DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnoolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Mikołaja Koernika w Toruniu Wyższa Szkoła Informatyki i Ekonomii TWP w Olsztynie Zastosowanie rzełącznikowych modeli Markowa w analizie stó zwrotu cen akcji. Wrowadzenie Cechą charakterystyczną szeregów stó zwrotów rynków finansowych jest wystęowanie zgruowań zmienności dla odokresów o wyższej i niższej aktywności. Badania emiryczne wielokrotnie otwierdzają, wystęowanie ewnej struktury dzielącej okres na odokresy o różnych arametrach. Sosobem na oisanie tych zależności może być model zawierający jednoczesne rzełączenia badanej zmiennej i estymowanych arametrów w odokresach. Własność tę osiadają rzełącznikowe modele Markowa MS, w których zarówno zamienna jak i arametry oisują dynamikę rocesu między stanami. Po raz ierwszy dynamiczny model ekonometryczny z rzełączeniem tyu Markowa wrowadził J. Hamilton (989, 994), jako narzędzie oisujące wewnętrzną strukturę rzejścia między stanami rocesu cyklu gosodarczego. W swojej racy Hamilton rozważył łańcuch o dwóch stanach, odowiednio dla eksansji i recesji, rzy czym secyfikacji odlega średnia zwrotów. Kontynuacją były race Clements a i Krolzig a (000), nastęnie modele z rzełączeniem w wariancji lub w średniej i wariancji jednocześnie (Turner, Startz, Nelson 989, Yin 003), rzełącznikowe modele tyu VAR (Linne 000, Krolzig 00) oraz rzełącznikowe modele ARCH SWARCH (Hamilton, Susmel 993). W racy Yin a (993) wykorzystano miesięczne stoy zwrotu indeksu S&P50 (970.0 003.0). Badany okres odzielono na 4 odokresy i dla każdego z okresów oszacowano model z jednoczesnym rzełączeniem w średniej i wariancji. Uzyskane wyniki wskazują na wystęowanie dwóch stanów o skrajnie różnych wartościach średniej i wariancji. Dobry stan

4 odznacza się 4.5 razy wyższą średnią oraz razy niższą wariancją w orównaniu do złego stanu. Stan dobry okazał się trwały ( = 0.9999 ) natomiast stan zły rzejściowy ( = 0.0004 ), co tłumaczy się owracaniem szybkim rocesu do reżimu o dobrych arametrach. Wnioski łynące z racy można odnieść do wcześniejszych badań dotyczących asymetrii w zmienności rocesów rynku kaitałowego, mianowicie gwałtownemu wzrostowi zmienności towarzyszą często duże ujemne wartości stó zwrotu, co z kolei jest rzeciwne intuicyjnemu stwierdzeniu, że wyższemu ryzyku odowiadają wysokie stoy zwrotu. Artykuł Linne a (003) miał na celu zbadanie efektu zarażenia na wschodzących rynkach wschodniej Euroy od wływek wyróżnionych kryzysów: Czechy 97, Azja 97 i Rosja 98. Do badania wykorzystano tygodniowe stoy zwrotu (997.03 000.03) głównych indeksów giełdowych tj. Czech, Estonii, Węgier, Polski, Rosji, Słowacji, Słoweni. Zbudowano wektorowo-autoregresyjny rzełącznikowy model Markowa MS()-VAR(), którego wsółczynniki autoregresji dodatkowo określają wływ kryzysowych zmian na oszczególne rynki. W modelach zastosowano rzełączenie w średniej, w wariancji oraz w średniej