ROZKŁAD NORMALNY 1. Opis teoretyczny do ćwiczenia zamieszczony jest na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE (Wstęp do teorii pomiarów). 2. Opis układu pomiarowego Ćwiczenie może być realizowane za pomocą trzech wariantów zestawów pomiarowych: P, R, K, S. Teoria do zjawiska i sposób opracowania są jednakowe. P) W skład zestawu pomiarowego wchodzą: 1. pochylnia do staczania kulek zaopatrzona w 40 przegródek (przedziałów), 2. pudełko z kulkami stalowymi (około 100). R) W skład zestawu pomiarowego wchodzą: 1. omomierz cyfrowy, 2a. rezystory fabryczne o rezystancjach w zakresie około 155-165 w ilości 208 sztuk zamontowane w obudowie albo 2b. rezystory fabryczne o rezystancjach w zakresie około 235-245 w ilości 100 sztuk zamontowane w obudowie. Każdy z rezystorów jest podłączony do osobnego gniazda pomiarowego.
K) W skład zestawu pomiarowego wchodzi sześć kostek do gier losowych. Można przyjąć, że w doświadczeniu występuje 46 656 zdarzeń elementarnych o jednakowych prawdopodobieństwach. W przypadku idealnym przy wykonaniu 46 656 rzutów oczekiwane ilości zdarzeń losowych i ich prawdopodobieństwa wynoszą: Suma oczek 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Ilość wyników Prawdopodo bieństwo % 1 6 21 56 126 252 456 756 1161 1666 2247 2856 3431 3906 4221 4332 0,002 0,012 0,045 0,120 0,270 0,540 0,977 1,620 2,488 3,570 4,816 6,121 7,353 8,371 9,047 9,284 S) W skład zestawu pomiarowego wchodzi brulion (około 80 kartek) i śruba mikrometryczna.
3. Przeprowadzenie pomiarów P) Pochylnia z kulkami 1. Zapoznać się z budową układu pomiarowego. 2. Nie dotykać kulek rękami, by nie doprowadzać do korozji ich powierzchni! 3. Wsypać kulki przez otwór w pudełku do urządzenia pojedynczo tak, aby się nie zderzały ze sobą. 4. Obliczyć i zapisać ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek. 5. Przesypać kulki z powrotem do pudełka. 6. Operacje 3-5 powtórzyć do 10 razy. Wyniki zapisywać tak, by można podzielić je na dwie części. R) Rezystory 1. Zapoznać się z budową układu pomiarowego. 2. Zapewnić dobry kontakt próbnika i gniazda podczas pomiaru. 3a. Wykonać pomiary rezystancji N rezystorów. Minimalna ilość pomiarów 104 (dwa rzędy rezystorów), a zalecana ilość to 208 rezystorów. Wyniki zapisywać tak, by można podzielić je na dwie części. 4a. Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości np. 0,5 (np. od 150 do 155,5 ), tak by ilość przedziałów wynosiła między 20 a 40. 3b. Wykonać pomiary rezystancji N rezystorów. Minimalna ilość pomiarów 100 (dwa rzędy rezystorów), a zalecana ilość to 200 rezystorów (po dwa pomiary tego samego rezystora). Wyniki zapisywać tak, by można sprawdzić czy powtórny pomiar daje podobne wyniki. 4b. Pogrupować wyniki w przedziały o szerokości 0,1 (np. od 230,0 do 230,1 ), tak by ilość przedziałów wynosiła między 20 a 40. K) Kostki do gry 1.Dokonać jednoczesnego rzutu sześcioma kośćmi zapisując ilość oczek z każdej kości. 2. Dokonać minimum 200 rzutów opisanych w punkcie 1. Wyniki zapisywać tak, by można podzielić je na dwie części. S) Brulion i śruba mikrometryczna 1.Wykonać pomiary grubości bruliony za pomocą śruby mikrometrycznej na jego obwodzie co kratkę (pół centymetra). 2. Dokonać minimum 100 pomiarów opisanych w punkcie 1. Jeżeli wystarczy czasu wykonać drugą setkę pomiarów. Wyniki zapisywać tak, by można podzielić je na dwie części.
