PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 98 Transport 2013 Katarzyna Palikowska Politechnika Gdaska Wydzia Inynierii Ldowej i rodowiska MODELOWANIE KRZYWIZNY UKADU GEOMETRYCZNEGO TORU Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU PSO Rkopis dostarczono, kwiecie 2013 Streszczenie: W artykule przedstawiono metod projektowania ukadu geometrycznego toru kolejowego opart na zastosowaniu szeciennych krzywych C-Bezier do opisu krzywizny. Punkty kontrolne krzywej Bezier wyznaczane s w procesie optymalizacji za pomoc algorytmu roju czstek (Particle Swarm Optimization). Jako kryterium optymalizacji przyjto minimalizacj oddziaywa dynamicznych wystpujcych w ukadzie tor-pojazd przy spenieniu warunków geometrycznych wynikajcych z zaoe projektowych. Sowa kluczowe: algorytm roju czstek (Particle Swarm Optimization), szecienne krzywe C-Bezier, krzywizna ukadu geometrycznego 1. WSTP Projektowanie ukadu geometrycznego toru kolejowego polega na czeniu ze sob okrelonych punktów charakterystycznych trasy za pomoc odcinków prostych oraz uków o staej i zmiennej krzywinie. W miejscach pocze, na skutek zmian krzywizny poziomej, dochodzi do zwikszenia oddziaywa dynamicznych wystpujcych w ukadzie tor pojazd. W procesie modelowania krzywizny projektant dy do zapewnienie pynnej zmiany krzywizny przy spenieniu odpowiednich warunków [7], by poprzez waciwe uksztatowanie krzywych przejciowych zapewni moliwie najkorzystniejsze waciwoci dynamiczne ukadu. Poszukiwanie nowych postaci krzywych przejciowych i ocena istniejcych s tematami wci aktualnymi, czego dowodem s liczne publikacje powicone tym zagadnieniom. W badaniach majcych na celu rozszerzenie dostpnych moliwoci w zakresie modelowania krzywych przejciowych wyróni mona dwa zasadnicze nurty: bezporednie ksztatowanie wspórzdnych krzywej przejciowej oraz porednie osigane poprzez modelowanie krzywizny.
510 Katarzyna Palikowska W pracach [2, 4, 5, 6], wpisujcych si w nurt ksztatowania wspórzdnych, przedstawiono algorytmy konstruowania krzywych Bezier jako krzywych przejciowych w dziedzinie projektowania dróg koowych i kolejowych. Sugerowana celowo zastosowania szeciennych krzywych C-Bezier (cubic C-Bezier curves), przedstawionych w pracy [2], oraz PH krzywych Bezier pitego stopnia (Pythagorean hodograph quintic Bezier curves), przedstawionych w pracach [4, 5], jako krzywych przejciowych czcych dwa uki koowe odwrotne (S-shaped transition) i dwa uki zgodne (C-shaped i C-oval transitions) zostaa potwierdzona w pracach [8, 9] poprzez zastosowanie wspomnianych krzywych w przykadowych ukadach geometrycznych. W pracach [8, 9] waciwoci dynamiczne krzywych Bezier zostay przedstawione na tle waciwoci krzywych typu K 0 (krzywa o liniowej zmianie krzywizny) i K 1 (krzywa o nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l oznaczajcej dugo krzywej), uzyskanych w wyniku zastosowania