i wariancji jednocześnie. Rynek objęty efektem odznacza się zwiększoną aktywnością handlową, wyższą zmiennością oraz sadkiem cen akcji. Artykuł jest róbą odowiedzi na ytanie: czy rzełączeniom w reżimach odowiada okres kryzysu oraz czy zachowanie stó zwrotu jest wtedy odobne? Wyniki okazały wystęowanie stanu sokoju o niskiej zmienności i dodatniej średniej oraz stanu kryzysu o wysokiej zmienności i ujemnej średniej. Prawdoodobieństwa ozostania w obu stanach są wysokie, a okresy wysokiego rawdoodobieństwa dla stanu kryzysowego odowiadają rzeczywistym badanym kryzysom (najwyraźniej jest to widoczne dla modelu MSMV() VAR(). Wnioski ozwalają na stwierdzenie, że wykorzystany model jest zdolny do wykrycia zmienności stó zwrotu wsólnej dla wszystkich rynków, tym samym dostarcza wyjaśnienia dla gruowania się zmienności cen akcji. W racy zbadano efekt ARCH wykorzystując test F zastosowany rzez Garcia, Pierre (996), wyniki nie ozwalają na odrzucenie hiotezy zerowej o braku efektu ARCH w rzyadku ięciu na siedem szeregów stó zwrotu. Celem oniżej racy jest rzedstawienie autoregresyjnego modelu rzełącznikowego MS z różnym rodzajem rzełączeń dla danych tygodniowych i dziennych, orównanie ich własności z modelem ARMA(,q) oraz zbadanie efektu ARCH.. Budowa modelu i estymacja modelu Cechą rzełącznikowego modelu Markowa jest możliwość rzełączania się wybranych arametrów rocesu między reżimami (stanami) zgodnie

Zastosowanie rzełącznikowych modeli Markowa w analizie stó zwrotu cen akcji 43 z rocesem Markowa. W takim rocesie stan teraźniejszy badanej zmiennej jest zależny jedynie od stanu orzedniego, co można zaisać jako: P( s t = = j / s0 = i0,s = ii,...,st = i ) = P( st = j / st = i ) ij () (owyższy zais oznacza, że rawdoodobieństwo rocesu w chwili t zależy jedynie od stanu rocesu w chwili t- i nazywane jest rawdoodobieństwem rzejścia łańcucha ze stanu i do stanu j ). Estymowany model ma ostać: ( r t st ) = ( rt s( t ) ) + et, t ~ N ( 0, st ) gdzie rzełączeniu między dwoma stanami ( resztowa, co można rzedstawić jako: () t e () s t ) odlega średnia bądź wariancja st =, st, st =. (3) st = Prawdoodobieństwa rzejścia między dwoma stanami łańcucha mają ostać: P P ( st = / st = ) = ( st / st = ) = = i tworzą macierz rawdoodobieństw rzejścia: P =. (4) Estymacji w modelach odlegają arametry tj. średnia ( ), wariancja resztowa e ( ), arametr rzy zmiennej oóźnionej ( ) oraz wartości rawdoodobieństw rzejścia oszczególnych stanów (, ), tworzą one wektor estymowanych arametrów ( θ ) dla nastęujących modeli: [ e [ 0, e, e,,, z rzełączeniem w średniej MSM(): θ =,,,,, ], z rzełączeniem w wariancji MSV(): θ = ], z rzełączeniem w średniej i w wariancji jednocześnie MSMV(): θ = [,, e, e,,, ]. Estymacja modelu rzełącznikowego olega znalezieniu ocen arametrów wektora θ rzy maksymalizacji funkcji wiarygodności : T ( ) = ln f ( r t / ψ ) L θ (5) i= t rzy warunkach obocznych: =, 0 i i Por. Kim, Nelson (999), s. 60.

