. r Ponadto operację całkowania można zamienić z operacją grad, gdyż operator całkowania działa na funkcje zależne od współrzędnych (ξ,η,ζ) na powierzchni S, a operator grad na funkcję zależną od innych współrzędnych, współrzędnych (x,y,z) dowolnego punktu przestrzeni. Wynika stąd, że I ds H = grad div. (.7.3) 4π S r P ds α r I Rys..7.. Ilustracja wzoru (.7.4) Równanie (.7.3) dowodzi, że pole na zewnątrz pętli ma potencjał skalarny V µ = I 4π S ds div = r I 4π S I cosα ds = ds, (.7.4) r 4π r S gdzie α jest kątem między wektorem ds i promieniem r łączącym położenie elementu powierzchni z punktem P o potencjale V µ (rys..7.)..8. MOMENT MAGNETYCZNY Dipol magnetyczny tworzą dwa punktowe źródła natężenia pola o przeciwnych znakach umieszczone w odległości b (rys..8.). Dipol może być także traktowany jako element spolaryzowanej (namagnesowanej) płytki o grubości b (rys..8.). 7

Przyjmuje się wtedy, że źródłem punktowym jest σ ds, gdzie ds moduł elementu powierzchni, σ - powierzchniowa gęstość źródeł. N dv µ σ ds α r b r r b + σ ds Rys..8.. Dipol S Rys..8.. Namagnesowana płytka Wytworzony przez dipol potencjał skalarny w dowolnym punkcie przestrzeni wynosi σ ds σ ds r r σ ds r r dv. 4 r r µ = = = (.8.) π 4π r r 4π r r ( r + r ) Ponieważ więc b r = r + rb cosα b r = r + + rb cosα,, σ bds r cosα dvµ =. (.8.) π r r ( r + ) 4 r Czynnik σ b ds = m (.8.3) określa moduł momentu magnetycznego elementu namagnesowanej płytki. Wektor momentu magnetycznego jest równoległy do wektora elementu powierzchni ds lub wektora odległości b. Jeśli grubość b płytki jest pomijalnie mała (nieskończenie mała) w porównaniu z odległością r, to r,r r, a płytkę można traktować jako warstwę podwójną mającą potencjał 8

cosα Vµ = pds, 4π (.8.4) r S gdzie p = σ b gęstość powierzchniowa składowej normalnej momentu magnetycznego. Ze wzoru (.8.4) wynika, że w przypadku, gdy gęstość powierzchniowa składowej normalnej momentu magnetycznego warstwy podwójnej jest stała i równa wartości prądu stałego (p = I) płynącego w pętli o kształcie przystającym do obwiedni (brzegu) warstwy, to potencjał wytworzony przez warstwę jest taki sam jak potencjał wytworzony przez pętlę (.7.4). m I I I Rys..8.. Moment magnetyczny elementu powierzchni obwodu prądowego Powierzchnię rozpiętą na pętli w której płynie prąd I można rozłożyć na elementy ds przyjmując, że wzdłuż brzegu każdego z nich płynie również prąd I. Założone prądy znoszą się na liniach podziału i pozostaje tylko prąd w przewodzie (rys.8.). Wynika stąd model elementarnego dipola oraz wektor elementarnego momentu magnetycznego m = Ids. (.8.5) Model dipola w postaci płaskiego elementu powierzchni ds na którego brzegu płynie prąd I, jest więc równoważny modelowi w postaci dwóch punktowych źródeł natężenia pola magnetycznego o przeciwnych znakach przesuniętych o nieskończenie małą odległość..9. MAGNETYZACJA Każde środowisko ma nie tylko właściwości elektryczne, ale również magnetyczne. Tworzące środowisko molekuły posiadają bowiem zarówno ładunek elektryczny jak i moment pędu (spin), któremu zawsze towarzyszy moment magnetyczny. Ze względu na sposób oddziaływania molekuł z zewnętrznym polem magnetycznym oraz 9