uniwersalnej metody modelowania krzywizny. Niniejszy artyku przedstawia metod modelowania krzywizny ukadu geometrycznego bazujc na opisie krzywizny za pomoc szeciennej krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier curve), przedstawionej w pracy [13]. W odrónieniu od prac [2, 8, 9] w niniejszym artykule wspomniana krzywa zostaa zastosowana do opisu krzywizny a nie wspórzdnych krzywej przejciowej. Punkty kontrolne krzywej wyznaczane s w procesie optymalizacji prowadzonym algorytmem roju czstek (Particle Swarm Optimization) w oparciu o kryterium zwizane z ocen oddziaywa dynamicznych w ukadzie tor-pojazd, z zachowaniem warunków geometrycznych. 2. MODELOWANIE KRZYWIZNY Przepisy dotyczce projektowania ukadów geometrycznych dróg koowych i kolejowych nakadaj szereg wymaga, które powinna spenia krzywa przejciowa [7]. Spenienie naoonych wymaga zwizane jest cile z zapewnieniem odpowiedniego przebiegu krzywizny k(l) oraz jej pochodnych k (l) oraz k (l). Modelowaniu krzywizny ukadu geometrycznego powiconych jest wiele prac dotyczcych krzywych przejciowych stosowanych w dziedzinie dróg koowych [1, 11, 12] jak i kolejowych [7, 8, 9, 10]. Uniwersalna metoda modelowania krzywizny, przedstawiona w pracy [8], zakada, e funkcja krzywizny k(l) stanowi rozwizanie równania róniczkowego (1) (1) z warunkami na pocztku (dla l = 0) i na kocu (dla l = l k ) krzywej przejciowej (rys.1): (2) (3)
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO 511 przy czym parametrem l jest pooenie danego punktu na dugoci krzywej. Rzd równania róniczkowego (1) wynosi m = n 1 + n 2 + 2, a otrzymana funkcja k(l) jest funkcj klasy C n w przedziale, gdzie. Metoda ta pozwala na uzyskiwanie rozwiza o liniowej lub nieliniowej zmianie krzywizny. Na podstawie krzywizny k(l) w dalszej kolejnoci nastpuje wyznaczenie wspórzdnych krzywej w ukadzie x, y. Zakadajc, e pocztek ukadu x, y znajduje si w punkcie kocowym krzywej wejciowej o krzywinie k 1, a o odcitych jest styczna do tej krzywej w tyme punkcie (rys. 1), równanie parametryczne krzywej przejciowej przyjmuje posta: (4) gdzie funkcja wyznaczona zostaje na podstawie wzoru (5) (6) W pracy [10] przedstawiono metod modelowania krzywizny z zastosowaniem programowania ewolucyjnego. Monotoniczno krzywizny zapewniona zostaa kodowaniem przyrostów rzdnych krzywizny. Zestaw klasycznych operatorów genetycznych poszerzony zosta o operatory inwersji, delecji, duplikacji i filtrowania, zapewniajce podane zmiany krzywizny w procesie optymalizacji. 3. PROPONOWANA METODA Niniejszy artyku przedstawia propozycj opisu krzywizny za pomoc szeciennej krzywej C-Bezier [13], opisanej nastpujcym równaniem parametrycznym: (7) zdefiniowanym dla parametru t speniajcego zaleno. Sporód punktów kontrolnych punkty i bdce wzami krzywej Bezier stanowi punkty stycznoci krzywizny z ukami zgodnymi (R 1 > R 2 ) o krzywiznach k 1 i k 2 (rys. 2).
