GRAFICZNA METODA IDENTYFIKACJI PARAMETRÓW UKŁADU DWUMASOWEGO

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59 Studia i Materiały Nr Napęd elektryczny,transformata Fouriera, identyfikacja, układ dwumasowyo Krzysztof SZABA F *F, Grzegorz KAMIŃSKI * GRAFICZNA MEODA IDENYFIKACJI PARAMERÓW UKŁADU DWUMASOWEGO W pracy przedstawiono graficzną metodę identyfikacji parametrów układu dwumasowego bazującą na analizie czasowych przebiegów prędkości silnika. Szczegółowo opisano algorytm procedury identyfikacji. Opisana metoda umożliwia wyznaczenie parametrów układu dwumasowego zarówno liniowego jak i z luzem mechanicznym. Zaprezentowane wyniki badań symulacyjnych potwierdzają dużą dokładność wyznaczenia identyfikowanych parametrów. Ze względu na specyfikę istniejącego stanowiska laboratoryjnego badania rzeczywiste przeprowadzono tylko dla układu liniowego. WSĘP Nowoczesne struktury regulacji zapewniają bardzo dużą dokładność kontroli ruchu maszyny roboczej. Wzrost efektywności sterowania prowadzi do lepszego wykorzystania układu napędowego, wzrostu jakości wytwarzanego produktu itp. Jednakże efektywność działania złożonych algorytmów sterowania w znacznej mierze zależy od znajomości parametrów sterowanego obiektu. W przypadku ich niepoprawnej wartości przebiegi dynamiczne sterowanego układu pogarszają się []. Identyfikacja parametrów części mechanicznej układu napędowego jest zagadnieniem trudnym cieszącym się stałym zainteresowaniem ośrodków badawczych []-[6]. W identyfikacji parametrów liniowej części mechanicznej można rozróżnić dwa główne podejścia. W pierwszym przypadku otrzymaną odpowiedź przekształca się w sposób zapewniający uzyskanie z sygnału wielkości charakterystycznych (częstotliwości rezonansowych itp.). W drugim przypadku bazując na stworzonym modelu obiektu, poprzez odpowiedni dobór jego współczynników, dąży się do minimalizacji różnicy pomiędzy odpowiedziami modelu i obiektu. * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, Wrocław, ul. Smoluchowskiego 9, HUkrzysztof.szabat@pwr.wroc.plUH, grzegorz.kamińskihu@pwr.wroc.plu

2 W celu osiągnięcia dużej precyzji sterowania układów napędowych konieczna jest znajomość charakterystyk dodatkowych elementów: tarcia, luzu, histerezy. W literaturze istnieje szereg prac poruszających ten problem [7]-[9]. Opisują one wyznaczenie parametrów przyjętych modeli elementów nieliniowych (np model luzu z pamięcią lub bez, charakterystyk występujących nieliniowości). W pracy przedstawiono graficzną metodę identyfikacji parametrów mechanicznych układu napędowego. Krótko opisano procedurę identyfikacji. Zaproponowany algorytm umożliwia proste wyznaczenie parametrów części liniowej: stałych czasowych: silnika, obciążenia i sprężystości. Procedura identyfikacji umożliwia stwierdzenie wystąpienia luzu na przekładni mechanicznej i wyznaczenie jego szerokości.. MODEL MAEMAYCZNY OBIEKU BADAŃ ypowy układ napędowy składa się z silnika elektrycznego zasilanego z przekształtnika energoelektronicznego połączonego za pomocą sprzęgła (czasami przekładni) z maszyną roboczą. W przypadku zastosowania nowoczesnych metod sterowania napędami elektrycznymi (np. metod wektorowych dla silników prądu przemiennego) część elektromagnetyczna układu można uprościć do układu inercyjnego pierwszego rzędu o niewielkiej stałej czasowej. W takim przypadku dalszej analizie podlega jedynie część mechaniczna układu napędowego opisana następującymi równaniami [0]: ( t) dω = ( me () t ms () t ) () dt ( t) dω = dt dmsd dt ( t) ( m () t m () t ) () S O = ( ω() t ω () t ) (3) C m S m = SD ε ( t) sgn ( m ( t) ) SD 0 dla m dla SD ε abs( m SD ε ) > (4) gdzie: m e, m S, m SD, m o względna wartość momentów: elektromagnetycznego silnika, skręcającego za strefą luzu, skręcającego w elemencie sprężystym i momentu obcią-

