Laser Nd:YAG Materiaªy przeznaczone dla studentów zyki oraz studiów drugiego stopnia zyki specjalizacji Technologie Kwantowe w Instytucie Fizyki UJ rok akademicki 2012/2013 Cel wiczenia Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z zycznymi podstawami generacji promieniowania laserowego na przykªadzie lasera Nd:YAG. W trakcie wiczenia badany jest wpªyw rezonatora i szybko±ci pompowania krysztaªu Nd:YAG na parametry wi zki laserowej generowanej na dªugo±ci fali 1064 nm. Wyznaczane s parametry rezonatora, przy których zachowuje si on jak rezonator stabilny. Studenci mierz tak»e moc optyczn powstaªej wi zki laserowej w zale»no±ci od wspóªczynnika transmisji jednego ze zwierciadeª. Na podstawie tak wyznaczonej charakterystyki wyliczane s : poziom strat w rezonatorze i wzmocnienie o±rodka laserowego. sªowa kluczowe: absorpcja, emisja wymuszona, wspóªczynnik wzmocnienia, nasycenie wzmocnienia, laser Nd:YAG, rezonator optyczny, stabilno± rezonatora, mody rezonatora Aparatura i materiaªy ªawa optyczna, laser diodowy generuj cy na dªugo±ci fali λ = 808 nm, o mocy P = 1.6 W, zwierciadªo wkl sªe o promieniu krzywizny r = 80 mm i wspóªczynniku odbicia R = 90%, laser justuj cy (λ = 670 nm) o mocy P < 5 W, konwerter promieniowania podczerwonego na widzialne, miernik mocy lasera, polaryzacyjna kostka ±wiatªodziel ca, wier falówka, okulary ochronne Problemy i zadania do przygotowania 1. Wyznaczy wzgl dn ró»nic obsadze«pomi dzy poziomami laserowymi Nd 3+ a stanem podstawowym, gdy ukªad znajduje si w równowadze termodynamicznej. Obliczenia wykona dla temperatur z zakresu od 200 K do 320 K, a wyniki przedstawi w formie wykresu. 2. Zbada stabilno± i wyznaczy struktur modów podªu»nych rezonatora skªadaj cego si ze zwierciadeª o promieniach krzywizny r 1 = r 2 = 6 cm, znajduj cych si w odlegªo±ci d = 10 cm. Rezonator jest wypeªniony o±rodkiem o wspóªczynniku zaªamania n = 1.5. 3. Rezonator jest zbudowany z dwóch wkl sªych zwierciadeª o promieniach krzywizny r 1 = 50 cm i r 2 = 100 cm. Wyznaczy maksymaln dªugo± rezonatora przy której jest on jeszcze rezonatorem stabilnym.
II Pracownia Fizyczna IFUJ 2 Laser Nd:YAG Rys. 1. Aparatura do±wiadczalna Zasady BHP Prosz bezwzgl dnie zastosowa si do nast puj cych zasad bezpiecze«stwa: Przed rozpocz ciem pracy prosz zdj z r k rzeczy, które mog spowodowa przypadkowe odbicia wi zki ±wiatªa. W szczególno±ci chodzi o pier±cionki, obr czki i zegarki. Pod»adnym pozorem nie wolno kierowa wi zki ±wiatªa bezpo±rednio do oka. Nie wolno dotyka elementów optycznych palcami, gdy» mo»e to doprowadzi do ich uszkodzenia. 1. Przebieg wiczenia Czynno±ci wst pne 1. Uruchomienie lasera diodowego @808 nm (pompuj cego) umie±ci konwerter podczerwieni na ªawie optycznej w odlegªo±ci okoªo 4 5 cm od lasera diodowego sprawdzi ustawienie pr du zasilacza lasera diodowego powinno wynosi 0 A przeª czy wª cznik zasilacza do pozycji ON wª czy laser przez naci±ni cie klawisza START i ustawi pr d zasilacza na 1 A zaobserwowa zielon uorescencj na konwerterze podczerwieni 2. Zmierzy moc wi zki lasera diodowego w zale»no±ci od warto±ci pr du zasilania oraz wyznaczy warto± pr du progowego. 3. Zainstalowa laser diodowy (@670 nm) sªu» cy do justowania elementów optycznych lasera Nd:YAG (na drugim ko«cu ªawy optycznej).
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 3 4. Na ªawie optycznej zainstalowa krysztaª Nd:YAG z warstw antyreeksyjn na 808 nm od strony lasera pompuj cego. Jednocze±nie na tej samej powierzchni napylona jest warstwa silnie odbijaj ca (R > 99%) promieniowanie o dªugo±ci fali λ = 1064 nm, która stanowi jedno ze zwierciadeª lasera Nd:YAG. Z drugiej strony krysztaªu napylono warstw o du»ym wspóªczynniku transmisji (T > 99, 8%) dla ±wiatªa o dªugo±ci fali λ = 1064 nm. Krysztaª umie±ci w odlegªo±ci ok. 5 mm od lasera pompuj cego. 5. Wª czy laser diodowy przy pr dzie zasilania 1 A. Zaobserwowa uorescencj z krysztaªu przesuwaj c jednocze±nie krysztaª nieco do przodu lub do tyªu i ustawi go w pozycji, dla której uorescencja jest najsilniejsza. Wyª czy laser diodowy. 6. Zasªoni wyj±cie lasera pompuj cego kartk papieru. Wª czy laser justuj cy i ustawi w taki sposób, aby o±wietlaª krysztaª, a wi zka odbita od krysztaªu (obserwowana na ekranie przed laserem lasera) padaªa ok. 2 mm od wyj±cia lasera. Nale»y unika dokªadnego odbicia powrotem w kierunku lasera. Wyª czy laser justuj cy. Uzyskiwanie akcji laserowej oraz optymalizacja ksztaªtu wi zki i jej mocy 1. Na ªawie optycznej, w odlegªo±ci okoªo 50 mm od krysztaªu, zainstalowa zwierciadªo zwrotne (R = 90%, promie«krzywizny r = 80 mm). 2. Wª czy laser justuj cy i kr c c ±rubami oprawki tego zwierciadªa ustawi go tak, aby na ekranie wi zka odbita od sferyczej powierzchni zwierciadªa pokryªa si z wi zk odbit od krysztaªu. Nast pnie wyª czy laser justuj cy i odsªoni wyj±cie lasera pompuj cego. 3. Wstawi konwerter podczerwieni, ustawi pr d zasilania lasera pompuj cego na 2.0 A i wª czy laser. 4. Delikatnie regulowa zwierciadªem zwrotnym tak, aby laser generowaª w modzie T EM 00, a jego moc byªa maksymalna. 5. Zarejestrowa zale»no± mocy lasera Nd:YAG w zale»no±ci od mocy wi zki pompuj cej. Wyniki przedstawi w postaci wykresu. Badanie stabilno±ci rezonatora Zmieniaj c odlegªo± pomi dzy krysztaªem a zwierciadªem zwrotnym, w zakresie od 20 mm do 110 mm, rejestrowa moc lasera. Wyznaczy optymaln dªugo± rezonatora przy której laser osi ga najwi ksz moc oraz odlegªo± powy»ej której oscylacje laserowe znikaj. Wyznaczone warto±ci porówna z warto±ciami teoretycznymi. Omówi wpªyw tzw. soczewki termicznej na wyniki do±wiadczenia. Rys. 2. Ustawienie krysztaªu Ng:YAG i lustra zwrotnego do badania stabillno±ci rezonatora.
