SPIS TREŚCI REFORMA I AKTUALNOŚCI Dyplom za podręczniki... 3 Marcin Braun: Nauka poszła w las... 4 NAUCZANIE MATEMATYKI Grażyna Miłosz: Ile było pszczół?... 6 Mam pomysł... 7 Bolesław Tykul: Funkcja na lewą stronę... 8 Elżbieta Pszczółkowska: Sherlock Holmes a domino... 10 Marta Zgirska: Ogarnąć głową i rękami... 12 Katarzyna Borowiec, Krystyna Lis, Urszula Mendak: Bezrobocie z Excelem... 14 Wiera Grytyszew: Procenty w banku... 16 Marcin Braun: Jak tracimy pieniądze... 18 Aleksandra Kochańska: Pamiętajmy o punktach... 19 Ewa Pawelec: O pewnym układzie równań z parametrem... 20 Ryszard Krasicki: Delta czwartego stopnia... 22 Bożena Mozolewska: Praca ze słabszymi uczniami... 24 Agnieszka Piecewska-Łoś: A Platon wchodził...... 26 Danuta Buniecka: Dwie parabole i delta... 28 MATERIAŁY Ryszard Krasicki: Sprawdziany dla klasy I... 30 Katarzyna Borowiec: Sprawdziany dla klasy I... 34 Zadania z matury 2002... 38 Z OSTATNIEJ ŁAWKI Wspomnienia reformowanego... 46 List od Czytelnika... 47 INFORMACJE O PRENUMERACIE STR. 2 SPIS TREŚCI 1
Marta Zgirska Ogarnąć głową i rękami Wprowadzenie pojęcia wartości bezwzględnej. Przeciętny uczeń nie ma problemu z podaniem wartości bezwzględnej liczb np. 5, 0, 3, 1 3 itd. Nawet sformułowanie definicji nie sprawia większych kłopotów. Gorzej, gdy chcemy, by rozwiązał równanie lub nierówność zawierającąwartość bezwzględną. W przedwojennej szkole liczby ujemne pojawiały się późno, w 7 8 roku nauczania. Liczby dodatnie i ujemne nazywano wtedy liczbami względnymi, gdyż nie służą do określania bezwzględnej ilości czegoś, ale do wyrażania różnicy pomiędzy wielkościami. Od razu pojawiało się też zdanie: liczba względna składa się z dwóch części znaku i wartości bezwzględnej. Być może takie podejście było dla uczniów łatwiejsze niż obecne, gdy ze znanych już liczb rzeczywistych musimy odzyskiwać wartość bezwzględną. APŁ Okazuje się wtedy,że moduł to jedno z trudniejszych dla uczniów pojęć dotyczących liczb rzeczywistych. Dlatego zwykle zaczynam od interpretacji geometrycznej, czyli interpretuję wartość bezwzględną jako odległość punktów na osi liczbowej. Przypominamy pojęcie Na pierwszej lekcji poświęconej wartości bezwzględnej pytam, co oznacza to pojęcie. Nie oczekuję definicji, choćzdarza się, że uczniowie ją podają. Zwykle padają przykłady: 5 = 5, 0 = 0, 3 = 3 itp. Wtedy możemy przejść do ćwiczenia: Ćwiczenie 1. Porównaj odległość między punktami o współrzędnych: 0i3, 3 i0, 7 i 3, 3 i 7 zróżnica tych liczb. Umieść punkty na osi liczbowej. Gdy uczniowie je rozwiążą na tablicy i w zeszytach zadajępytanie: Ćwiczenie 2. Jaka liczbawyrażona jest odległośćmiędzy punktami o współrzędnych a i b? Zwykle nawet w słabej klasie padają dwie poprawne odpowiedzi: a b oraz b a. Sprawdzamy je na przykładach: 7 ( 3) = 4 = 4 3 ( 7) = 4 = 4 Jeśli w klasie jest przynajmniej kilku zdolnych uczniów, wyjaśniam ogólnie, że: a b = ( a + b) = (b a) = b a Możemy przejśćdonastępnych ćwiczeń: Ćwiczenie 3. Zapisz przy użyciusymboluwartości bezwzględnej i zilustruj na osi liczbowej zdania: Odległość punktu o współrzędnej x od punktu o współrzędnej 2 jest równa 1. Odległość punktu o współrzędnej x od punktu o współrzędnej 3 jest większa od 2. 12 NAUCZANIE MATEMATYKI
