S88 Badanie rzutu kostką sześcienną Andrzej Kapanowski 29 lutego 2012 Streszczenie Celem ćwiczenia jest zbadanie rzutu kostką sześcienną. Dokument ma być pomocą przy przygotowywaniu opracowania z ćwiczenia wykonanego w I Pracowni Fizycznej w systemie składu dokumentów L A TEX. Stosowany jest zestaw pakietów i konwencji właściwych dla języka polskiego. 1 Wstęp teoretyczny 1.1 Sprawy formalne Wymagane części sprawozdania opisane są w regulaminie [1]. Sprawozdaniu musi towarzyszyć wypełniona strona administracyjna, do pobrania ze strony I Pracowni Fizycznej (IPF). Ponadto należy dołączyć kopię protokołu pomiarowego z podpisem asystenta. Opisy ćwiczeń znajdują się w skrypcie [2] i na stronach IPF. Zaleca się pisanie sprawozdania w edytorze tekstu, a nie ręcznie, przy czym można wykorzystać system L A TEX, MS Word, czy OpenOffice Writer. Wykresy można przygotować w programach Gnuplot, Grace, Origin, QtiPlot, ale też w innych programach pod warunkiem, że będą czytelne i prawidłowo opisane. Dopuszczalne są wykresy na papierze milimetrowym lub funkcyjnym. Wykresy powinny mieć format A4 (osobna kartka) lub mieć wielkość połowy strony A4 (wstawione do tekstu). Wykresy i tabele muszą być numerowane. E-mail: andrzej.kapanowski@uj.edu.pl 1
1.2 Opis teoretyczny rzutu kostką Definiujemy zmienną losową dyskretną X, która przyjmuje wartości x i od 1 do 6. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X ma postać p i = P(X = x i ) = 1/6 dla i = 1,...,6. (1) Określamy dystrybuantę zmiennej losowej X jako funkcję F(x) = P(X < x) dla x R. (2) Dystrybuantę dla rzutu kostką przedstawiono na rys. 1. Określamy wartość oczekiwaną zmiennej losowej dyskretnej X jako liczbę 6 E(X) = x i p i = 7/2. (3) Określamy wariancję zmiennej losowej X jako liczbę V (X) = E[X E(X)] 2 = E(X 2 ) E 2 (X) = 35/12. (4) 1.3 Estymacja punktowa Niech X i (i = 1,..., n) oznaczają zmienne losowe odpowiadające za wyniki poszczególnych pomiarów. Estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna X = 1 n X i. (5) n Estymatorem wariancji jest kwadrat odchylenia standardowego pojedyńczego pomiaru S1 2 = 1 n (X i n 1 X) 2. (6) Estymatorem wariancji średniej arytmetycznej jest kwadrat odchylenia standardowego średniej arytmetycznej 1 n S2 1 = 1 n(n 1) 2 Opis eksperymentu 2.1 Układ doświadczalny n (X i X) 2. (7) Układ doświadczalny składał się z kilku kostek sześciennych różnych producentów. 2
1 0.8 Prawdopodobienstwo 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Rysunek 1: Dystrybuanta dla rzutu kostką. Rysunek (kostka.eps i kostka.pdf ) wykonany w programie Gnuplot. 3
2.2 Przebieg doświadczenia Wstępny plan pracy może być zapisany w zeszycie laboratoryjnym. W sprawozdaniu powinien być zapisany rzeczywisty przebieg doświadczenia (używamy czasu przeszłego). 1. Wykonano 100 rzutów kostką i zapisano wyniki. 2. Powtórzono poprzedni punkt z wykorzystaniem kostek innych producentów. 3 Opracowanie pomiarów Dla każdej kostki obliczamy średnią arytmetyczną, odchylenie standardowe pojedyńczego pomiaru i odchylenie standardowe średniej arytmetycznej. 