44 gdzie: f f t t = rt,st,st / st = s( t ) = ( r / ) f ( ψ ψ ), (6) t ( r,s,s / ) f ( r / s,s, ψ ) P( s,s ψ ) ψ, (7) t t t t = t t t t t t / t ψ t są obserwacjami na wektorach do momentu t-, [,, ] θ =. (8) i ei i Aby rozocząć iterację zakłada się wartości oczątkowe rawdoodobieństw: ( s = / ) π = P 0 ψ 0 = (9) P ( s = / ) π = 0 ψ 0 =. (0) Średni czas owrotu rocesu do i-tego stanu: m( i ) =. () ii Oczekiwany dalszy czas trwania rocesu w i-tym stanie: d( i ) = ii. () 3. Wyniki estymacji modelu MS dla szeregów WIG i PROKOM Do badania wykorzystane obserwacje tygodniowe oraz dzienne (000..7 005.03.) indeksu WIG oraz sółek Prokom, TPSA i Comarch. Modele rzełącznikowe MSM(), MSV(), MSMV() dla danych tygodniowych i dziennych orównano z modelem ARMA(,q), a nastęnie zbadano efekt ARCH w rocesie resztowym modelu rzełącznikowego, wykorzystując test Engle a. Ponad to wykorzystano kryterium informacyjne Akaike a oraz logarytm funkcji wiarygodności. Wyniki estymacji wybranych szeregów (WIG i Prokom) umieszczono w tabelach 4. Biorąc od uwagę kryteria orównawcze AIC i LL, wyniki uzyskane z modeli MSV() i MSMV() nieznacznie się od siebie różnią z rzewagą modelu MSV(), i są one lesze zarówno od modeli MSM() jak i ARMA(,q). Natomiast wsółczynnik okazała się wyższy dla modelu ARMA(,q) w większości szeregów. R Por. Engle (98).

Zastosowanie rzełącznikowych modeli Markowa w analizie stó zwrotu cen akcji 45 Szeregi tygodniowe (tabela ): Dla szeregów WIG i Prokom modele MSV() i MSMV() zidentyfikowały stany o niskiej i wysokiej aktywności, oba mają charakter zachowawczy, tj. rawdoodobieństwo ozostania rocesu w stanie jest wysokie, dla indeksu WIG w stanie: ( MSV ) 0.94, = ( MSMV ) = 0.90 i w stanie: ( MSV ) = 0.97, ( MSMV ) = 0. 9. Stan o niższym odchyleniu standardowym jest stanem niskiej aktywności, średni czas trwania systemu w tym stanie dla obu modeli wynosi odowiednio 5 i 0 tygodni, w stanie o wysokiej aktywności roces ozostaje średnio 35 i tygodni (odowiednio MSV i MSMV), system zmienia stan średnio co tydzień. Model MSMV() ozwala również na oszacowanie średnich w reżimach, niższa średnia odowiada stanowi o wyższej aktywności jednak obie średnie okazały się nieistotne. Prawdoodobieństwa ozostania rocesu dla sółki Prokom w stanie wynoszą: ( MSV ) =.00, ( MSMV ) =. 00, jest to stan o niskiej aktywności (dla MSMV o zerowej średniej) i długim okresem trwania systemu wynoszącym odowiednio dla obu modeli 469930 i 04340 tygodni, w stanie o wysokiej aktywności roces ozostaje średnio 60 tygodni (dla obu modeli). Efekt ARCH w szeregach tygodniowych modeli rzełącznikowych okazał się nieistotny. Tabela. Wyniki estymacji dla danych tygodniowych indeksu WIG Parametry MSM() MSV() MSMV() -0.008 (0.003) 0.000583* (0.0003) 0.000903* (0.000464) 0.007 (0.004) 0.00055 (0.000534) 0.0570* (0.0490) 0.0664 (0.066) 0.0695* (0.0306) e 0.0543 0.00779 0.007795 e 0.039 0.039 0.7539 0.46 0.9886 0.04 0.9887 0.03 0.403 0.7597 0.0059 0.994 0.0058 0.994 m() m().33.3.0.0.0.0 d() d() 4.06 4.7 87.54 69.9 88.5 7.8 AIC -6533.75-66.8-660.57 LL 37.93 33.95 33.36 R 0.00450 0.00460 TR 65.94 65. ARMA(,0) 0 β AIC LL R 0.000436 (0.000358) 0.074599* (0.0873) -6539.7 37.85 0.00556 Źródło: obliczenia własne w rogramie Ox 3, w nawiasach odano średnie błędy szacunku, (*) oznacza istotność. 3 www.doornik.com.

