Systemy liniowe i stacjonarne Układ (np.: dwójnik) jest liniowy wtedy i tylko wtedy gdy: Spełnia własność skalowania (jednorodność): T [a x (t )]=a T [ x (t)]=a y (t ) Jeśli wymuszenie zostanie przeskalowane to odpowiedź układu zostanie również przeskalowana z takim samym współczynnikiem. Spełnia własność addytywności: T [ x (t)+ x (t)]=t [x (t)]+t [ x (t)]= y (t)+ y (t ) Odpowiedź układu na sumę wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi układu na każde wymuszenie osobno: Złożenie tych dwóch własności daje: y (t)=t [a x (t)+a x (t)]=a T [ x (t )]+a T [ x (t)]=a y (t )+a y (t) gdzie y(t) jest odpowiedzią na wymuszenie x(t) a y(t) to odpowiedź na w.3, p. wymuszenie x(t), a a dowolne stałe.
Układy liniowe: skalowalność Wymuszenie x(t) uwe(t) Układ liniowy Odpowiedź y(t) uwy(t) uwy (t ) Skalowalność: U0 Wymuszenie uwe(t), odpowiedź uwy(t): w.3, p. T 0 U 0 t
Układy liniowe: addytywność Wymuszania uwe i uwe: u we (t) Odpowiedzi uwyi uwy: Układ liniowy R =R u wy (t ) t t u we (t) R =R u wy (t) t t Addytywność: Wymuszenie: u we (t)+u we (t) u wy (t) Odpowiedź: u wy (t )=u wy (t)+ uwy (t) w.3, p.3 t
Systemy stacjonarne Układ stacjonarny (niezmienny w czasie) (np..: dwójnik) to układ w którym na przesunięte w czasie o t0 wymuszenie, otrzymuje się przesuniętą w czasie o t0 odpowiedź o niezmienionym kształcie: w.3, p.4
Systemy liniowe i stacjonarne Ogólnie z założenia liniowości i stacjonarności wynika: Jeśli wymuszenie ma postać: x (t)= A e p jest parametrem niezależnym od czasu. pt To odpowiedź ma postać: y (t )=C ( p)e pt C(p) zależy tylko od p oraz rodzaju elementu np.: R, C, L Opertor T, nazywany też funkcją odpowiedzi: pt y (t ) C ( p)e C ( p) T ( p)= = = pt x (t) A Ae w.3, p.5 Dotychczas poznane elementy bierne i dwójniki: na nich budowane układy są liniowe i stacjonarne.
Systemy (np.: dwójniki) liniowe i stacjonarne Rozważmy wymuszenie postaci: x (t) i(t)= A e pt i(t +t 0)= A e pt e pt =e pt i (t) 0 0 dla elementów liniowych mamy odpowiedź: pt 0 u(t + t 0 )=u(t )e u (t)(+ pt 0 ) dla małych t0 rozwijamy u(t+t0) w szereg Taylora w otoczeniu punktu t: u(t + t 0 )=u(t )+t 0 u ' (t ) porównując dwa ostatnie wyrażenia dostajemy: u(t )+t 0 u '(t )=u (t)+ u(t ) pt 0 zatem: t 0 u ' (t )=u (t) pt 0 i dalej: w.3, p.6 ln u= pt + c ' ( p) du = pdt /... u du = pu(t ) dt ( pt +c ' ( p)) u=e =C ( p)e pt c.b.d.o.
Systemy (np.: dwójniki) liniowe i stacjonarne Do opisu układów w przypadku gdy wymuszenie jest sygnałem sinusoidalnym, wygodnie jest stosować uogólniony formalizm wykorzystujący liczby zespolone. Możemy wówczas przedstawić wymuszenie sinusoidalne w postaci: x (t )= A e jωt j jednostka urojona, = f (f częstotliwość wymuszenia) Odpowiedzią układu liniowego i stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne jest sygnał sinusoidalny o tej samej częstotliwości: y (t )=T ( j ω) A e j ωt Funkcja odpowiedzi T zależy od częstotliwości i charakteryzuje układ. w.3, p.7
Dwojniki bierne (liniowe i stacjonarne) Dla dwójników funkcja odpowiedzi T(p) określająca reakcję napięcia u(t) na przepływający przez dwójnik prąd i(t): u(t ) T ( p)= i (t) Dla wymuszenia (prądy sinusoidalne): i (t)=i 0 e jωt Odpowiedź dwójnika ma postać: u(t)=u 0 (ω)e jωt W tym przypadku funkcja odpowiedzi, T(ω), to impedancja dwójnika oznaczona jako Z(ω). U 0 (ω) Przypomnienie: Z (ω)= w.3, p.8 I0 ω= π f
Sprawdzenie czy układ RC jest liniowy Wymuszenie typu sinus, odpowiedź typu sinus, o tej samej częstotliwości f co f wymuszenia (dla dowolnego f ): A sin ( π ft ) A sin ( π f t +ϕ) w.3, p.9
Impedancja Z =R + jx = Z e j Φ R rezystancja (opór) X reaktancja (oporność bierna) Z = R + X X Φ=arctg( ) R 0 R < Admitancja: Y = =G + jb Z G konduktancja B susceptancja w.3, p.0 < X < + π Φ π
Dwójnik liniowy bierny prądy sinusoidalne Napięcie i prąd: u (t)=u m cos(ω t +ϕ u)=ℜ [ U m e i(t)=i m cos(ω t +ϕi )= ℜ [ I m e j(ω t + ϕu) j(ω t + ϕi ) ] ] Napięcie i prąd uogólnione: ~ u (t)=u m e j(ω t + ϕ ) u ~i(t)=i e j (ω t +ϕ ) m i Uogólnione prawo Ohma: jφ ~i(t)= ~ u(t) Z ( t )= Z e Z ~i(t )= e j Φ U e j (ω t +ϕ )= U m e j (ω t +ϕ Φ) m Z Z u w.3, p. Um I m= Z u ϕi=ϕu Φ Φ=ϕu ϕi
