Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, rozkłady szkód Agata Boratyńska SGH, Warszawa Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 1 / 16

ROZKŁADY WARTOŚCI SZKÓD Podstawowe własności: rozkłady skupione na dodatniej półosi X 0; rozkłady ciągłe, przy limicie odpowiedzialności rozkłady mieszane P(X = M) > 0, gdzie M limit odpowiedzialności; rozkłady prawostronnie asymetryczne, często z grubymi ogonami. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 2 / 16

β Gamma(α, β) α x α 1 e βx α Γ(α, βx) Γ(α) β α, β > 0 x > 0 β IGamma α x α 1 e β x Γ(α, β ) β Γ(α) x α 1 α, β > 0 x > 0 TGamma β α τ Γ(α) x ατ 1 e βxτ Γ(α, βx τ ) Γ(α+ 1 τ ) Γ(α)β 1 τ α β 2 β 2 (α 1) 2 (α 2) EX 2 = Γ(α+ 2 τ ) Γ(α)β 2 τ α, β, τ > 0 x > 0 ( β LG(α, β) α (ln x) α 1 Γ(α, β ln x) β ) α ( β ) α ( x β+1 Γ(α) β 1 β 2 β ) 2α β 1 α, β > 0 x > 0 β > 1 β > 2 λ Pareto(θ, λ) θ θ 1 λθ λ (λ+x) θ+1 (λ+x) θ θ 1 λ, θ > 0 x > 0 θ > 1 θ > 2 Burr(θ, λ, τ) τθλ θ xτ 1 (λ+x τ ) θ+1 1 ( λ λ+x τ ) θ Γ(θ 1 τ )Γ(1+ 1 τ ) λ 1 τ Γ(θ) λ 2 θ (θ 1) 2 (θ 2) EX 2 = λ 2 τ Γ(θ 2 τ )Γ(1+ 2 τ Γ(θ) τ, λ, θ > 0 x > 0 τθ > 1 τθ > 2 Weibull(c, τ) cτx τ 1 e cxτ 1 e cxτ Γ(1+ τ 1 ) c 2/τ c, τ > 0 x > 0 Γ(θ+τ)λ θ x τ 1 c 1/τ Γ(1+ 2 τ ) Γ2 (1+ 1 τ ) λτ θ 1 λ 2 τ(θ+τ 1) (θ 1) 2 (θ 2) GPareto B(τ, θ, u) Γ(θ)Γ(τ)(λ+x) θ+τ (θ, λ, τ) u = x θ > 1 θ > 2 x+λ exp[ 1 2 ln x µ ( ) 2 ] σ xσ 2π ln x µ LN(µ, σ) Φ( ) e µ+ 1 2 σ2 e 2µ+σ2 (e σ2 1) σ µ R, σ > 0 x > 0 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 3 / 16

ZALEŻNOŚCI MIĘDZY ROZKŁADAMI, funkcje od zmiennych losowych mnożenie przez stałą - parametr skali Y = cx PRZYKŁAD 1) X Ex(1) = Y = cx EX ( 1 c ) 2) X Gamma(α, 1) = Y = X β Gamma(α, β) 3) X Weibull(1, τ) = Y = X a Weibull(aτ, τ) przekształcenie wykładnicze Y = e X PRZYKŁAD X N(µ, σ 2 ) = Y = e X LN(µ, σ 2 ) przekształcenie potęgowe Y = X 1 τ τ > 0 - rozkład transformowany τ < 0 - rozkład odwrócony transformowany τ = 1 - rozkład odwrócony PRZYKŁAD 1. X Ex(θ) = Y = X 1 τ Weibull(θ, τ) 2. X Gamma(α, β). = Y = X 1 IGamma(α, β) 3. X Pareto(θ, λ) = Y = X 1 τ Burr, τ > 0 Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 4 / 16

Mieszanki rozkładów mieszanki dyskretne: f 1, f 2,..., f k - gęstości zmiennych X 1, x 2,..., X k p 1, p 2,..., p k > 0, p i = 1 - wagi Y zmienna o rozkładzie z gęstością f = p i f i mieszanki ciągłe - ryzyka heterogeniczne: f θ (x) = f (x θ), θ Π wtedy f (x) = Θ f θ (x)π(dθ) PRZYKŁAD: X Ex(γ) i γ Gamma(θ, λ) rozkład brzegowy X - Pareto(θ, λ) X Gamma(τ, β) i β Gamma(θ, λ) rozkład brzegowy X - GPareto(θ, λ, τ) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 5 / 16

Średnia nadwyżka szkody ponad wartość d e(d) = E(X d X > d) = + d (x d)f (x)dx 1 F (d) + d (1 F (x))dx, 1 F (d) założenie EX < +. Duże e(d) dla dużych d świadczy o grubym ogonie. Estymator próbkowy x ê n (d) = j >d (x j d) {x j > d} Estymator w oparciu o szereg rozdzielczy: x>c ê n (c i ) = i (x c i ) n(1 F n (c i )) = j>i c j n j j>i n c i j Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 6 / 16