46 Tabela. Wyniki estymacji dla danych tygodniowych sółki Prokom Parametry MSM() MSV() MSMV() -0.007 (0.0353) -0.0005 (0.0096) 0.0000 (0.004) 0.0055 (0.038) -0.003 (0.07) 0.53* (0.073) 0.3600* (0.066395) 0.35* (0.0665) e 0.04835 0.03934 0.0394 e 0.067796 0.06778 0.7458 0,54.00 0.00.00 0.00 0.536 0,7464 0.0677 0.983 0.0678 0.983 m() m().34,34.00.0.00.0 d() d() 3.93 3,94 469930.00 59.64 04340.00 59.59 AIC -673.57-695.93-693.8 LL 343.08 354.6 354.8 R 0.05583 0.0566 TR 6.07 6.00 ARMA(,0) 0 β AIC LL R -0.00038 (0.003356) 0.3598* (0.065373) -677.8 34.59 0.0558 Źródło: obliczenia własne w rogramie Ox, w nawiasach odano średnie błędy szacunku, (*) oznacza istotność. Szeregi dzienne (tabela 3 4): W rzyadku obu szeregów wystęują dwa stany o niskiej i wysokiej aktywności, różnice między odchyleniami standardowymi są większe niż w szeregach tygodniowych, oba stany mają charakter zachowawczy, dla indeksu WIG w stanie: ( MSV ) 0.99, = ( MSMV ) = 0.99 i w stanie ( MSV ) = 0.99, ( MSMV ) = 0. 99, w stanie o niższej aktywności roces ozostaje średnio 88 dni (dla obu modeli), w stanie o wyższej aktywności około 70 dni co okrywa się z wynikiem uzyskanym dla szeregów tygodniowych. Dla sółki Prokom rawdoodobieństwa ozostawania w stanie wynoszą: ( MSV ) 0.98, = ( MSMV ) = 0.97, średnie czasy trwania rocesu w obu stanach są zbliżone, stan o niskiej około 37 39 dni, natomiast stan o wysokiej aktywności 46 47 dni. Efekt ARCH w modelach rzełącznikowych dla danych dziennych jest istotny. Wyniki szacunków uzyskane dla modeli z rzełączeniem w wariancji MSV() oraz z rzełączeniem jednocześnie w średniej i wariancji MSMV() są odobne. Fakt, że rzełączenie w średniej nie zwiększa efektywności modelu, a kryteria orównawcze są nieznacznie lesze w rzyadku MSV() wskazuje na wybór modelu z rzełączeniem w wariancji.