Idealny rezystor u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) Z R =R Z R =R, Um I m=, ϕu =ϕ i R w.3, p. Φ =0
Impendancja idealnego kondensatora Wymuszenie: i (t )=I m e jωt Odpowiedź: t Im jωt jωt' u(t )= I m e dt '= e C 0 C jω Zatem impedancja kondensatora: u (t) Z C (ω)= = i(t ) j ω C w.3, p.3
Idealny kondensator u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) j j π/ Z C = jx C = = e ωc ωc RC =0, X C = ωc Z =, Φ C = π C ωc I m =ω C U m, ϕ i=ϕu +π / w.3, p.4
Equivalent series resistance (ESR) w.3, p.5
Impendancja idealnej cewki Wymuszenie: i (t )=I m e jωt Odpowiedź: di(t ) jωt u(t )= L =L j ω I m e dt Zatem impedancja cewki: u (t ) Z L (ω)= =jωl i (t ) w.3, p.6
Idealny cewka u (t)=u m cos(ω t +ϕ u) i(t)=i m cos(ω t +ϕi ) Z L = jx L = j ω L=ω L e j π/ R L =0, X L =ω L Z L =ω L, Φ L = π I m= w.3, p.7 U m, ϕi =ϕ u π / ωl
R, L, C podsumowanie v (t )=R i(t ) Z R=R dv dt Z C= i=c v (t )=L w.3, p.8 d i(t ) dt jωc Z L= j ω L
Łączenie impedancji Połączenie szeregowe: Impedancja zastępcza: n Z = Z k k= Połączenie równoległe: n = Z k = Z k w.3, p.9
Dwójnik szeregowy RC Impedancja zastępcza: j Z =Z R + Z C =R ωc zatem: w.3, p.0 Z = R + ωc Φ=arctg ω RC Przykład: ( ) R=50 Ω C=00 nf f = MHz Z = 50 + =... 6 9 3.4 0 00 0 (...=50. Ω )
Dwójnik szeregowy RLC Impedancja zastępcza: j Z =Z R + Z L + Z C =R + j ω L =... ωc...=r + j ω L ωc ( ) zatem: Z = R + ω L ωc ω L ω RC Φ=arctg R w.3, p. ( Przykład: R=50 Ω ; L=0 mh ; C=00 nf f =50 Hz ) Z = 50 + 6.8 50 0 0 =... 9 6.8 50 00 0 ( 3... 3.8 k Ω )
Dwójnik szeregowy RLC Rezonans napięć : Przy pewnej częstości prądu = 0 reaktancja układu X=0, a zatem Z = (R+X) osiąga wartość minimalną równą R. Dla napięcia o stałej amplitudzie Um, amplituda prądu Im osiąga przy tej częstości wartość maksymalną. Przesunięcie fazy pomiędzy napięciem a prądem =0. Spadek napięcia na cewce jest przeciwny do spadku napęcia na kondensatorze, ul(t) + uc(t) = 0; całkowite napięcie jest równe spadkowi napięcia na oporniku. w.3, p. =0 Częstość rezonansowa 0: ω0 L ω0 C ω0 = LC
Dwójnik równoległy LC Impedancja zastępcza: Z= + Z L ZC = + j ωc jωl ( ) (...= j ( ωc ) ωl ) =... Rezonans prądów: Przy pewnej częstości = 0, nazwanej częstością rezonansową, Z. Całkowity prąd i(t)=il(t) + ic(t) = 0. Prądy płynące przez cewkę i kondensator, il(t) = ic(t), mogą osiągać znaczne wartości. ω0 = LC w.3, p.3
Moc wydzielona na dwójniku biernym Dla prądu sinusoidalnego: i(t )=I m cos (ω t ) u(t )=U m cos (ω t +Φ) Zatem moc średnia: T T P= U m I m cos (ω t +Φ )cos (ω t)dt=...=u m I m cos(φ) cos (ω t )dt =... T T 0 0 P= U m I m cos(φ) Zauważmy że : Albo: P =I R sk R P=U I cos (Φ) sk sk sk P= I Z cos (Φ ) w.3, p.4 PC =0 P L =0
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (sygnały stałe) Przekazana moc jest maksymalna gdy: d P ( R+ R W ) E E R ( R+ R W ) = =0 4 dr ( R + RW ) czyli: ( R+ RW ) R ( R + RW )=0 stąd dostajemy: R=RW w.3, p.5 E Pmax = 4 RW
Przykład na transfer mocy Jaka wartość RL aby moc dostarczona do obciążenia wynosiła połowę maksymalnej mocy jaką może dostarczyć źródło? Moc maksymalna: Moc wydzielona na obciążeniu: Połowa maksymalnej mocy to 0.5 W: w.3, p.6
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy dowlonymi układami (impedancje i sygnały sinusoidalne) w.3, p.7
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami (Z=R, sygnały sinusoidalne) w.3, p.8
Przekazywanie maksymalnej mocy pomiędzy układami Dopasowanie mocy (przekazanie maksymalnej mocy) jest konieczne dla trzech sytuacji: gdy sygnały są bardzo małe, zatem straty mocy powodują niekorzystny stosunek sygnału do szumu, np.: anteny w odbiornikach TV, radio, radar etc. elektronika wysokich częstości Z ekonomicznego punktu widzenia należy uzyskać maksymalny przekaz mocy np.: anteny nadawcze (sygnały z nadajnika są stosunkowe duże) w.3, p.9