SIECI NEURONOWE RADIALNE W ESTYMACJI ZMIENNYCH STANU NIELINIOWEGO UKŁADU DWUMASOWEGO

Prae Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektryznyh Nr 60 Politehniki Wroławskiej Nr 60 Studia i Materiały Nr 7 007 Marin KAMIŃSKI *, Teresa ORŁOWSKA-KOWALSKA * Siei neuronowe radialne, estymatory neuronowe, układ dwumasowy SIECI NEURONOWE RADIALNE W ESTYMACJI ZMIENNYCH STANU NIELINIOWEGO UKŁADU DWUMASOWEGO W artykule zaprezentowano zastosowanie siei neuronowyh typu RBF Radial Basis Funtion) jako estymatorów zmiennyh stanu układu napędowego z połązeniem sprężystym. Model napędu zastosowany w badaniah został rozszerzony o elementy nieliniowe uwzględniająe zjawisko taria oraz luzu na wale łąząym silnik z maszyną robozą. Przedstawione zostały poszzególne etapy projektowania neuronowyh estymatorów zmiennyh stanu badanego układu napędowego. Informaje uzyskiwane za pomoą siei neuronowyh wykorzystywane są w rozszerzonej strukturze sterowania napędem dwumasowym z połązeniem sprężystym. Przeprowadzone badania obejmują testowanie dokładnośi odtwarzania momentu skrętnego oraz prędkośi obiążenia napędu, w szerokim zakresie zmian prędkośi zadanej układu i momentu obiążenia. Wykonano badania przedstawiająe wpływ lizby neuronów w warstwie ukrytej oraz zastosowanej funkji radialnej na dokładność estymaji wybranyh zmiennyh stanu. Przedstawiono oddziaływanie zmian mehaniznej stałej zasowej obiążenia na jakość odtwarzania prezentowanyh estymatorów.. WSTĘP W iągu ostatnih lat obserwowany jest wzrost zastosowań siei neuronowyh w wielu dziedzinah nauki wynikająy przede wszystkim z bardzo dobryh zdolnośi do aproksymaji danyh oraz możliwośi skuteznego treningu siei do realizaji złożonyh zadań. Wzrost praktyznyh implementaji siei neuronowyh jest związany z intensywnym rozwojem energoelektroniki oraz tehnik mikroproesorowyh. Właśiwośi siei neuronowyh predysponują je do zastosowań w układah sterowania napędem elektryznym, m.in. do estymaji zmiennyh stanu. W praah [], [6] przedstawiono możliwośi estymaji mehaniznyh zmiennyh stanu napędu dwumasowego przy wykorzystaniu pereptronowyh siei * Politehnika Wroławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektryznyh, 50-37 Wroław, ul. Smoluhowskiego 9, marin.kaminski@pwr.wro.pl, teresa.orlowska-kowalska@pwr.wro.pl

neuronowyh MLP Multi Layer Pereptron). Zaletą stosowania estymatorów neuronowyh, w przeiwieństwie do układów algorytmiznyh, jest brak konieznośi posiadania informaji o modelu obiektu oraz jego parametrów. Uzyskiwane za pomoą siei neuronowyh przebiegi zmiennyh stanu wykorzystywane są w układah sterowania napędem dwumasowym. W układah tyh istotne jest uwzględnienie skońzonej sztywnośi wału łąząego, która w większośi przypadków może prowadzić do osylaji elektromagnetyznyh zmiennyh stanu, a tym samym utrudniać sterowanie układem napędowym lub w szzególnyh przypadkah prowadzić do utraty stabilnośi systemu. Preyzyjne sterowanie napędu elektryznego z połązeniem sprężystym zapewnione jest poprzez zastosowanie układów wykorzystująyh dodatkowe sprzężenia zwrotne od wybranyh zmiennyh stanu. W niniejszym artykule przedstawiono zastosowanie siei neuronowyh RBF, jako alternatywy dla siei MLP, w zadaniu estymaji prędkośi maszyny obiążająej oraz momentu skrętnego napędu dwumasowego.. MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ I UKŁADU STEROWANIA Obiektem badań jest układ napędowy złożony z dwóh mas, reprezentująyh silnik napędowy oraz maszynę obiążająą, połązonyh za pomoą elastyznego wału. Mała wartość momentu bezwładnośi połązenia sprężystego J w stosunku do mas silnika J oraz obiążenia J umożliwia pominięie tej wielkośi w rozważaniah. Przyjęta została zerowa wartość współzynnika tłumienia wewnętrznego d, w związku z tym zwiększony został wpływ sprężystośi wału łąząego na działanie badanej struktury. Po uwzględnieniu powyższyh założeń zęść mehanizna analizowanej struktury układu dwumasowego może być opisana następująym układem równań: dω t) T = me t) ms t) m f dt dω t) T = ms t) ml t) m dt dms t) T = Ν ω t) ω t)) dt t) f t) )-3) gdzie: ω - prędkość silnika napędowego, ω - prędkość obiążenia, m s - moment skrętny, m L - moment obiążenia, m f - moment taria silnika napędowego, m f - moment taria maszyny obiążająej, N - funkja opisująa zjawisko luzu, T - mehanizna stała zasowa silnika napędowego, T - mehanizna stała zasowa

