Geometria szkolna. Maciej Czarnecki. Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego

Geometria szkolna Maciej Czarnecki Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl 1

Spis treści 1 Geometria euklidesowa 3 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa........................ 3 1. Norma, odległość, kąt.................................... 3 1.3 Podprzestrzenie liniowe i afiniczne............................. 4 1.4 Figury wypukłe....................................... 5 1.5 Przekształcenia afiniczne.................................. 6 1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego..................... 8 1.7 Objętość i pole....................................... 10 Aksjomaty geometrii płaskiej 11.1 Aksjomaty Euklidesa.................................... 11. Aksjomaty Hilberta..................................... 11 3 Okrąg i prosta 13 4 Własności miarowe w trójkącie 17 5 Konstrukcje geometryczne 4 6 Wielokąty 6 6.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta........................ 6 6. Wielokąty foremne..................................... 6 6.3 Czworokąty......................................... 7 7 Wielościany 31 7.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu....................... 31 7. Wielościany foremne.................................... 31 7.3 Objętość wielościanów................................... 33 8 Izometrie i podobieństwa płaszczyzny 37 8.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe........................... 37 8. Izometrie parzyste..................................... 37 8.3 Izometrie nieparzyste.................................... 38 8.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny............................. 40 8.5 Podobieństwa płaszczyny.................................. 41 8.6 Uwagi o izometriach przestrzeni.............................. 4 9 Inwersje 43 10 Twierdzenia rzutowe 46

1 Geometria euklidesowa 1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa Definicja 1.1. Rozważamy przestrzeń liniową R n, n, czyli zbiór {x = (x 1,..., x n ) ; x 1 R,..., x n R} z działaniami: dodawania wektorów x + y = (x 1 + y 1,..., y 1 + y n ) dla x, y R n oraz mnożenia wektora przez skalar a x = (ax 1,..., ax n ) dla x R n, a R. Działanie dodawania wektorów jest więc łączne i przemienne oraz ma element neutralny θ = (0,..., 0) oraz każdy wektor x ma wektor przeciwny x = ( x 1,..., x n ). Ponadto mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorach i względem dodawania skalarów, ma własność mieszanej łączności (czyli a (b x) = (ab) x) oraz 1 x = x dla x R n. Definicja 1.. W przestrzeni R n określony jest (standardowy) iloczyn skalarny x, y = x 1 y 1 +... + x n y n. Definicja 1.3. Rozważamy także strukturę punktów i wektorów zwaną przestrzenią afiniczną E n, w której zbiorem punktów jest zbiór n tek liczb rzeczywistych, funkcję przestrzeni liniowej pełni R n, a operacja przypisana dwóm punktom wektora jest dana wzorem pq = q p = (q1 p 1,..., q n p n ). Wówczas dla każdego punktu p E n oraz każdego wektora v R n istnieje dokładnie jeden taki punkt q E n, że pq = v (co zapisujemy po prostu q = p + v) oraz spełniona jest dla dowolnych punktów równość trójkąta pq + qr = pr. Definicja 1.4. (Standardową) n wymiarową przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną E n wraz z określonym w przestrzeni jej wektorów R n standardowym iloczynem skalarnym. 1. Norma, odległość, kąt Definicja 1.5. Normą (lub długością) wektora v nazywamy liczbę (nieujemną) v = v, v. Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w nazywamy liczbę (v, w) = arc cos v, w v w. Mówimy także, że dwa wektory są prostopadłe, gdy mają zerowy iloczyn skalarny (o ile są niezerowe tworzą wtedy kąt π ). 3

Definicja 1.6. Odległością punktów p, q nazywamy liczbę (nieujemną) pq = pq = q p. Możemy też określić odległość niepustych podzbiorów X, Y E n d(x, Y ) = inf{ xy ; x X, y Y }. Twierdzenie 1.7 (nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów v, w spełniony jest warunek v, w v w, a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe (czyli jeden jest iloczynem drugiego przez skalar). Wniosek 1.8 (nierówność trójkąta). Dla dowolnych punktów p, q, r: pr pq + qr, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt q leży na odcinku pr (czyli gdy dla pewnej liczby a [0, 1] zachodzi równość pq = a pr). Twierdzenie 1.9 (twierdzenie cosinusów). Dla dowolnych niezerowych wektorów v, w: v + w = v + w + v w cos (v, w). Wniosek 1.10 (twierdzenie Pitagorasa). Równość v + w = v + w spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w są prostopadłe. 1.3 Podprzestrzenie liniowe i afiniczne Definicja 1.11. Kombinacją liniową wektorów v 1,..., v k R n o współczynnikach a 1,..., a k R nazywamy wektor a 1 v 1 +... + a k v k. Środkiem ciężkości punktów p 0, p 1,..., p k E n o wagach a 0, a 1,..., a k R, spełniających warunek a 0 +a 1,...+a k = 1 nazywamy punkt q = a 0 p 0 +a 1 p 1 +...+a k p k taki, że p 0 q = a 1p0 p 1 +...+a kp0 p k. Definicja 1.1. Układ wektorów jest liniowo niezależny, gdy żaden jego element nie jest żadną kombinacją liniową pozostałych. Podobnie, układ punktów jest w położeniu ogólnym, gdy żaden jego element nie jest żadnym środkiem ciężkości pozostałych. Dwa wektory są równoległe (odpowiednio zgodnie zorientowane), gdy jeden jest iloczynem drugiego przez pewną liczbę rzeczywistą (odpowiednio nieujemną). Trzy (odpowiednio cztery) punkty są niewspółliniowe (odpowiednio niewspółpłaszczyznowe), gdy są w położeniu ogólnym. Definicja 1.13. Podprzestrzeń liniowa (odpowiednio podprzestrzeń afiniczna) jest niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej zamkniętym ze względu na kombinacje liniowe (odpowiednio środki ciężkości). 4

Definicja 1.14. Bazą podprzestrzeni liniowej jest taki liniowo niezależny układ jej wektorów, którego kombinacje liniowe opisują całą podprzestrzeń. Baza (v 1,..., v k ) jest bazą ortonormalną, gdy v i, v i = 1 oraz v i, v j = 0 dla i, j = 1,..., k. Wymiarem podprzestrzeni liniowej jest liczba elementów jej bazy. Stwierdzenie 1.15. Każdą podprzestrzeń afiniczną H E n można przedstawić w postaci p + U = {p + u ; u U}, gdzie p jest punktem, a U podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R n. Definicja 1.16. Wymiar podprzestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi związanej z niej podprzestrzeni liniowej. Prosta (odpowiednio płaszczyzna, hiperpłaszczyzna) jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni E n wymiaru 1 (odpowiednio, n 1). Przykład 1.17. Podprzestrzeń afiniczna 0 wymiarowa jest pojedynczym punktem, prostą można zapisać jako p, p+v = p+lin (v), gdzie v θ, zaś płaszczyznę w postaci p, p+v, p+w = p+lin (v, w), gdzie v, w są wektorami liniowo niezależnymi. Hiperpłaszczyznę można określić przez jej dopełnienie ortogonalne pisząc p + u, gdzie u jest niezerowym (często po prostu jednostkowym) wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów tej hiperpłaszczyzny. Definicja 1.18. Podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 + U 1, H = p + U są równoległe, co zapisujemy H 1 H, gdy U 1 U lub U U 1. Definicja 1.19. Załóżmy, że podprzestrzenie afiniczne H 1 = p 1 +U 1, H = p +U mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Wówczas kątem pomiędzy podprzestrzeniami H 1, H nazywamy liczbę (H 1, H ) = min{ (u 1, u ) ; u 1 U 1, u U }. Uwaga 1.0. Określa się także w nieco inny sposób kąt pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami jako kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi (czyli prostopadłymi do tych hiperpłaszczyzn). 1.4 Figury wypukłe Definicja 1.1. Odcinkiem o końcach p, q E n, gdzie p q, nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a [0, 1]} = {αp + βq ; α, β 0, α + β = 1}. Trójkątem o wierzchołkach p, q, r E n, gdzie punkty p, q, r są niewspółliniowe, nazywamy zbiór pqr = {p + a pq + b pr ; a, b 0, a + b 1} = {αp + βq + γr ; α, β, γ 0, α + β + γ = 1}. Analogicznie czworościan (odpowiednio sympleks k wymiarowy) jest zbiorem wszystkich środków ciężkości o nieujemnych wagach swoich czterech niewspółpłaszczyznowych (odpowiednio k + 1 nie leżących na żadnej k wymiarowej podprzestrzeni afinicznej) wierzchołków. Definicja 1.. Dla danej prostej L oraz punktów p, q L, p q. Półprostą o początku p wyznaczoną na L przez punkt q nazywamy zbiór pq = {p + a pq ; a 0}. 5