3 żenia, ω, ω względna prędkość: silnika i obciążenia,, mechaniczna stała czasowa silnika i maszyny roboczej, C stała czasowa elementu sprężystego,ϕ względna wartość kąta skręcenia elementu sprężystego, ε - względna szerokość strefy luzu. Schemat blokowy układu dwumasowego odpowiadającego równaniom ()-(4) przedstawiono na rys.. Rys. Schemat blokowy układu dwumasowego Fig.. he block diagram of the two-mass system Podstawowymi parametrami układu dwumasowego są stałe czasowe: silnika, obciążenia i sprężystości C. Charakterystycznymi wielkościami układu dwumasowego są pulsacje: rezonansowa i antyrezonansowa. ω r = (5) + C ω ar = (6) Przedstawiony w pracy algorytm identyfikacji bazuje na wyznaczaniu tych wielkości przy określonych sygnałach pobudzających układ mechaniczny. C

4 3. GRAFICZNA MEODA IDENYFIKACJI Metoda ta umożliwia wyznaczenie parametrów układów wielomasowych w oparciu o zarejestrowane przebiegi czasowe układu. Procedura identyfikacji składa się z następujących etapów. W kroku pierwszym następuje pobudzenie układu napędowego sygnałem wejściowym wartością skokową momentu elektromagnetycznego. Odpowiedzią układu jest prędkość silnika która podlega rejestracji. Istnieje możliwość identyfikacji parametrów układu w oparciu o przebieg prędkości obciążenia, jednak w układach przemysłowych czujnik prędkości montowany jest z reguły po stronie silnika napędowego. W kolejnym kroku procesu identyfikacji, zarejestrowany przebieg prędkości silnika ω poddany zostaje aproksymacji, w wyniku której otrzymuje się sygnał prędkości aproksymowanej ω. Wyrażenie określające zależność pomiędzy maksymalną wartością prędkości ω max a sumaryczną stałą czasową silnika i obciążenia Σ = + przy założeniu startu układu od zerowej prędkości jest następujące: Σ b a m ( t) dt = ω e max. (7) Następnie wyznacza się przebieg oscylacyjny ω osc zdefiniowany jako różnica pomiędzy przebiegami prędkości silnika ω i prędkości aproksymowanej ω. ω = ω ω osc (8) Przy pomocy Szybkiej ransformaty Fouriera FF i okna czasowego Blackmana następuje wyznaczenie wartości pulsacji rezonansowej układu ω r. Możliwy jest również inny sposób wyznaczenia przebiegu oscylacyjnego. Polega on na zróżniczkowaniu przebiegu prędkości silnika. Metoda ta powoduje jednak większe zaszumienie wyznaczonego przebiegu oscylacyjnego. Na podstawie analizy kształtu sygnału oscylacyjnego prędkości możliwe jest rozpoznanie struktury badanego układu. Gdy ma on kształt sinusoidalnie gasnący układ jest liniowy, w przypadku kształtu trójkątnego o stałej amplitudzie w układzie występuje luz mechaniczny. Kolejno następuje pobudzenie układu sygnałem sinusoidalnym o płynnie narastającej częstotliwości. Zarejestrowana prędkość silnika poddana zostaje obróbce przy pomocy FF i okna czasowego Blackmana. Z otrzymanego widma sygnału określa się wartość podstawowej częstotliwości antyrezonansowej ω ar i rezonansowej układu ω r. W przypadku gdy częstotliwość rezonansowa wyznaczona z przebiegu oscylacyjnego prędkości jest równa częstotliwości rezonansowej wyznaczonej w niniejszym punkcie