Zastosowanie rzełącznikowych modeli Markowa w analizie stó zwrotu cen akcji 47 Tabela 3. Wyniki estymacji dla danych dziennych indeksu WIG Parametry MSM() MSV() MSMV() -0.008 (0.003) 0.000583* (0.0003) 0.000903* (0.000464) 0.007 (0.004) 0.00055 (0.000534) 0.0570* (0.0490) 0.0664 (0.066) 0.0695* (0.0306) 0.0543 0.00779 0.007795 e e 0.039 0.039 0.7539 0,46 0.9886 0.04 0.9887 0.03 0.403 0,7597 0.0059 0.994 0.0058 0.994 m() m().33,3.0.0.0.0 d() d() 4.06 4,7 87.54 69.9 88.5 7.8 AIC -6533.75-66.8-660.57 LL 37.93 33.95 33.36 R 0.00450 0.00460 TR 65.94 65. ARMA(,0) 0 β AIC LL R 0.000436 (0.000358) 0.074599* (0.0873) -6539.7 37.85 0.00556 Źródło: obliczenia własne w rogramie Ox, w nawiasach odano średnie błędy szacunku, (*) oznacza istotność. Tabela 4. Wyniki estymacji dla danych dziennych sółki Prokom Parametry MSM() MSV() MSMV() -0.0039 (0.0077) 0.00008 (0.00066) -0.00* (0.006) 0.008 (0.0044) 0.0005 (0.0008) 0.085 (0.035) 0.079* (0.033) 0.073* (0.034) e 0.0504 0.074 0.03 e 0.038 0.074 0.7079 0.9 0.978 0.09 0.9743 0.057 0.533 0.7467 0.068 0.973 0.0 0.9789 m() m().4.34.0.03.03.0 d() d() 3.4 3.95 45.67 37.36 38.89 47.33 AIC -4878.75-5000.54-4999.3 LL 445.43 506.33 506.73 R 0.0054 0.00638 TR 98.35 97.90 ARMA(,0) 0 β AIC LL R -0.00068 (0.000768) 0.09498* (0.03405) -4884.9 445.46 0.00837 Źródło: obliczenia własne w rogramie Ox, w nawiasach odano średnie błędy szacunku, (*) oznacza istotność.

48 4. Podsumowanie Celem racy było rzedstawienie zastosowania modeli rzełącznikowych w analizie stó zwrotu cen akcji, zbadanie własności MS oraz orównanie ich z modelem ARMA(,q), jednym z najbardziej oularnych modeli oisujących zmienność finansowych szeregów czasowych. Wyniki badania wskazują na wybór modelu z rzełączeniem w wariancji, zarówno dla danych tygodniowych jak i dziennych. Wszystkie stany mają charakter zachowawczy co jest dowodem na wystęowanie w szeregach stó zwrotu ewnej struktury o różnych arametrach (różnej wariancji resztowej) i uzależnionej od zmian tego szeregu. Brak efektu ARCH dla danych tygodniowych świadczy o leszych własnościach modeli MS budowanych na danych o mniejszej częstotliwości, w których efekt ARCH jest słabszy. W modelach MS dla danych dziennych efekt ARCH ozostaje. Stwierdza się, że MS nie oisują zmienności wariancji warunkowej w szeregach dziennych, co może być wskazówką do dalszych badań idących w kierunku budowy rzełącznikowego modelu ARCH. Literatura Brzeszczyński, J., Kalm R. (00), Ekonometryczne modele rynków finansowych, WIG- Press, Warszawa. Engle, R.F. (98), Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica, vol. 50. Garcia, R., Pierre, P. (996), An Analysis of the Real Interest Rate under Regime Shift, Review of Economics and Statistics, vol. 78. Hamilton, J.D. (989), W New Aroach to the Economic Analysis of Nonstationary Time Series and the Busines Cycle, Econometrica,vol. 57. Kim, C. J., Nelson, C.R. (999), State-Sace Models with Regime Switching, The MIT Press, London. Koskinen, L., Pukkila, T. (995), An Alication of the Vector Autoregressive Model with a Markov Regime to Inflation Rates, źródła internetowe. Krolzig, H.M. (998), Econometric Modelling of Markov_Switching Vector Autoregressions using MSVAR for Ox, Institute for Economics and Statistics, Oxford. Linne, T. (00), A Markov Switching Model of Stock Returns: An Alication to the Emerging Markets in Central and Eastern Euroe, East Euroean Transition and EU Englargement A Quantitative Aroach, Berlin. Podgórska M. (00), Łańcuch Markowa w teorii i zastosowaniach, SGH, Warszawa. Stawicki, J. (004), Wykorzystanie łańcuchów Markowa w analizie rynków kaitałowych, Wydawnictwo UMK, Toruń. Yin, P. (003), Markov Switching in the Stock Market, Economics, vol. 43, www.missouri.edu/~econrm/ec43f0/yin.