Półpłaszczyznę na płaszczyźnie P o krawędzi L = p + lin (v) wyznaczoną przez punkt q P \ L określamy jako Lq = {p + a pq + bv ; a 0, b R} = {p + a pq + w ; a 0, w L}. Analogicznie określamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę w E 3 i punkt nie należący do tej płaszczyzny. Definicja 1.3. Kąt płaski o wierzchołku p i ramionach wyznaczonych przez wektory nierównoległe u, v jest zbiorem p + u, p, p + v = upv = {p + au + bv ; a, b 0}. Jeżeli dane są trzy (odpowiednio n 4) wektory niewspółpłaszczyznowe można określić kąt trójścienny (odpowiednio kąt n ścienny) o wierzchołku p i wyznaczonych przez te wektory krawędziach jako (p; u, v, w) = {p + au + bv + cw ; a, b, c 0} (odpowiednio przez nieujemne kombinacje liniowe danych wektorów). Uwaga 1.4. Można określić kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami P 1, P przecinającymi się wzdłuż prostej L wskazując wybranym punktem jeden z czterech obszarów ograniczonych tymi dwiema płaszczyznami. Definicja 1.5. Kulą (odpowiednio sferą) o środku w punkcie p i promieniu R > 0 nazywamy zbiór B(p, R) (odpowiednio S(p, r)) wszystkich punktów przestrzeni odległych od p o co najwyżej R (odpowiednio: o R). Koło (odpowiednio okrąg) jest przecięciem kuli (odpowiednio sfery) z płaszczyzną. Definicja 1.6. Mówimy, że podzbiór A E n jest wypukły, jeżeli dla dowolnych punktów p, q A zbiór A zawiera odcinek pq. Przykład 1.7. Wszystkie sympleksy, kąty n ścienne i kule są wypukłe, a żadna ze sfer nie jest wypukła. Aby określić niewypukły kąt płaski (odpowiednio n ścienny) należy rozważyć dopełnienie kąta wraz z jego ramionami (ścianami). 1.5 Przekształcenia afiniczne Definicja 1.8. Przekształcenie liniowe jest funkcją z R n w R n zachowujacą kombinacje liniowe, a przekształcenie afiniczne funkcją z E n w E n zachowujacą środki ciężkości. 1.9. Przekształcenie liniowe jest reprezentowane w bazie przez macierz, którą szczególnie łatwo napisać dla bazy kanonicznej. Przekształcenie afiniczne jest złożeniem przekształcenia liniowego z translacją (przy utożsamieniu E n z R n ). Jeżeli więc A jest macierzą przekształcenie liniowego związanego z przekształceniem afinicznym f, to przekształcenie afiniczne jest postaci gdzie b = f(θ). f : x Ax + b, 6

Definicja 1.30. Funkcję f przekształcającą E n na siebie i spełniającą warunek f(x) f(y) = xy dla x, y E n nazywamy izometrią. Podobieństwem o skali k > 0 jest funkcja f przekształcająca E n na E n taka, że f(x) f(y) = k xy dla x, y E n. Uwaga 1.31. Wszystkie izometrie przestrzenie E n (z działaniem składania) tworzą grupę, którą oznaczamy Isom (E n ). Także wszystkie podobieństwa E n tworzą grupę Sim (E n ). Definicja 1.3. Niech H = p + U oraz K = q + W będą podprzestrzenia mi afinicznymi przestrzeni E n takimi, że U W = R n. Dla dowolnego punktu x E n jego rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni K nazywamy jedyny punkt π K H (x) H (x + W ). Rzut prostopadły na podprzestrzeń H jest rzutem równoległym na H w kierunku U ; oznaczamy go przez π H. Przykład 1.33. Jeżeli (u 1,..., u k ) jest bazą ortonormalną podprzestrzeni liniowej U, to rzut prostopadły na podprzestrzeń afiniczną H = p + U wyraża się wzorem π H (x) = p + px, u 1 +... + px, u k Stwierdzenie 1.34. Punkt będący rzutem prostopadłym punktu q na podprzestrzeń afiniczną H jest jedynym punktem podprzestrzeni H najbliższym punktowi q. Definicja 1.35. Translacją o wektor v R n nazywamy przekształcenie T v : E n E n dane wzorem T v (x) = x + v dla x E n. Definicja 1.36. Symetrią względem podprzestrzeni afinicznej H E n nazywamy przekształcenie s H : E n E n dane wzorem s H (x) = x + x π H (x) dla x E n. Gdy H = {p} mówimy o symetrii środkowej względem punktu p, wtedy s p (x) = p x, natomiast gdy H = p + u jest hiperpłaszczyzną i u = 1, to symetria hiperpłaszczyznowa wyraża się wzorem s H (x) = x x p, u u. Twierdzenie 1.37. Niech H E n będzie przestrzenią afiniczną. Wówczas (i) s H s H = id E n, (ii) s H jest izometrią, (iii) s H (x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x H. Dowód. Dowód przeprowadzimy tylko dla symetrii hiperpłaszczyznowej. Niech H = p + u, gdzie u = 1. Wówczas dla x, y E n 7

(i) s H s H (x) = s H (x x p, u u) = x x p, u u x x p, u u p, u u = x x p, u u x p, u u + 4 x p, u u u = x (ii) s H (x)s H (y) = x x p, u u (y y p, u u) = x y + 4 x y, u u 4 x y, x y, u u = x y = xy (iii) s H (x) = x x p, u = 0 x p + u = H. Definicja 1.38. Obrotem [ płaszczyzny ] E dookoła początku układu o kąt α nazywamy przekształcenie R α dane macierzą. Obrót Rp sin α cos α α dookoła punktu p E określamy przez złożenie cos α sin α T p R α T p. Przekształcenie ortogonalne jest dane macierzą ortogonalną, czyli należącą do zbioru O(n) = {A M nn ; AA T = A T A = I}. Definicja 1.39. Jednokładnością o środku p i skali s 0 nazywamy przekształcenie J s p : E n E n dane wzorem J s p(x) = p + s px = (1 s)p + sx dla x E n. Twierdzenie 1.40 (Mazura Ulama). Każda izometria przestrzeni E n jest złożeniem przekształcenia ortogonalnego z translacją. Wniosek 1.41. Każde podobieństwo przestrzeni E n jest złożeniem jednokładności, przekształcenia ortogonalnego i translacji. Przykład 1.4. Każda izometria płaszczyzny E jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem i translacją, a każde podobieństwo płaszczyzny jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem, jednokładnością i translacją. 1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego Definicja 1.43. Symetralną odcinka pq, gdzie p q, nazywamy hiperpłaszczyznę sym pq = 1 p + 1 q + ( pq) Stwierdzenie 1.44. Symetralna odcinka jest jego hiperpłaszczyną symetrii, tzn. jeżeli H = sym pq, to s H (pq) = pq. Dowód. Z nierówności trójkąta i inwolutywności symetrii wynika, że wystarczy wykazać równość s H (p) = q. Zauważmy, że hieprpłaszczyzna H przechodzi przez punkt 1p + 1 q i jej jednostkowym wektorem normalnym jest u = q p. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową mamy więc q p s H (p) =p p 1 p 1 q, q p q p q p = p p q, q p q p q p q p = p + q p = q. 8

