RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: - można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach, - wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. Zbiór zdarzeń elementarnych Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą i nosi nazwę zbioru zdarzeń elementarnych, a jego elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi. * + Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką Ω={1,2,3,4,5,6}. Ω (albo - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru Ω ). Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki. Opisując to doświadczenie przyjmujemy: * + * + 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: * + 1
3. Dwukrotny rzut monetą. Każde zdarzenie elementarne to uporządkowana para: (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu): lub krócej 4. Dwukrotny rzut kostką do gry. Każde zdarzenie elementarne to uporządkowana para: (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie). W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tabeli:. Zdarzenia Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C,... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Np. gdy A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6}, A =3 B - wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4, B = {1,2,3,4}, A =4 C - wypadła szóstka, C = {6}. A =1 A - to liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru A) Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz, to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A. Podzbiorami są też: - zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 2
7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier), - cała przestrzeń przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ). Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli, to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A. A' to zbiór tych, które nie sprzyjają A. Zdarzeniem przeciwnym do jest i odwrotnie. Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zdarzenie losowe. Metody obliczania liczby wyników zdarzenia losowego Liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego można obliczać różnymi metodami, między innymi: za pomocą grafu (inaczej drzewka), przez wypisanie wszystkich wyników (możliwości), za pomocą tabeli, poprzez stosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania. I. Przedstawienie wyników zdarzenia losowego w postaci drzewa 1. Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając dwukrotnie monetą? Wynikiem rzutu monetą może być orzeł (o) lub reszka (r). Kolejność wyników poszczególnych rzutów monetą jest ważna; np. wyniki ( ) ( ) są różne mimo, iż orzeł w obu wypadł raz. Przedstawmy możliwe wyniki za pomocą drzewka: 3
Otrzymane wyniki możemy zapisać w postaci: *( ) ( ) ( ) ( )+ 3. Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając trzy razy monetą? Przedstawmy możliwe wyniki za pomocą drzewka: Otrzymane wyniki możemy zapisać w postaci: (o, o, o) (o, o, r) (o, r, o) (o, r, r) (r, o, o) ( r, o, r) (r, r, o) ( r, r, r) 4. Ile różnych wyników możemy otrzymać rzucając cztery razy monetą? Przedstawmy możliwe wyniki za pomocą drzewka: Otrzymane wyniki możemy zapisać w postaci: (o, o, o, o) (o, o, o, r) (o, o, r, o) (o, o, r, r) (o, r, o, o) (o, r, o, r) (o, r, r, o) (o, r, r, r) (r, o, o, o) (r, o, o, r) (r, o, r, o) (r, o, r, r) (r, r, o, o) (r, r, o, r) (r, r, r, o) (r, r, r, r) 4
4. Ile różnych wyników otrzymamy rzucając dwukrotnie kostką sześcienną do gry: Liczba wszystkich możliwych zdarzeń 4. Rzucamy kostką do gry i monetą. Przyjmujemy, że wynikiem doświadczenia jest para ( ) gdzie liczbą oczek na kostce, zaś orłem lub reszką. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? Liczba wszystkich możliwych zdarzeń (wyników) 5
II. Wypisanie wszystkich wyników zdarzenia losowego. 1. Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? Rozwiązanie Wypisujemy: *12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99} i liczymy: 30. 2. Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste? Wypisujemy: i liczymy: 20. 3.. Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 15 lub 20? Rozwiązanie Liczby naturalne dwucyfrowe podzielne przez 15: Liczby naturalne dwucyfrowe podzielne przez 20: Liczby naturalne dwucyfrowe podzielne przez 15 lub 20: Odp.: Liczb naturalnych podzielnych przez 15 lub 20 jest 9. 4. III. Przedstawienie wyników zdarzenia losowego w postaci tabeli 1. Ile różnych wyników otrzymamy rzucając dwukrotnie kostką sześcienną do gry: 6