II Pracownia Fizyczna IFUJ 4 Laser Nd:YAG Rys. 3. Ukªad do badania stabilno±ci rezonatora. Badanie ksztaªtu wi zki laserowej Dla optymalnej odlegªo±ci pomi dzy krysztaªem a zwierciadªem zwrotnym, zmierzy pro l przestrzenny (rozkªad nat»enia w pªaszczy¹nie prostopadªej do jej kierunku propagacji). Na podstawie tak zmierzonego pro lu oszacowa wielko± przew»enia (patrz ramka). Wyznaczanie przew»enie wi zki gaussowskiej Przew»enie wi zki w02 = πλ d(r2 d) mo»na wyznaczy warto± teoretyczn na podstawie znanych parametrów λ, d i r2. Rozmiar wi zki w odlegªo±ci L : p 2 w2 (z = L) = w02 (1 + L2 /z02 ) = wl, gdzie wl rozmiar wyznaczamy do±wiadczalnie. w02 = 2 λ π2 z0 z02 = 2 w04 π λ w (z = L) = 2 wl = w02 2λ 2 1 1+L 2 4 π w0! Rozwi zujemy równanie kwadratowe ze wzgl du na w0 : 2 x 2 wl x + L2 λ2 =0 π2 x = w02 znaj c wl mo»na wyznaczy λ oraz w0. Wyznaczanie optymalnej warto±ci wspóªczynnika transmisji zwierciadªa zwrotnego 1. Zestawi ukªad jak na powy»szym rysunku. W tym eksperymencie zmiana wspóªczynnika odbicia realizowana jest poprzez wykorzystanie polaryzacyjnej kostki ±wiatªodziel cej,
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 5 Rys. 4. Schemat ukªadu sªu» cego do badania optymalnej transmisji zwierciadªa zwrotnego. wier falówki w oprawce obrotowej i lustra o du»ym wspóªczynniku odbicia. 2. Ustawi wier falówk tak, aby odbicie od kostki ±wiatªodziel cej, obserwowane na konwerterze podczerwieni byªo maksymalne. 3. Zamiast konwertera podczerwieni wstawi miernik mocy. Dla danej mocy wi zki pompuj cej, czyli dla danego wspóªczynnika wzmocnienia, wyznaczy zale»no± pomi dzy moc lasera a wspóªczynnikiem transmisji zwierciadªa, któr zmieniamy obracaj c wier falówk. Wyznaczy podobn zale»no± dla dla 3 4 3 4 ró»nych wspóªczynników wzmocnienia, a wi c ró»nych mocy lasera pompuj cego. Na podstawie zmierzonych zale»no±ci wyzna- czy optymalne warto±ci wspóªczynnika transmisji zwierciadªa oraz wzmocnienie i straty w rezonatorze. Rys. 5. Ukªad do badania optymalnej warto±ci wspóªczynnika transmisji.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 6 Podstawy teoretyczne Laser to generator ±wiatªa, wykorzystuj cy zjawisko emisji wymuszonej. Nazwa jest akronimem od Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation wzmocnienie ±wiatªa poprzez wymuszona emisj promieniowania. Promieniowanie laserowe charakteryzuje du»a spójno± czasowa i przestrzenna, oraz ma ono posta wi zki o bardzo maªej rozbie»no±ci. Zasadniczymi elementami lasera s : o±rodek czynny, rezonator optyczny i ukªad pompuj cy. Ukªad pompuj cy dostarcza energi do o±rodka czynnego, który zapewnia wzmocnienie, czyli powielenie fotonów o identycznych wªasno±ciach. Rezonator optyczny zapewnia sprz»enie zwrotne i okre±la wªa±ciwo±ci spektralne i przestrzenne wi zki laserowej. Pierwszy laser (rubinowy) zostaª zbudowany w 1960 roku przez Teodora Maimana, w którym o±rodkiem czynnym byª krysztaª korundu domieszkowany chromem. Powstanie lasera to jednak wynik pracy wielu badaczy: Alberta Einsteina (kwantowa teoria promieniowania), Alfreda Kastlera (idea pompowania optycznego) czy Charlesa H. Townesa, Nikoªaja Basowa i Aleksandra Prochorowa (teoretyczne podstawy masera i lasera). (a) A. Einstein (b) A. Kastler (c) C. H. Townes (d) N. Basow (e) A. Prochorow Rys. 6. Ojcowie promieniowania laserowego. 2. Oddziaªywanie ±wiatªa z materi Rozwa»my wn k rezonansow o obj to±ci V, w której znajduje si atom wraz z polem promieniowania o cz stotliwo±ci ν. Energie poziomów atomu przyjmuj warto±ci E 1 dla stanu dolnego oraz E 2 dla stanu górnego. Rys. 7. Oddziaªywanie atomu z polem promieniowania. Zaªó»my ponadto,»e pole promieniowania jest w rezonansie z atomem, czyli E = E 2 E 1 = hν. W takiej sytuacji mo»liwe s trzy scenariusze oddziaªywania pomi dzy polem a atomem, przedstawione na rysunki 7. Atom w stanie podstawowym mo»e zaabsorbowa foton z pola promieniowania i przej± do stanu górnego, który to proces nazywamy absorpcj. G sto± prawdopodobie«stwa absorpcji zale»y od g sto±ci strumienia fotonów φ(ν) oraz przekroju