Stwierdzenie 1.45. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka. Dowód. Niech H będzie symetralną odcinka pq, zaś E = {x E n ; xp = xq }. Aby pokazać zawieranie H E zauważmy, że punkt x H można przedstawić w postaci x = 1 p + 1 q + v, gdzie v q p. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy xp 1 = (p q) v 1 = (p q) + v 1 = (q p) + v 1 == (q p) v = xq, czyli x E. Niech teraz x E. Wówczas p x = q x, co pociąga za sobą p q = p q, x. Stąd rzutem prostopadłym punktu x na prostą pq jest punkt 1 x p, q p π pq (x) = p+ (q p) = p+ q 1 p p, q + p (q p) = p+ 1 q p q p (q p) = 1 p+ 1 q. Tym samym x 1 p + 1 q + ( pq) = H. Definicja 1.46. Dwusieczną kąta płaskiego upv nazywamy półprostą pw, gdzie w = u u + v v. Stwierdzenie 1.47. Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zawarta w jego osi symetrii. Dowód. Przyjmijmy od razu, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wtedy wektorem wyznaczajacym dwusieczną tego kąta jest jest wektor w = u + v, zaś wektorem normalnym do prostej L = p+lin (w) jest v u. Z założeń i nierówności Schwarza wynika także dodatniość liczby t = v u = (1 u, v ). Dowolny punkt kąta jest postaci x = p + au + bv, gdzie a, b 0. Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową (dim L = 1 = dim E 1) otrzymujemy v u v u s L (x) =p + au + bv au + bv, v u v u skąd s L (x) upv. =p + au + bv ( a + b + a u, v b u, v ) (v u) t =p + au + bv t (b a) t (v u) = p + bu + av, Stwierdzenie 1.48. Na płaszczyźnie E dwusieczna kąta płaskiego jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równo odległych od ramion tego kąta. Dowód. Załóżmy, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski upv są jednostkowe; wiemy wtedy, że v+w wyznacza dwusieczną, zatem punkt kąta postaci x = p+au+bv, a, b 0, nalezy do dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy a = b. Obliczymy odległość punktu kąta od ramienia pu. Dla x = p + au + bv, a, b 0, jest to długość składowej wektora px prostopadłej do wektora u. Ponieważ kierunek prostopadły do u w E wyznacza wektor u = v u, v u o długości u = 1 u, v > 0, więc d (x, pu ) = x p, u u u au + bv, v u, v u = = b b u, v 1 u, v 1 u, v = b 1 u, v. Podobnie d (x, pv ) = a 1 u, v. Zatem x jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, czyli gdy należy do dwusiecznej. 9

1.7 Objętość i pole Definicja 1.49. Iloczynem wektorowym wektorów v = (v 1, v, v 3 ), w = (w 1, w, w 3 ) R 3 nazywamy wektor ( ) v v w = v 3 w w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v w 1 w Stwierdzenie 1.50. Dla u, v, w R 3 \ {θ} (i) v v w w, (ii) v w = v w sin (v, w), (iii) u v, w = det(u, v, w), (iv) det(v, w, v w) > 0, gdy v w. Definicja 1.51. Wyznacznikiem Grama wektorów v 1,..., v k R n nazywamy wyznacznik det G(v 1,..., v k ) macierzy [ v i, v j ] 1 i,j k. Przykład 1.5. 1. det G(v, w) = ( v w sin (v, w)).. Dla u, v, w R 3 det G(u, v, w) = ( u v, w ). Stwierdzenie 1.53. Wyznacznik Grama jest niezmienniczy ze względu na (i) permutację wektorów, (ii) dodawanie do jednego z wektorów kombinacji liniowej pozostałych wektorów. Definicja 1.54. Objętością k wymiarową sympleksu k wymiarowego conv (p 0, p 1,..., p k ) nazywamy liczbę dodatnią vol k (conv (p 0, p 1,..., p k )) = 1 det G ( p 0 p 1,..., p 0 p k ) k! Objętość wymiarową nazywamy polem i oznaczamy przez P, a objętość wymiarową po prostu objętością i oznaczamy przez V. Przykład 1.55. 1. P ( ABC) = 1 AB AC. V (conv (A, B, C, D)) = 1 6 AB AC, AD 10

Aksjomaty geometrii płaskiej.1 Aksjomaty Euklidesa Euklides sformułował w dziele Elementy ok. 300 r. p.n.e. następujące aksjomaty geometrii płaskiej: 1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie, otrzymując prostą. 3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego punktów końcowych i promieniu równym jego długości. 4. Wszystkie kąty proste są przystające. 5. Przez dany punkt można poprowadzić co najwyżej jedną prostą rozłączną z daną prostą.. Aksjomaty Hilberta David Hilbert na przełomie XIX i XX wieku podał układ aksjomatów dla geometrii bez względu na wymiar. Ograniczenie się do przypadku dwuwymiarowego daje nieco prostszy, bardziej intuicyjny i bliższy euklidesowemy pierwowzorowi układ pewników. Pojęciami pierwotnymi są: płaszczyzna P, proste podbiory płaszczyzny P; ich zbiór oznaczymy przez L, odległość geometryczna funkcja d : P P R {0}. Aksjomatami Hilberta geometrii dwuwymiarowej są: Aksjomaty incydencji (I1) Dla dowolnych różnych punktów A, B P istnieje dokładnie jedna prosta l L taka, że A, B l. Oznaczamy ją przez (AB) (I) Każda prosta ma co najmniej dwa punkty. (I3) Istnieją trzy punkty nie należące do jednej prostej. Takie punkty nazywamy niewspółliniowymi. Aksjomaty uporządkowania (O1) Na każdej prostej istnieją dwa wzajemnie odwrotne relacje liniowego porządku. Jeżeli jedną z nich oznaczymy przez (a przez X Y rozumiemy X Y lub X = Y ), to odcinkiem [AB] nazywamy zbiór {X (AB) ; A X B}, a półprostą AB zbiór {X (AB) ; A X B}, gdy A B (O) (aksjomat Pascha) Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe, a l L, to jeżeli l [AB], to l [AC] lub l [BC]. Aksjomaty odległości 11

(D1) Dla dowolnych A, B P: d(b, A) = d(a, B) (D) Dla dowolnych A, B P: d(a, B) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = B. (D3) C [AB] wtedy i tylko wtedy, gdy d(a, B) = d(a, C) + d(c, B). Aksjomaty symetrii (S1) Dla dowolnej prostej l L istnieje dokładnie jedna funkcja s l odwzorowująca płaszczyznę P na siebie przeprowadzająca proste na proste, zachowująca odległość d i taka, że zbiorem jej wszystkich punktów stałych jest prosta l. (S) Dla dowolnych półprostych AB i AC istnieje co najmniej jedna prosta l taka, że s l (AB ) = AC. Aksjomat równoległości (E) (aksjomat Euklidesa) Dla dowolnej prostej l L i dowolnego punktu A P \ l istnieje dokładnie jedna prosta m L taka, że A m oraz m l =. Twierdzenie.1. Płaszczyzna E z odległością euklidesową i prostymi określonymi jako 1 wymiarowe podprzestrzenie afiniczne spełnia aksjomaty Hilberta, a tym samym także aksjomaty Euklidesa. 1