Liczba wszystkich możliwych zdarzeń (wyników) 2. Wybieramy liczbę ze zbioru oraz liczbę ze zbioru. Ile jest takich par? 1 4 2 (2,1) (2,4) 3 (3,1) (3,4) 4 (4,1) (4,4) 5 (5,1) (5,4) Liczba wszystkich możliwych zdarzeń (wyników) IV. Obliczanie wyników zdarzenia poprzez zastosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania Reguła mnożenia 1.W pudełku jest 5 kul, ponumerowanych od 1 do 5. Z tego pudełka losujemy jedną kulę, zapisujemy jej numer i wrzucamy wylosowaną kulę z powrotem do pudełka. Następnie operację losowania powtarzamy, zapisując wynik drugiego losowania. Obliczymy, ile jest wszystkich możliwych wyników takiego doświadczenia. Pojedynczy wynik takiego doświadczenia zapisujemy, notując dwie liczby: najpierw wynik pierwszego losowania, a następnie wynik drugiego losowania. Wszystkie możliwe wyniki doświadczenia możemy przedstawić np. za pomocą tabeli. 7
Każdy wynik doświadczenia został w powyższej tabeli utożsamiony z przyporządkowaną mu parą liczb (w 1, w 2 ). Jeżeli np. w pierwszym losowaniu otrzymamy 3, a w drugim 5, to wynik tego losowania zapiszemy jako (3, 5). Z kolei zapisanie pary (4, 2) to informacja, że za pierwszym razem wylosowano 4, a za drugim 2. Ponieważ rozpatrywane doświadczenie losowe to wykonanie jedna po drugiej dwóch czynności, polegających za każdym razem na wyborze jednego elementu z pięcioelementowego zbioru {1,2,3,4,5}, to wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia jest 5 5 = 25. 2. Obliczymy ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4 (cyfry mogą się powtarzać). Wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4 jest 4 4= 16 3. Obliczymy ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4 (cyfry nie mogą się powtarzać). Wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1, 2, 3, 4 jest 4 3= 12 REGUŁA MNOŻENIA Rozumując podobnie jak w przedstawionych powyżej przykładach, stwierdzamy, że: liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei dwóch czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z m sposobów, druga na jeden z n sposobów, jest równa m n, liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei trzech czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z k sposobów, druga na jeden z m sposobów, a trzecia na jeden z n sposobów, jest równa k m n. Zasada, którą w podobnych przypadkach stosujemy, nazywa się regułą mnożenia. 8
4. Mając do dyspozycji: 2 pary butów, 5 par spodni i 7 bluzek na ile sposobów możemy się ubrać? Rozwiązanie. Ubierając się musimy podjąć 3 decyzje: I dotyczy butów - wybieramy je na k=2 sposoby, II dotyczy spodni - wybieramy je na m=5 sposobów, III dotyczy bluzki - wybieramy ją na n=7 sposobów. Jeśli nie dopasowujemy kolorów ubrań i decyzje podejmujemy niezależnie dla każdej części garderoby, to na podstawie reguły mnożenia możemy się ubrać na 2 5 7 = 70 sposobów. REGUŁA DODAWANIA Jeżeli mamy wybrać pewien element z dwóch zbiorów A i B przy czym zbiór A ma m elementów a zbiór B ma n elementów i zbiory te nie mają wspólnych elementów to wyboru tego dokonać możemy na dokładnie m + n sposobów. 1. Mamy do dyspozycji : 3 spódnice żółte i 2 czerwone oraz 4 bluzki żółte i 3 czerwone. Na ile sposobów możemy się ubrać, jeżeli chcemy, aby bluzka i spódnica były w tym samym kolorze? Rozwiązanie. Mamy do wyboru dwa kolory, w które możemy się ubrać: żółty - wtedy musimy wybrać jedną z trzech żółtych spódnic i jedną z czterech żółtych bluzek, zatem możemy ubrać się na żółto na 3 4 = 12 sposobów albo czerwony - wtedy musimy wybrać jedną z dwóch czerwonych spódnic i jedną z trzech czerwonych bluzek, zatem możemy ubrać się na czerwono na 2 3 = 6 sposobów. Ponieważ ubierając się na żółto nie możemy jednocześnie ubrać się na czerwono i odwrotnie. Zatem zgodnie z regułą dodawania mamy 12 + 6 = 18 sposobów ubrania się. PODSTWOWA ZASADA KOMBINATORYKI Jeżeli podejmujemy kilka niezależnych decyzji częściowych, które dotyczą jednego całościowego wyboru, to liczby decyzji mnożymy, jeśli natomiast dokonujemy wykluczających się wyborów, to liczby wyborów dodajemy. Przykład 1. Mamy 2 długopisy i 3 ołówki. Na ile sposobów można wybrać zestaw złożony z długopisu i ołówka? Stosujemy zasadę mnożenia: długopis można wybrać na 2 sposoby, ołówek na 3 sposoby. Zestaw można wybrać na sposobów. 9
Przykład 2. Ile różnych wyrazów jednoliterowych lub dwuliterowych można utworzyć z wyrazu kok? Stosujemy zasadę dodawania: Wyrazy jednoliterowe: k, o 2 wyrazy Wyrazy 2-literowe: ko, ok, kk 3 wyrazy Liczba wszystkich wyrazów: Wniosek: Jeżeli obliczając liczbę możliwych wyników doświadczenia losowego w toku rozumowania używamy spójnika: i - to w obliczeniach wykonujemy mnożenie lub - to w obliczeniach wykonujemy dodawanie. 10