Ćwiczenie 4. Jak zinterpretować podane równania inierówności? x 3 = 2 x + 1 = 3 x < 2 x 4 > 1 W ostatnim ćwiczeniu proszę, żeby uczniowie zinterpretowali równanie lub nierówność na osi liczbowej, wypowiedzieli słownie i podali, jakie x je spełniają. Uczniowie czytają: Odległość x od 3 wynosi 2, a więc x wynosi 1 lub 5. Odległość x od 1 wynosi 3, a więc x wynosi 4 lub 2. Odległość x od 0 jest mniejsza od 2, awięc x ( 2, 2). Odległośćxod4jestwiększa od 1, a więc x (, 3) (5, ). Rysujemy na osi Dopiero po tych ćwiczeniach przechodzimy do interpretacji na osi liczbowej ogólnych zapisów: x = a x < a x > a Rysujemy osie liczbowe, tak by uczniowie zobaczyli, że wykorzystane zostały wszystkie liczby rzeczywiste. Nawet pokazuję torękami, stojąc przed tablicą: Dopiero teraz przystępuję do równań inierówności z wartością bezwzględną. Ćwiczenie 5. Rozwiaż równania i nierówności: 3x = 2 2x 1 = 3 1 5x = 6 2x < 1 x + 2 > 3 x 3 < 7 3x 2 4 1 6x 2 Ustalamy, że w tych zapisach nasz nowy x stanowi wszystko to, co znajduje się pod wartością bezwzględną. Na koniec zostawiam równania i nierówności szczególne, które można rozwiązać w pamięci, jeśli tylko rozumie się pojęcie wartości bezwzględnej. Na przykład: x + 5 = 0 x = 5 2x 0 x R 3x 1 > 1 x R 1 x < 0 x Przypominam też, że x 2 = x i rozwiązujemy przynajmniej jeden przykład typu x 2 4x + 4 = 1. (Widziałam wielu maturzystów, którzy na testach egzaminacyjnych nie radzili sobie z takimi przykładami). Trudniejsze zadania, na przykład równania z dwoma modułami, rozwiązujępóźniej, zwykle już po omówieniu własności funkcji liniowej. NAUCZANIE MATEMATYKI 13
Marcin Braun Jak tracimy pieniądze Inflacja zmniejsza zysk z lokat bankowych. W prawie każdym kraju ceny stale rosną. Czasami dzieje się to bardzo szybko, jak w Polsce w latach osiemdziesiątych, czasami wolniej jak obecnie. Inflację wyrażamy w procentach: mówimy, o ile procent średnio wzrosły ceny. Oczywiście taki średni wzrost może wcale nie odpowiadać temu, co odczuwa dana osoba. Jeśli na przykład w jakimś okresie zdrożał tylko gaz, to inflacja jest bardzo niewielka. Kto ma kaloryfery i kuchenkę elektryczną, w ogóle nie odczuje tej podwyżki. Kto jednak ma domowy piec c.o. na gaz, tego podwyżka dotknie w bardzo dużym stopniu. Kłopotliwa może być nie tylko sama inflacja, ale i związane z nią rachunki. Rozwiążmy kilka zadań poświęconych efektom inflacji. Inflacja w pewnym roku wyniosła 10%. O ile procent pieniądze straciły na wartości? Wcale nie o 10%. Jeśli ceny zwiększyły się 1,1 razy, to za 100 zł z początku roku można kupić tyle, co za 100 : 1, 1 91 złotych pod koniec roku. W takim razie pieniądze straciły 9% wartości. Pan Marek wpłacił pewną sumę na roczna lokatę o oprocentowaniu 8%. W tym samym czasie inflacja wyniosła 6%. O