3 Okrąg i prosta Stwierdzenie 3.1. Okrąg o(o, r) z prostą l leżącą w jego płaszczyźnie nie ma punktów wspólnych, gdy d(o, l) > r, ma dokładnie jeden punkt wspólny, gdy d(o, l) = r, ma dokładnie dwa punkty wspólne, gdy d(o, l) < r. Dowód. Wprowadźmy układ współrzędnych na płaszczyźnie zawierającej okrąg i prostą, którego osiami są prosta prostopadła do l i przechodząca przez O oraz prosta równoległa do l i przechodząca przez O, przy czy prosta prosta l leży po nieujemnej stronie drugiej osi. Wówczas okrąg ma równanie x + y = r, zaś prosta równanie x = d, gdzie d = d(o, l). Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy, że nie ma one rozwiązań, gdy d > r, ma jedno rozwiązanie (r, 0), gdy d = r, a dwa rozwiązania ( d, ± r d ), gdy d < r. Definicja 3.. Prosta l położona w płaszczyźnie okręgu o(s, r) jest do tego okręgu styczna, gdy d(s, l) = r, sieczna, gdy d(s, l) < r, zewnętrzna, gdy d(s, l) > r. Stwierdzenie 3.3. Niech dane będą okręgi o(o 1, r 1 ) i o(o, r ) leżące w jednej płaszczyźnie oraz niech d = O 1 O > 0. Wówczas okręgi te 1. nie mają punktów wspólnych, gdy d < r 1 r lub d > r 1 + r,. mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy d = r 1 r lub d = r 1 + r, 3. mają dokładnie dwa punkty wspólne, gdy r 1 r < d < r 1 + r. Ponadto, jeżeli O 1 = O, to okręgi są rozłączne, gdy r 1 r, a pokrywają się, gdy r 1 = r. Dowód. Gdy d > 0 w prostokatnym układzie współrzędnych o początku O 1 i pierwszej osi O 1 O dane okręgi mają równania x + y = r 1 oraz (x d) + y = r. W przypadku istnienia rozwiązań tego układu są one równe d + r1 r (d + r 1 + r ) (d + r 1 r ) (d r 1 + r ) ( d + r 1 + r ), ± d d Wyrażenie pod pierwiastkiem jest równe 0 wtedy i tylko wtedy, gdy d = r 1 r lub d = r 1 + r ; wtedy punkt wspólny jest dokładnie jeden. Dodatniość wyrażenia pod pierwiastkiem (czyli posiadanie przez układ dokładnie dwóch rozwiązań) jest równoważna posiadaniu przez iloczyn drugiego i trzeciego wyrazu d (r 1 r ) tego samego znaku co r 1 + r d. Definicja 3.4. Mówimy, że współpłaszczyznowe okręgi o(o 1, r 1 ) i o(o, r ), których środki oddalone są o d > 0, są zewnętrzne, gdy d > r 1 + r, zewnętrznie styczne, gdy d = r 1 + r, 13

zewnętrzne, gdy r 1 r < d < r 1 + r, wewnętrznie styczne, gdy d = r 1 r, wewnętrzne lub zagnieżdżone, gdy d < r 1 r. Ponadto, gdy O 1 = O mówimy, że okręgi są koncentryczne. Twierdzenie 3.5 (o stycznych, najmocniejsze twierdzenie geometrii). Jeżeli proste P A oraz P B są styczne do okręgu o(o, r) w punktach odpowiednio A i B, to P A = P B. Innymi słowy, odcinki stycznych do danego okręgu poprowadzonych z danego punktu mają równe długości. Dowód. Odległość punktu O od prostej P A jest równa promieniowi r danego okręgu, czyli także długości odcinka OA. Ponieważ rzut prostopadły punktu O na prostą P A jest jedynym punktem najbliższym punktu O, jest nim więc A. Stąd AP AO i z twierdzenia Pitagorasa w wersji wektorowej otrzymujemy P A = P O r. To samo rozumowanie działa dla punktu B, więc P A = P O r = P B. Twierdzenie 3.6 (o siecznej). Jeżeli punkty A, B, C okręgu o(o, r) są parami różne, punkt P leży na prostej AB na zewnątrz okręgu, zaś prosta P C jest styczna do tego okręgu, to P A P B = P C. Dowód. Wybierzmy tak prostokątny układ współrzędnych o początku O tak, aby prosta AB była równoległa do pierwszej osi i leżała po jej nieujemnej stronie. Jeżeli w tym układzie P = (p, b), to p + b > r oraz b r, zaś punkty A i B mają współrzędne ( ± r b, b ). Zatem Z drugiej strony podobnie jak w 3.5 P A P B = p + r b p + r b = p + b r. P C = P O r = p + b r. Wniosek 3.7 (o siecznych). Jeżeli punkty A, B, C, D okręgu o(o, r) są parami różne, punkt P leży na przecięciu prostych AB i CD oraz na zewnątrz okręgu, to P A P B = P C P D. Dowód. Niech E będzie takim punktem okręgu, że prosta P E jest styczna do okręgu. Wówczas stosując dwukrotnie twierdzenie o siecznej (3.6) otrzymujemy P A P B = P E = P C P D. 14

Twierdzenie 3.8 (o kątach w kole). Niech punkty A, B, C okręgu o(o, r) będą parami różne. Wówczas (i) jeżeli punkt C leży na półpłaszczyźnie ABO, to AOB = ACB. (ii) jeżeli punkt C nie leży na półpłaszczyźnie ABO, to AOB = π ACB. Innymi słowy, kąt środkowy w okręgu ma dwa razy większą miarę niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku. Dowód. Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych o początku O tak, aby ujemna półoś drugiej osi była dwusieczną kąta środkowego AOB i niech AOB = ϕ (0, π). Wówczas ( ( A = r cos ϕ π ) (, r sin ϕ π )) = (r sin ϕ, r cos ϕ), ( ( ) ( )) 3π 3π B = r cos ϕ, r sin ϕ = ( r sin ϕ, r cos ϕ) oraz C = (r cos α, r sin α), gdzie α ( ϕ π, 3π ϕ) o ile C ABO. Aby wyznaczyć cosinus kąta między wektorami CA i CB obliczamy kolejno Zatem CA = r (sin ϕ cos α, cos ϕ sin α) CB = r ( sin ϕ cos α, cos ϕ sin α) CA = r sin ϕ + cos α sin ϕ cos α + cos ϕ + sin α + cos ϕ sin α = r 1 sin(ϕ α) CB = r 1 + sin(ϕ + α) ( CA, CB = r sin ϕ + cos α + cos ϕ + sin α + cos ϕ sin α ) CA, CB CA CA = = r (1 + cos ϕ + cos ϕ sin α) = r cos ϕ(cos ϕ + sin α). = = cos ϕ(cos ϕ + sin α) 1 sin(ϕ α) + sin(ϕ + α) sin(ϕ α) sin(ϕ + α) cos ϕ(cos ϕ + sin α) 1 + cos ϕ sin α sin ϕ cos α + cos ϕ sin α cos ϕ(cos ϕ + sin α). cos ϕ + cos ϕ sin α + sin α Jeżeli C ABO, to α ( ϕ π, 3π ϕ), lub równoważnie π α < π ϕ, co wraz z monotonicznością cosinusa na przedziale [0, π] daje ( ) π cos α > cos(π ϕ), czyli sin α + cos ϕ > 0. 15

Wtedy więc cos ACB = cos ( CA, CB ) = cos ϕ, a gdy C ABO ten cosinus jest równy cos ϕ = cos(π ϕ). Wniosek 3.9 (o kątach wpisanych). Kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku mają równe miary. Wniosek 3.10 (o kącie pomiędzy styczną i sieczną). Jeżeli prosta l jest styczna do okręgu o(o, r) w punkcie A, zaś prosta m przecina ten okrąg w punktach A i B, to kąt pomiędzy prostymi l i m ma taką samą miarę jak kąt wpisany opraty na łuku AB. Dowód. Jeżeli ACB jest kątem wpisanym w dany okrąg i opartym na łuku AB oraz ACB = ϕ < π, to z twierdzenia o kątach w kole (3.8 (i)) mamy, że AOB = ϕ. Zastosujemy teraz własności trójkąta równoramiennego AOB (których dowód nie zależy od dowodzonego wniosku), aby stwierdzić, że OAB = π ϕ. Kąt ten dopełnia do kąta prostego kąt pomiędzy prostymi l i m, czyli (l, m) = ϕ. W przypadku kąta wpisanego rozwartego wystarczy zastosować część (ii) tw. 3.8. 16