nizna stała zasowa silnika napędowego, T - mehanizna stała zasowa maszyny obiążająej, T - stała zasowa elementu sprężystego. W modelu uwzględniono wpływ zjawiska luzu związanego ze sprzęgłami oraz przekładniami stosowanymi w układah napędowyh. Przyjęty został powszehnie stosowany model matematyzny luzu, wyrażony zależnośią: x ε dla x > ε N x) = 0 dla x < ε 4) x + ε dla x < ε x = ω ω 5) przy zym ε oznaza szerokość strefy martwej. Ponadto układ równań opisująy rozważany system zawiera elementy nieliniowe związane z momentem taria silników, które można wyrazić wzorem: ω m f = + κ artan γω 6) δ + π ω 4λ d ) 3 gdzie: δ, λ, κ, γ - są współzynnikami kształtująymi harakterystykę momentu taria. Shemat układu dwumasowego z połązeniem elastyznym odpowiadająy równaniom )-4) został przedstawiony na poniższym rysunku. Rys.. Shemat blokowy układu dwumasowego Fig.. The blok sheme of the two-mass system

Układ sterowania dla opisywanego obiektu stanowi zmodyfikowana kaskadowa struktura regulaji prędkośi silnika prądu stałego, w której można wyodrębnić dwa obwody: wewnętrzny obwód regulaji momentu oraz zewnętrzną pętlę sterowania prędkośią. Dokonują przekształeń obwodu regulaji prądu otrzymuje się transmitanję zastępzą, według której ały obwód elektromagnetyzny może być zastąpiony złonem ineryjnym pierwszego rzędu o małej stałej zasowej. Ponadto klasyzna struktura regulaji jest rozszerzana o dodatkowe sprzężenia zwrotne pohodząe od momentu skrętnego oraz różniy prędkośi obu silników [4] rys.). Rys.. Shemat blokowy struktury sterowania układu napędowego z połązeniem sprężystym Fig.. The blok sheme of the ontrol struture of the two-mass drive system W obwodzie regulaji prędkośi zastosowano regulator PI, którego nastawy dobrane zostały według następująyh zależnośi [4]: = ξ T 7) 3 K P 4 rω 0 TT 4 K I ω 0 TT T = 8) natomiast wartośi wzmonień w poszzególnyh pętlah sprzężeń zwrotnyh wyznazono za pomoą wzorów [4]: k T ) k ω 9) = 0 T 4 k ) + k ) ξ 0) = TT r gdzie: ω 0 - pulsaja rezonansowa układu, ξ - współzynnik tłumienia. Wprowadzenie w układzie dodatkowyh sprzężeń wymaga informaji o momenie skrętnym m s, prędkośi silnika ω i obiążenia ω. Pomiar prędkośi ω przeważnie