ze względu na ich wzajemne oddziaływanie rozróżnia się pięć rodzajów środowisk magnetycznych. Środowisko jest diamagnetyczne, jeśli moment magnetyczny molekuł tworzących to środowisko jest zerowy. Ponieważ molekuła jest złożona z elementów (atomów), które posiadają moment magnetyczny, więc pod wpływem zewnętrznego pola zmienia się konfiguracja molekuły i pojawia się indukowany moment magnetyczny. Moment indukowany ma zwrot przeciwny do kierunku pola zewnętrznego. Molekuły tworzące środowisko paramagnetyczne mają nie skompensowany moment magnetyczny, ale wzajemne oddziaływanie magnetyczne molekuł jest słabe. Silne oddziaływanie molekularne prowadzące do równoległego ustawienia momentów magnetycznych występuje w środowiskach ferromagnetycznych. Środowisko ferromagnetyczne składa się z ziaren (domen) spontanicznie namagnesowanych w różnych kierunkach. Jeśli oddziaływanie molekularne prowadzi do antyrównoległego ustawienia momentów magnetycznych, to środowisko ma właściwości antyferromagnetyczne. Molekuły ferrimagnetyków (ferrytów) są złożone z tlenków metali. Oddziaływanie składników molekuły ferrimagnetyka jest antyferromagnetyczne, ale wartości momentów magnetycznych składników są różne, więc molekuły ferrimagnetyka mają wypadkowy moment magnetyczny i oddziałują ze sobą ferromagnetycznie. Magnesowanie środowiska łatwo prześledzić na przykładzie próbki w kształcie kuli. Kula w jednorodnym polu zewnętrznym magnesuje się również jednorodnie. Pod wpływem zewnętrznego pola o natężeniu H następuje polaryzacja elementarnych dipoli i w elementach objętości próbki V pojawia się wypadkowy moment magnetyczny. Magnetyzacja jest zdefiniowana jako gęstość wypadkowego momentu M = m i lim. (.9.) V V Jeśli próbka znajduje się w próżni, to magnetyzacja na zewnątrz próbki jest oczywiście równa zeru. Skokowa zmiana magnetyzacji powoduje, że na powierzchni próbki powstają źródła natężenia pola, których gęstość powierzchniowa jest równa składowej magnetyzacji prostopadłej (normalnej) do powierzchni próbki. Na powierzchni próbki kulistej jednorodnie namagnesowanej gęstość powierzchniowa źródeł jest taka, że natężenie pola wewnątrz próbki pochodzące od tych źródeł jest również jednorodne (rys..9.), a jego wartość jest proporcjonalna do wartości magnetyzacji H D = NM. (.9.) Pole o natężeniu H D jest polem odmagnesowującym. Jeśli magnetyzacja M jest dodatnia, to pole odmagnesowujące działa w kierunku przeciwnym niż zewnętrzne pole ma-

gnesujące o natężeniu H. Współczynnik proporcjonalności N nazywa się współczynnikiem odmagnesowania; jego wartości znajdują się w przedziale (, ). a) b) H H Rys.9.. Przebieg linii pola magnetyzacji w próbce kulistej namagnesowanej w polu zewnętrznym o jednorodnym natężeniu H (a) oraz przebieg linii natężenia pola odmagnesowującego wewnątrz i na zewnątrz tej próbki (b). Współczynnik odmagnesowania zależy od kształtu jednorodnie namagnesowanej próbki środowiska; jest tensorem, którego współrzędne spełniają równanie N N + N =. (.9.3) + x y z Dla kuli, na skutek symetrii N x = N y = N z = N. Wynika stąd, że współczynnik odmagnesowania dla kuli N = /3. Dla nieskończonego walca magnesowanego wzdłuż osi N =, a magnesowanego prostopadle do osi N = /, gdyż N x = N y i N z =. W jednorodnym polu zewnętrznym magnesuje się również jednorodnie elipsoida obrotowa wydłużona (owoida) oraz spłaszczona (sferoida).współczynnik odmagnesowania dla elipsoidy wydłużonej magnesowanej wzdłuż osi zależy od parametrów geometrycznych elipsoidy według równania ( k + ) = k N ln k, (.9.4) k k

gdzie k.=.b/a >, b i a osie elipsoidy obrotowej. Dla sferoidy magnesowanej w kierunku prostopadłym do osi zależność współczynnika odmagnesowania od jej parametrów geometrycznych określa równanie k ( k ) k N = arc sin 3 /, (.9.5) ( k ) k gdzie k = b/a <. Otwarte próbki o innych kształtach magnesują się nie jednorodnie. Współczynnik odmagnesowania nie ma wtedy stałej wartości, jest funkcją współrzędnych, a ponadto zależy od magnetyzacji; za jego pomocą nie można już dokładnie wyznaczyć natężenia pola odmagnesowującego. Na skutek odmagnesowania natężenie pola w próbce różni się od natężenia pola zewnętrznego i wynosi H = H NM. (.9.6) Stosunek magnetyzacji do natężenia pola jest charakterystycznym dla środowiska parametrem podatnością magnetyczną M χ =. (.9.7) H.. INDUKCJA MAGNETYCZNA Indukcja magnetyczna w środowisku składa się z dwu części: z indukcji powstającej na skutek polaryzacji molekuł pod wpływem natężenia pola oraz z indukcji w próżni = µ M + µ H = J + H (..) B µ gdzie µ = 4π -7 Ωs/m przenikalność magnetyczna próżni, J = µ H polaryzacja magnetyczna. Uwzględniając definicję podatności magnetycznej (.9.7) zależność (..) można przedstawić w postaci B = ( + χ H = µ µ H, (..) µ ) gdzie µ - względna przenikalność magnetyczna środowiska. Pole indukcji magnetycznej nie ma źródeł