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 7 czynnego σ(ν) na przej±cie pomi dzy stanami E 1 i E 2 P ab = φ σ(ν). (1) Z kolei atom w stanie górnym E 2, pod wpªywem fotonu pola promieniowania, mo»e przej± do stanu dolnego E 1 emituj c jednocze±nie foton, którego wªasno±ci s identyczne jak fotonu wymuszaj cego. Proces tego typu nazywamy emisj wymuszon. G sto± prawdopodobie«stwa emisji wymuszonej, tak samo jak absorpcji, zale»y od g sto±ci strumienia fotonów we wn ce oraz przekroju czynnego σ(ν) P ew = φ σ(ν). (2) Poniewa» przekroje czynne na absorpcj i emisj wymuszon s identyczne, wi c P ab = P ew W i. (3) Wyst puj ca w równaniach (1) i (2) g sto± strumienia fotonów oznacza liczb fotonów padaj - cych na jednostk powierzchni w jednostkowym czasie i wynosi φ = I hν = nc [ ] liczba fotonów V cm 2, (4) s gdzie I [ W/cm 2] to nat»enie pola promieniowania, a n oznacza liczb fotonów pola. Atom pozostaj cy w górnym stanie mo»e równie», w sposób spontaniczny pod wpªywem pola pró»ni, przej± do stanu dolnego emituj c foton o cz stotliwo±ci ν, który dodaje si do fotonów pola promieniowania we wn ce. Powstaªe fotony nie s jednak ani ukierunkowane ani spójne. Proces taki nazywamy emisj spontaniczn, gdy» nie zale»y on od liczby fotonów we wn ce. G sto± prawdopodobie«stwa emisji spontanicznej P sp = A 21 = 1 τ, (5) gdzie A 21 to wspóªczynnik Einsteina, a τ to ±redni czas»ycia poziomu w stanie E 2. 2.1. Wspóªczynnik wzmocnienia i wzmocnienie o±rodka Je»eli o±rodek atomowy, w postaci atomów dwupoziomowych o g sto±ciach obsadze«poziomów N 1 i N 2 (Rys. 8), oddziaªuje ze strumieniem fotonów o g sto±ci φ, to liczba kreowanych/anihilowanych na sekund fotonów, w jednostkowej obj to±ci wynosi gdzie N = N 2 N 1 jest g sto±ci ró»nicy obsadze«. N 2 W i N 1 W i NW i, (6) Rys. 8. Strumie«fotonów o g sto±ci φ(ν) oddzia- ªuje z o±rodkiem atomowym, w którym obsadzenia poszczególnych poziomów wynosz N 1 i N 2. Gdy N < 0 to obsadzenie dolnego poziomu przewy»sza obsadzenie poziomu górnego i procesy absorpcji dominuj nad procesami emisji wymuszonej, co powoduje osªabienie padaj cego strumienia fotonów. Taki o±rodek nazywamy o±rodkiem absorpcyjnym. Gdy N > 0, to obsadzenie górnego poziomu atomowego jest wi ksze ni» dolnego, co nazywamy inwersj obsadze«.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 8 Wówczas procesy emisji wymuszonej przewa»aj nad procesami absorpcji wynikiem czego jest wzmocnienie padaj cego strumienia fotonów, a o±rodek nazywamy wzmacniaj cym. Wreszcie, gdy N = 0 to procesy absorpcji s zbalansowane procesami emisji wymuszonej i wypadkowy strumie«fotonów nie ulega zmianie. Taki o±rodek nazywamy przezroczystym. W stanie równowagi termodynamicznej, w temperaturze T, wzgl dne obsadzenie poziomów atomowych opisywane jest rozkªadem Maxwella-Boltzmanna N 2 N 1 = e (E 2 E 1 )/(k B T ) = e hν/(k BT ) < 1 (7) i dlatego obsadzenie stanu górnego jest zawsze mniejsze ni» dolnego. O±rodek pozostaj cy w równowadze termodynamicznej jest o±rodkiem absorpcyjnym. Ilo±ciowo, zmiana g sto±ci strumienia fotonów na dªugo±ci dz o±rodka wzmacniaj cego wynosi Zatem, w odlegªo±ci z φ(z + dz) φ(z) = NW i dz = Nφ σ dz. (8) φ(z) = φ(0) e γz, (9) gdzie γ = N σ(ν) to wspóªczynnik wzmocnienia o±rodka opisuj cy wzmocnienie strumienia fotonów na jednostk dªugo±ci, a φ(0) to g sto± strumienia fotonów padaj cych. Cz sto dla opisu wªasno±ci wzmacniaj cych o±rodka u»ywa si wielko±ci zwanej wzmocnieniem którego jednostk jest db 1. G(z) = φ(z) φ(0) = eγ z, (10) Aby otrzyma o±rodek wzmacniaj cy, czyli wytworzy inwersj obsadze«, nale»y u»y zewn trznego ¹ródªa energii, potocznie nazywanego pomp. Energia dostarczana do o±rodka za pomoc pompy zostaje w efekcie zu»yta na zwi kszenie wyj±ciowego strumienia fotonów. Pompa dostarcza energi poprzez wzbudzenie w atomach elektronów ze stanów ni»szych do wy»szych. Stanu inwersji obsadze«nie da si jednak uzyska pompuj c atomy bezpo±rednio z poziomu dolnego do górnego, ale wymaga to zaanga»owania dodatkowych poziomów po±rednich. Je±li zewn trznym ¹ródªem energii jest ¹ródªo ±wiatªa, to proces prowadz cy do wytworzenia inwersji obsadze«nazywamy pompowaniem optycznym. 2.2. Pompowanie bez obecno±ci pola wzmacnianego Pompowanie optyczne prowadzi do wytworzenia inwersji obsadze«mi dzy poziomami interesuj cego nas przej±cia. Dynamika procesu pompowania jest opisywana za pomoc równa«kinetycznych (ang. rate equations), które podaj szybko±ci zmian g sto±ci obsadze«poziomów energetycznych w wyniku pompowania oraz przej± promienistych i bezpromienistych. Szybko±ci zmian obsadze«poziomów z rysunku 9, zapisane za pomoc równa«kinetycznych, wynosz dn 1 dt dn 2 dt = R 1 N 1 τ 1 + N 2 τ 21 = R 2 N 2 τ 2. 1 decybel jest logarytmem dziesi tnym ze stosunku danej wielko±ci P do wielko±ci odniesienia P 0: P db = 10 log(p/p 0) (11)