4 Własności miarowe w trójkącie 4.1. W trójkącie ABC oznaczamy standardowo: długości boków: a = BC, b = CA, c = AB, miary kątów wewnętrzmnych: α = ( AB, AC ), β = ( BA, BC ), γ = ( CA, CB ), obwód: p = a + b + c, pole: S. Twierdzenie 4. (cosinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: c = a + b ab cos γ. Dowód. Z określenia długości boków w trójkącie wynika, że Ponadto B A = B C (A C), więc A C, B C = ab cos γ. c = B A = B C (A C) = B C + A C A C, B C = a + b ab cos γ. Wniosek 4.3 (twierdzenie Pitagorasa). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: c = a + b γ = π. Definicja 4.4. Okręgiem opisanym na trójkącie nazywamy okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta. Okręgiem wpisanym w trójkąt nazywamy okrąg zawarty w tym trójkącie i styczny do wszystkich prostych zawierających boki trójkąta. Okręgiem dopisanym do trójkąta ABC po stronie boku BC nazywamy okrąg zawarty w kącie płaskim BAC, ale nie w trójkącie ABC, i styczny do wszystkich prostych zawierających boki trójkąta. Stwierdzenie 4.5. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Jego środek jest punktem wspólnym wszystkich trzech symetralnych boków trójkąta. Dowód. Zauważmy, że z nierównoległości boków trójkąta wynika nierównoległość ich symetralnych, bo są do boków prostopadłe. Niech O bedzie punktem przecięcia symetralnym boków BC i CA. Wówczas z 1.45 mamy, że OB = OC i OC = OA, co razem daje OA = OB. Korzystając ponownie z 1.45 widzimy, że punkt O należy także do symetralnej boku AB. Tym samym o(o, OA ) jest okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Stwierdzenie 4.6. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Jego środek jest punktem wspólnym wszystkich trzech dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta. Dowód. Postępujemy analogicznie jak w dowodzie 4.5 korzystając tym razem z 1.48. 17

4.7. Do oznaczeń standardowych w ABC dodajemy: promień okręgu opisanego: R, promień okręgu wpisanego: r. promienie okręgów dopisanych: r a, r b, r c, odpowiednio po stronie boku BC, CA, AB. Twierdzenie 4.8 (sinusów). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: a sin α = b sin β = c sin γ = R. Dowód. Wykażemy pierwszą równość. Niech u = B A, v = C A, wówczas α = (u, v), β = ( u, u + v), a = u v, b = v. Ponieważ α, β (0, π), więc sin α = 1 cos α = u, v 1 u v = u v u, v u v oraz sin β = = = 1 cos β = 1 u, u v u u v = u u v u, u v u u v u 4 u u, v + u v u 4 + u u, v u, v u v u, v u u v. u u v Ostatecznie a sin α = u v u v u v u, v = b sin β. Drugie równości dowodzimy analogicznie. Aby pokazać związek z promieniem okręgu opisanego skorzystamy z tweirdzenia o kątach w kole (3.8). Niech O będzie środkiem okręgu o(o, R) opisanego na trójkącie ABC. Z 3.8 wynika, że kąt wewnętrzny AOB w trójkącie AOB ma miarę δ {γ, π γ}. Stosując do tego trójkąta twierdzenie cosinusów otrzymujemy c = R + R R R cos δ = R (1 cos γ) = 4R sin γ, czyli c sin γ = R. Twierdzenie 4.9 (suma kątów w trójkącie). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: α + β + γ = π. 18

Dowód. Załóżmy, że 0 < α β γ < π. Z twierdzenia sinusów wynika, że a = R sin α, b = R sin β, c = R sin γ, co po podstawieniu do twierdzenia cosinusów daje 4R sin γ = 4R sin α + 4R sin β 8R sin α sin β cos γ, a wraz z sin γ = 1 cos γ równanie kwadratowe ze względu na cos γ: cos γ sin α sin β cos γ + sin α + sin β 1 = 0 o wyróżniku = 4(sin α sin β sin α sin β + 1) = 4(1 sin α)(1 sin β) = ( cos α cos β). Zatem inaczej cos γ = sin α sin β + cos α cos β lub cos γ = sin α sin β cos α cos β, cos γ = cos(β α) lub cos γ = cos(π (α + β)) Zauważmy, że γ, β α, π (α+β) ( π, π). Na tym przedziale funkcja cos przyjmuje każdą wartość co najwyżej dwukrotnie, dla przeciwnych argumentów, co redukuje nasz wynik do γ = β α lub γ = π (α + β). Równości γ = β α, γ = α β, γ = α + β π są sprzeczne z założeniem 0 < α β γ < π, pozostaje więc α + β + γ = π. Definicja 4.10. W danym trójkącie określamy: symetralną boku jako symetralna odcinka będącego bokiem trójkąta, dwusieczną kąta wewnętrznego jako dwusieczną kąta płaskiego wyznaczonego przez wektory prowadzące od ustalonego wierzchołka trójkąta do pozostałych wierzchołków, środkową odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, wysokość odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok. 4.11. Do oznaczeń standardowych w ABC dodajemy: długości środkowych: m a, m b, m c, odpowiednio boków BC, CA, AB, długości wysokości: h a, h b, h c, odpowiednio opuszczonych z wierzchołków A, B, C, 19

długości odcinków dwusiecznych: l a, l b, l c, wyciętych przez brzeg trójkąta odpowiednio z dwusiecznych kątów wewnętrznych przy wierzchołkach A, B, C. Stwierdzenie 4.1 (długość środkowej). Przy oznaczeniach standardowych w ABC środkowa boku a ma długość: b + c m a = a Dowód. Niech A 1 będzie środkiem boku BC, wtedy BA 1 = CA 1 = a. Oznaczmy ϕ = AA 1B, wówczas AA 1 C = π ϕ. Oznaczając m a = AA 1 i stosując twierdzenie cosinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: ( ) a c = + m a am a cos ϕ, ( ) a b = + m a am a cos(π ϕ). Dodając stronami i pamiętając, że cos(π ϕ) = cos ϕ dostajemy równość równoważną tezie. b + c = 1 a + m a Stwierdzenie 4.13 (długość wysokości). Przy oznaczeniach standardowych w ABC wysokość opuszczona z wierzchołka A ma długość: h a = b sin γ = c sin β. Dowód. Jeżeli D jest spodkiem wysokości trójkąta ABC opuszczonej na bok BC, to kąt wewnętrzny trójkąta prostokątnego ADB ma miarę β lub π β w zależności od tego, czy D leży na półprostej BC czy też nie. W obu przypadkach h a = AD = c sin β. Pierwszej równości dowodzimy analogicznie. Twierdzenie 4.14 (o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie). Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków odpowiednio przyległych do tego kąta. Przy oznaczeniach standardowych w ABC, jeżeli D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną kąta płaskiego BAC oraz BD = a 1, CD = a, to a 1 = c a b, skąd także a 1 = ac b + c, a = ab b + c. Dowód. Oznaczmy ϕ = ADB, wówczas ADC = π ϕ. Stosując twierdzenie sinusów do trójkątów ADB i ADC otrzymujemy: a 1 sin α = c sin ϕ, a sin α = b sin(π ϕ), skąd a 1 a = c b, bo sin(π ϕ) = sin ϕ. Druga cześć tezy wynika z pierwszej i równości a 1 + a = a. Stwierdzenie 4.15 (długość odcinka dwusiecznej). Przy oznaczeniach standardowych w ABC odcinek dwusiecznej boku a ma długość: l a = bc(p b)(p c). b + c 0