512 Katarzyna Palikowska Rys. 1. Schemat ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw przejciow Rys. 2. Krzywizna ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw przejciow Na rys. 1 przedstawiono schemat ukadu geometrycznego dwóch uków zgodnych poczonych krzyw przejciow o krzywinie opisanej równaniem (7). Zakada si ustalone pooenie rodków uków C 1 i C 2. Pooenie punktu C, stanowicego rodek hipotetycznego uku o promieniu prostopadym do stycznej w punkcie kocowym krzywej przejciowej, uzalenione jest od krzywizny, na podstawie której za pomoc równa (4-6) wyznaczane s wspórzdne krzywej przejciowej w ukadzie x, y. Pierwsza pochodna krzywej (7) wyraona jest nastpujc formu: (8) Druga pochodna krzywej (7) przedstawia si nastpujco: (9) W pracy [2] zastosowano krzyw (7) do wyraenia wspórzdnych krzywej przejciowej w ukadzie x, y oraz podano algorytm wyznaczania punktów kontrolnych z uwzgldnieniem parametrów geometrycznych ukadu. W niniejszym artykule krzywa (7) opisuje krzywizn krzywej przejciowej a punkty kontrolne, jednoznacznie definiujce krzywizn, wyznaczane s w procesie optymalizacji opisanym w sekcjach 3.1 i 3.2. Efektywno zastosowania algorytm roju czstek do wyznaczania punktów kontrolnych krzywych NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline curves) zostaa potwierdzona w pracy [3]. 3.1. KRYTERIUM OPTYMALIZACJI W pracach powiconych modelowaniu krzywizny [1, 8, 9, 10, 11, 12] minimalizacja oddziaywa dynamicznych stanowi zasadnicze kryterium. Autorzy [1, 10] dokonuj
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO 513 oceny waciwoci dynamicznych krzywych przejciowych w oparciu o diagram LCA (Lateral Change of Acceleration). W niniejszym artykule zastosowany zosta model oraz sposób oceny oddziaywa dynamicznych przedstawiony w pracach [7, 10]. Zasadniczym elementem analizy oddziaywa dynamicznych jest wyznaczenie wielkoci drga X(t) oraz wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X (t) w rejonach, w których wystpuj zmiany poziomej krzywizny toru. W pracy [10] przedstawiono opis metody numerycznej stosowanej do wyznaczenia wielkoci drga X(t) przy zaoeniu, e czynnikiem wymuszajcym drgania poprzeczne pojazdu szynowego s zmiany krzywizny poziomej toru. Zastosowane kryterium ma znaczenie porównawcze, wyznaczajce kierunek procesu optymalizacji. W celu zbadania przydatnoci tego kryterium zostaa dokonana ocena wybranych krzywych: klotoidy, krzywej Blossa, sinusoidy, krzywej T1 1 opisanej w pracy [11] oraz krzywych G1 2 i G2 3, przedstawionych w pracy [12], zastosowanych jako krzywe przejciowe o dugoci l=100 m w poczeniu prostej z ukiem koowym o promieniu R, na którym wystpuje niezrównowaone przyspieszenie odrodkowe a max =0,6 m/s 2. Krzywizny wymienionych krzywych zostay przedstawione na rys. 3. Przebieg wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X (t), stanowicy podstaw oceny waciwoci dynamicznych zosta przedstawiony na rys. 4-6. Rys. 3. Krzywizny wybranych krzywych zastosowanych jako krzywe przejciowe (l=100 m) Rys. 4. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X (t): krzywa Blossa, sinusoida i krzywa T1 Na rys. 4 zaznaczono dwa rejony zwikszonych oddziaywa dynamicznych (pocztek i koniec krzywej przejciowej). Przebieg wyznaczonego przyspieszenia wskazuje na wyranie lepsze waciwoci dynamiczne sinusoidy i krzywej T1 (mniejsze amplitudy zmian przyspieszenia w rejonach pocztkowym i kocowym krzywych na rys. 4 praktycznie niedostrzegalne) w porównaniu do krzywej Blossa, której krzywizna opisana 1 krzywa Tari-1 o nieliniowej zmianie krzywizny opisanej wielomianem stopnia pitego zmiennej l 2 zmiana krzywizny opisana wielomianem stopnia drugiego zmiennej l 3 zmiana krzywizny opisana funkcj pierwiastka stopnia drugiego zmiennej l