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 9 Rys. 9. Schemat pompowania bez obecno±ci pola promieniowania. R 1, R 2 to odpowiednio szybko±ci pompowania atomów z poziomu 1 oraz na poziom 2; τ 21 to ±redni czas relaksacji stanu 2 do stanu 1, na który skªadaj si ±rednie czasy relaksacji spontanicznej τ sp oraz przej± bezpromienistych τ nr ; τ 20 to ±redni czas relaksacji stanu 2 do stanu podstawowego; τ 2 to ±redni czas»ycia poziomu 2 (uwzgl dnia τ 21 oraz τ 20 ); τ 1 to ±redni czas»ycia poziomu 1. Szybko±ci pompowania atomów z poziomu 1 R 1 oraz na poziom 2 R 2 s podawane w cm 3 s 1. W warunkach stanu stacjonarnego, tzn. gdy dn 1 /dt = dn 2 /dt = 0, rozwi zania ukªadu powy»- szych równa«pozwalaj wyznaczy ró»nic obsadze«( N 2 N 1 N 0 = R 2 τ 2 1 τ ) 1 + R 1 τ 1. (12) τ 21 Jak wynika z równania (12), du» inwersj obsadze«mo»na otrzyma gdy: a) R 1, R 2 przyjmuj du»e warto±ci, czyli gdy poziom górny i dolny s odpowiednio szybko obsadzany i opró»niany na skutek pompowania i b) τ 21 τ 1 czyli czas»ycia poziomu dolnego jest du»o krótszy od czasu»ycia poziomu górnego. Warunki powy»sze oznaczaj szybkie obsadzanie i wolne opró»- nianie poziomu górnego i odwrotnie, wolne obsadzanie i szybkie opró»nianie poziomu dolnego, co pozwala na utrzymywanie si du»ej ró»nicy obsadze«. W idealnej sytuacji, gdy opró»nianie poziomu górnego zachodzi wyª cznie poprzez przej±cia radiacyjne na poziom dolny (τ 2 τ sp ) i czas»ycia tego poziomu jest znacznie dªu»szy ni» poziomu dolnego (τ sp τ 1 ) to N 0 R 2 τ 2 + R 1 τ 1 = R 2 τ sp + R 1 τ 1. (13) Gdy dodatkowo R 1 = 0 lub R 1 R 2 (τ sp /τ 1 ), to wówczas N 0 R 2 τ sp (14) czyli ró»nica obsadze«jest wprost proporcjonalna do szybko±ci obsadzania poziomu górnego. 2.3. Pompowanie w obecno±ci pola wzmacnianego Obecno± pola promieniowania o cz stotliwo±ci ν sprawia,»e przej±cia pomi dzy poziomami 1 i 2 mog zachodzi tak»e na skutek absorpcji i emisji wymuszonej. G sto± prawdopodobie«stwa zaj±cia takich procesów wynosi W i, tak jak to byªo omawiane wcze±niej. Rys. 10. Schemat pompowania w obecno±ci pola wzmacnianego. R 1, R 2 to odpowiednio szybko± pompowania atomów z poziomu 1 oraz na poziom 2; τ 21 to ±redni czas relaksacji stanu 2 do stanu 1; τ 20 to ±redni czas relaksacji stanu 2 do stanu podstawowego; τ 2 to ±redni czas»ycia poziomu 2 (uwzgl dnia τ 21 oraz τ 20 ); τ 1 to ±redni czas»ycia poziomu 1; W i to g sto±c prawdopodobie«stwa przej± pomi dzy poziomami 1 i 2. Równania (11) na zmian g sto±ci obsadze«zostaj rozszerzone o procesy absorpcji i emisji wymuszonej, b d ce ¹ródªem dodatkowego wzrostu i spadku obsadze«poziomów dn 1 dt dn 2 dt = R 1 N 1 τ 1 + N 2 τ 21 + N 2 W i N 1 W i = R 2 N 2 τ 2 N 2 W i + N 1 W i. (15)
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 10 W stanie stacjonarnym, rozwi zania ukªadu równa«(15) daj ró»nic g sto±ci obsadze«n 2 N 1 N = N 0 1 + τ s W i. (16) N 0 jest g sto±ci obsadze«w sytuacji bez pola promieniowania o cz stotliwo±ci ν, natomiast τ s = τ 2 + τ 1 (1 τ 2 /τ 21 ) > 0 jest tak zwanym czasem charakterystycznym. Staªa τ s podaje warto± g sto±ci prawdopodobie«stwa W i, dla której ró»nica obsadze«maleje do poªowy warto±ci N 0. Poniewa» W i = φ σ(ν) to równanie (16) mo»na zapisa jako N = N 0 1 + φ/φ s. (17) W powy»szym równaniu φ s = 1/(τ s σ) i oznacza tak g sto± strumienia fotonów, dla której ró»- nica obsadze«maleje do N 0 /2. Zmiany ró»nicy obsadze«n w zale»no±ci od g sto±ci strumienia fotonów zostaªy przedstawione na rysunku 11. Rys. 11. Zale»no± ró»nicy obsadze«n i wspóªczynnika wzmocnienia γ od g sto±ci strumienia fotonów. W przypadku istnienia pola promieniowania o cz sto±ci przej±cia 2 1, w stanie stacjonarnym, ró»nica obsadze«jest zawsze mniejsza ni» w sytuacji bez pola promieniowania. Gdy pole to jest bardzo sªabe (φ φ s ), wówczas N N 0. Z kolei, gdy pole to jest bardzo silne (φ φ s ) to N d»y do zera. Dzieje si tak poniewa» na przej±cia pomi dzy poziomami 1 i 2 gªówny wpªyw maj absorpcja i emisja wymuszona o identycznej g sto±ci prawdopodobie«stw. Dlatego te», nawet pola o bardzo du»ej g sto±ci strumienia fotonów nie s w stanie zmieni dodatniej ró»nicy obsadze«na ujemn i odwrotnie. W takt za zmianami ró»nicy obsadze«n post puj zmiany wspóªczynnika wzmocnienia γ(ν) = N σ(ν) = N 0 σ(ν) 1 + φ/φ s = γ 0(ν) 1 + φ/φ s, (18) gdzie γ 0 (ν) to wspóªczynnik wzmocnienia dla bardzo maªych g sto±ci strumienia fotonów pola promieniowania. Zmiany γ wraz ze wzrostem g sto±ci strumienia fotonów przedstawia rysunek 11. Wspóªczynnik wzmocnienia, podobnie jak ró»nica obsadze«, maleje wraz z g sto±ci fotonów pola promieniowania i w ko«cu ulega nasyceniu. Innymi sªowy, zarówno absorpcja (γ < 0) jak i wzmocnienie (γ > 0) o±rodka ulegaj nasyceniu i o±rodek staje si przezroczysty. 2.4. Pompowanie optyczne w ukªadzie 4-poziomowym Jak ju» powiedziano, wytworzenie inwersji obsadze«wymaga zaanga»owania dodatkowych poziomów w procesie pompowania. Jeden z najbardziej wydajnych schematów pompowania wykorzystuje ukªad 4-poziomowy, tak jak to pokazano na rysunku 12. Na tym schemacie poziomy 1 i 2 to poziomy przej±cia wzmacniaj cego (laserowego), które s poªo»one znacznie powy»ej stanu podstawowego 0 i w warunkach równowagi termodynamicznej E 1(2) E 0 k B T poziomy te s bardzo sªabo obsadzone.