jest uzyskiwany za pomoą wyspejalizowanyh urządzeń np. enkoderów, jednak przebiegi momentu skrętnego lub prędkośi ω zęsto są trudnodostępne lub ih obserwaja jest związana ze znaznym zwiększeniem kosztów realizaji układu. W takih przypadkah zastosowanie znajdują spejalne układy estymująe, np. estymatory neuronowe. 3. SIECI NEURONOWE TYPU RBF Siei neuronowe radialne Radial Basis Funtion) stanowią spejalną grupę siei neuronowyh o harakterystyznej topologii oraz budowie poszzególnyh neuronów w warstwie ukrytej. Siei RBF mają strukturę typu feedforward, zatem istnieje w nih jeden ustalony kierunek przepływu danyh pomiędzy poszzególnymi warstwami siei neuronowej. Opisywana sieć składa się z trzeh warstw: pierwszą z nih jest warstwa wejśiowa, w której formowany jest wektor wejśiowy neuronów kolejnej warstwy; następną warstwa ukryta, którą tworzą neurony o radialnej funkji aktywaji; warstwa wyjśiowa składa się z neuronów liniowyh, któryh lizba jest uzależniona od lizby parametrów wyjśiowyh siei rys. 3). Rys. 3. Struktura radialnej siei neuronowej Fig. 3. Struture of the Radial Basis Funtion Jako funkja aktywaji neuronów w warstwie ukrytej zęsto stosowana jest funkja Gaussa, opisana poniższym wzorem: υ j h j = h υ j ) = exp ) ) σ j

gdzie: σ j jest parametrem określająym szerokość funkji radialnej, ν j odpowiada odległośi pomiędzy wektorem wejśiowym oraz entrum neuronu. Najzęśiej odległość ta jest wyrażona poprzez normę Euklidesową, wyznazaną następująo: n υ j X) = X C j = xi ji ), i =,,3... n ) i= gdzie: X=[x,x,x 3...x n ] T jest wektorem wejśiowym, C j wektor odpowiadająy entrum danego neuronu. Analizują powyższe równania można zauważyć, że wartość wyjśiowa danego neuronu radialnego wzrasta ze zbliżaniem się kolejnyh próbek wejśiowyh do entrum funkji radialnej. Wartośi wyjśiowe siei oblizane są jako suma sygnałów wyjśiowyh kolejnyh neuronów radialnyh przemnożonyh przez odpowiednie współzynniki wagowe: y k = n j= w jk h j + b k 3) gdzie y k jest wyjśiem k-tego neuronu wyjśiowego, w jk jest współzynnikiem wagowym pomiędzy wyjśiem j-tego neuronu warstwy ukrytej a k-tym neuronem wyjśiowym, b k wartość współzynnika progowego k-tego neuronu wyjśiowego bias) [7]. Wielowarstwowe siei neuronowe, określane w literaturze również jako pereptrony wielowarstwowe MLP, realizują funkję aproksymaji globalnej. O odwzorowaniu każdego elementu wektora wejśiowego deyduje w tym przypadku jednoześnie wiele neuronów. Natomiast w przypadku zastosowania siei RBF za realizaję odwzorowania każdego klastra przestrzeni odpowiada poszzególny neuron warstwy ukrytej siei. Powyższe podejśie odpowiada aproksymaji lokalnej. Odwzorowanie ałego zbioru danyh uzyskuje się poprzez operaję superpozyji dla sygnałów wyjśiowyh poszzególnyh neuronów ukrytyh. Jest ona realizowana za pomoą liniowego neuronu wyjśiowego. Proes uzenia radialnej siei neuronowej znaznie różni się od treningu siei MLP. Jest to związane z odmienną budową obu typów siei neuronowyh. Proedura trenowania siei RBF składa się z trzeh etapów obejmująyh kolejno wyznazanie: entrów neuronów ukrytyh, parametrów odpowiadająyh szerokośi funkji radialnyh poszzególnyh neuronów ukrytyh, współzynników wagowyh pomiędzy warstwą ukrytą a wyjśiową. W elu rozmieszzenia entrów funkji radialnyh zwykle stosowana jest metoda K-średnih. W algorytmie tym przestrzeń jest dzielona na obszary, do któryh następnie klasyfikowane są poszzególne grupy danyh. Każdy obszar przestrzeni jest harakteryzowany przez punkt entralny, wyznazany jako średnia wartość wszystkih elementów rozpatrywanego obszaru. Centrum danego obszaru odpowiada entrum kolejnej funkji radialnej. W związku z