514 Katarzyna Palikowska jest wielomianem stopnia trzeciego zmiennej l (zaleno waciwoci dynamicznych od klasy funkcji opisujcej krzywizn [7]). Zdecydowanie mniej korzystne waciwoci dynamiczne stwierdzone zostay w odniesieniu do klotoidy oraz krzywych G1 i G2. Na rys. 5-6 przedstawiono przebieg wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym w rejonie pocztkowym krzywej przejciowej (poczenie prostej z krzyw) oraz kocowym (poczenie krzywej przejciowej z ukiem koowym). Rys. 5. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X (t) w rejonie pocztkowym: klotoida, krzywe G1 i G2 Rys. 6. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X (t) w rejonie kocowym: klotoida, krzywe G1 i G2 Krzywa G1 posiada korzystne waciwoci dynamiczne w rejonie pocztkowym, kosztem zdecydowanie niekorzystnych waciwoci w rejonie kocowym. Krzywa G2 posiada lepsze waciwoci dynamiczne w rejonie kocowym ni klotoida, za cen zdecydowanie najgorszych waciwoci w rejonie pocztkowym. Wnioski wynikajce z analizy przebiegu wypadkowego przyspieszenia przeoone zostay na wartoci kryterium uywanego w procesie optymalizacji (tabela 1). Wartoci kryterium dynamicznego w odniesieniu do wybranych krzywych Tabela 1 Typ krzywej Warto kryterium Typ krzywej Warto kryterium Klotoida 52,1561 T1 (krzywa Tari-1 [11]) 0,0507 Krzywa Blossa 1,1580 G1 (krzywa [12]) 52,2726 Sinusoida 0,0335 G2 (krzywa [12]) 438,5470 Uzyskane wartoci, wyraajce przewag krzywych: sinusoidy i krzywej Tari-1 nad klotoid oraz krzywymi G1 i G2 potwierdzaj przydatno sformuowanego kryterium. Na podstawie danych z tabeli 1 naley spodziewa si, e w procesie optymalizacji
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO 515 opartym na opisanym kryterium dynamicznym uzyskiwane bd nieliniowe, symetryczne krzywizny (kryterium w równym stopniu uwzgldnia oddziaywania wystpujce w rejonie pocztkowym jak i w kocowym krzywej). Kryterium (10) stosowane w procesie optymalizacji dcym do wyznaczenia krzywizny krzywej przejciowej w ukadzie geometrycznym przedstawionym na rys. 1, oprócz waciwoci dynamicznych uwzgldnia równie minimalizacj wymaganego przesunicia uku o rodku C2, poprzez minimalizacj odlegoci pomidzy punktami C i C2. (10) gdzie w d i w p stanowi arbitralnie dobierane przez projektanta wagi, - odcinek uku, na którym wystpuj oddziaywania dynamiczne po zjedzie z krzywej przejciowej o dugoci l. 3.2. ALGORYTM OPTYMALIZACJI W procesie optymalizacji zastosowany zosta algorytm roju czstek (Particle Swarm Optimization) opisany w pracy [6], dziaajcy w oparciu o populacj czstek poruszajcych si w przestrzeni rozwiza. Kada czstka (tabela 2) reprezentuje potencjalne rozwizanie problemu szukan krzywizn, opisan w sposób jednoznaczny wspórzdnymi punktów kontrolnych (rys. 2). Tabela 2 Struktura czstki P 0x =0 P 1x P 2x P 3x P 0y =k 1 P 1y P 2y P 3y =k 2 Czstki zmieniaj swoje pooenie w kierunku uzalenionym od najlepszego dotychczasowego pooenia czstki, od najlepszego dotychczasowego pooenia czstek ssiednich oraz wasnej prdkoci. Modyfikacja prdkoci czstki nastpuje zgodnie z formu (11): (11) gdzie: wspóczynnik inercji, zmieniajcy si w czasie zgodnie z formu (12): (12) N maksymalna liczba iteracji algorytmu; n numer biecej iteracji; wspóczynniki uczenia: indywidualny i grupowy; Rand() funkcja losowa generujca liczb losow z przedziau (0,1); najlepsze dotychczasowe pooenie czstki; najlepsze dotychczasowe pooenie czstek ssiednich.