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 11 Rys. 12. Schemat ukªadu 4-poziomowego; τ 32 to ±redni czas relaksacji poziomu 3 do 2; τ 2 to ±redni czas»ycia poziomu 2, uwzgl dniaj cy ±rednie czasy relaksacji poziomu 2 do 1 oraz poziomu 2 do 0; τ 1 to ±redni czas»ycia poziomu 1. Pompowanie poziomu 2 odbywa si ze stanu podstawowego za po±rednictwem krótko»yciowego stanu 3. Do wzbudzenia stanu 3, w przypadku pompowania optycznego, u»ywa si lamp wysokoci±nieniowych lub innego lasera. Szybko± pompowania R 0 = W p N 0, gdzie W p to g sto± prawdopodobie«stwa przej±cia zale»na od g sto±ci strumienia fotonów ¹ródªa ±wiatªa, czyli od jego nat»enia. Nale»y zaznaczy,»e strumie«fotonów pompy b dzie jednocze±nie powodowaª opró»nianie poziomu 3 poprzez emisj wymuszon z szybko±ci R 3 = W p N 3. Zakªadaj c,»e zgodnie z warunkami na inwersj obsadze«, stan 1 jest stanem krótko»yciowym, a stan 2 dªugo»yciowym, rozwi zania ukªadu równa«kinetycznych pozwalaj wyznaczy ró»nic g sto±ci obsadze«pomi dzy tymi poziomami N 2 N 1 N = N A W p τ 2 (1 τ 1 /τ 21 ) 1 + τ 2 (W i + W p ) + 2τ 2 (τ 1 + τ 32 )W i W p. (19) N A = N 0 + N 1 + N 2 + N 3 jest sum g sto±ci obsadze«wszystkich poziomów, czyli g sto±ci atomów w o±rodku wzmacniaj cym. Rys. 13. Ró»nica obsadze«n w zale»no±ci od szybko±ci pompowania W p (a) oraz wielko±ci pola wzmacnianego W i (b). Na podstawie równania (19) mo»na pokaza,»e dla maªych nat»e«¹ródªa pompuj cego, inwersja obsadze«szybko ro±nie wraz z nat»eniem i ulega nasyceniu, gdy nat»enie to przybiera odpowiednio du»e warto±ci. Dzieje si tak dlatego,»e liczba procesów emisji wymuszonej na przej±ciu 3 0 staje si porównywalna z liczb procesów absorpcji na przej±ciu 0 3, co hamuje wzrost obsadze«poziomu 3. Rysunki 13 a i b przedstawiaj zale»no±ci ró»nicy g sto±ci obsadze«, wyznaczonych z równania (19) od warto±ci g sto±ci strumienia fotonów pompy i pola wzmacnianego. 2.5. Krysztaª Nd:YAG jako o±rodek wzmacniaj cy i laserowy Jednym z o±rodków wzmacniaj cych, szeroko stosowanym w technice laserowej, s krysztaªy granatu aluminiowo-itrowego (YAG Y 3 Al 5 O 12 ) domieszkowane neodymem (Rys. 14a). Lasery
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 12 neodymowe dziaªaj we wszystkich modach generacji: impulsowo, ci gle, generacji impulsów gigantycznych czy synchronizacji modów. (a) (b) Rys. 14. (a) Krysztaª Nd:YAG 2, oraz (b) diagram Jabªo«skiego poziomów wykorzystywany w akcji laserowej. Ukªadem optycznie czynnym w takim krysztale s jony Nd 3+, rozmieszczone w sieci krystalicznej YAG i wykazuj ce siln uorescencj. Struktura poziomów energetycznych Nd 3+, zmodykowana oddziaªywaniem z mikropolem sieci krystalicznej YAG, zostaªa przedstawiona na rysunku 14b. Przej±cia laserowe 4 F 3/2 4 I 11/2 zachodz z emisj ±wiatªa o dªugo±ci fali λ 1064 nm. Dªugi czas»ycia (255 µs) górnego stanu laserowego i krótki ( 30 ns) stanu dolnego sprzyjaj uzyskiwaniu inwersji obsadze«. Obsadzenie poziomu 4 F 3/2 odbywa si poprzez pompowanie optyczne ze stanu podstawowego 4 I 9/2 do stanu 4 F 5/2 na dªugo±ci dali λ = 808 nm. Z tego stanu populacja szybko relaksuje do stanu 4 F 3/2 poprzez zderzenia z sieci krystaliczn (relaksacja fononowa). Dolny poziom laserowy jest poªo»ony okoªo 2 000 cm 1 ponad stanem podstawowym, dlatego jest stosunkowo sªabo obsadzany w warunkach równowagi termodynamicznej, a ponadto jest on szybko opró»niany. Powy»sze uwarunkowania sprawiaj,»e pompowanie jonów Nd 3+ zachodzi bardzo podobnie jak w ukªadzie 4-poziomowym. Pocz tkowo krysztaªy Nd:YAG byªy pompowane wysokoci±nieniowymi lampami ksenonowymi. W takim przypadku jedynie niewielka ilo± ±wiatªa jest absorbowana, podczas gdy gros energii zostaje wydzielona w postaci ciepªa. Obecnie lasery Nd:YAG pompowane s laserami diodowymi o dªugo±ci fali λ = 808 nm, co zdecydowanie poprawia ich wydajno± energetyczn. Pompowanie takie najcz ±ciej odbywa si w konguracji podªu»nej, tak jak to przedstawiono na rysunku 15. Rys. 15. Konguracja podªu»na lasera Nd:YAG. 2 Zaczerpni te ze strony http://www.made-in-china.com/showroom/wendydongqh/ product-detailjqxxskdyluww/china-nd-yag-laser-rod.html