obszaru odpowiada entrum kolejnej funkji radialnej. W związku z tym lizba rozpatrywanyh obszarów jest równa lizbie neuronów w warstwie ukrytej. Kolejnym istotnym etapem uzenia siei RBF jest wyznazenie parametrów σ określająyh kształt funkji radialnyh neuronów ukrytyh. Jeśli wartość parametru σ jest zmniejszana, to zwiększa się szerokość funkji radialnej rys. 4). W takim przypadku spada dokładność przetwarzania danyh przez sieć. Wraz ze wzrostem współzynnika σ funkja obejmuje mniejszy obszar, zwiększa się dokładność generalizaji danyh, wrażliwość na zmiany sygnałów wejśiowyh. Jednak konsekwenją zwiększania wartośi σ może być w praktyznyh rozwiązaniah generowanie zakłóeń przez sieć, przenoszenie na wyjśie szumów pomiarowyh. Wartość parametru σ może być dobierana empiryznie, określana na podstawie odległośi euklidesowej pomiędzy entrum rozpatrywanej oraz sąsiedniej funkji lub kilku sąsiednih funkji. Rys. 4. Wpływ parametru σ na kształt funkji Gaussa ) Fig. 4. Influene of the parameter σ on the shape of the Gaussian funtion ) Następnie wyznazane są wartośi wag pomiędzy warstwą ukrytą a wyjśiową. Przekształenia realizowane w końowym etapie przetwarzania danyh w siei można opisać równaniem: G w = d 4) gdzie d=[d, d,d 3...d n ] T wektor wartośi zadanyh, w=[w 0,w,w...w n ] T - wektor współzynników wagowyh, natomiast G jest maierzą Greena o postai 5):

= n p p p n n x x x x x x x x x ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ L L L L L L L L G. 5) Z równania 4) wynika zależność pozwalająa na uzyskanie wektora wartośi współzynników wagowyh: d G w * = 6) przy zym: T T G G G G * ) =, 7) o oznaza pseudoinwersję maierzy Greena związaną z tym, że jest ona prostokątna [8]. Speyfizna budowa oraz sposób przetwarzania sygnałów umożliwia odtwarzanie za pomoą siei RBF dowolnej nieliniowej funkji za pomoą jednej warstwy ukrytej. Jednak jest to związane z konieznośią zastosowania większej lizby neuronów niż w przypadku siei MLP. 4. PROJEKTOWANIE ESTYMATORÓW NEURONOWYCH TYPU RBF Pozątkowym etapem projektowania estymatorów opartyh o siei neuronowe jest przygotowanie wektorów uząyh oraz testująyh. Istotne jest, aby uwzględniały one jak największą lizbę możliwyh stanów pray napędu. W tym elu stworzone zostały rozbudowane wektory: wymuszanej prędkośi sterowanej struktury rys. 5a) oraz zadanego momentu obiążenia rys. 5b). a) b) ) d) e) f)

Rys. 5. Przebiegi wykorzystane w proesie uzenia siei: prędkość zadana a), zadany moment obiążenia b), prędkość silnika ), moment elektromagnetyzny d), prędkość maszyny obiążająej e), moment skrętny f) Fig. 5. Transients used in the training proess: referene speed a), referene load torque b), motor speed ), eletromagneti torque d), speed of the load mahine e), torsional torque f) W wyniku pobudzenia układu tymi sygnałami otrzymano przebiegi: prędkośi silnika, momentu elektromagnetyznego, prędkośi obiążenia oraz momentu skrętnego rys. 5-f). Następnie zmienione zostały trajektorie wektorów prędkośi zadanej oraz momentu obiążenia rys. 6a,6b). Na podstawie uzyskanyh w ten sposób przebiegów zmiennyh stanu rys. 6-f) został utworzony wektor, różniąy się od próbek uząyh, który był wykorzystywany w proesie testowania siei neuronowyh. a) b) ) d) e) f) Rys. 6. Przebiegi wykorzystane w proesie testowania siei: prędkość zadana a), zadany moment obiążenia b), prędkość silnika ), moment elektromagnetyzny d), prędkość maszyny obiążająej e), moment skrętny f) Fig. 6. Transients used in the testing proess: referene speed a), referene load torque b), motor speed

