Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe

Wstęp teoretyczny Ćwiczenie nr 6 Charakterystyki częstotliwościowe 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji oraz korekta nastaw regulatora na podstawie wyznaczonych charakterystyk. 2 Wprowadzenie Charakterystyki dynamiczne częstotliwościowe są elementem tzw. analizy częstotliwościowej sygnałów. Charakterystyki częstotliwościowe należą do grupy dynamicznych. Określają zachowanie układu w sinusoidalnym stanie ustalonym. Jeżeli na wejście układu liniowego i stacjonarnego zostanie wprowadzony sygnał sinusoidalny, to po wygaśnięciu stanów przejściowych na wyjściu pojawi się również sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości. W ogólnym przypadku sygnał wyjściowy będzie posiadał inną amplitudę niż sygnał wejściowy i będzie opóźniony w fazie. Układ można w zupełności opisać wykorzystując podane zachowanie, a mianowicie przedstawiając stosunek amplitudy na wyjściu do amplitudy na wejściu i różnicy faz w całym zakresie częstotliwości wymuszającej od zera do nieskończoności. Charakterystyki częstotliwościowe mogą być zdejmowane eksperymentalnie i na ich podstawie można dokonywać identyfikacji właściwości dynamicznych procesów. Ze względu na jednoznaczność między formą graficzną opisu procesów wyrażoną przez charakterystyki częstotliwościowe i formą analityczną, w postaci operatorowej, znając tę drugą formę można wykreślić charakterystyki częstotliwościowe dowolnych procesów. Za stan ustalony uznaje się stan, w którym wszystkie procesy przejściowe zakończyły się wygasły. Z obserwacji liniowych, stacjonarnych układów wynika, że jeżeli na wejście wprowadzi się wymuszenie sinusoidalne: x(t)=a x sinωt (2.1) to po pewnym czasie na wyjściu pojawi się również sygnał sinusoidalny o postaci: y(t)=a y sin(ωt+ϕ) (2.2) Rysunek 1 : Przebiegi wejściowe (t) i wyjściowe (t) układu w stanie ustalonym dla wymuszenia sinusoidalnego Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 1/9

Wykonując eksperyment, dla różnych częstości wymuszenia, oraz odnotowując wartości, oraz : ϕ=2π τ (2.3) T, ϕ=ω τ [rad] (2.4) można sporządzić charakterystyki we współrzędnych liniowych, przedstawiające zmiany stosunku amplitud A y (ω ) A x (ω) =M(ω ) (2.5) i przesunięcia fazowego () w funkcji częstotliwości badanego układu. Poglądowo taką charakterystykę przedstawia rys. 2. Interesujący jest formalny związek między tak otrzymanymi sygnałami () i (). Z definicji transmitancji operatorowej układu wynika: G(s)= Y (s) [A y sin(ωt+ϕ)] X(s) =L1 L 1 [A x sin(ωt)] (2.6) Rysunek 2: Przykład charakterystyki częstotliwościowej Wielkości i są stałymi, a sygnały (2.1) i (2.2) są wyrażone za pomocą identycznej funkcji, przy czym sygnał odpowiedzi (2.2) posiada przesunięcie. Wobec tego zależność (2.6) można zapisać w sposób: (2.7) G(s)= A y L 1 ϕ [sinωt] A x L 1 [sinωt] e ω s Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 2/9

Ponieważ =, to transmitancja operatorowa () w postaci transmitancji widmowej ( ) jest równa: G(s) s=jω =G(jω) (2.8) i wówczas zależność (2.7), po uproszczeniach, przyjmuje postać: G(jω )= A y A x e jω Otrzymana postać transmitancji widmowej ( ), dla określonej częstości =, jest postacią wykładniczą liczby zespolonej, która dla = posiada również liczbę zespoloną sprzężoną rys 3a. Liczba jest stosunkiem modułów, nazywanym wzmocnieniem układu i jest funkcją częstotliwości. Nazywana też jest charakterystyką częstotliwościową amplitudową lub charakterystyką modułu rys.3 (a). Z rys.1 wynika, że ujemna wartość () oznacza opóźnienie się wyjścia za wejściem. Przesunięcie fazowe () jest funkcją częstotliwości. Jeżeli i są stopniami wielomianów odpowiednio licznika () i mianownika () transmitancji operatorowej układu (), wówczas dla przesunięcie fazowe () wynosi: ϕ(ω ) nm π/2 (2.10) dlaω Zależność (), wykreślona w funkcji częstotliwości, nazywa się charakterystyką częstotliwościową fazową rys.2 (b). (2.9) Rysunek 3: Interpretacja graficzna: a) zależność (3.39) dla =, b) zależność (3.39) dla = 0 +, linią przerywaną zaznaczono ( ) dla = 0. Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 3/9

