Mechanika i wytrzymałość materiałów - instrukcja do ćwiczenia laboratoryjnego: Wprowadzenie STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA Opracowała: mgr inż. Magdalena Bartkowiak-Jowsa Skręcanie pręta występuje w przypadku jego obciążenia parą sił P o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, działających w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta (w płaszczyźnie przekroju normalnego). Moment tej par sił M sprowadza się do momentu skręcającego o wartości M s = M. M s M s Rys. 1. Skręcanie pręta o przekroju kołowym: a) pary siły o równych wartościach i przeciwnych zwrotach, działające w dwóch płaszczyznach przekroju normalnego pręta, b) momenty skręcające. Analiza odkształceń i naprężeń pręta skręcanego W celu ułatwienia analizy zjawisk zachodzących przy skręcaniu pręta o przekroju kołowym i długości l 0 obciążonego momentem skręcającym M s, na jego powierzchni naszkicowano siatkę linii równoległych do osi oraz obwodowych, wyznaczających płaszczyzny przekrojów poprzecznych pręta (rys. 2). Rys.2. Pręt skręcany momentem M s, OB - promień pręta, AB tworząca pręta przed skręceniem, AC - tworząca pręta po skręceniu, y oś pręta. 1
Obserwując odkształcenia pręta można zauważyć, że: 1. Oś (y) pozostaje prosta. 2. Tworząca AB, początkowo równoległa do osi pręta, po deformacji przybiera kształt linii śrubowej AC. Kąt nachylenia linii śrubowych jest jednakowy na całej długości pręta i wynosi γ. 3. Przekroje końcowe pozostają płaskie, nie następuje ich deformacja, długość i średnica pręta nie ulegają zmianie (nie występuje zmiana objętości). 3. Linie obwodowe pozostają nadal płaskie i zachowują kształt kołowy. 4. Promień przekroju pręta pozostaje prosty i obraca się o kąt φ. Na podstawie powyższych obserwacji sformułowana została hipoteza płaskich przekrojów (hipoteza Bernouli'ego): kołowe przekroje poprzeczne pręta pozostają po skręceniu płaskie i kołowe, obracając się wokół osi pręta o niewielki kąt. Kąt γ, o jaki obrócą się tworzące warstw równoległych do osi pręta, jest miarą odkształceń postaciowych i nosi nazwę kąta odkształcenia postaciowego: = (1) Kąt φ, o jaki obrócą się w stosunku do siebie przekroje normalne pręta, nosi nazwę kąta skręcenia: = (2) Korzystając z powyższych zależności, które określają długość łuku BC: == można wyprowadzić zależność łączącą odkształcenia postaciowe z kątem skręcenia: = (3) Kąty odkształcenia postaciowego warstw równoległych do osi pręta są proporcjonalne do odległości od jego osi (rys. 3): = = (4) gdzie: γ max - kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych, γ - kąt odkształcenia postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości ρ od osi próbki, r - promień przekroju poprzecznego próbki, ρ - promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej próbki. 2
ρ ρ Rys. 3 Odkształcenia warstw współśrodkowych z osią pręta. W skręcanym pręcie występują jedynie odkształcenia postaciowe, stąd w jego przekrojach poprzecznych nie występują naprężenia normalne, a jedynie naprężenia styczne (ścinające). Można zatem zapisać prawo Hooke a dla ścinania w postaci: = (5) gdzie: G moduł sprężystości postaciowej materiału (moduł Kirchhoffa) τ naprężenia styczne w przekroju γ kąt odkształcenia postaciowego. W zewnętrznych włóknach pręta, oddalonych o r od jego osi, naprężenia styczne są największe, ich wartość zmniejsza się aż do wartości zerowej w osi pręta (rys. 4): = = (6) = = (7) Spełniona jest zatem zależność: = (8) Rys. 4 Rozkład naprężeń stycznych w przekroju normalnym skręcanego pręta. 3
Opis stanowiska pomiarowego Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach o przekroju zwartym, w postaci prętów pełnych lub wydrążonych (rur), które obciąża się na końcach momentami skręcającymi, działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Próby skręcania prowadzi się za pomocą urządzeń zwanych skręcarkami, lub aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia, którego schemat przedstawiono na rysunku 5. Badania rura ZWIERCIADŁA Rys. 5 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia. Zasada działania aparatu polega na pomiarze przemieszczeń S 1 i S 2 wiązek laserowych odbitych przez zwierciadła umieszczone na badanym pręcie (rurze), wywołanych przyłożonymi momentami skręcającym (rys. 6). Korzystając z zależności:, =2,=2, (9) gdzie: L - odległość między zwierciadłem odbijającym wiązkę a skalą, na której dokonywany jest odczyt przemieszczeń, możliwe jest wyznaczenie kąta skręcenia:, =, [] (10) = (11) 4
ZWIERCIADŁO Opracowanie wyników próby Rys. 6 Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia. Korzystając z zależności (4) oraz (11), można wyznaczyć kąt odkształcenia postaciowego: = (12) gdzie: l 0 długość pręta (tu odległość między zwierciadłami). Naprężenia maksymalne, występujące dla promienia r wyznacza się za pomocą zależności: = (13) gdzie: M s moment skręcający, I 0 biegunowy moment bezwładności przekroju pręta. Biegunowy, geometryczny moment bezwładności przekroju rury o średnicy wewnętrznej d i zewnętrznej D wynosi: = ( ) Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G. w zakresie proporcjonalności, jest zdefiniowany jako stosunek naprężenia stycznego τ do odpowiadającego mu odkształcenia postaciowego γ. Jest on równy co do wartości tangensowi kąta α nachylenia liniowego fragmentu charakterystyki τ = f(γ) (rys. 7). (14) 5
Rys. 7 Zależność τ = f(γ) dla pręta skręcanego w zakresie sprężystym. Cel i zakres ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się ze sposobem prowadzenia próby skręcania, przeprowadzenie próby na próbce w postaci rury oraz wyznaczenie modułu Kirchoffa materiału, z którego jest wykonana próbka. Sprawozdanie powinno zawierać: Cel i zakres ćwiczenia laboratoryjnego. Opis stanowiska badawczego. Opis przebiegu realizacji eksperymentu. Wykres τ = f (γ). Moduł Kirchoffa wyznaczony na podstawie charakterystyki τ = f (γ) oraz z zależności: =. Zestawienie wyników badań oraz ich analizę. Porównanie uzyskanych wartości z danymi literaturowymi. Wnioski. Literatura: Dyląg Z., Jakubowicz A., Orłoś Z.: Wytrzymałość materiałów. Wydawnictwa Naukowo- Techniczne, 2007. Instrukcja do laboratorium z Wytrzymałości Materiałów: Swobodne skręcanie prętów kołowych. Politechnika Lubelska. Michał i Tadeusz Niezgodziński, Wytrzymałość materiałów, Warszawa, Wydawnictwa Naukowe PWN, 2002. 6