), eletromagneti torque d), speed of the load mahine e), torsional torque f) Wielkośiami wejśiowymi siei neuronowyh są: moment elektromagnetyzny m e oraz prędkość silnika napędowego ω, natomiast na wyjśie podawana jest wielkość estymowana przez poszzególne estymatory: moment skrętny m s oraz prędkość maszyny obiążająej ω. Dodatkowo, w elu zwiększenia dokładnośi odtwarzania wybranyh zmiennyh wektor wejśiowy rozszerzono o kolejne składowe zawierająe przebiegi momentu elektromagnetyznego i prędkośi ω opóźnione o jedną oraz dwie próbki. Postać wektora wejśiowego rozpatrywanyh estymatorów neuronowyh jest opisana następująą zależnośią: W = ω k), ω k ), ω k ), m k), m k ), m k )]. 8) [ e e e W elu zwiększenia dokładnośi estymaji prędkośi obiążenia ω, wektor wejśiowy został rozbudowany o składowe zawierająe pohodne prędkośi silnika oraz momentu elektromagnetyznego opóźnione o jedną oraz dwie próbki. Zmodyfikowany wektor wejśiowy estymatora prędkośi obiążenia przedstawiony jest za pomoą równania: W = [ ω k), ω k ), ω k ), me k), me k ), me k ),. 9)...& ω k), & ω k ), & ω k ), m& k), m& k ), m& k )] Struktury układów kształtowania wektorów wejśiowyh obu estymatorów zostały przedstawione na poniższym shemaie. a) e e e b)

Rys. 7. Shematy układów przygotowania wektorów wejśiowyh neuronowyh estymatorów momentu skrętnego a) oraz prędkośi obiążenia b) Fig. 7. Shemes of the input signal preonditioning for the neural estimators of the torsional torque a) and load mahine speed b) W neuronah warstwy ukrytej stosowane były następująe funkje radialne: symetryzna funkja Gaussa, funkja TPS Thin Plate Spline) oraz jej zmodyfikowana postać X4logx). Przebiegi tyh funkji przedstawiono na rysunku 8. Rys. 8. Charakterystyki stosowanyh funkji radialnyh Fig. 8. Charateristis of the applied radial basis funtions W przypadku implementaji estymatorów neuronowyh w zamkniętej strukturze sterowania stosowane były dodatkowe filtry wejśiowe o transmitanji:

G s) = 0) 0,00s + w elu zmniejszenia wpływu szumów pomiarowyh oraz zakłóeń wynikająyh z dużej dynamiki sygnałów wejśiowyh. Podobnie jak w przypadku klasyznyh wielowarstwowyh siei neuronowyh MLP z neuronami sigmoidalnymi w warstwah ukrytyh, na jakość estymaji ma wpływ lizba zastosowanyh neuronów ukrytyh. Jeżeli sieć jest zbyt rozbudowana, nie pozwala na uzyskanie zadowalająego poziomu działania estymatora. Natomiast w przypadku kiedy struktura jest za mała, sieć nie jest w stanie nauzyć się realizaji danego zadania [6]. W prezentowanyh estymatorah lizba neuronów w warstwie ukrytej została dobrana doświadzalnie. W dalszej zęśi pray zaprezentowano wyniki badań przedstawiająe wpływ lizby neuronów ukrytyh na dokładność estymaji momentu skrętnego oraz prędkośi maszyny obiążająej. 5. WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH Badaniom symulayjnym poddano układ dwumasowy z dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi od różniy prędkośi obu maszyn oraz momentu skrętnego. Przebiegi zmiennyh stanu wymaganyh w tej strukturze sterowania odtwarzane były za pomoą estymatorów neuronowyh z sieiami RBF. Symulaje zostały przeprowadzone w środowisku Matlab Simulink, radialne siei neuronowe generowane i trenowane były za pomoą pakietu Netlab. Przyjęte zostały następująe wartośi stałyh zasowyh napędu: T = T = 03ms oraz T =,6ms. Wprowadzone zostały ogranizenia momentu elektromagnetyznego silnika napędzająego mehanizm. Modelowany moment taria został uproszzony uwzględniono w nim moment taria wiskotyznego oraz taria Coulomba. Założono również, że momenty taria obu maszyn napędowej i obiążająej) są identyzne m f = m f ). W przeprowadzonyh badaniah przyjęto wartość pulsaji rezonansowej układu ω 0 = 40s - oraz współzynnika tłumienia ξ = 0,7. Pozątkowy etap badań miał na elu wyznazenie wpływu lizby neuronów siei w warstwie ukrytej na dokładność estymaji obu zmiennyh stanu rys. 9). Dla poszzególnyh estymatorów wyznazony został błąd estymaji zgodnie ze wzorem: Err = n i= n x x i i 00% ) a) b)