4. Opracowanie wyników pomiarów Wyznaczenie liczby zdarzeń i ich prawdopodobieństwa 1. Pogrupować wyniki w przedziały: P) Zliczyć ile łącznie kulek N i znalazło się w poszczególnych przedziałach o kolejnych numerach i. z zakresu od 1 do 40. R) Zliczyć ile łącznie rezystorów N i, znalazło się w poszczególnych przedziałach o kolejnych numerach i. K) Zliczyć ile razy N i, wpadła suma oczek i z zakresu od 6 do 36. S) Jeżeli wszystkie wyniki są z zakresu np. od 7,00 mm do 7,30 mm za numer przedziału przyjąć wartość setnych częci milimetra. Jeżeli wszystkie wyniki są z zakresu np. od 6,90 mm do 7,20 mm dodać do każdego wyniku 0,10 mm i za numer przedziału przyjąć wartość setnych częci milimetra. 2. Obliczyć łączną liczbę zdarzeń losowych: 40 P) N N i, R) N X koniec S) N N i X koniec N i gdzie X koniec zgodnie z wynikami, zwykle od 20 do 40, K) gdzie X koniec zgodnie z wynikami, zwykle od 20 do 40. 36 N i i6 N, 3. Obliczyć prawdopodobieństwa P( i ) zdarzenia losowego polegającego na wylosowaniu elementu Ni z przedziału i, to jest P(i ). Wartości zestawić w tabeli, która może też posłużyc do obliczeń przy N metodzie Simpsona. Wykonanie Wykresu 1 - rozkładu dwumiennego i normalnego 4. Narysować schodkowy histogram rozkładu dwumiennego zależności prawdopodobieństwa P( i ) od numeru przedziału i wykorzystując wszystkie punkty pomiarowe. Szerokość przedziału przyjąć równą 1. 5. Stosując zależność Simpsona P S ( i ) 0,25P( i 1) 2 P( i ) P( i 1) wyznaczyć punkty pomocnicze i zestawić je w tabeli. 6. Nanieść na Wykresie 1 punkty pomocnicze. Narysować przypuszczalny kształt ciągłego rozkładu normalnego starając się, aby tyle samo punktów simpsonowskich znalazło się pod krzywą, co i nad krzywą. 7. Oczytać z u rozkładu ciągłego parametry - wartość średnia i odchylenie standardowe - zaznaczając ich położenie jako, σ. Wartości zaokrąglić do liczb całkowitych, gdyż mają sens ilości przedziałów. 8. Jeżeli odchylenia standardowe ze strony lewej i prawej nie są sobie równe to przyjąć do dalszych σlewy σprawy obliczeń σ. Wyciągnąć wnioski i ująć je w Podsumowaniu (*). 2 Sprawdzanie, czy wyniki podlegają rozkładowi Gaussa Obliczenia wykonać tylko dla parametrów rozkładu wszystkich N pomiarów. 9. Na podstawie Wykresu 1 wyznaczyć względną ilość zdarzeń losowych w przedziałach (zsumować prawdopodobieństwa P( i ) w odpowiednich przedziałach): σ (teoretyczna wartość 0,682 czyli 68,2%), 2 σ (teoretyczna wartość 0,954 czyli 95,4%), 3 σ (teoretyczna wartość 0,997 czyli 99,7%). Wyciągnąć stąd wnioski czy mierzone wartości polegają rozkładowi Gaussa i ująć je w Podsumowaniu (**).