div B =, (..3) więc zawsze w każdym środowisku może być określone za pomocą potencjału wektorowego B = rot A. (..4) µ Z właściwości (..3) wynika również, że wektor indukcji magnetycznej prostopadły (normalny) do powierzchni granicznej jest z obu stron tej powierzchni taki sam... STRUMIEŃ MAGNETYCZNY Właściwość(..3) oznacza, że strumień indukcji magnetycznej przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru B n ds =, (..) gdzie B n składowa indukcji prostopadła (normalna) do powierzchni. Jeśli powierzchnia nie jest zamknięta, to ma brzeg. Ponieważ pole indukcji magnetycznej jest jednoznacznie określone przez potencjał wektorowy (..4), więc całkując ten potencjał wzdłuż brzegu otrzymuje się na podstawie równania (..4) i twierdzenia Stokesa µ A dr = B ds = φ r n, (..) gdzie A r składowa potencjału wektorowego styczna do elementu dr długości brzegu, φ- strumień magnetyczny przenikający powierzchnię S ograniczoną zamkniętym brzegiem (zwojem). Z równania (..) wynika bardzo istotny dla praktyki wniosek: wartość strumienia w polu o danej indukcji jest określona tylko kształtem i wymiarami brzegu (zwoju), a nie zależy od położenia i kształtu powierzchni rozpiętej na tym brzegu. Dwie dowolne powierzchnie rozpięte na tym samym brzegu tworzą bowiem razem powierzchnię zamkniętą, dla której obowiązuje własność (..). Jeśli ten sam strumień magnetyczny φ jest objęty przez N zwojów, to iloczyn S ψ = N φ (..3) jest strumieniem skojarzonym. Strumień skojarzony jest zawsze z całkowitą liczbą zwojów i jest równy zeru, gdy nie ma zwojów. W ogólnym przypadku 3

N ψ = φ (..4) n = gdzie φ n strumień objęty n tym zwojem. Jeśli strumień skojarzony ulega zmianie w czasie, to w zwojach (w uzwojeniu) indukuje się napięcie n dψ e =. (..5) dt.. MOC ELEKTRYCZNA Wielkości elektryczne i magnetyczne są ze sobą ściśle związane za pomocą równań Maxwella D rot H = j +, t B rot E =. t (..) Mnożąc skalarnie pierwsze równanie przez wektor E, a drugie przez wektor H oraz dodając je stronami otrzymuje się D B div( E H) = E j + E + H, (..) t t gdyż zachodzi tożsamość E rot H H rot E = div( E H). Równanie (..) określa gęstość mocy pola elektromagnetycznego. Moc pola elektromagnetycznego w danej objętości V otrzymuje się całkując równanie (..) gdzie p = V D B div Π dv = Π ds = E j dv + E + H dv, (..3) t t S V V Π = E H (..4) 4

wektor Poyntinga. Moc pola elektromagnetycznego w objętości V ograniczonej zamkniętą powierzchnią S jest więc równa strumieniowi wektora Poyntinga przenikającego przez tę powierzchnię. Z równania (..3) wynika, że w polu elektromagnetycznym zachodzą dwa podstawowe procesy energetyczne: proces zamiany energii elektrycznej na pracę i ciepło reprezentowany przez składnik p s = E jdv (..5) V oraz proces wymiany energii pola elektrycznego i magnetycznego reprezentowany przez składnik D B p = E + H r dv. (..6) V t t W środowiskach materialnych proces wymiany energii pola elektrycznego i magnetycznego jest nierozłącznie związany z procesem jej rozpraszania. W systemach elektroenergetycznych energia elektryczna jest przenoszona praktycznie tylko przez przepływ ładunku elektrycznego w przewodach. Prąd przesunięcia dielektrycznego o gęstości D j D = (..7) t jest bowiem przy częstotliwościach energetycznych pomijalnie mały. Występujące w obiektach systemu elektroenergetycznego okresowo zmieniające się strumienie magnetyczne skojarzone z przewodami generują napięcia (..5) e i = dψ dt i. Pod wpływem tych napięć w obwodach systemu elektroenergetycznego płynną prądy. Prądy te nie mogą jednak odtworzyć strumieni magnetycznych w obiektach; ich przebiegi są bowiem w przybliżeniu ortogonalne do okresowo zmieniających się strumieni. Energia pola magnetycznego jest więc tracona (przekształcana na ciepło i pracę). Do odtwarzania strumieni potrzebna jest zatem energia źródła zewnętrznego (generatora). Strumień może być także odtwarzany przez energię wewnętrzną obiektów za pomocą maszyn synchronicznych lub wtedy, gdy prąd przewodzenia będzie zamieniany na prąd przesunięcia dielektrycznego za pomocą kondensatorów. Prawie cała powierzchnia zamknięta ograniczająca obiekt jest ekwipotencjalna; jest to zwykle powierzchnia metalowej osłony obiektu o zerowym potencjale. Gradienty 5