516 Katarzyna Palikowska Modyfikacja pooenia czstki nastpuje zgodnie z formu. dziaania algorytmu roju czstek zosta przedstawiony na rys. 7. Schemat Generacja populacji pocztkowej n = 1 Ocena Modyfikacja Transformacja pokolenia n w n+1 Modyfikacja i Rys. 7. Schemat dziaania algorytmu roju czstek 4. WYNIKI Proponowan metod modelowania krzywizny zastosowano do wyznaczenia krzywej przejciowej czcej dwa uki koowe 1 i 2 o zgodnej krzywinie (tabela 3). uk 2 pooony jest wewntrz uku 1 ; pooenie rodka C 2 uku 2 zostao wyznaczone w toku konstruowania krzywej typu K 0 za pomoc uniwersalnej metody modelowania krzywizny. Parametry geometryczne ukadu uków koowych zgodnych Tabela 3 Pooenie rodka uku Promie uku R [m] C 1 (0;700) R 1 700 C 2 (41,22; 506,42) R 2 500 Proponowana metoda dziki zastosowaniu skadnika w kryterium optymalizacji (10) pozwala na uzyskiwanie rozwiza nie wymagajcych przesuwania rodka uku 2 pooenie rodka C 2 traktowane jest jako parametr opisujcy ukad geometryczny. Stanowi to duy atut metody: poprzez zmiany wagi w procesie optymalizacji projektant moe dy do uzyskania krzywizny opisujcej krzyw przejciow, której zastosowanie zachowa zakadane pooenie rodka uku 2.
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO 517 W wyniku przeprowadzenia 2 procesów optymalizacji o liczbie iteracji n=200 kady w oparciu o kryterium (10) z wagami zaprezentowanymi w tabeli 4 otrzymano punkty kontrolne krzywych opisujce krzywizny (rys. 8). Przyjto P 0x =0, P 0y =1/R 1, P 3y =1/R 2. Wspórzdne punktów kontrolnych wynikowych krzywizn Tabela 4 Lp P 1x P 2x P 3x P 1y P 2y 1 1 2 91,76 127,16 392,03 0,001428892 0,001999588 2 1 0,1 143,21008 143,2101 301,03 0,001428572 0,001999805 Rys. 8. Krzywizny otrzymane w procesie optymalizacji Rys. 9. Przyspieszenie w ruchu drgajcym X (t) Na podstawie wynikowych krzywizn, za pomoc równa (4-6) wyznaczone zostay wspórzdne krzywych przejciowych (rys. 10), których parametry zostay przedstawione w tabeli 5. Tabela 5 Parametry wynikowych krzywych przejciowych lp Kryterium dynamiczne Przesunicie rodka uku 2 [m] Wspórzdne punktu stycznoci krzywej z ukiem 2 [m] Nachylenie stycznej w punkcie kocowym krzywej przejciowej Dugo krzywej [m] 1 1 2 1,57047 0,0001965 (363,29; 123,96) 0,6998911 392,06 2 1 0,1 0,5904005 1,0011463 (289,04; 71,05) 0,51801 301,11
518 Katarzyna Palikowska Rys. 10. Wynikowe krzywe przejciowe na tle krzywej typu K 0 Rys. 11. Przebieg procesów optymalizacji nr 1 i 2 Przebieg procesów optymalizacji zosta przedstawiony na rys. 11. Krzywa uzyskana w procesie 1, w którym wikszy nacisk pooony zosta na minimalizacj wymaganego przesunicia rodka uku 2 posiada mniej korzystne waciwoci dynamiczne ni krzywa uzyskana w procesie 2, w którym zasadniczym celem optymalizacji wyraony stosunkiem wag w d /w p bya minimalizacja oddziaywa dynamicznych. Warto kryterium dynamicznego zwizana jest z przebiegiem wypadkowego przyspieszenia w ruchu drgajcym X (t), przedstawionego na rys. 9. Obie uzyskane krzywe posiadaj lepsze waciwoci dynamiczne ni krzywa typu K 0 (warto kryterium w odniesieniu do krzywej typu K 0 wynosi 52,16). 5. WNIOSKI Przedstawiona w artykule metoda modelowania krzywizny pozwala na elastyczne ksztatowanie krzywych przejciowych o korzystnych waciwociach dynamicznych przy spenieniu warunków geometrycznych ukadu (zachowanie pooenia rodka uku 2, zachowanie warunku zgodnoci stycznych w punktach poczenia krzywej z ukiem). Przeprowadzone przy pomocy algorytmu roju czstek (Particle Swarm Optimization) procesy optymalizacji, zmierzajce do wyznaczenia punktów kontrolnych szeciennej krzywej C-Bezier (cubic C-Bezier curve) wykazay wysok efektywno algorytmu PSO do modelowania krzywizny ukadu geometrycznego toru oraz przydatno zastosowania szeciennej krzywej C-Bezier do opisu krzywizny ukadu geometrycznego toru. Bibliografia 1. Baykal, O, Tar E, Cokun Z, ahin M, A New Transition Curve Joining Two Straight Lines, Journal of Transportation Engineering, ASCE, 123(5),337-345, 1997.
