M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [] WYKORZYSANIE MEOD PL DO ROZWIĄZYWANIA PROBLEMÓW DECYZYJNYCH Z NIELINIOWĄ FUNKCJĄ CELU Omówimy tutaj dwa prste warianty nieliniwyh mdeli deyzyjnyh, tóre mgą być rzwiązywane metdami PL. Są t: zadanie prgramwania ilrazweg (inne nazwy t: zadanie prgramwania hiperblizneg, zadanie z wymierną funją elu, zadanie z ułamwą funją elu) zadanie minimalizaji sumy dhyleń bezwzględnyh (prste zadanie prgramwania elweg) Oba wymienine zadania mżna przeształić na zadania PL i rzwiązywać metdą simples. PRZYKŁAD I (zadanie prgramwania ilrazweg) Uzupełnienie pisu prblemu deyzyjneg z wyładu : Znajdź dzienny plan prduji wyrbów A i B, tóry pzwli na siągnięie masymalnej prdutywnśi maszyn. Prdutywnść maszyn jest rzumiana tutaj ja stsune wartśi prduji w enah zbytu d zużyteg zasu pray maszyn. Mdel deyzyjny jest następująy: 3 4 2 h(, 2) ma 2 2 (maszyny) 22 5 (surwie) 2 35 (min. zys) 2 2 6 (war. brzegwe), 2
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [2] Zadanie prgramwania ilrazweg Zadania prgramwania ilrazweg mgą być stswane d znajdwania rzwiązania mprmisweg prblemów dwuryterialnyh. Na przyład, jeżeli jedn ryterium wyraża nałady, a drugie efety, t ilrazwa funja elu wyrażać będzie pewien wsaźni efetywnśi naładów. () (2) Zadanie prgramwania ilrazweg ma następująą pstać h( ) 2 2... n n d d... d d 2 2 n n a a2 2... a n n b a2 a22 2... a2 n n b2... a a 2 2... a b m m mn n m (3),,..., W zapisie maierzwym (') h( ) d d (2') A b (3') ma ma d b a a2... a n gdzie 2... 2... d d2... b b 2... A a 2 a22... a2 n............ n n d n b m am am2... amn Pnadt, raz d są wyrazami wlnymi (stałymi) dpwiedni w funjah liznia i mianwnia funji elu h(). Zadanie ()-(3) mżna rzwiązać metdami PL psługują się transfrmają zaprpnwaną przez Charnes'a i Cper'a. Prpnują ni zastąpienie zadania ()-(3) zadaniem (4)-(8) pstai:
(4) ( u ) M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [3] g, u u u ma (5) Au bu (6) d u d u (7) u (8) u > gdzie: (9) u (9') () u j u j d d d d d d (j,2,..., n) P słabieniu nierównśi w warunu (8) (8) u zadanie (4)-(8) przeształa się w zadanie PL (4)-(7),(8a). Metdę Charnes'a-Cper'a uzasadniają następująe twierdzenia. wierdzenie Jeżeli zadanie ()-(3) jest niesprzezne i istnieje dla nieg sńzne rzwiązanie ptymalne, t ilrazwa funja elu () siąga swją wartść najwięszą (najmniejszą) w wierzhłu zbiru deyzji dpuszzanyh X. wierdzenie 2 Rzwiązanie ptymalne zadania ()-(3) istnieje wtedy i tyl wtedy, gdy istnieje rzwiązanie ptymalne zadania (4)-(7),(8a) taie, że u >. wierdzenie 3. Jeżeli zadanie PL (4)-(7),(8a) jest sprzezne t, sprzezne jest również wyjśiwe zadanie ilrazwe ()-(3). 2. Jeżeli zadanie PL (4)-(7),(8a) nie psiada sńzneg rzwiązania ptymalneg, t również wyjśiwe zadanie ilrazwe ()-(3) nie psiada sńzneg rzwiązania ptymalneg. wierdzenie 4 Jeżeli istnieje sńzne rzwiązanie ptymalne zadania u u taie, że u >, t rzwiązanie ptymalne zadania (4)-(7),(8a) [ ] zadania ilrazweg ()-(3) wyznaza się na pdstawie (), a ptymalna
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [4] wartść ilrazwej funji elu () jest równa ptymalnej wartśi liniwej funji elu (4) () j ( ) u u j u u (2) f( ) g( u, u ) (j,2,..., n) PRZYKŁAD I (dńzenie) ( ) Mdel zastępzy g u, u, u 3u 4u u ma 2 2 (maszyny) u 2u 5u 2 (surwie) u u 35u 2 (min. zys) 2u u 6u 2 (mianwni) u 2u u 2 (war. brzegwe) u u 2,, u > Rzwiązanie ptymalne uzysane metdą simples jest następująe u u u g( u, u, u ) 3 2 3 2 Pnieważ u > 3, t zadanie ()-(3) psiada rzwiązanie. Stąd na my zależnśi () i (2) trzymujemy jeg rzwiązanie ptymalne