potencjału występują tylko w pobliżu przewodów. Przykładowy rozkład natężenia pola elektrycznego i magnetycznego wokół jednego z przewodów (k-tego) jest przedstawiony na rysunku... P k Fragment powierzchni ekwipotencjalnej ds k H lk E k Π nk i k Q k u k Rys.... Rozkład natężenia pola elektrycznego i magnetycznego wokół k-tego przewodu przechodzącego przez powierzchnię ekwipotencjalną otaczającą obiekt. Moc pola elektromagnetycznego w przestrzeni ograniczonej zamkniętą powierzchnią do której wektor E natężenia pola elektrycznego jest styczny, można określić za pomocą modułu E tego wektora i składowej H l natężenia pola magnetycznego stycznej do powierzchni i prostopadłej do wektora E. Składowa normalna wektora Poyntinga będzie wtedy równa a strumień wektora Poyntinga Π n = EH l, (..8) p = Π ds. (..9) Składowa normalna wektora Poyntinga na powierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru, gdyż na tej powierzchni jest równa zeru składowa styczna natężenia pola elektrycznego. Zatem strumień wektora Poyntinga przenikający przez zamkniętą powierzchnię otaczającą obiekt jest równy n 6

n n ds = Ek Hlk dsk = Ek k = n Qk k = Pk n ( Hlk dlk ) drk = Π u i, (..) gdzie P k punkty leżące na powierzchni ekwipotencjalnej, Q k punkty, w których poszczególne przewody przebijają zamkniętą powierzchnię (rys...). Moc obiektu jest więc równa k = k k n p = u k i k k =, (..) gdyż równanie Hlk dlk = i k jest spełnione na każdej drodze zamkniętej obejmującej poszczególne przewody, a całki Qk Ek drk = uk. (..) Pk określają napięcia poszczególnych przewodów względem potencjału powierzchni ekwipotencjalnej. Znak minus w równaniach (..9) i (..) ma znaczenie formalne i zależy od tego, czy do przestrzeni ograniczonej zamkniętą powierzchnią (obiektu) energia elektryczna jest dostarczana, czy jest z obiektu odbierana. Znak plus jest stosowany, gdy energia elektryczna jest dostarczana.. PRZETWARZANIE WARTOŚCI NAPIĘCIA ELEKTRYCZNEGO Za pomocą współczesnych systemów, napięcie elektryczne można mierzyć bezpośrednio, jeśli jego bezwzględne wartości odniesione do potencjału zerowego są dosta- 7

teczne małe (zwykle nie przekraczające V). Napięcie o takich parametrach będzie nazywane sygnałem napięciowym. W systemach elektroenergetycznych wartości szczytowe napięcia względem potencjału zerowego są większe od 3V, a nawet przekraczają 5kV. Konieczne jest zatem przetworzenie takich wartości napięcia na proporcjonalne sygnały. Do tego celu stosuje się najczęściej przekładniki napięciowe.. PRZEKŁADNIK NAPIĘCIOWY Przekładnik napięciowy jest transformatorem (rys...) o parametrach tak dobranych, aby przy dużej dokładności przetworzenia wartości napięcia pierwotnego (wejściowego) na proporcjonalne wartości napięcia wtórnego (wyjściowego) zapewnić izolację galwaniczną między uzwojeniem pierwotnym i wtórnym, odpowiednią dla danego napięcia. Magnetowód przekładnika jest zwykle pierścieniem zwijanym z taśmy ferromagnetycznej o szczególnie dużej przenikalności magnetycznej w kierunku wzdłużnym. Napięcie u przyłożone do uzwojenia pierwotnego jest równoważone głównie przez siłę elektromotoryczną e, którą indukuje w tym uzwojeniu wspólny strumień magnetyczny sprzężony zarówno z uzwojeniem pierwotnym jak i uzwojeniem wtórnym. Ponadto napięcie u jest równoważone przez spadek napięcia na rezystancji R uzwojenia i na indukcyjności L pochodzącej od strumienia φ sprzężonego tylko z uzwojeniem pierwotnym u di = e + ir L. (..) dt + Prąd i pobierany ze źródła napięcia u wytwarza na powierzchni magnetowodu natężenie pola H i N = = (..) l i N l i N l oraz strumień φ w magnetowodzie taki, że e dφ = N. (..3) dt W równaniach (..), i (..3) N oznacza liczbę zwojów uzwojenia pierwotnego, N liczbę zwojów uzwojenia wtórnego, i prąd polaryzacji, i prąd obciążenia wyjścia przekładnika, l długość magnetowodu. 8