Modelowanie krzywizny ukadu geometrycznego toru z wykorzystaniem algorytmu PSO 519 2. Cai H., Wang G.: A new method in highway route design: joining circular arcs by a single C-Bezier curve with shape parameter. Journal of Zhejiang University Science A 2009, 10(4). 3. Delint I, Siti M., Aida A.: Particle Swarm Optimization for NURBS curve fitting. Proceedings of the 2009 Sixth International Conference on Computer Graphics, Imaging and Visualization, pp. 259-263. DOI 10.1109/CGIV.2009.64 4. Habib Z., Sakai M.: G 2 Pythagorean hodograph quintic transition between two circles with shape control. Computer Aided Geometric Design 2007, nr 24. 5. Habib Z., Sakai M.: On PH quantic spirals joining two circles with one circle inside the other. Computer- Aided Design 2007, nr 39. 6. Kennedy J., Eberhart R.: Swarm intelligence, Morgan Kaufmann Publishers, San Francisco, 2001. 7. Koc W.: Elementy teorii projektowania ukadów torowych, Wydawnictwo Politechniki Gdaskiej, Gdask 2004. 8. Koc W., Palikowska K.: Ocena dynamiki wybranych sposobów czenia elementów trasy o zrónicowanej krzywinie, XVI Midzynarodowa Konferencja Naukowa "Komputerowe Systemy Wspomagania Nauki, Przemysu i Transportu TransComp", Zakopane 2012. 9. Koc W., Palikowska K.: Analiza sposobów modelowania krzywizny - krzywe Bezier a metoda analityczna. Zeszyty Naukowo-Techniczne SITK nr 3(99), s. 225-237, Kraków 2012. 10. Palikowska K.: Projektowanie ukadów geometrycznych toru kolejowego z zastosowaniem programowania ewolucyjnego, Rozprawa doktorska, Politechnika Gdaska 2002. 11. Tari, E.: The new generation transition curves. ARI 54(1), Istanbul Technical University 2003. 12. Tasci, L., Kuloglu N.: Investigation of a new transition curve. The Baltic Journal of Road and Bridge Engineering 6(1) 2001: 2329. DOI: 10.3846/bjrbe.2011.04 13. Zhang J.: C-curves: an extension of cubic curves. Computer Aided Geometric Design 13(3) 1996:199-217, DOI: 10.1016/0167-8396(95)00022-4. MODELING OF CURVATURE OF RAILWAY TRACK GEOMETRICAL LAYOUT USING PARTICLE SWARM OPTIMIZATION Summary: A method of railway track geometrical layout design, based on application of cubic C-Bezier curves to describe the layout curvature has been presented in the article. The control points of a cubic C-Bezier curve have been obtained as a result of an optimization process carried on using Particle Swarm Optimization algorithm. The optimization criteria have been based on the evaluation of the dynamic interactions and fulfillment of geometrical design conditions. Keywords: Particle Swarm Optimization algorithm, cubic C-Bezier curves, railway track layout curvature