PRZYKŁADY X Ex(λ), wtedy e(d) = 1 λ X Pareto(θ, λ) wtedy e(d) = λ+d θ 1 X LN(µ, σ 2 ) wtedy ( ) e(d) = exp (µ + 1 ) 1 Φ ln d µ σ 2 2 σ2 σ ) d 1 Φ ( ln d µ σ Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 7 / 16

Modele z niekompletnymi danymi, dane ucięte i okrojone dane obcięte - brak obserwacji z pewnego zakresu dane okrojone - znana jest liczba obserwacji z pewnego zakresu ale nie znane są konkretne wartości Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 8 / 16

PRZYKŁADY X - szkoda 1. limit odpowiedzialności Y = { X gdy X < M M gdy X M próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone 2. franszyza warunkowa płatność dla szkody { 0 gdy X < d Y = X gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone ale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszych niż d płatność ubezpieczyciela V = X gdy X > d próbka V 1, V 2,..., V m - dane obcięte Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 9 / 16

PRZYKŁADY, cd 3. franszyza bezwarunkowa płatność dla szkody Y = { 0 gdy X < d X d gdy X d próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone ale często ubezpieczyciel nie ma informacji o szkodach mniejszych niż d płatność ubezpieczyciela V = X d gdy X > d próbka V 1, V 2,..., V m - dane obcięte 4. Płatność reasekuratora przy płatności ubezpieczyciela do limitu odpowiedzialności M płatność dla szkody { 0 gdy X < M Z = X M gdy X M próbka Z 1, Z 2,..., Z n - dane okrojone ale często reasekurator nie ma informacji o szkodach mniejszych niż M płatność reasekuratora W = X M gdy X > M próbka W 1, W 2,..., W m - dane obcięte Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 10 / 16

Funkcja wiarogodności i wartość oczekiwana - dane okrojone i obcięte X zmienna o dystrybuancie F i gęstości f 1. limit odpowiedzialności { X gdy X < M Y = M gdy X M próbka Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone, k liczba obserwacji o wartości M funkcja wiarogodności m L(y 1, y 2,..., y m, k) = f (y i ) (1 F (M)) k EY = E(X M) = M Współczynnik eliminacji szkody 0 i=1 xf (x)dx + M(1 F (M)) = LER X (M) = E(X M) EX M 0 (1 F (x))dx Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 11 / 16

Przykład. X Ex( 1 µ ), obserwujemy próbkę Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone, k liczba obserwacji o wartości M. Wyznacz ENW (µ) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 12 / 16

Franszyza bezwarunkowa Y = { 0 gdy X < d X d gdy X d dane okrojone: próbka Y 1, Y 2,..., Y m - większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości 0 funkcja wiarogodności m L(y 1, y 2,..., y m, k) = f (y i + d)f (d) k EY = + d i=1 (x d)f (x)dx = e X (d)(1 F (d)) Jeśli dane obcięte V 1, V 2,..., V m czyli dotyczące zmiennej V = X d gdy X > d, to funkcja wiarogodności m i=1 L(v 1, v 2,..., v m ) = f (v i + d) (1 F (d)) m + (x d)f (x)dx d EV = = e X (d) 1 F (d) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 13 / 16

Przykład 1. X Ex( 1 µ ). Obserwujemy próbkę Y 1, Y 2,..., Y n - dane okrojone, k liczba obserwacji o wartości 0. Wyznacz ENW (µ) Obserwujemy próbkę V 1, V 2,..., V m dane obcięte, wyznacz ENW (µ). 2. X Pareto(λ, θ). Wyznacz rozkład zmiennej V = X d gdy X > d. Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 14 / 16

Franszyza warunkowa Z = { 0 gdy X < d X gdy X d dane okrojone - próbka Z 1, Z 2,..., Z m większe od 0, k - liczba obserwacji o wartości 0 funkcja wiarogodności m L(z 1, z 2,..., z m, k) = f (z i )F (d) k EZ = + d i=1 xf (x)dx = (e X (d) + d)(1 F (d)) Jeśli dane obcięte V 1, V 2,..., V m czyli dotyczące zmiennej V = X gdy X > d, to funkcja wiarogodności m L(z 1, z 2,..., z m) i=1 = f (z i ) (1 F (d)) m + EZ xf (x)dx d = = e X (d) + d 1 F (d) Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 15 / 16

Przykład X Ex( 1 µ ). Obserwujemy próbkę Z 1, Z 2,..., Z n - dane okrojone, k liczba obserwacji o wartości 0. Wyznacz ENW (µ) Obserwujemy próbkę Z 1, Z 2,..., Z m dane obcięte, wyznacz ENW (µ). Agata Boratyńska (SGH) SAiTR wykład 7 16 / 16