Rys. 9. Diagramy przedstawiająe wpływ lizby neuronów ukrytyh na błąd estymaji prędkośi ω a) oraz momentu skrętnego m s b) Fig. 9. Diagrams illustrating the influene of the hidden neurons number to the load mahine speed ω a) and the torsional torque b) estimation errors Najlepsze rezultaty uzyskano dla siei o 40 neuronah w warstwie ukrytej w przypadku estymatora prędkośi ω oraz przy 70 neuronah dla siei estymująej moment skrętny m. Istotna jest jednak przede wszystkim tendenja zmian dokładnośi odtwarzania w wyniku zmian topologii siei neuronowej. Wzrost lizby neuronów ukrytyh powodował zmniejszanie błędu estymaji poszzególnyh zmiennyh. Jednak po przekrozeniu pewnego progu wartość błędu odtwarzania wzrastała. W związku z tym można stwierdzić, że zbyt rozbudowana sieć nie pozwala na uzyskanie zadowalająego działania estymatora. Natomiast w przypadku kiedy struktura jest zbyt mała, sieć nie jest w stanie nauzyć się realizaji danego zadania. Następnie zbadany został wpływ rodzaju zastosowanej radialnej funkji aktywaji neuronów ukrytyh na dokładność estymaji prędkośi obiążenia ω oraz momentu skrętnego m s. Funkje radialne stanowią spejalną grupę funkji, któryh harakterystyzną ehą jest zmiana ih wartośi w zależnośi od odległośi od punktu entralnego. Badania zostały wykonane dla tyh samyh warunków pray układu, parametrów uzenia siei oraz lizby neuronów ukrytyh. Na rys. 0 przedstawiono przebiegi rzezywistyh i estymowanyh zmiennyh stanu oraz odpowiednih błędów estymaji, w przypadku, kiedy estymatory praowały poza strukturą sterowania, podzas pray nawrotnej napędu i zmian obiążenia. a) b) )

d) e) f) Rys. 0. Przebiegi rzezywiste, estymowane oraz różnia wartośi hwilowyh prędkośi ω a,b,) oraz momentu skrętnego m s d,e,f) z zastosowaniem funkji Gaussa a,d), funkji TPS b,e) oraz X4logx,f) Fig. 0. Transients of the real and estimated variables and their differenes for the speed ω a,b,) and the torsional torque m s d,e,f) with the appliation of the Gaussian funtion a,d), funtion TPS b,e) and X4logx,f) Natomiast na rys. zilustrowano błędy estymaji poszzególnyh zmiennyh stanu w zależnośi od rodzaju zastosowanej funkji radialnej, wyznazone według ). Największą dokładność estymaji uzyskano po zastosowaniu funkji Gaussa w neuronah warstwy ukrytej; znaznie gorsze rezultaty otrzymano po zastosowaniu pozostałyh funkji aktywaji neuronów ukrytyh szzególnie w przypadku estymatora momentu skrętnego). Błędy odtwarzania za pomoą estymatorów wykorzystująyh funkję Gaussa wynoszą odpowiednio: w przypadku prędkośi obiążenia.7%, natomiast w przypadku estymaji momentu skrętnego 0.56%. Powyższe rezultaty estymaji uzyskano dla wektora wejśiowego estymatorów W opisanego wzorem 8). a) b)

Rys.. Diagramy przedstawiająe błąd estymaji prędkośi ω a) oraz momentu skrętnego m s b) w przypadku estymatorów RBF z zastosowaniem funkji Gaussa ), funkji TPS ) oraz X4logx 3) Fig.. Diagrams illustrating the load speed ω a) and the torsional torque m s b)estimation errors for the RBF estimators using Gaussian ), TPS ) and X4logx 3) funtions W elu poprawienia dokładnośi estymaji prędkośi ω zastosowano wektor wejśiowy W przedstawiony za pomoą równania 9), zawierająy większą ilość informaji o zmianah sygnałów wejśiowyh. a) b) Rys.. Przebiegi rzezywiste, estymowane oraz różnia prędkośi obiążenia a) i momentu skrętnego b) w przypadku wektora wejśiowego W siei RBF, w otwartej strukturze sterowania Fig.. Transients of the real and estimated load speeds and their differenes for the load speed a) and the torsional torque b) in the ase of the vetor W for the RBF network, in the open-loop struture Przykładowe wyniki odtwarzania prędkośi obiążenia uzyskane za pomoą takiego estymatora, praująego poza pętlą sprzężenia zwrotnego, przedstawiono na rys.. Błąd estymaji prędkośi obiążenia po zastosowaniu zmodyfikowanego wektora wejśiowego siei został zredukowany do 0.68%, ale dla momentu skrętnego wzrósł do.63%.