Dowód. Niech D będzie punktem wspólnym dwusiecznej kąta wewnętrznego BAC i boku BC. Stosując do trójkąta ABD twierdzenie sinusów dostajemy AD sin β = BD sin α, co z kolei wraz z twierdzeniem o dwusiecznej 4.14 daje l a = ac b + c sin β sin α. Z twierdzenie sinusów mamy a sin β = b sin α, a z twierdzenia cosinusów cos α = b +c a. Ostatecznie bc l a = c b sin α b + c sin α = bc 1 cos α b + c = bc 1 b + c a b + c bc bc bc = a b + c (b c) = 4 a b + c a + b c = bc(p b)(p c). b + c b + c Twierdzenie 4.16 (wzory na pole trójkąta). Przy oznaczeniach standardowych w ABC: (i) S = 1 ab sin γ (ii) S = 1ah a (iii) S = p(p a)(p b)(p c) (wzór Herona) (iv) S = pr (v) S = abc 4R (vi) S = R sin α sin β sin γ (vii) S = 1 ( a + b + c) r a. Dowód. (i) Z definicji pola trójkąta i własności iloczynu wektorowego 1.50 otrzymujemy S = 1 det G ( ) 1 1 CB, CB = CB CB = ab sin γ. (ii) wynika z (i) oraz 4.13. (iii) Z twierdzenia cosinusów cos γ = a + b c. ab Zatem ze względu na γ (0, π) ( ) sin γ = 1 cos a + b γ = c 1 ab (ab a b + c )(ab + a + b c ) = ab ((c (a b) )) ((a + b) c ) = ab ( a + b + c)(a b + c)(a + b c)(a + b + c) =. ab 1

Jeżeli p = a+b+c, to Ostatecznie na mocy (i) p a = a + b + c, p b = a b + c S = 1 ab sin γ = 1 ab 16p(p a)(p b)(p c) ab, p c = a + b c. = p(p a)(p b)(p c). (iv) Niech O będzie środkiem, a K, L, M punktami styczności okręgu wpisanego odpowiednio do boków BC, CA, AB. Trójkąt ABC jest sumą mnogościową trójkątów BOC, COA, AOB, z których każdy ma wysokość opuszczoną na bok wyjściowego trójkąta o długości r. Stąd i z (ii) S = P ( BOC) + P ( COA) + P ( AOB) = 1 BC r + 1 CA r + 1 AB r = pr. (v) wynika z (i) i sin γ = c R (tw. sinusów). (vi) wynika z (i) i a = R sin α, b = R sin β (tw. sinusów). (vii) Analogicznie jak w (iv) możemy udowodnić, że pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniu ρ jest równe iloczynowi ρ i połowy obwodu czworokąta. Niech okrąg o(o, r a ) bedzie dopisany do trójkąta ABC po stronie boku BC. Narysujmy taką styczną do okręgu o(o, r a ), która przecina półproste AB i AC w punktach odpowiednio B i C leżących za punktami B i C. Tym samym rozważany okrąg jest wpisany w trójkąt AB C oraz wpisany w czworokąt BB C C. Z (iv) i faktu przywołanego na początku Zatem P ( AB C ) = 1 ( AB + B C + C A ) r a, P (BB C C) = 1 ( BB + B C + C C + CB ) r a. S = P ( AB C ) P (BB C C) = 1 ( AB BB + C A C C BC ) r a = 1 (c+b a)r a. Stwierdzenie 4.17. Środkowe w trójkącie przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Dowód. W trójkącie A 1 A A 3 dla dowolnych i, j, k {1,, 3} parami różnych środkowa boku A i A j łączy punkt A k z 1 A i + 1 A j. Zatem do każdej ze środkowych należy punkt 1 3 A 1 + 1 3 A + 1 3 A 3 = 1 3 A k + 1 3 A i + 1 3 A j == 1 3 A k + ( 1 3 A i + 1 j) A.

Stwierdzenie 4.18. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest ortocentrum tego trójkąta. Dowód. Wysokości trójkąta ABC opuszczone z punktów A i B nie są równoległe, bo boki, na które są opuszczone nie są równoległe. Niech H będzie punktem przecięcia prostych zawierających te wysokości. Wówczas Obliczając AH BC, BH CA. CH, AB = CA + AH, AB = CA, AB + AH, AC + CB = CA, AB + AB + BH, AC = CA, AB + AB, AC = 0 otrzymujemy, że także wysokość opuszczona z punktu C przechodzi przez punkt H. Stwierdzenie 4.19 (lemat Aleksandrowa). Jeżeli punkt X leży we wnętrzu trójkąta ABC, to (i) AXB > ACB, (ii) AB < AX + XB < AC + CB. Dowód. (i) W trójkącie AXB kąty przy wierzchołkach A i B są mniejsze od kątów przy tych wierzchołkach w ACB. (ii) Na półprostej AX wybierzmy za punktem X taki punkt B, że XB = XB. Trójkąty BXC oraz B XC mają boki wychodzące z X tej samej długości, a kąt w X jest większy w piewrszym, więc z twierdzenia cosinusów dostajemy B C < BC. Zatem BC + CA > B C + CA B A = AX + XB. 3

5 Konstrukcje geometryczne Definicja 5.1. Konstrukcją przy pomocy cyrkla i linijki nazywamy procedurę będącą ciągiem skończonym złożonym z operacji następujących dwóch typów: kreślenie prostej przez dwa różne punkty, kreślenie okręgu o środku w danym punkcie i promieniu równym danemu odcinkowi. Uwaga 5.. Wykonalność konstrukcji przy pomocy cyrkla i linijki jest uzależniona od rozwiązalności tzw. grupy Galois związanej z tą konstrukcją. Znanymi przykładami konstrukcji niewykonalnych przy pomocy cyrkla i linijki są: 1. kwadratura koła wyznaczenie boku kwadratu, którego pole równa się polu danego koła,. podwojenie sześcianu wyznaczenie krawędzi sześcianu, którego objętość jest dwa razy większ od objętości danego sześcianu, 3. trysekcja kąta podział danego kąta na trzy kąty parami przystające. Stwierdzenie 5.3. (konstrukcje pierwotne) Przy pomocy cyrkla i linijki można przeprowadzić konstrukcje następujących obiektów: odcinek położony na danej prostej, o danym początku i równy danemu odcinkowi, suma i różnica danych odcinków położona na danej prostej, okrąg o danym środku i promieniu równym promieniowi danego okręgu, kąt płaski (także skierowany) o danym ramieniu i mierze równej mierze danego kąta płaskiego. Stwierdzenie 5.4. (konstrukcje podstawowe) Przy pomocy cyrkla i linijki można przeprowadzić konstrukcje następujących obiektów: 1. symetralna danego odcinka,. dwusieczna danego kąta płaskiego, 3. prosta prostopadła do danej prostej i przechodząca przez dany punkt, 4. prosta równoległą do danej prostej i przechodząca przez dany punkt, 5. prosta równoległa do danej prostej i odległa od niej o długość danego odcinka, 6. odcinek równy n tej części danego odcinka, n N, 7. odcinek czwarty proporcjonalny do danych trzech odcinków (czyli odcinek o długości x = ab c, gdzie a, b, c są długościami danych odcinków), 8. prosta styczna do danego okręgu poprowadzona przez dany punkt leżący na zewnątrz tego okręgu, 9. obraz danego punktu w rzucie równoległym na daną prostą w kierunku innej danej prostej (nierównoległej do pierwszej prostej), 10. obraz danego punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor, 4