a) φ u N φ φ N u b) i R L R L i i u R L e e Z u Rys.... Przekładnik napięciowy: a) zasadniczy układ, b) obwód zastępczy Siłę elektromotoryczną e w uzwojeniu wtórnym indukuje ten sam strumień φ. Wynika stąd, że N e =. (..4) e N Napięcie wyjściowe u jest mniejsze od siły elektromotorycznej e o spadek napięcia na rezystancji R i indukcyjności L pochodzącej od strumienia φ sprzężonego tylko z uzwojeniem wtórnym 9

u di = e ir L. (..5) dt Równania (..) i (..5) są zgodne z modelem transformatora w postaci obwodu elektrycznego przedstawionego na rysunku..b. Aby otrzymać wymaganą dokładność przetwarzania wartości napięcia oraz spełnić wynikające z równań (..), (..3) (..4) i (..5) warunki dla danego prądu obciążenia i, wymiary magnetowodu muszą być odpowiednio duże. Przy założeniu sinusoidalnego przebiegu indukcji z równania (..3) i definicji wartości skutecznej napięcia wynika, że U E = π fφ m = π f N SB m, (..6) gdzie B m amplituda indukcji, S powierzchnia przekroju poprzecznego magnetowodu. Liczbę zwojów N i powierzchnię przekroju magnetowodu S dla danego napięcia U dobiera się według wzoru (..6) uwzględniając prąd obciążenia przekładnika. Dla większych prądów przekroje przewodów muszą być większe. Stosuje się więc wtedy mniejszą liczbę zwojów, a większy przekrój poprzeczny magnetowodu. Średnica magnetowodu musi być wystarczająco duża, aby pomieścić uzwojenie pierwotne i wtórne oraz izolację między uzwojeniami dostosowaną do danego napięcia. Na skutek spadków napięcia na rezystancji i indukcyjności uzwojeń napięcie wyjściowe u nie jest dokładnie proporcjonalne do napięcia wejściowego u Przyjmuje się jednak przekładnie stałą (nominalną) U n p =, (..7) U n gdzie U n nominalne napięcie pierwotne (wartość skuteczna, przebieg sinusoidalny), U n nominalne napięcie wtórne (wartość skuteczna). Zwykle przekładnia (..7) jest równa stosunkowi liczby zwojów Napięcie wyjściowe wyznaczone ze wzoru N p =. (..8) N u u = p (..9) 3

jest więc obarczone błędem systematycznym. Wartość tego błędu zależy od obciążenia przekładnika (wartości prądu i ), parametrów uzwojeń oraz od właściwości magnetycznych magnetowodu i jego wymiarów. Duża przenikalność magnetowodu powoduje zmniejszenie błędu, gdyż wpływa na zmniejszenie prądu polaryzacji i oraz na zmniejszenie strumienia rozproszenia, czyli na zmniejszenie indukcyjności L i L. Duża indukcja nasycenia wpływa natomiast na zmniejszenie liczby zwojów, a więc na zmniejszenie rezystancji R i R. Umownie, błąd odnosi się do wartości skutecznych przetwarzanego napięcia o przebiegu sinusoidalnym. Jest zdefiniowany błąd przekładni U pu δ U = (..) U oraz błąd kątowy kąt γ między wektorem U napięcia wejściowego i wektorem U napięcia wyjściowego. Dla oceny błędu odtworzenia przebiegu napięcia wejściowego dane te nie są wystarczające. Potrzebna jest znajomość parametrów obwodu zastępczego przekładnika oraz przebiegu prądu polaryzacji dla danego przebiegu napięcia wejściowego. Obciążenie wyjścia przekładnika może być pomijalnie małe, gdyż współczesne układy przetwarzania sygnałów pobierają praktycznie zerowy prąd przy częstotliwości energetycznej (i =, u = e ). Jeśli pominie się również indukcyjność L (magnetowód pierścieniowy o dużej przenikalności), to z równań (..) i (..9) wynika, że błąd odtworzenia przebiegu napięcia wejściowego można oszacować ze wzoru u pe i R δ u =. (..) u pe Dla oszacowania błędu (..) wystarczy więc zmierzyć rezystancję uzwojenia pierwotnego oraz odpowiadające sobie wartości chwilowe prądu polaryzacji i napięcia wyjściowego nieobciążonego przekładnika. W chwili t = t, gdy przebieg sygnału e przechodzi przez wartość zerową, strumień w magnetowodzie osiąga wartość szczytową. W przybliżeniu wartość szczytową osiąga również wtedy prąd polaryzacji i. Wynika stąd, że błąd otworzenia napięcia wejściowego w otoczeniu chwili t dąży do nieskończoności. Przejście przez wartość zerową sygnału e na wyjściu przekładnika jest opóźnione od przejścia przez wartość zerową napięcia u na wejściu przekładnika o czas t. To małe opóźnienie można wyznaczyć na podstawie przyrostu napięcia u w otoczeniu chwili t jego przejścia przez wartość zerową 3