Następnie, zaprojektowane estymatory poddano testom w zamkniętej strukturze sterowania przedstawionej na rys., a wyniki estymaji pokazano na rysunku 3. a) b) ) d) Rys. 3. Przebiegi rzezywiste, estymowane oraz różnia wartośi hwilowyh prędkośi a,) i momentu skrętnego b,d) w zamkniętej strukturze sterowania, w przypadku estymatorów o sygnałah wejśiowyh W a,b) i W,d) siei RBF Fig. 3. Transients of the real and estimated load speeds and their differenes for the load speed a,) and the torsional torque b,d) in the ase of the input vetor W a,b) and W,d) of RBF network Jak wynika z analizy tyh przebiegów, po zastosowaniu rozszerzonego wektora sygnałów wejśiowyh estymatora W, uzyskano znaznie lepsze odtwarzanie prędkośi obiążenia rys. 3 a,). W tym przypadku jednak prędkość silnika obiążająego rys. 3) jest estymowana z większą dokładnośią niż moment skrętny rys. 3d). Niedokładność odtwarzania estymatorów włązonyh do zamkniętej struktury sterowania wynosi: dla estymatora prędkośi obiążenia wynosi 0.84%, natomiast w przypadku estymaji momentu skrętnego.5%. Wobe tego wydaje się elowe zastosowanie prostszej postai wektora wejśiowego W w przypadku estymatora momentu skrętnego rys. 3b,d).

W Tabeli przedstawiono zestawienie błędów w strukturze otwartej i zamkniętej dla obu wektorów wejśiowyh siei RBF zastosowanej do odtwarzania prędkośi obiążenia i momentu skrętnego. Tabela. Wartośi błędów odtwarzania estymatorów neuronowyh w otwartej i zamkniętej strukturze sterowania układu dwumasowego Table. Estimation terror of the neural estimators in the open and losed-loop ontrol struture of the two-mass system Wektor wejśiowy Odtwarzanie prędkośi obiążenia RBF{N-40-} Układ otwarty Układ zamknięty Odtwarzanie momentu Skrętnego RBF{N-70-} Układ otwarty Układ zamknięty W N inp = 6).7.54 0.56.3 W N inp = ) 0.68 0.84.63.5 a) b) ) d) e) f) Rys. 4. Przebiegi rzezywiste, estymowane oraz różnia wartośi hwilowyh prędkośi ω a,b,) oraz momentu skrętnego m s d,e,f) w zamkniętej strukturze sterowania dla różnyh wartośi stałej zasowej maszyny obiążająej: T = T N a,d), T = T N b,e), T = 0.5T N,f) Fig. 4. Transients of the real and estimated variables and their differenes for the speed ω a,b,) and the torsional torque m s d,e,f) in the losed loop ontrol struture for different load mahine time onstant: T = T N a,d), T = T N b,e), T = 0.5T N,f) W elu wyznazenia wpływu wartośi momentu bezwładnośi maszyny robozej na dokładność estymaji oraz stabilność działania układu, w prezentowanej strukturze