5 ω r =ω r =ω r, badany układ nie zawiera luzu mechanicznego. W tym przypadku wartości stałych czasowych obiektu określone są następująco. ( ω ω ) r ar = (9) ωr = (0) C = ω Jeśli ω r <ω r układ posiada luz na przekładni mechanicznej. Luz ten może być traktowany jako dodatkowe wzmocnienie występujące w gałęzi zawierającej sprężystość [9]. Jego wartość może być wyznaczona przy pomocy pulsacji rezonansowych określonych w powyższych punktach. r ar () ω E = r () ω Wartość parametru E= oznacza brak luzu mechanicznego a E=0 oznacza brak połączenia pomiędzy silnikiem a maszyną roboczą. Względną szerokość strefy luzu ε wyznacza się przy pomocy zależności graficznej przedstawionej na rys. a (wyznaczonej eksperymentalnie dla danego układu). W układzie z luzem mechanicznym wartość pulsacji antyrezonansowej ulega zmianie co sprawie że stała nie może być wyznaczona. W takim przypadku należy skorzystać z przebiegu czasowego prędkości silnika ω. Na jego podstawie możliwe jest wyznaczenie stałej czasowej silnika zgodnie z następującym wyrażeniem Δt = (3) Δω gdzie: Δt oznacza przyrost czasu na charakterystyce ω =f(t), Δω oznacza przyrost prędkości na charakterystyce ω =f(t), w sposób przedstawiony na rys b. Dokładność wyznaczenia tej wartości zależy od precyzyjnego określenia przyrostów czasu i prędkości. W celu jej poprawy zaleca się zróżniczkowanie przebiegu prędkości silnika i na tej podstawie wyznaczenia początku i końca przyrostu prędkości. i

6 Rys. Zależność E=f(ε) (a), alternatywny sposób określenia stałej czasowej (b) Fig. Graphic relationship E=f(ε) (a), an alternative way of determining time constant (b) Wartość stałej czasowej obciążenia wyznacza się za pomocą (0), natomiast stałą czasową sprężystości zgodnie z poniższym wyrażeniem: C = Σ ω (4) r Zależność (4) może być również wykorzystana do wyznaczenia stałej C w przypadku układu liniowego. Jednakże wyrażenie () jest określone przez mniejszą liczbę argumentów, co oznacza że błąd wyznaczenia C jest mniejszy niż w przypadku (4). 4. BADANIA SYMULACYJNE Identyfikacji poddano dwa układy mechaniczne o różnej strukturze. Pierwszy z nich jest układem liniowym. Drugi z nich posiada dodatkowy element w postaci luzu na przekładni mechanicznej. Zaprezentowane przebiegi czasowe i charakterystyki częstotliwościowe odnoszą się do układów o następujących parametrach: część liniowa - = =03ms, c =,6ms; część nieliniowa (tylko układ drugi) - ε=0.05. Zgodnie z procedurą identyfikacji układy zostają pobudzone skokiem jednostkowym momentu elektromagnetycznego. Kolejno następuje zarejestrowanie odpowiedzi układu ω i wyznaczenie sygnału oscylacyjnego ω osc. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi prędkości silnika, ich aproksymacje oraz sygnały oscylacyjne prędkości.

7 Rys. 3. Przebieg prędkości silnika dla układu bez luzu (a,b) i z luzem (c,d) Fig. 3. ransients of the motor speeds for the system without (a,b) and with backlash (c,d) Na podstawie analizy przebiegu oscylacyjnego możliwe jest rozpoznanie struktury badanego obiektu. Przebieg oscylacyjny układu pierwszego ma charakter sygnału sinusoidalnie gasnącego. Oznacza to że identyfikowany obiekt jest liniowym układem dwumasowym. Przebieg oscylacyjny układu drugiego posiada kształt zbliżony do trójkątnego. Wskazuje to na obecność luzu mechanicznego. Charakterystyki częstotliwościowe sygnałów oscylacyjnych badanych układów zostały przedstawione na rys. 4a (układ pierwszy) i 4c (układ drugi). Z zamieszczonych charakterystyk wyraźnie widać różną częstotliwość rezonansową badanych układów. W kolejnym kroku procesu identyfikacji układy zostały pobudzone sygnałem sinusoidalnym o płynnie narastającej częstotliwości. Zarejestrowane prędkości silnika zostały poddana transformacie FF. Charakterystyki badanych układów są przedstawione na rys. 4b (układ pierwszy) i 4d (układ drugi).