du t t t = R i ( t ) dt =. Jeżeli napięcie u jest sinusoidalne u = U m sinω t, to R i ( t ) t =. (..) ω U m Opóźnienie względne, odniesiony do okresu przebiegu napięcia, jest więc równe δ t R i ( t ) R I m =, (..3) π U m π U m Ze wzoru (..3) wynika, że mały błąd opóźnienia przejścia napięcia wyjściowego przez wartość zerową otrzymuje się, gdy magnetowód ma dużą przenikalności i duże wymiary. Wtedy prąd polaryzacji i rezystancja uzwojenia pierwotnego mogą być małe... DZIELNIK REZYSTANCYJNY Wartość napięcia stałego można podzielić przez liczbę p większą od jedności (p > ) tylko za pomocą dzielnika rezystancyjnego. Dzielnik rezystancyjny jest układem szeregowo połączonych rezystorów. W najprostszym przypadku składa się z dwu rezystorów (rys...). Napięcie wejściowe U przyłożone do układu szeregowo połączonych dwu rezystorów o rezystancji R i R powoduje przepływ prądu o wartości I =. (..) R U + R Napięcie wyjściowe wynosi więc U R U = IR = U. (..) R + R p = Ponieważ napięcie wejściowe może być zwykle odniesione do potencjału zerowego, więc napięcie wyjściowe U można traktować jako sygnał. Rezystancja wejściowa 3

dzielnika jest równa rezystancji szeregowo połączonych rezystorów R i R, a wyjściowa rezystancji równolegle połączonych rezystorów R i R. Niepewność podziału napięcia stałego wynika głównie z niestabilności rezystancji elementów dzielnika w określonych warunkach jego pracy. Rys.... Dzielnik rezystancyjny napięcia stałego U R R U Za pomocą dzielnika rezystancyjnego można dzielić także wartości chwilowe napięcia zmiennego w czasie. Rezystancja nie jest jednak jedynym parametrem elementów dzielnika. Rezystor ma również określoną pojemność i indukcyjność. Wpływ indukcyjności na dokładność podziału napięcia jest zwykle znacznie mniejszy niż wpływ pojemności, gdyż przez elementy dzielnika płynie mały prąd, ale powoduje duże spadki napięcia. i R i C R C Rys.... Skompensowany częstotliwościowo dzielnik rezystancyjny u i R i C R C u Pojemności poszczególnych rezystorów dzielnika nie będą wpływać na dokładność podziału napięcia, gdy przez te pojemności będzie płynął jednakowy prąd i będzie powodował takie same spadki napięcia jak prąd płynący przez rezystancję (rys...), czyli gdy spełnione będą równania 33

i i R R R R = = C C i dt, C i dt. C (..3) Dzieląc równania (..3) stronami otrzymuje się warunek kompensacji wpływu pojemności R C =, R C lub R =. (..4) C RC Rezystory dzielnika będą więc skompensowane, gdy ich stałe czasowe τ = R C i τ = R C będą jednakowe. n X n- Rys...3. Dzielnik złożony z szeregowo połączonych jednakowych elementów. u k+ k X X u X W procesie kompensacji dzielnika zwykle nie kontroluje się bezpośrednio stałych czasowych (co jest trudne), lecz dobiera dodatkowe pojemności (rys...) tak, aby dla napięcia wejściowego u w postaci ciągu prostokątnych impulsów otrzymać napięcie wyjściowe u również w postaci ciągu prostokątnych impulsów. W ten sposób proces kompensacji można kontrolować w sposób ciągły za pomocą dwukanałowego oscyloskopu. Warunek równości stałych czasowych (..4) będzie spełniony dla dzielnika w postaci łańcucha połączonych szeregowo jednakowych rezystorów (rys...3). Stała czasowa elementu złożonego z k połączonych szeregowo jednakowych rezystorów o 34