sterowania z estymatorami neuronowymi wprowadzano różne wartośi mehaniznej stałej zasowej T obiążenia i przetestowano odporność estymatorów na zmiany tej wielkośi. Wyniki tyh badań przedstawiono na rys. 4. Na ih podstawie można stwierdzić, że dla wartośi mehaniznej stałej zasowej T z przedziału 0.5 )T N błędy estymaji nie różnią się od siebie o więej niż %. Takie wahania błędu estymatorów nie zakłóają działania napędu i układ prauje stabilnie. W związku z tym można stwierdzić, że zaprojektowane estymatory są odporne na zmiany momentu bezwładnośi maszyny obiążająej. Warto podkreślić, że zmiany stałej zasowej T nie były uwzględnione w próbkah wykorzystywanyh w proesie uzenia siei neuronowej. 6. PODSUMOWANIE Siei neuronowe radialne umożliwiają odtwarzanie wybranyh przebiegów układu napędowego z bardzo dużą dokładnośią. Projektowanie estymatorów neuronowyh, w przeiwieństwie do układów algorytmiznyh, nie wymaga posiadania informaji o parametrah obiektu oraz znajomośi jego modelu matematyznego. Zastosowanie radialnyh siei neuronowyh znaznie upraszza dobór topologii estymatorów, mająy istotny wpływ na dokładność odtwarzania zmiennyh stanu układu napędowego z połązeniem sprężystym. W przypadku siei RBF nie pojawia się problem podejmowania deyzji o lizbie warstw ukrytyh, ponadto występuje mniejsza zułość na zmiany lizby neuronów ukrytyh niż w sieiah MLP. Uzyskano znaznie większą dokładność estymaji prędkośi obiążenia w wyniku rozszerzenia wektora sygnałów wejśiowyh siei o dodatkowe składowe związane z pohodną momentu elektromagnetyznego oraz prędkośi silnika. Zaprezentowane estymatory zaimplementowane w zamkniętej strukturze sterowania są odporne na zmiany momentu bezwładnośi maszyny obiążająej. LITERATURA [] Gierlotka K., Układy sterowania napędów elektryznyh z elementami sprężystymi, Zeszyty Naukowe Politehniki Śląskiej, Nr 8, Gliwie,99. [] Orlowska-Kowalska T., Kaminski M., Szabat K., Optimization of the Neural State Variable Estimators for the Two-mass Drive Systems, Pro. of 6th EDPE Confer., Slovak Rep., 007 on CD). [3] Orlowska-Kowalska T., Szabat K., Neural-Network Appliation for Mehanial Variables Estimation of a Two-Mass Drive System, IEEE Trans. on Ind. Eletr., vol. 54, no.3, 007, pp. 35-364. [4] Orlowska-Kowalska T., Szabat K., Vibration Suppression in Two-Mass Drive System using PI Speed Controller and Additional Feedbaks Comparative Study, Trans. on Industrial Eletronis, vol. 54, no., 007, pp. 93-06.

[5] Szabat K., Orlowska-Kowalska T., Analysis of the algorithmi methods of state variables estimation for the drive system with elasti joint, in: Monograph "Computer Appliations in Eletrial Engineering", Part II, Poznan University of Tehnol., ALWERS Press, Poznan, 006, pp. 99-6. [6] Orłowska-Kowalska T., Kamiński M., Zastosowanie metody OBD do optymalizaji struktury neuronowyh estymatorów zmiennyh stanu napędu dwumasowego, Mater. VIII Kraj. Konfer. Sterowanie w Energoelektronie i Napędzie Elektryznym SENE 007, Łódź, 007 [7] Zhang A., Zhang L., RBF neural networks for the predition of building interferene effets, Elsevier, Computers&Strutures, vol. 8, 004, pp. 333-339. [8] Osowski S., Siei neuronowe do przetwarzania informaji, Ofiyna Wydawniza Politehniki Warszawskiej, Warszawa 006. RADIAL BASIS FUNCTION NEURAL NETWORK FOR STATE VARIABLE ESTIMATION OF THE NONLINEAR TWO-MASS DRIVE In the paper appliation of the radial basis funtion neural networks to mehanial state variable estimation of the drive system with elasti oupling is presented. The mathematial model of the drive system was expanded by using nonlinear elements related to the baklash and the frition phenomena. The main stages of the design methodology of neural estimators of the torsional torque and the load mahine speed were presented. The signals estimated by neural networks were used in the ontrol struture of the drive system with elasti joint. The simulation results show good preision of both presented neural estimators for wide range of hanges of the referene speed and load torque. Furthermore, the simulation tests show influene of numbers of hidden neurons and type of ativation funtions on the preision of estimation. The sueeding results show robustness of neural estimators against hanges of mehanial time onstant of the load mahine. Praa naukowa finansowana ze środków na naukę w latah 007-009 jako projekt badawzy N50 03 3/345