Zadanie. W kolejnych okesach czasu t =,,3,... ubezpieczony, chaakteyzujący się paametem yzyka Λ, geneuje szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N t N, N, N 3,... są waunkowo niezależne i mają (bzegowe) ozkłady Poissona: k λ P( N t = k Λ = λ) = e λ t =,,3,..., k = 0,,, K k! Paamet yzyka Λ w populacji ubezpieczonych ma ozkład dany na półosi dodatniej gęstością: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ ). Γ α ( ) Jeśli paamety zadania wynoszą: α =, β = 0, to iloaz waunkowych watości oczekiwanych: E E ( N 6 N + N + N 3 + N + N > 0) ( N N + N + N + N + N = 0) 6 wynosi: 3 (A).9 (B).8 (C).7 (D).6 (E).
Zadanie. Mamy niepełną infomację o ozkładzie zmiennej losowej X. Wiemy mianowicie, że pzyjmuje ona watości nieujemne oaz że dla dowolnego d [, 0] watość oczekiwana nadwyżki tej zmiennej ponad d wynosi: [( ) ] ( 0 d ) E X d + =. 0 Zbió wszystkich dopuszczalnych (w świetle posiadanej infomacji) watości dla E X to pzedział: ( ) (A) [.9,.] (B) [.8,.] (C) [.9,.3] (D) [.8,.3] (E) [.7,.3]
Zadanie 3. Mamy dwie zmienne losowe dotyczące szkody, do któej doszło w ciągu danego oku: T - czas zajścia szkody w ciągu tego oku kalendazowego, o ozkładzie jednostajnym na odcinku ( 0, ), X - czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji, o ozkładzie jednostajnym na odcinku ( 0, ). Pzyjmujemy oczywiście, że jednostką pomiau czasu (tak dla zmiennej T, jak i dla zmiennej X) jest ok. Zmienne T oaz X są niezależne. Oczekiwany czas likwidacji szkody, do któej doszło w ciągu tego oku, ale któa pzed końcem oku nie została zlikwidowana, a więc: E X T + X > wynosi: ( ) (A) (B) (C) (D) (E) 3 9 6 0 3
Zadanie. Dwa nieobciążone pedyktoy P i P paametu yzyka Θ mają błędy pedykcji o waiancjach odpowiednio 9 i, a współczynnik koelacji liniowej tych błędów wynosi /. Waiancja błędu pedykcji w klasie pedyktoów P 3 ( z) zdefiniowanych następująco: P 3 ( z) = zp + ( z) P, z [ 0,], osiąga watość najmniejszą, gdy współczynnik z jest ówny: (A) (B) (C) (D) (E) 3 7 3
Zadanie. Poces nadwyżki jest złożonym pocesem Poissona, w któym θ to stosunkowy nazut bezpieczeństwa na składkę netto, zaś Y to zmienna losowa wyażająca watość pojedynczej szkody. Niech L będzie watością, o któą nadwyżka spada po az piewszy poniżej poziomu wyjściowego (o ile do takiego spadku dochodzi), zaś L niech oznacza maksymalną całkowitą statę (nadwyżka początkowa minus najniższy punkt tajektoii pocesu). Jeśli Y ma ozkład jednostajny na pzedziale (0, ), to funkcja M L () geneująca momenty zmiennej L dana jest wzoem: (A) (B) (C) (D) (E) θ ( + θ ) ( e ) θ ( + θ ) ( e ) θ ( +θ ) ( e ) θ ( + θ ) ( e ) θ ( + θ ) ( e )
Zadanie 6. Ubezpieczyciel otzymuje coocznie składkę 3 i wypłaca odszkodowania za ok n-ty w wysokości W n. Zmienne losowe W n są niezależne i mają jednakowy ozkład: P W = = 0., ( n ) ( n = 3) 0. ( = ) 0. P W =, P W n =. Współczynnik dostosowania R (adjustment coefficient) wynosi: (A) ln (B) ln (C) ln (D) ln (E) 6
Zadanie 7. Niech pzy danej watości λ paametu yzyka Λ łączna watość szkód w potfelu liczącym n yzyk: W n = Y + K+ ( ) Y N ( n), ma złożony ozkład Poissona o częstotliwości ównej n λ i ozkładzie pojedynczego składnika o paametach: E ( Y ) = µ, VAR ( Y ) = cµ. Paamet λ ozkładu ilości szkód N ( n) pochodzi z ozkładu zmiennej losowej Λ, o któym wiemy, że: E Λ =, VAR Λ = L. ( ) Λ ( ) Pzyjmij założenia liczbowe: µ = 0, c =, = / 0 Λ VAR ( Λ) = L = / 00 Oblicz ganicę (pzy nieoganiczenie osnących ozmiaach potfela) kwadatu współczynnika zmienności zmiennej W ( n), tzn.: lim VAR( W ( n) ) [ E W n ]. n ( ( )) (A) 0 (B) /0 (C) 3/0 (D) / (E) 3/ 7
Zadanie 8. X i X to dwa niezależne yzyka o zbioze możliwych watości {0,,,...}. Watości dystybuanty F( x) = P ( X x) oaz FS ( x) = P( X + X x) dla x = 0,,,3, podane są w tabeli: P( X = ) wynosi: x F ( x) FS ( x) 0 0. 0. 0.6 0.30 0.8 0.0 3 0.9 0.67 0.83 (A) 0 (B) 0. (C) 0. (D) 0.3 (E) 0. 8
Zadanie 9. O pewnym yzyku wiemy, iż geneuje ono szkody zgodnie z pocesem Poissona ( λt ). W momencie t 0 wiemy o paametze λ, iż jest ealizacją zmiennej losowej Λ o ozkładzie (a pioi) Gamma o watości oczekiwanej i waiancji. Uwzględniwszy infomację, iż od momentu t 0 czekaliśmy na piewszych dziesięć szkód do momentu t0 = t0 + 3, możemy wyliczyć watość oczekiwaną (a posteioi) zmiennej Λ. Wynosi ona: (A) / (B) 7/ (C) 0/3 (D) 9/ (E) 9
Zadanie 0. Likwidacja szkody zaistniałej w miesiącu t następuje w tym samym miesiącu z k 3 pawdopodobieństwem, w miesiącu t + k z pawdopodobieństwem 0 0 3 (bez względu na to, jaki był moment kalendazowy zajścia tej szkody, i jakie momenty kalendazowe i czasy likwidacji miały inne szkody). Niech: R t oznacza liczbę szkód nie zlikwidowanych na koniec miesiąca t (spośód tych, któe zaszły w miesiącu t oaz miesiącach popzednich) n t oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu miesiąca t. Pzy założeniu, że: R t = 70 n t = 0 n t+ = 0 watość oczekiwana (A) 306 (B) 30 (C) 3 (D) 3 (E) 38 R t+ (waunkowa, pzy wyżej wymienionych waunkach) wynosi: 0
Egzamin dla Aktuaiuszy z 7 stycznia 00. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Akusz odpowiedzi * Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie n Odpowiedź Punktacja A B 3 C D E 6 B 7 D 8 C 9 E 0 E * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Akuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.