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 13 3. Rezonator optyczny Chocia» o±rodek czynny z inwersj obsadze«to potencjalne ¹ródªo ±wiatªa laserowego, to jednak do powstania takiej uporz dkowanej emisji potrzebny jest ukªad optyczny zwany rezonatorem. Rezonator speªnia rol dodatniego sprz»enia zwrotnego dla promieniowania o okre±lonej dªugo±ci fali i kierunku propagacji. Spo±ród wielu mo»liwych kierunków ±wiecenia i dªugo±ci fal, wynikaj cych z pasma wzmocnienia o±rodka czynnego, tylko promieniowanie o parametrach okre±lonych przez rezonator b dzie wzmacniane na tyle mocno,»e nast pi akcja laserowa. Sprz»enie zwrotne polega na wielokrotnym przej±ciu fotonów (wi zki ±wietlnej) prze o±rodek wzmacniaj cy, co prowadzi do ich kaskadowego powielania na skutek emisji wymuszonej. Dzi ki temu, generowane promieniowanie laserowe jest spójne. 3.1. Warunek stabilno±ci rezonatora Najprostszy rezonator pªasko-równolegªy zªo»ony jest z dwóch równolegle ustawionych zwierciadeª pªaskich. Tego typu konguracja jest jednak niezwykle wra»liwa na wszelkie niedokªadno±ci ustawienia zwierciadeª wzgl dem siebie. Ich niewielkie odchylenie sprawia,»e promie«±wietlny w druje w poprzek rezonatora i opuszcza go przez powierzchnie boczne. Rys. 16. Bieg nierównolegªego promienia ±wietlnego w rezonatorze pªasko-równolegªym (a) oraz sferycznym (b). Rezonatory sferyczne, w odró»nieniu od pªasko-równolegªych, charakteryzuj si znacznie wi ksz stabilno±ci i dlatego s powszechnie stosowane w ró»nego typu laserach. Rezonator sferyczny skªada si z dwóch zwierciadeª o promieniach krzywizny r 1 i r 2 umieszczonych w odlegªo±ci d od siebie (patrz rysunek 16). Dany rezonator uwa»amy za stabilny, gdy istnieje dla niego zbiór promieni optycznych, które po dowolnej liczbie odbi nie opuszczaj rezonatora, tzn. których tory ruchu s krzywymi zamkni tymi. Rozwa»ania na gruncie optyki geometrycznej, z zastosowaniem równa«optyki macierzowej, prowadz do nast puj cego warunku na stabilno± rezonatora (dokªadne wyprowadzenie: patrz Dodatek A) 0 g 1 g 2 1, gdzie g 1 = 1 d/r 1, g 2 = 1 d/r 2. (20) Warunek ten w sposób graczny zostaª przedstawiony na rysunku 17, gdzie zacienione pola oznaczaj takie konguracje parametrów g 1 i g 2 dla których rezonator zachowuje stabilno±. Spo±ród rezonatorów przedstawionych na rysunku 17, najwi ksz stabilno±ci odznacza si symetryczny rezonator konfokalny, dla którego r 1 = r 2 = d i wówczas g 1 = g 2 = 0. Dla danego rezonatora istniej ±ci±le okre±lone rozkªady pola promieniowania (w pªaszczy¹nie prostopadªej do osi rezonatora) zwane modami przestrzennymi, które s generowane, gdy rezonator ten jest wypeªniony o±rodkiem laserowym. W przypadku wspomnianych ju» rezonatorów sferycznych pola takie odpowiadaj tzw. wi zkom Hermite'a-Gaussa b d cych rozwi zaniami
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 14 Rys. 17. Diagram stabilno±ci rezonatorów. paraksjalnego równania Helmholtz'a. Najwa»niejsz z tych wi zek jest wi zka gaussowska (mod TEM 00 ) charakteryzuj ca si gaussowskim rozkªadem nat»enia. 3.2. Wi zka gaussowska jako mod rezonatora sferycznego Rys. 18. Prol wi zki gaussowskiej. Wi zka gaussowska to koªowo symetryczna fala, której energia skoncentrowana jest wokóª kierunku propagacji, a normalne do frontu falowego s promieniami paraksjalnymi. W odlegªo±ci z od jej przew»enia w 0, nat»enie w pªaszczy¹nie x y opisane jest rozkªadem Gaussa [ ] [ 2 w0 2(x 2 + y 2 ] ) I = I 0 exp w(z) w 2 (z), (21) a jej promie«wynosi w(z) = w 0 1 + (z/z0 ) 2, gdzie z 0 jest odlegªo±ci Rayleigh'a, dla której front falowy jest najbardziej zakrzywiony. Szeroko± wi zki w(z) ro±nie z odlegªo±ci pocz wszy od warto±ci minimalnej w 0. Promie«krzywizny frontu falowego: [ ( ) ] 2 z0 R(z) = z 1 +, (22) z
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 15 maleje od dla z = 0, do warto±ci minimalnej dla z = z 0, a nast pnie ro±nie liniowo z odlegªo±ci dla du»ych z. Dªugo± Rayleigh'a z 0 jest ±ci±le powi zana z przew»eniem i dªugo±ci fali λ: z 0 = π λ w2 0. (23) Po to, aby wi zka gaussowska byªa modem rezonatora, to odbita od zwierciadeª musi si porusza po drodze wi zek padaj cych. Taka sutyacja ma miejsce tylko wtedy, gdy na powierzchni zwierciadªa promie«krzywizny wi zki odpowiada krzywi¹nie zwierciadªa. Dlatego, je±li promienie krzywizny frontów falowych wi zki gaussowskiej w pªaszczyznach oddalonych o d dokªadnie odpowiadaj promieniom krzywizn zwierciadeª umieszczonych w tych pªaszczyznach, to wi zka padaj ca na pierwsze zwierciadªo po odbiciu b dzie si zawsze pokrywa ze sob w drodze do drugiego zwierciadªa i tak dalej. Wi zka podlega wówczas samouzgodnieniu w rezonatorze, speªnia równanie Helmholtza i warunki brzegowe naªo»one przez zwierciadªa. Rys. 19. Dopasowanie profulu wi zi gaussowskiej do rezonatora. Powy»sze warunki mo»na zapisa nast puj co: R(z 1 ) = z 1 + z 2 0/z 1 = r 1, R(z 2 ) = z 2 + z 2 0/z 2 = r 2, (24) gdzie lewe i prawe strony równania opisuj odpowiednio promienie krzywizny wi zki i zwierciadeª. Na podstawie rysunku 19 i równa«(24) mo»na wyliczy poªo»enie zwierciadeª i promienie wi zki dla których to warto±ci wi zka stanowi mod rezonatora z 1 = d( r 2 + d) r 1 r 2 + d, z 2 = z 1 + d, (25) z 0 = d(r 1 + d)( r 2 + d)(r 1 r 2 + d) (r 1 r 2 + 2d) 2. (26) Korzystaj c z równania (23) ±rednice wi zki na powierzchni zwierciadeª wynosz 2w i = 2w 0 1 + (z i /z 0 ) 2, i = 1, 2. (27) Powy»sze rozwi zanie opisuje wi zk gaussowsk, gdy z 2 0 > 0. 3.3. Straty w rezonatorze optycznym ródªem strat w rezonatorze s absorpcja w o±rodku czynnym oraz wzmocnienie opisywane za pomoc wspóªczynnika osªabienia α s (straty na jednostk dªugo±ci). Strumie«fotonów po