stałej czasowej R C będzie bowiem również równa R C, gdyż R = kr, a C = C/k. Przekładnia dzielnika złożonego z jednakowych elementów nie zależy więc od właściwości tych elementów, a tylko od ich liczby n p =, (..5) k gdzie n całkowita liczba połączonych szeregowo jednakowych elementów. Elementy dzielnika o przekładni (..5) niezależnej od ich właściwości nie muszą być rezystorami, ale dowolnymi dokładnie jednakowymi (symetrycznymi) elementami, na których może wystąpić spadek napięcia. 3. DZIELNIK INDUKCYJNY Bardzo dużą symetrią charakteryzują się silnie magnetycznie sprzężone cewki o jednakowej liczbie zwojów. Silne sprzężenie otrzymuje się nawijając na magnetowód pierścieniowy o dużej przenikalności magnetycznej uzwojenia cewek splecionymi przewodami (skrętką) (rys..3.). Każda cewka ma wtedy tę samą liczbę zwojów i obejmuje dokładnie ten sam strumień magnetyczny. Cewki te połączone szeregowo tworzą dzielnik indukcyjny. a) u u b) Rys..3.. Binarny dzielnik indukcyjny: a) magnetowód pierścieniowy uzwojony dwuprzewodową skrętką, b) dwuprzewodowa skrętka. 35

Napięcie wejściowe dzielnika indukcyjnego jest równoważone głównie przez sumę dokładnie jednakowych wartości siły elektromotorycznej e indukowanej w poszczególnych cewkach, ale także przez sumę spadków napięcia na rezystancji R k i na indukcyjności własnej L k cewek n di u = ne + irk + Lk. (.3.) k = dt We wzorze (.3.) i oznacza prąd polaryzacji dzielnika. Spadki napięcia na indukcyjności własnej cewek nie wpływają na dokładność podziału napięcia. Są bowiem małe na skutek silnego sprzężenia magnetycznego cewek, a ponadto są równe. Asymetria elementów dzielnika jest spowodowana głównie przez niejednakowe spadki napięcia na rezystancji poszczególnych cewek. Wynika stąd, że względny błąd podziału napięcia można oszacować ze wzoru Im Rmax δ p =, (.3.) U m gdzie R max maksymalna bezwzględna odchyłka rezystancji od rezystancji średniej cewek, I m szczytowa wartość prądu polaryzacji, U m szczytowa wartości napięcia wejściowego. Natężenia pola magnetycznego na średniej długości l pierścieniowego magnetowodu dzielnika indukcyjnego jest stałe i styczne do tej długości. Z równania (.5.) wynika więc, że jego wartość szczytowa jest proporcjonalna do wartości szczytowej prądu nn =. (.3.3) H m I m l Również wartość szczytowa sinusoidalnego napięcia u jest w przybliżeniu proporcjonalna do wartości szczytowej natężenia pola magnetycznego gdyż oraz u U ne = ω µ µ nn SH m, (.3.4) nn i dφ dt B µ µ H m m =. db = nn S i dt 36

Na podstawie zależności (.3.3) i (.3.4) błąd (.3.) można oszacować za pomocą parametrów magnetowodu i parametrów uzwojenia l R max δ =. (.3.5) ω µ µ ( nn ) S Za pomocą dzielnika indukcyjnego osiągany jest podziału napięcia wejściowego o przebiegu okresowym i nieparzystym, w zakresie częstotliwości akustycznych, z błędem na poziomie -5 %. Iloraz amplitudy napięcia wejściowego i amplitudy prądu polaryzacji określa impedancję wejściową dzielnika indukcyjnego, którą na podstawie zależności (.3.3) i (.3.4) można określić także za pomocą parametrów magnetowodu dzielnika indukcyjnego i parametrów jego uzwojenia U Z = = ω µ µ ( nn ) S. (.3.6) I l Na podstawie zależności (.3.4) można określić ponadto dopuszczalną wartość szczytową napięcia wejściowego dla danej liczby zwojów N jednej cewki i danej liczby cewek n, aby nie była przekroczona założona szczytowa wartość indukcji B m w magnetowodzie U ω = nn S B m. (.3.7) 9 8 9 8 9 8 Rys..3.. Wielodekadowy dzielnik indukcyjny. Nastawiony podział: u =,59 u u 6 6 6 5 5 5 u Cechą charakterystyczną dzielników indukcyjnych jest ich duża impedancja wejściowa (.3.6) i mała impedancja wyjściowa. Impedancja wyjściowa zależy od prze- 37