8 Rys. 4. Charakterystyki częstotliwościowe układu: bez luzu (a,b) i z luzem (c,d) Fig. 4. Frequency characteristics for the system without (a,b) and with backlash (c,d) Z analizy rys. 4b,d wynika że wartości pulsacji rezonansowej układu bez i z luzem mechanicznym są takie same. Różnią się natomiast wartości pulsacji antyrezonansowych. W przypadku układu liniowego wyznaczenie wartości stałych czasowych przeprowadza się w oparciu o (9)-(). Ponieważ wartość pulsacji antyrezonansowej układu z luzem mechanicznym nie jest poprawna, konieczne jest wyznaczenie wartości stałej w oparciu o przebieg prędkości silnika ω i zależności: (9), (3)-(4). W celu oceny dokładności przedstawionej metody identyfikacji badaniom poddano układy o różnych parametrach znamionowych. Rzeczywiste i zidentyfikowane wartości parametrów układu liniowego przedstawiono w ab., a w ab. dla układu z rożną wartością luzu mechanicznego. Z analizy danych zawartych w ab. i ab. wynika że graficzna metoda identyfikacji parametrów układu dwumasowego jest metodą dokładną zapewniającą wyznaczenie parametrów mechanicznych z błędem nie większym niż %. Jedynie błąd wyznaczenia szerokości strefy luzu wynosi około 0%.

9 ab. Rzeczywiste i zidentyfikowane wartości parametrów dla układu liniowego ab. he real and identified parameters of the linear system Układ Układ Układ 3 Wartość Rzeczywista Wartość Wyznaczona c c c [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] 406,0 03,0,60 03,0 03,0,60 03,0 406,0,60 405,0 03,8,58 03,0 03,3,59 03,7 404,5,6 Błąd % 0,4 0,39 0,76 0,0 0,4 0,38 0,34 0,36 0,38 Wartość rzeczywista Wartość Wyznaczona ab. Rzeczywiste i zidentyfikowane wartości parametrów dla układu z luzem ab. he real and identified parameters of the system with backlash Układ Układ c ε c [ms] [ms] [ms] [-] [ms] [ms] [ms] [-] 03,0 03,0,60 0,050 03,0 03,0,60 0,0 0,7 04,8,63 0,054 0, 06,,66 0, Błąd % 0,64 0,88,5 8,0 0,88,57,30 0,0 ε 4. BADANIA EKSPERYMENALNE W niniejszym rozdziale przedstawiono wybrane wyniki badań eksperymentalnych. Schemat stanowiska laboratoryjnego przedstawiono na rys.4. Układ mechaniczny składa się z dwóch jednakowych silników prądu stałego, typu PZBbb, połączonych mechanicznym sprzęgłem o długości 60cm. W zestawie istnieje możliwość zmiany momentu bezwładności układu napędowego jak i współczynnika sprężystości połączenia elastycznego. Ze względu na specyfikę układu nie jest możliwe uzyskanie strefy luzu. Zasilanie silnika realizowane jest przez mostek tranzystorowy. Sterowanie odbywa się za pomocą komputera wyposażonego w procesor sygnałowy i oprogramowanie firmy dspace.

10 Rys. 5. Schemat funkcjonalny stanowiska laboratoryjnego Fig. 5. he functional diagram of experimental set-up Rys. 6. Przebieg prędkości silnika przy wymuszeniu skokowym (a) i sinusoidalnym (c), składowej oscylacyjnej (b) i charakterystyka częstotliwościowa układu (d) Fig. 6. ransients of the motor speeds for step (a) and sinusoidal (c) reference value, oscillations signal ω osc (b) and frequency characteristic of the system (d)