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 16 przej±ciu w rezonatorze tam i z powrotem ulega osªabieniu o czynnik R 1 R 2 e 2αsd, gdzie R 1 i R 2 s wspóªczynnikami odbicia zwierciadeª. Caªkowity wspóªczynnik strat α r wynosi: 4. Oscylacje laserowe e 2αrd = R 1 R 2 e 2αsd (28) α r = α s ln R 1 2d ln R 2 2d = α s + 1 2d ln 1. R 1 R 2 (29) Akcja laserowa rozwija si gdy pocz tkowe wzmocnienie o±rodka czynnego przewy»sza straty w rezonatorze. W miar wzrostu nat»enia promieniowania laserowego, o±rodek wzmacniaj cy ulega nasyceniu i wspóªczynnik wzmocnienia maleje. W momencie, gdy wzmocnienie zrówna si ze stratami, osi gni ty zostaje stan równowagi i akcja laserowa zachodzi w sposób ci gªy (stabilizuje si ). Nasycony wspóªczynnik wzmocnienia, którego warto± zale»y od aktualnej warto±ci strumienia fotonów φ wypeªniaj cego rezonator, jest wówczas równy stratom: γ(ν) = Tak wi c g sto± strumienia fotonów w rezonatorze wynosi: γ 0 (ν) 1 + φ/φ s (ν) = α r. (30) lub równowa»nie φ = { φs (ν) (γ 0 /α r 1) γ 0 > α r 0 γ 0 α r (31) φ = { φs (ν) (N 0 /N pr 1) N 0 > N pr 0 N 0 N pr, (32) gdzie N pr = α r /σ jest progow ró»nic obsadze«. N pr okre±la minimaln szybko± pompowania, niezb dn do osi gni cia inwersji obsadze«i akcji laserowej. Wraz ze wzrostem szybko±ci pompowania ro±nie inwersja obsadze«. W przypadku, gdy jest ona mniejsza ni» warto± progowa, g sto± strumienia fotonów (laserowych) wynosi zero, ale niezerowy pozostaje strumie«fotonów emisji spontanicznej. Powy»ej warto±ci progowej, g sto± strumienia fotonów bior cych udziaª w akcji laserowej jest wprost proporcjonalna do pocz tkowej ró»nicy obsadze«n 0 i narasta z szybko±ci pompowania R. Gdy N 0 = 2N pr to wówczas φ = φ s, w takiej sytuacji warto± wspóªczynnika wzmocnienia spada do poªowy swojej maksymalnej warto±ci. Rys. 20. Zale»no± g sto±ci strumienia fotonów od szybko- ±ci pompowania.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 17 4.1. G sto± strumienia fotonów na zewn trz rezonatora Promieniowanie laserowe, obserwowane na zewn trz lasera, stanowi tylko cz ± strumienia fotonów we wn trzu rezonatora. Je»eli przyjmiemy,»e transmisja zwierciadªa wyj±ciowego wynosi T = 1 R 1 to g sto± strumienia fotonów wychodz cych: φ out = T φ 2. (33) Nat»enie ±wiatªa laserowego odpowiadaj ce temu strumieniowi wynosi: a jego moc I out = hν φ out = hν T φ 2, (34) P out = I out A, (35) gdzie A to powierzchnia przekroju wi zki. Równania te, wraz z równaniem (31) pozwalaj na obliczenie mocy optycznej wi zki laserowej na wyj±ciu lasera w zale»no±ci od takich parametrów jak: φ s, N 0, N pr czy T. Rys. 21. G sto±c strumienia fotonów φ out wydostaj ca si z rezonatora o dªugo±ci d, wspóªczynniku odbicia zwierciadeª R 2 = 100%, R 1 oraz transmisji T, oraz wspóªczynniku strat α r. Aby wyprowadzi cz ± strumienia fotonów na zewn trz rezonatora jedno z jego zwierciadeª musi mie niezerowym wspóªczynnikiem transmisji. Wzrost wspóªczynnika transmisji zwierciadªa powoduje zwi kszenie strumienia fotonów na wyj±ciu ale jednocze±nie prowadzi te» do wzrostu strat wewn trz rezonatora. Innymi sªowy, nast puje zmniejszenie strumienia fotonów wewn trz wn ki rezonansowej. Istnieje jednak pewna optymalna warto± wspóªczynnika transmisji T, dla której φ out przyjmuje warto± maksymaln Zakªadaj c,»e R 1 = 1 T, R 2 = 1 oraz wspóªczynnik strat α r = α s ln R 1 2d ln R 2 2d, podstawiaj c te warto±ci do równania (38) otrzymujemy równanie na g sto± wyj±ciowego strumienia fotonów na zewn trz rezonatora w zale»no±ci od transmisji jego zwierciadªa φ out = φ s T 2 ( ) γ0 1 = φ s T α r 2 [ ] 2γ 0 d 2α s d ln(1 T ) 1. (36) Wprowadzaj c g 0 = 2γ 0 d i Γ = 2α s d jako wzmocnienie i straty jakich doznaje strumie«fotonów po dwukrotnym obiegu rezonatora, to powy»sze równanie przybiera posta : φ out = φ s T 2 [ ] g 0 Γ ln(1 T ) 1. (37) Zale»no± g sto±ci wyj±ciowego strumienia fotonów od wspóªczynnika transmisji zwierciadªa, dla ró»nych warto±ci wzmocnienia g 0 i strat Γ, przedstawiono na rysunku (22).