kładni p = n/k, ale jej wartość nie przekracza wartości rezystancji czwartej części liczby cewek tworzących dzielnik. Właściwość ta pozwala realizować kaskadowe dzielniki indukcyjne. Na rysunku.3. jest pokazany dzielnik wielodekadowy. Impedancja wyjściowa poprzedniej dekady dzielnika wielodekadowego jest mniejsza od rezystancji jednej cewki oraz może być o cztery, a nawet pięć rzędów mniejsza od impedancji wejściowej następnej dekady. Błąd podziału napięcia za pomocą wielodekadowego dzielnika można więc utrzymać na poziomie setnych części procenta. Dzielniki indukcyjne nadają się tylko do przetwarzania wartości napięcia okresowo zmiennego. Napięcie nie może zawierać składowej stałej, jego przebieg powinien być nieparzysty, a częstotliwość leżeć w paśmie akustycznym. Dla niskich częstotliwości trudno osiągnąć wymagane parametry dzielnika ze względu na potrzebną zbyt dużą liczbę zwojów. Trudność osiągnięcia wysokich parametrów dzielnika indukcyjnego przy dużych częstotliwościach wynika z malejącej przenikalności magnetowodu ze wzrostem częstotliwości i wpływem sprzężeń pojemnościowych. Ponadto dzielone napięcie musi być dostatecznie niskie (do V), gdyż pełne napięcie przyłożone do dzielnika występuje również na izolacji między szeregowo połączonymi przewodami skrętki..4. DZIELNIK POJEMNOŚCIOWY Wysokie okresowo zmienne i nie zawierające składowej stałej napięcie można dzielić za pomocą dzielnika pojemnościowego. Dzielnik pojemnościowy składa się dwu połączonych szeregowo kondensatorów. Jeden o małej pojemności i wysokonapięciowej izolacji, drugi o dużej pojemności, ale o niskim dopuszczalnym napięciu. Kondensator o niskim napięciu musi być ponadto zabezpieczony przed wystąpieniem wysokiego napięcia na jego zaciskach. Przekładnia pojemnościowego dzielnika wysokiego napięcia jest praktycznie równa ilorazowi dużej C i małej C pojemności p u C + C = =. (.4.) u C C Układu szeregowo połączonych jednakowych kondensatorów nie stosuje się, gdyż dla otrzymania małej pojemności należałoby łączyć szeregowo kondensatory o dużej pojemności. Kompensacja częstotliwościowa dzielnika indukcyjnego nie jest stosowana. Pojemność jest bowiem praktycznie jedynym parametrem kondensatora, a ponadto wysokonapięciowe dzielniki pojemnościowe stosuje się zwykle do dzielenia wartości napięcia o niskiej, energetycznej częstotliwości. C 38

3. PRZETWARZANIE PARAMETRÓW NAPIĘCIA ZMIENNEGO NA NAPIĘCIE STAŁE 3. ŚREDNIA BEZWZGLĘDNYCH WARTOŚCI CHWILOWYCH Typowy układ przetwornika wartości średniej napięcia jest przedstawiony na rysunku 3... Układ wejściowy przetwarza napięcie u na proporcjonalny sygnał e. Wzmacniacz operacyjny WO wymusza w punkcie a układu potencjał równy temu sygnałowi (napięcie różnicowe u d ) oraz prąd w obwodzie sprzężenia zwrotnego e i s =. (3..) R u UKŁAD WEJŚCIOWY e R / u d + WO a i s R R R + WP R C U Rys. 3... Układ przetwornika średniej bezwzględnych wartości chwilowych napięcia Diody w obwodzie sprzężenia zwrotnego powodują, że prąd i s o dodatnich wartościach chwilowych płynie tylko przez rezystor R, a prąd o wartościach chwilowych ujemnych tylko przez rezystor R (R,R = R). Wzmacniacz wyjściowy (pomiarowy) WP wzmacnia różnicę spadków napięcia na rezystorze R i na rezystorze R. Na wyjściu tego wzmacniacza, po odfiltrowaniu składowej zmiennej, otrzymuje się więc napięcie stałe zależne od napięcia wejściowego u według funkcji tk + T α U = u dt, T tk (3..) 39