4 Podsumowanie Warto zauważyć, że oczka na przeciwległych ścianach kostek występują w parach: 1-6, 2-5, 3-4. Można spotkać kostki z układami oczek w dwóch wariantach, będących swoimi lustrzanymi odbiciami. Jeżeli oczka na kostce są wykonane przez wydrążenia, to można się spodziewać nierównomiernego rozkładu masy kostki, a w związku z tym odchyleń systematycznych od wyników teoretycznych. A Kilka porad związanych z systemem L A TEX A.1 Polskie litery Dokument wykorzystuje pakiet polski, choć są również inne sposoby pisania po polsku w systemie L A TEX[3]. Do pisania dokumentów wielojęzycznych można wykorzystać pakiet babel. Możemy tworzyć dokument z polskimi literami wprowadzanymi z klawiatury dzięki pakietowi inputenc. Jeżeli jednak mamy nietypową klawiaturę często przenosimy się z systemu na system, lub inne problemy z kodowaniem polskich znaków, to polskie litery możemy w pakiecie polski uzyskać za pomocą tzw. notacji ciachowej. Przykładowo bieżący dokument jest napisany w tej notacji po to, aby mógł być czytelny w różnych systemach (zob. kod źródłowy w pliku s88.tex). Znak / jest zarezerwowany na potrzeby tworzenia 4
polskich liter, dlatego we wzorach matematycznych znak dzielenia uzyskujemy przez polecenie slash. W pakiecie babel polskie litery uzyskujemy za pomocą znaku cudzysłowu. A.2 Przetwarzanie dokumentu w systemie Linux 1. Plik źródłowy TEX (s88.tex) przygotowujemy w dowolnym edytorze. Jeżeli włączamy do pliku rysunki, to muszą być one w formacie EPS, np. kostka.eps. 2. Przetwarzamy plik TEX do postaci DVI. latex s88.tex Powstaje plik DVI (s88.dvi) i jeszcze kilka plików pomocniczych (LOG, AUX, TOC, LOF, LOT). Plik DVI możemy obejrzeć w środowisku graficznym za pomocą programu Xdvi. 3. Przetwarzamy plik DVI do PS (plik postskryptowy). dvips -o s88.ps s88.dvi Plik PS możemy obejrzeć w środowisku graficznym za pomocą GSview czy ghostview, lub też wydrukować. 4. Istnieje szereg programów dodatkowych, które wykonują wiele pożytecznych konwersji, np. zamianę dokumentu PS do PDF (s88.pdf ). ps2pdf s88.ps 5. Możemy bezpośrednio przetworzyć plik TEX do PDF, ale wtedy musimy dostarczyć rysunki w formacie PDF, np. kostka.pdf. pdflatex s88.tex B Korzystanie z programu Gnuplot w systemie Linux Rysunek do obecnego dokumentu powstał z pliku źródłowego kostka.gnu. set term postscript eps enhanced 22 set output "kostka.eps" # definicja funkcji - jest lamanie wiersza dystrybuanta(x) = ((x<1)? 0 : 0.16667) + ((x<2)? 0 : 0.16667) \ + ((x<3)? 0 : 0.16667) + ((x<4)? 0 : 0.16667) \ 5
+ ((x<5)? 0 : 0.16667) + ((x<6)? 0 : 0.16667) unset key # nie bedzie opisow krzywych w rogu rysunku set xlabel "x" set ylabel "Prawdopodobienstwo" set title "" # tytul rysunku pusty set xrange [0:8] set yrange [0:1] plot dystrybuanta(x) with lines Przetwarzanie pliku GNU do EPS, a następnie do PDF ma postać gnuplot kostka.gnu epstopdf kostka.eps Literatura [1] Regulamin I Pracowni Fizycznej IF UJ. [2] A. Magiera (red.), I Pracownia Fizyczna. Instytut Fizyki, Uniwersytet Jagielloński, 2010. [3] A. Diller, L A TEXwiersz po wierszu, Helion, 2001. 6