Wyznaczenie wartości średniej i jej niepewności Obliczenia wykonać dla dla pierwszej i drugiej połowy pomiarów oraz dla całości pomiarów. 10. Wyznaczyć wartość średnią serii pomiarów P N i i. W wariancie P wyniki wyrazić jako numer przedziału, R jako rezystancję w, K jako ilość wyrzuconych oczek, S jako grubość brulionu w mm. 11. Wyznaczyć niepewność standardową (odchylenie standardowe) pojedynczego pomiaru N 2 i. Wyniki oznaczyć odpowiedni: u σ N 1 dla pierwszej połowy pomiarów 1.czesc, σ1.czesc, dla drugiej połowy pomiarów 2.czesc, σ 2.czesc, dla całości calosc, σ calosc. W przypadku liczby oczek na kostkach i liczby przedziałów na równi pochyłej uzyskane wartości zaokrąglić do liczb całkowitych. 1. czesc 12. Wyznaczyć niepewności względne u, u, u r calosc calosc r 1.czesc r 2. czesc. 2.czesc Analiza wpływu doboru próby na wynik 13. Porównać przedziały 1.czesc σ 1.czesc, 2.czesc σ 2.czesc, i σ calosc σ calosc w zakresie występowania ich części wspólnej oraz relacji między wartościami średnimi i odchyleniami standardowymi. Wyciągnąć wnioski i ująć je w Podsumowaniu (***). 5. Podsumowanie 1. Zgodnie z regułami prezentacji wyników zestawić wyznaczone wielkości ( u, U, u oraz dla stanowisk: P) i K) ich wartości teoretyczne odniesieni a R) i S) wartość ma min. 2. Przeanalizować uzyskane rezultaty: a) czy spełniona jest relacja 0, 1 u r ; b) czy spełniona jest relacja ma min U lub relacja odniesieni a U ;, ) c) układ punktów pomiarowych na ie pod kątem występowania i przyczyn błędów grubych, systematycznych i przypadkowych. 3. Synteza czyli wnioski z analizy rezultatów. a) Wyciągnąć wnioski pod kątem występowania błędów grubych, systematycznych i przypadkowych i ich przyczyn. Uwzględnić tu wnioski (*), (**), (***). b) Zaproponować działania zmierzające do podniesienia dokładności wykonywanych pomiarów. c) Wyjaśnić czy cele ćwiczenia zostały osiągnięte. r
6. Przykładowe pytania Zamieszczone są na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE. ************************* Zadania dodatkowe do wyznaczenia i analizy: 1. K) W przypadku wykonania ćwiczenia w oparciu o kości do gry policzyć ile razy wypadała wartość 1, 2, 3, 4, 5, 6 na wszystkich kostkach w N = 200 rzutach. Wyciągnąć stąd wnioski na temat jakości kości oraz jakości rzutów. 2. Sprawdzić, czy wyniki podlegają rozkładowi Gaussa także przypadku podziału pomiarów na część 1 oraz część 2. 3. Przeanalizować różnice wartości średniej i odchylenia standardowego wyznaczonych z u oraz wyznaczone analitycznie z tej samej ilości pomiarów N. 4. P) W przypadku wykonania ćwiczenia w oparciu o pochylnię z kulkami ustawić pochylnię na róznych kierunkach georaficznych, np., na północ i na południe).
Zespół w składzie... Cele ćwiczenia: sprawdzenie, czy mierzone wartości polegają rozkładowi Gaussa; wyznaczenie parametrów rozkładu Gaussa (wartość średnia i odchylenie standardowe); sprawdzenie, czy dobór próby do badania ma wpływ na wynik, 3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych: 3.2 Parametry stanowiska (wartości i niepewności): 3.3 Pomiary i uwagi do ich wykonania: Kartę Pomiarów proszę drukować dwustronnie
Numer przedziału Przedział [Ω] Przedział [Ω] A) Ilość kulek w przegrodzie, B) Ilość rezystorów w przedziale lub ich wartości, C) ilość oczek na kostkach Pierwsza część pomiarów Druga część pomiarów 1 151 151,5 230 230,5 2 151,5-152 230,5 231 3 152 152,5 231 231,5 4 152,5-153 231,5 232 5 153 153,5 232 232,5 6 153,5-154 232,5 233 7 154 154,5 233 233,5 8 154,5-155 233,5 234 9 155 155,5 234 234,5 10 155,5 156 234,5 235 11 156 156,5 235 235,5 12 156,5 157 235,5 236 13 157 157,5 236 236,5 14 157,5 158 236,5 237 15 158 158,5 237 237,5 16 158,5 159 237,5 238 17 159 159,5 238 238,5 18 159,5 160 238,5 239 19 160 160,5 239 239,5 20 160,5 161 239,5 240 21 161 161,5 240 240,5 22 161,5 162 240,5 241 23 162 162,5 241 241,5 24 162,5 163 241,5 242 25 163 163,5 242 242,5 26 163,5 164 242,5 243 27 164 164,5 243 243,5 28 164,5 165 243,5 244 29 165 165,5 244 244,5 30 165,5-166 244,5 245 31 166 166,5 245 245,5 32 166,5-167 245,5 246 33 167 167,5 246 240,6 34 167,5-168 240,6 247 35 168 168,5 247 247,5 36 168,5-169 247,5 248 37 169 169,5 248 248,5 38 169,5-170 248,5 249 39 249 249,5 40 249,5 250 3.4 Data i podpis osoby prowadzącej zajęcia