11. obraz danego punktu w symetrii osiowej względem danej prostej, 1. obraz danego punktu w symetrii środkowej względem danego punktu, 13. obraz danego punktu w obrocie dookoła innego danego punktu, przy czym kąt obrotu jest równy danemu skierowanemu kątowi płaskiemu, 14. obraz danego punktu w jednokładności o skali równej stosunkowi dwóch odcinków opatrzonemu znakiem lub o skali bedącej liczbą wymierną. Uwaga 5.5. Konstrukcje podstawowe można przeprowadzić przy dowolnych danych spełniających (dość oczywiste) założenia do tych konstrukcji. Należy pamiętać, że konstrucja prostej równoległej odległej o daną odległość (nr 5) daje dwie proste. Rozwiązanie każdego zadania konstrukcyjnego składa się z następujących czterech części: I. Analiza poświęcona przetłumaczeniu zawartych w zadaniu własności na język prostych i okręgów; II. Opis konstrukcji zawierający etapy wykonania konstrukcji; III. Dowód poprawności potwierdzający, że otrzymany na drodze konstrukcji obiekt(y) spełnia(ją) warunki zadania; IV. Dyskusja oceniająca etapy konstrukcji pod kątem ich wykonalności i liczby otrzymanych rozwiązań w zależności od danych. 5

6 Wielokąty 6.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta Definicja 6.1. Wielokątem nazywamy spójny podzbiór płaszczyzny, który jest sumą mnogościową takiej rodziny trójkątów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólnym bokiem lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielokąta nazywamy triangulacją. Definicja 6.. Punkt danego wielokąta, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem trójkąta triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielokąta. Bok wielokąta to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera bok pewnego trójkąta tej triangulacji. Definicja 6.3. Wielokąt o spójnym wnętrzu i n bokach (lub, co na jedno wychodzi, n wierzchołkach), n 3, nazywamy n kątem. Kątem wewnętrznym n kąta nazywamy miarę kąta płaskiego, o wierzchołku w wierzchołku wielokąta, wyznaczonego przez jedyne dwa boki, których wspólnym końcem jest ten wierzchołek. Definicja 6.4. Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący jego wierzchołki, którego wnętrze zawarte jest we wnętrzu wielokąta. Uwaga 6.5. Liczba przekątnych n kąta wypukłego jest równa n(n 3). Trójkąt nie ma przekątnych, czworokąt wypukły ma dwie przekątne, a niewypukły tylko jedną. Definicja 6.6. Okrąg zawierający wszystkie wierzchołki danego wielokąta nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie, zaś okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawierających boki tego wielokąta nosi nazwę okręgu wpisanego w tenże wielokąt. Uwaga 6.7. Istnienie okręgu opisanego na n kącie lub wpisanego w n kąt zależy od rozważanego wielokąta i jest pewnego tylko dla n = 3. Definicja 6.8. Polem wielokąta P nazywamy liczbę P (P) równą sumie pól trójkątów pewnej triangulacji wielokąta P. Pole wielokąta nie zależy od wyboru triangulacji. Stwierdzenie 6.9. Pole wielokąta opisanego na okręgu o promieniu r jest równe iloczynowi tego promienia i połowy obwodu wielokąta. Dowód. Analogiczny do 4.16(iv). 6. Wielokąty foremne Definicja 6.10. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach wewnętrznych równych. Twierdzenie 6.11. Dla dowolnego n 3 i dowolnego a > 0 istnieje (z dokładnością do izometrii) dokładnie jeden n kąt foremny o boku długości a. 6

Dowód. Dla ustalonego b > 0 i n 3 rozważmy pierwiastki stopnia n tego z liczby b na płaszczyźnie zespolonej, czyli punkty w k = n ( b cos πk ) πk + i sin, k = 0, 1,..., n 1. n n Zauważmy, że dla dowolnego k spełniony jest warunek w k 1 0w k = π jak również w n k 1w k w k+1 = n π, czyli wielokąt w n 0w 1... w n 1 ma wszystkie katy wewnętrzne równe. Trójkat w k 1 0w k ma ramiona o długości n b, więc z twierdzenia cosinusów otrzymujemy długość podstawy ( Dla b = a sin π n w k 1 w k = n b 1 cos π n = n b sin π n ) n wielokąt w0 w 1... w n 1 ma wszystkie boki długości a. Jedyność takiego wielokąta z dokładnością do izometrii wynika z możliwości opisania odległości pomiędzy dowolnymi wierzchołkami tylko w zależności od a i n. Wniosek 6.1. n kąt foremny o boku długości a ma wszystkie kąty wewnętrzne równe n π, a n promień R okręgu opisanego i promień r okręgu wpisanego w ten wielokąt wyrażają się przez R = a sin π n, r = a tg π. n Dowód. Określając n kąt foremny jak w dowodzie twierdzenia.5. widzimy, że R = n b = r jest wysokością trójkąta w k 1 0w k, a stąd a = tg π. r n Wniosek 6.13. Pole n kąta foremnego o boku a wynosi a, a sin π n P = na 4 tg π. n Przykład 6.14. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny o kątach równych π 3, czworokątem foremnym kwadrat o wszystkich kątach prostych, zaś pięciokąt foremny ma kąty wewnętrzne 3π 5. 6.3 Czworokąty Definicja 6.15. Równoległobokiem o wierzchołku p rozpiętym na nierównoległych wektorach u, v nazywamy zbiór P(p; u, v) = {p + au + bv ; a, b [0, 1]}. Równoległoobok P(p; u, v) jest rombem, gdy u = v, a kwadratem, gdy ponadto u v; sam ostatni warunek określa prostokąt. Stwierdzenie 6.16. Czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne mają wspólny środek. Dowód. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym (tylko taki ma dwie przekątne). Zauważmy, że AB = 1 DC B A = C D A + 1 C = 1 B + 1 D, zaś pierwszy warunek oznacza, że ABCD jest równoległobokiem P ( A; AB, AD ). 7

Definicja 6.17. Trapezem nazywamy czworokąt, w którym pewną parę boków opisują wektory równoległe. Trapez równoramienny to trapez nie będący równoległobokiem, w którym boki nierównoległe mają równe długości. Definicja 6.18. Deltoidem nazywamy czworokąt o prostopadłych przekątnych takich, że środek jednej z nich leży na drugiej przekątnej. Stwierdzenie 6.19. Pole równoległoboku o sąsiednich bokach długości a, b i kącie pomiędzy nimi o mierze α wynosi P = ab sin α = ah, gdzie h oznacza wysokość opuszczoną na bok a (czyli odległość pomiędzy prostymi równoległymi zawierającymi boki o długości a). Dowód. Triangulację równoległoboku P(p; u, v) tworzą dwa trójkąty (p, p + u, p + v), (p + u, p + v, p + u + v). Oba rozpięte są na wektorach u i v, więc ze wzoru na pole trójkąta wynika, że P (P(p; u, v)) = 1 u v sin (u, v) = ab sin α. Wysokość h = b sin α obliczamy z trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej o długości b. Wniosek 6.0. (i) Pole prostokąta o sąsiednich bokach długości a i b wynosi P = ab. (ii) Pole kwadratu o boku długości a wynosi P = a. Stwierdzenie 6.1. Pole trapezu o podstawach (bokach równoległych) długości a i b i wysokości (czyli odległości pomiędzy prostymi równoległymi zawierającymi te boki) równej h wynosi P = a + b h. Dowód. Niech ABCD będzie trapezem, w którym AB CD i AB = a b = CD. Wówczas h = d(ab, CD). Niech E będzie rzutem równoległym punktu A na prostą CD w kierunku prostej BC. Wówczas DE = a b, a równoległobok ABCE jest sumą mnogościową trójkąta ADE i trapezu ABCD, przy czym h jest także wysokością trójkąta opuszczoną na bok DE. Stąd i ze wzorów na pole równoległoboku i trójkąta otrzymujemy P (ABCD) = P (ABCE) P ( ADE) = ah 1 a + b (a b)h = h. Stwierdzenie 6.. Pole deltoidu (w szczególności rombu) o przekątnych długości d 1 i d wynosi P = d 1d. Dowód. Triangulacją deltoidu o (prostopadłych) przekątnych d 1 i d tworzą dwa trójkąty o wspólnej podstawie długości d 1 i wysokościach uzupełniających się do d. Twierdzenie 6.3 (warunek opisania okręgu na czworokącie). Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe. 8