ile procent więcej warte sapieni a- dze, które pan Marek wypłacił z banku, od tych, które wpłacił? Nie wiemy, ile konkretnie wpłacił pan Marek; oznaczmy tę kwotę literą x. Po roku pan Marek wypłacił 1,08x, ale te pieniądze są 1,06 razy mniej warte niż byłyby na początku roku. Są więc warte tyle, co 1,08x :1,06 1,0189x na początku roku, a więc tylko o około 1,89% więcej niż wpłacona kwota. W takiej sytuacji mówimy, że realne oprocentowanie wynosi 1,89%. Ile wyniosłoby realne oprocentowanie w opisanym wyżej przypadku, gdyby od odsetek pan Marek płacił 20-procentowy podatek? Po roku odsetki pana Marka wyniosły 0,08x, ale po opodatkowaniu zostało tylko 80% tej kwoty, czyli 0,8 0,08x = = 0,064x. W sumie na koncie jest 1,064x, co jest warte pod koniec roku tyle, co 1,064x :1,06 1,0038x.Awięc tym razem pan Marek zarobił realnie tylko 0,38%. Zauważmy, że choć podatek jest dwudziestoprocentowy, to pan Marek zarobił realnie pięć razy mniej! Dlaczego? Otóż odsetkitylkow części stanowiąfaktycznyzysk, a w części stanowiąwyrównanie inflacji. Podatek jest jednak liczony od obydwu tych części. Na koniec Czytelnikom zostawiam dość pesymistyczne zadanie. Inflacja wynosi 7%, a odsetki od lokaty 8%. Od odsetek trzeba jednak zapłacić 20-procentowy podatek. Ile wynosi realny zysk z odsetek po opodatkowaniu? 18 PROCENTY
Konkursy Konkurs dla uważnych Czytelników Od nowego roku szkolnego wznawiamy konkurs polegający na wyszukaniu w gazecie pewnej informacji. Tym razem czekamy na odpowiedź na pytanie: Gdzie był rzutnik? Wśród osób, które przyślą poprawną odpowiedź, rozlosowana zostanie nagroda kalkulator Casio FX-65. Konkurs na anegdotę Gdy oddawaliśmy ten numer do druku, nie minął jeszcze termin przysyłania anegdot na konkurs. Mamy nadzieję, że dostaniemy ich jeszcze trochę. Dla tych, którzy dopiero teraz chcą przysłać anegdotę (albo którym właśnie zdarzyło sie coś zabawnego) mamy dobrą wiadomość: postanowiliśmy, że konkurs na anegdotę będzie konkursem nieustającym. Czekamy na opisy zabawnych sytuacji, które zdarzyły się napaństwa lekcjach. Najciekawsze z nich będziemy publikować, np. w formie komiksu, a ich autorzy otrzymają nagrody książki: D.L. Moche Astronomia, L. Bogusz, P. Zarzycki, J. Zieliński Łamigłówki logiczne lub J.A. Paulos Analfabetyzm matematyczny i jego skutki. Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk, ul. Trzy Lipy 3, tel./fax (0-58) 302-59-16 w. 180 Dział handlowy: tel. (0-801) 64-39-17 Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt. 59 80-876 Gdańsk 52 e-mail: gazetamws@gwo.com.pl http://www.gwo.com.pl Redaktor naczelny: Marcin Braun Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk, ul. Trzy Lipy 3 Redaguje kolegium: Marcin Braun Agnieszka Ciesielska Aleksandra Golecka Marcin Karpiński Joanna Kniter Jacek Lech Michał Stukow Projekt graficzny, okładka, ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Aleksandra Golecka Zdjęcie na okładce: Dariusz Kotłowski Druk i oprawa: Stella Maris Nakład: 2500 egz. 48