Postać charakterystyki częstotliwościowej amplitudowo-fazowej (rys.3) przedstawiona na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (nazywanej też płaszczyzną ( ), mającej osie rzeczywistą i urojoną, nazywa się wykresem Nyquista. W praktyce najczęściej korzysta się z charakterystyki częstotliwościowej, która tak jak rys.2, przedstawia oddzielnie przebieg modułu i przebieg fazy, ale wyrażonej w skali logarytmicznej, przy czym moduł () przedstawia się w sposób: L(ω )=20logM(ω )[db] (2.11) Wartość logarytmu modułów () wyraża się w decybelach [db]. Oś rzędnych log wyrażona jest w dekadach a oś odciętych w poziomach co 20dB. Przebiegi charakterystyk przedstawia się w sposób uproszczony, za pomocą odcinków linii prostych (asymptot), zaznaczając częstość załamania (tzw. częstość sprzęgającą). (2.11) występującą dla () = 0. Nachylenie asymptot, wynoszące, np. 20/, oznacza się współczynnikiem kierunkowym 1, + 20/ będzie to +1. Taka postać charakterystyki częstotliwościowej nazywana jest wykresem Bodego. W Tablicy 1 znajdują się charakterystyki częstotliwościowe najczęściej występujących elementarnych procesów. Tabela 1: Charakterystyki częstotliwościowe najczęściej występujących elementarnych procesów. Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 4/9

Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 5/9

Instrukcja wykonania ćwiczenia W czasie ćwiczenia należy: 1. Pobrać ze strony przedmiotu plik L6 Charakterystyki częstotliwościowe i otworzyć go w programie Scilab. Plik zawiera model obiektu sterowania, dla którego będzie wyznaczana charakterystyka częstotliwościowa. 2. 2. Wyznaczyć odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne. Wyniki wpisać do tabeli: Gdzie: Fx częstotliwość sygnału wejściowego (wymuszenia) ustawiona w generatorze, Ax amplituda sygnału wejściowego, Ay amplituda sygnału wyjściowego zmierzona na wykresie, φy przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego zmierzone na wykresie. Rysunek 4: Powiększony wycinek wykresu odpowiedzi układu z naniesionymi wielkościami, które należy wyznaczyć w ćwiczeniu. Na rysunku poniżej pokazany został sposób odczytu amplitudy i kąta opóźnienia fazowego φy bezpośrednio z wykresu odpowiedzi sinusoidalnej. Aby zwiększyć dokładność odczytu należy włączyć linie siatki i powiększyć część wykresu korzystając z funkcji Zoom (Tools Zoom) 3. Korzystając z danych zgromadzonych w tabeli wykreślić w sprawozdaniu charakterystykę częstotliwościową badanego układu. 4. 4. Korzystając z programu Scilab wykonać następujące zadanie: Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 8/9

Układ regulacji składa się z: - regulatora PID (k=1, TI=1000, TD=0.1), - układu wykonawczego (inercyjny, k=2, T=100), - obiektu (oscylacyjny, k=0.1, T=1, ζ=0.7), - przetwornika pomiarowego (proporcjonalny, k=10). Należy: a) wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (Nyquista) obiektu, b) wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (logarytmiczne) obiektu, c) wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową układu otwartego (wykres Nyquista), d) z wyznaczonej charakterystyki Nyquista odczytać zapas amplitudy i fazy układu, e) wyznaczyć charakterystykę częstotliwościową logarytmiczną układu otwartego (wykres Bodego). f) sprawdzić stabilność układu zamkniętego (pierwiastki równania charakterystycznego) f) dobrać wzmocnienie regulatora tak, żeby zapas fazy był większy od 30. Uwaga: Dla wszystkich wykresów częstotliwościowych przyjąć: fmin = 1e-6, fmax=1e6, step =0.001. Scilab funkcje przydatne do wykonania ćwiczenia Transmitancję operatorową w postaci G(s)= b 0+b 1 s+b 2 s 2 +...+b m s m a 0 +a 1 s+a 2 s 2 +...+b n s n można zapisać w Sciabie w następujący sposób: a) najpierw należy utworzyć wielomiany z licznika i mianownika przy pomocy funkcji poly: liczn=poly ([b0 b1 b2...bm],' s',' c ') mian=poly ([a0a1a2...an ],' s',' c ') w powyższych wzorach s oznacza zmienną, c oznacza, że wektor zawiera współczynniki wielomianu (można również podać pierwiastki - r ) b) następnie można utworzyć transmitancję obiektu, korzystając z funkcji syslin Gs=syslin(' c ',liczn/mian); komentarz: c oznacza układ ciągły ( d układ dyskretny wtedy trzeba też podać okres próbkowania) c) Na utworzonych w ten sposób transmitancjach można wykonywać operacje arytmetyczne np. Gotw=Gr*Gw*Go*Gp; d) d) Transmitancję układu zamkniętego Gzam można utworzyć wykonując: Gzam = 1 / (1+Gotw); e) Wykres Nyquista dla układu o transmitancji Gs tworzy się przy pomocy funkcji nyquist: nyquist (Gs, fmin, fmax, step); komentarz:(fmin i f max: zakres częstotliwości ujęty na wykresie, step: krok) f) Charakterystykę częstotliwościową logarytmiczną tworzy funkcja bode bode( Gs, fmin, fmax, step); komentarz: (fmin i f max: zakres częstotliwości ujęty na wykresie, step: krok) g) Rozkład pierwiastków układu zamkniętego można sprawdzić na wykresie Evansa: evans(gzam) h) Pierwiastki wielomianu można wyznaczyć korzystając z funkcji roots: roots(mian); komentarz:(mian wielomian charakterystyczny układu) Opracował: dr. inż. Radosław Cechowicz, prof. dr hab. inż. S.Płaska, mgr. inż. K. Łygas strona 9/9