Dowód. W czworokącie ABCD oznaczmy przez α, β, γ, δ miary kątów wewnętrznych odpowiednio przy wierzchołkach A, B, C, D. ) Załóżmy, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu o środku O i promieniu R. Wynika stąd, że każdy kąt wewnętrzny tego czworokąta ma miarę mniejszą niż π, gdyż w przeciwnym wypadku jeden z wierzchołków leżałby wewnątrz koła. Kąty wewnętrzne o wierzchołkach A, C oparte są na dopełniających się łukach BD, a kąty środkowe oparte na tych łukach tworzą kąt pełny o mierze π, więc z twierdzenia o kątach w kole α + γ = 1 π = π. Analogicznie β + δ = π = α + γ. ) Załóżmy, że α + γ = β + δ. Ponieważ pewna triangulacja dowolnego czworokąta zawiera dwa trójkąty, więc suma kątów wewnetrznych czworokąta wynosi π. Zatem α + γ = β + δ = π, skąd na mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach ABC i ADC są równe sobie, bo równe R = AC = AC. sin β sin δ Jeżeli O 1, O są odpowiednio środkami wspomnianych okręgów, to O 1, O l = sym AC. Na prostej l są dwa punkty odległe od punktu A o R, gdy R > AC AC, lub jeden gdy R =, punkty O 1, O mogą być więc równe (co już kończy dowód) lub symetryczne względem prostej AC. Wtedy jednak trójkąty ABC i ADC są przystające, co daje β = δ. Z założenia otrzymujemy β = δ = π, ale wówczas środki okręgów opisanych na trójkątach prostokatnych ABC i ADC leżą na środku wspólnej przeciwprostokatnej AC, czyli także O 1 = O. Twierdzenie 6.4 (warunek wpisania okręgu w czworokąt). W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe. W czworokąt niewypukły nie można wpisać okręgu. Dowód. Jeżeli czworokąt jest niewypukły, to jeden z jego kątów wewnętrznych, np. przy wierzchołku A ma miarę większą niż π i z jego dwusiecznej jest zawsze bliżej do wierzchołka niż któregokolwiek z boków AB, AD. Tym samym okrag styczny do dwóch pozostałych boków CB, CD po przekroczeniu przez promień wartości OA przecina już boki AB, AD i nie może być do nich styczny. W czworokącie wypukłym ABCD oznaczmy przez a, b, c, d długości boków odpowiednio AB, BC, CD, DA. ) Załóżmy, że okrąg o środku O i promieniu r jest wpisany w czworokąt ABCD. Jeżeli okrąg ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N, to AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN, bo trójkąty prostokątne AKO i AN O są przystające jako posidające wspólną przyprostokatną AO oraz OK = ON = r itd. Zatem a + c = AK + KB + CM + MD = AN + LB + CL + ND = d + b. ) Załóżmy, że a+c = b+d. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta ABCD przy wierzchołkach A i B (dwusieczne te nie są równoległe, bo AD BC). Oznaczmy przez K, L, M, N rzuty prostopadłe punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, DA. Z własności dwusiecznej wynika, że OK = OL = ON ; oznaczmy tę wspólną wartość przez r. Z wypukłości czworokąta ABCD mamy, że kąty BAO i ABO są ostre i K leży na boku AB. Z własności dwusiecznej wynika, że tylko punkt O może być środkiem okręgu wpisanego w czworokąt ABCD. Gdyby punkt L nie leżał na odcinku BC, to a + c > b + d i podobnie dla punktu D. Zatem punkt O leży wewnątrz czworokąta i M CD. Oznaczając x = OM oraz a 1 = AK, a = KB, b 1 = BL, b = LC, c 1 = CM, c = MD, d 1 = DN, d = NA 9

otrzymujemy skąd po odjęciu stronami OD = x + c = r + d 1, OC = x + c 1 = r + b, c 1 c = b d 1 lub inaczej c(c 1 c ) = (b + d 1 )(b d 1 ), co jednak wraz z założeniem daje Ostatecznie (b + d a)(c 1 c ) = (b + d 1 )(b d 1 ), awięc (b + d 1 )((c 1 c ) (b d 1 )) = 0. c 1 + c = b d 1, c 1 c = b d 1, skąd c 1 = b, c = d 1, ale wtedy r = x, czyli okrąg o środku O i promieniu r jest także styczny do boku CD. Przykład 6.5. Dla równoległoboku warunkiem równoważnym opisania na nim okręgu jest bycie prostokątem, wpisania w ten równoległobok okręgu bycie rombem. Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg. 30

7 Wielościany 7.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu Definicja 7.1. Wielościanem nazywamy spójny podzbiór przestrzeni trójwymiarowej, który jest sumą mnogościową takiej rodziny czworościanów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólną ścianą, wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielościanu nazywamy triangulacją. Definicja 7.. Punkt danego wielościanu, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem czworościanu triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielościanu. Krawędź wielościanu to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera krawędź pewnego czworościanu tej triangulacji, zaś ścianą wielościanu jest wielokąt, którego wszystkimi bokami są krawędzie wielościanu, a wielokąt ten w dowolnej triangulacji zawiera ścianę czworościanu tejże triangulacji. Definicja 7.3. Sferę zawierającą wszystkie wierzchołki danego wielościanu nazywamy sferą opisaną na tym wielościanie, zaś sfera zawarty w wielościanie i styczną do wszystkich płaszczyzn zawierających ściany tego wielościanu nosi nazwę sfery wpisanej w tenże wielościan. Definicja 7.4. Charakterystyką Eulera wielościanu P nazywamy liczbę χ(p) = F E + V, gdzie F oznacza liczbę ścian, E liczbę krawędzi, a V liczbę wierzchołków wielościanu P. Twierdzenie 7.5. Charakterystyka Eulera wielościanu wypukłego wynosi. Uwaga 7.6. Charakterystykę Eulera równą mają wszystkie wielościany, których suma mnogościowa ścian (z topologią indukowaną) jest homeomorficzna ze sferą S. Inną charakterystykę mają np. wielościany, których suma ścian jest homeomorficzna z torusem T = S 1 S 1 (prostopadłościan z wydrążoną na wylot prostopadłościenną dziurą itp.); wówczas χ = 0. Stwierdzenie 7.7. Dla dowolnego wierzchołka wielościanu wypukłego suma miar kątów wewnętrznych ścian, dla których ten wierzchołek jest wierzchołkiem ściany, jest mniejsza niż π. 7. Wielościany foremne Definicja 7.8. Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przystającycmi wielokątami foremnymi, każdy wierzchołek należy do tej samej liczby ścian. Przez K n,k oznaczamy wielościan foremny o ścianach będących n kątami foremnymi stykającymi się po k w każdym wierzchołku. Twierdzenie 7.9. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) co najwyżej pięć wielościanów foremnych: K 3,3, K 3,4, K 3,5, K 4,3, K 5,3. Dowód. Przypuśćmy, że wielościan foremny ma ściany będące n kątami foremnymi i w każdym wierzchełek tego wielościanu należy do dokładnie k ścian. Wówczas k 3, a suma kątów płaskich przy każdym wierzchołku wynosi k n π i jest mniejsza od π na mocy stwierdzenia 3.1.6, bo wielościan n foremny jest wypukły. Stąd 3 ( 1 n) < lub inaczej n < 6. Ponadto w takim wielościanie E = nf, V = nf k. 31