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [5] u ( ) u u 3 2 u h, 2 2 3 Wynia stąd, że pszuują dzienneg prgramu prduyjneg najwyższej prdutywnśi maszyn pwinniśmy prduwać 3 sztu wyrbu A i nie prduwać wyrbu B. Z dstępnyh 5 minut dzienneg zasu pray maszyn pzstanie niewyrzystane 2 minut. Z 35 ilgramów surwa pzstanie niewyrzystane 5 [g]. Żądanie siągnięia zysu na pzimie najmniej 6 dlarów nie zstanie przerzne. Przy pwyższym prgramie prdutywnść maszyn wynsi 3 [$/minuta] i będzie t w danyh warunah najwyższa mżliwa wartść teg wsaźnia. PRZYKŁAD II (zadanie minimalizaji sumy dhyleń bezwzględnyh d zadanyh elów) Uzupełnienie pisu prblemu deyzyjneg z wyładu : Znajdź dzienny plan prduji wyrbów A i B, tóry pzwli na siągnięie dwóh elów Plan prduji, tóry pzwli znaleźć się najbliżej ażdeg elu. Cel siągnąć wartść prduji w enah zbytu w wie $. Cel 2 siągnąć zys w wie 8 $. Oba ele mają różną ważnść dla deydenta dywersyfiwaną za pmą wag (lizby z przedziału -). I ta: Cel - waga,4 (w,4) raz Cel 2 - waga,8 (w 2,8) Mdel deyzyjny jest następująy: ( ) S,, 4 3 4, 8 2 8 min 2 2 2 (maszyny) 22 5 (surwie) 2 35 (min. zys) 2 2 6 (war. brzegwe), 2
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [6] Zadanie minimalizaji sumy dhyleń bezwzględnyh d zadanyh elów Rzważmy sytuaję, w tórej pszuujemy deyzji pzwalająej na siągnięie ustalnyh wstępnie wt dla wybranyh r ategrii (np. zysu, sztów, wartśi prduji, itp.). Kwty te nazwiemy elami i znazymy (prównaj z zapisem funji elu w zadaniu PL) pzwala na wylizenie wty siągniętej dla ategrii przy (,2,...,r). Wyrażenie deyzji. Kwtę taą nazwiemy realizają elu. Pszuujemy taiej deyzji, przy tórej suma dhyleń bezwzględnyh dla wszystih r ategrii pmiędzy elami, a ih realizajami będzie mżliwie najmniejsza. Odhylenia dla pszzególnyh ategrii mżemy wyeniać dmiennie "ważą" je za pmą wag w. Zadanie minimalizaji sumy dhyleń bezwzględnyh frmułujemy następują r (3) S w (4) A b (5) Oznazmy: s - nadwyża realizaji elu gdy min (nadszawanie -teg elu) raz s - nadwyża wty względem realizaji elu gdy (niedszawanie -teg elu) względem wty, tj. różnia, tj. różnia Oba rdzaje zmiennyh s i s przyjmują wartśi nieujemne. Pnieważ dla deyzji nie mże wystąpić jednześnie nadszawanie i niedszawanie elu, t granizenia dla zmiennyh s i s będą następująe:
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [7] (6) s, s, s s,2,...,r Każdy -ty złn funji elu (3) mżna zastąpić wyrażeniem liniwym (7) w w( s s ),2,...,r Stąd zadanie (3)-(5) mżemy zastąpić następująym zadaniem r (8) S w( s s ) (9) A b (2) (2), s s s,2,...,r s,,2,...,r (22) s s,2,...,r Z uwagi na warune (22) zadanie (8)-(22) nie jest zadaniem PL. Jeżeli w zadaniu (8)-(22) pminiemy nieliniwy warune (22), t trzymamy zadanie PL. Rzwiązują zadanie (8)-(2) metdą simples autmatyznie gwarantujemy sbie spełnienie warunów (22). Zmienne s i s nigdy nie znajdą się jednześnie na liśie zmiennyh bazwyh, pnieważ wetry współzynniów przy tyh zmiennyh są współliniwe. Zatem, jeżeli prblem deyzyjny piszemy za pmą zadania (3)-(5), t mżemy je rzwiązać ja zadanie PL (8)-(2). Zadanie t ma więej r granizeń i 2r zmiennyh w stsunu d wyjśiweg zadania (3)-(5).
M.Miszzyńsi KBO UŁ, Badania perayjne I (wyład 7A 7) [8] PRZYKŁAD II (dńzenie) Mdel zastępzy ( ) ( 2 2) S, 4 s s, 8 s s min (maszyny) 22 5 (surwie) 2 35 (min. zys) 2 2 6 (el ) 3 42 s s (el 2) 2 2 s2 s2 8 (war. brzegwe),..., s2 ("blada nnsensu") s s raz s s 2 2 Rzwiązanie ptymalne uzysane metdą simples jest następująe: 35 s 5 s S 2 2 i spełnia n waruni (22), tj. s s raz s 2 s2 2 Zatem trzymane rzwiązanie zadania (8)-(2) jest rzwiązaniem zadania (8)-(22), a tym samym również rzwiązaniem zadania (3)-(5). Oznaza t, że: należy prduwać wyłąznie wyrób A w ilśi 35 sztu załżna wta wartśi prduji ( dlarów) zstanie przerzna 5 dlarów (nadszawanie elu ) d załżnej wty zysu (8 dlarów) zabranie dlarów (niedszawanie elu 2) minimalna suma ważnyh dhyleń bezwzględnyh d zadanyh wt wartśi prduji i zysu wynsi "ważnyh" dlarów fundusz zasu pray maszyn (5 minut) nie zstanie wyrzystany w ilśi 5 minut zapas surwa będzie wyrzystany w ałśi żądanie z dłu dla zysu będzie przerzne dlarów min