11 Zgodnie z procedurą identyfikacji układ został pobudzony skokiem jednostkowym momentu elektromagnetycznego. Zarejestrowaną odpowiedź obiektu, jej aproksymację oraz składową oscylacyjną prędkości przedstawiono na rys 6a,b. Składowa oscylacyjna prędkości ma kształt sinusoidalny gasnący co wskazuje na brak luzu mechanicznego. Kolejno układ został pobudzony sygnałem sinusoidalnym o płynnie narastającej częstotliwości. Odpowiedź obiektu na to wymuszenie przedstawiono na rys. 6c a jej charakterystykę częstotliwościową na rys 6d. W przebiegu prędkości silnika (rys. 6c) wyraźnie widać dwa charakterystyczne momenty. W jednym z nich oscylacje są stłumione do zera, w drugim przyjmują wartość maksymalną. Są one związane z częstotliwością antyrezonansową i rezonansową układu. Zastosowanie transformaty FF z oknem Blackmana pozwala w sposób dokładniejszy określić częstotliwości charakterystyczne układu. Na podstawie wyrażeń 9- wyznaczono parametry mechaniczne badanych układów. Wartości zbiorcze wraz z błędami wyznaczenia zgrupowano w ab. 3. ab.3 Rzeczywiste i zidentyfikowane wartości parametrów dla układu liniowego ab. 3 he real and identified parameters of the linear system Układ Układ Układ 3 Wartość Rzeczywista Wartość Wyznaczona c c c [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] [ms] 03 03, , ,4 9,3 3,,47 90,7 4,8, 96,,8 0, Błąd % 5,76 4,97 3,3 6,05 5,8 8,94 3,34 4,33 4,58 Błędy wyznaczenia poszczególnych parametrów wynoszą około 5%. Główną przyczyną dość dużej rozbieżności pomiędzy badaniami symulacyjnymi i rzeczywistymi jest trudność określenia znamionowej wartości stałej czasowej sprężystości. Wartości przyjęte jako rzeczywiste i wykorzystane w obliczeniach wyznaczono bazując na zależnościach mechanicznych. Wyrażenia te wymagają podania modułu sprężystości stali która w zależności od domieszek i sposobu obróbki może się zmieniać w szerokim zakresie. Dodatkowymi czynnikami wpływającymi na dokładność wyznaczenia parametrów są błędy przetworników pomiarowych, szumy pomiarowe jak również przybliżanie obiektu rzeczywistego liniowym modelem matematycznym.

12 6. PODSUMOWANIE W referacie przedstawiono graficzną metodę identyfikacji parametrów mechanicznych układu dwumasowego. Metoda ta bazuje na wyodrębnieniu cech charakterystycznych układu (częstotliwości rezonansowej i antyrezonansowej) przy pobudzeniu obiektu sygnałami o różnym kształcie. Zaproponowany algorytm umożliwia wyznaczenie z dużą dokładnością stałych czasowych mechanicznych silnika i obciążenia i stałej sprężystości. Dokładność wyznaczenia szerokości strefy luzu wynosi około 0%. Cechą charakterystyczna opisanej procedury identyfikacji jest jej łatwość przeprowadzenia i duża odporność na szumy pomiarowe. REFERENCES [] ORLOWSKA-KOWALSKA., Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 003. [] SÖDERSRÖM., SOICA P.: System identification, Prentice Hall Int., 994 [3] PACAS J. M., ARMIN J., EUEBACH., Automatic Identification and Damping of orsional Vibrations in High-Dynamic-Drives, Proc. of ISIE 000, pp. 0-06, Mexico, 000. [4] EKER I, VULAR M., Experimantal on-line identification of a three-mass mechanical system, 003. [5] MULLER I., MUSCHLER P., wo reliable methods for Estimationg the Mechanical Parameters of a Rotationg hree-inertia System, Proc. of EPE-PEMC 00, on cd. Kroatia, 00. [6] KAMIŃSKI G., Identyfikacja parametrów mechanicznych układu napędowego z połączeniem sprężystym, magisterska praca dyplomowa pod opieką K. Szabat, Wrocław 006 [7] AO G., KOKOOVIC P. V., Adaptive control of systems with backlash, Automatica, Elsevier, vol. 9, no., pp , 993. [8] ANGERER B.., HINZ C., SCHRODER D., Online identification of a nonlinear mechatronic system, Control Engineering Practice, str , 004. [9] DHAOUADI R., KUBO K., OBISE M., Analysis and Compensation of Speed Drive Systems with orsional Loads, IEEE ransaction on Industrial Applications, pp , vol. 30, no.3, 994. [0] GIERLOKA K., DOULEN A., Napęd z połączeniem sprężystym z rozmytym regulatorem prędkości, Materiały konferencji SENE 99, str ,999 IDENIFICAION OF MECHANICAL PARAMEERS OF HE WO-MASS SYSEM In the paper the identification procedure based on the extraction of characteristic features of the two-mass system was presented. he identification procedure was described in detail. he proposed method makes possible to distinguish linear and nonlinear systems and to determine their parameters. he presented simulation and experimental results confirm efficiency of the proposed method.