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 18 Rys. 22. Wykresy wzgl dnego strumienia wyj±ciowego φ out w zale»no±ci od transmisji zwierciadªa T dla ró»nych warto±ci strat o±rodka Γ (a) oraz wzmocnienia g 0 (b). W celu wyznaczenia optymalnej warto±ci T posªu»ymy si przybli»eniem ln(1 T ) T, gdy T << 1 i wówczas φ out = φ s T 2 Strumie«wyj±ciowy φ out osi ga warto± maksymaln gdy dφ out dt = 0 = φ s 2 ( g0 Γ + T 1 ). (38) ( g0 Γ + T 1 T g ) 0 (Γ + T ) 2. (39) Równanie to prowadzi do równania kwadratowego na T, którego rozwi zaniami s Poniewa» interesuje nas tylko T > 0 dlatego: T 1,2 = Γ ± g 0 Γ. (40) T opt = g 0 Γ Γ. (41) Warto± strumienia fotonów na wyj±ciu dla optymalnego wspóªczynnika transmisji wynosi ( ) φ opt g0 Γ Γ g0 out(t opt ) φ s 2 g0 Γ 1 = φ ( s g0 ) 2 Γ. (42) 2 Wyznaczanie wspóªczynnika strat oraz wzmocnienia Na podstawie wykresu zale»no±ci strumienia wyj±ciowego φ out od transmisji zwierciadªa mo»na okre±li optymaln warto± transmisji T m oraz transmisj T 0, dla której oscylacje laserowe ustaj. Na podstawie powy»szych wylicze«, zale»no± optymalnej transmisji okre±la zwi zek T opt = T m = Γ( g 0 Γ). Dodatkowo, z wyra»enia (38) mo»emy wyliczy φ out φ s = T 2 ( g0 Γ + T 1 ) = 0 ( ) g0 Γ + T 1 = 0 T 0 = g 0 Γ.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 19 Rys. 23. Charakterystyczne punkty potrzebne do wyznaczenia warto±ci wspóªczynnika strat oraz wzmocnienia. Otrzymali±my ukªad równa«{ T0 = g 0 Γ T m = Γ( g 0 Γ). (43) Rozwi zuj c powy»szy ukªad równa dostaniemy Γ = Tm 2, g 0 = (T 0 T m ) 2. (44) T 0 2T m T 0 2T m Wykonuj c pomiary przy ró»nych szybko±ciach pompowania, czyli ró»nych g 0, powinni±my dosta wzrost g 0, natomiast Γ nie powinno ulega zmianie, gdy» straty rezonatora s staªe, niezale»ne od pompowania.
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 20 Dodatek A. Warunek stabilno±ci rezonatora. Stabilno± rezonatora mówi o tym, kiedy wi zka wewn trz wn ki nie deogniskuje si. wiatªo opuszcza rezonator przez zwierciadªo wychodz ce. Je»eli natomiast wi zka deogniskuje si, a ±wiatªo opuszcza rezonator powierzchniami bocznymi, mówimy wtedy o rezonatorze astabilnym. Na Rys 16. przedstawione zostaªy dwa przykªady rezonatorów, pªaskorównolegªy i konfokalny. Rozwa»my rezonator o dªugo±ci d zbudowany ze zwierciadeª o promieniach krzywizny r 1 i r 2 oraz przyjmijmy,»e wspóªczynnik zaªamania o±rodka wewn trz n = 1. Macierz opisuj ca odlegªo± promienia od osi optycznej y 2 oraz k t γ zawarty mi dzy nimi po jednym przej±ciu przez rezonator przyjmuje posta : [ ] A B C D Po N przej±ciach w rezonatorze: = = [ ] [ ] [ ] [ ] 1 0 1 d 1 0 1 d 2 r 1 1 0 1 2 r 2 1 0 1 [ 1 2d r 2 2d 2d2 r 2 4d r 1 r 2 2 r 1 2 r 2 1 2d r 1 4d r 2 + 4d2 r 1 ρ 2 ]. (45) [ ] N A B = 1 [ ] A sin(nω) sin[(n 1)Ω] B sin(nω), (46) C D sin Ω C sin(nω) D sin(nω) sin[(n 1)Ω] gdzie cos Ω = 1 2 (A + D), sin Ω = 1 1 4 (A + D)2. Macierz (46) okre±la przesuni cie promienia wzgl dem osi optycznej i tangens k ta nachylenia promienia po N przej±ciach przez rezonator, st d: y (N+1) = {A sin(nω) sin[(n 1)Ω]}y 1 + B[sin(NΩ)]γ. sin Ω Je»eli Ω jest rzeczywiste, to y (N+1) oscyluje. Promie«porusza si w pobli»u osi optycznej. Dla k tów urojonych: sin Ω = sin(iφ) = 1 [exp( φ) exp(φ)] = i sinh(φ); 2i w tym przypadku zale»no± y (N+1) od N staje si funkcj hiperboliczn rosn c do niesko«czono±ci ze wzrostem N. K ty musz by rzeczywiste, dlatego musi zosta speªniony warunek: cos Ω 1. Warunek stabilno±ci najcz ±ciej przyjmuje posta : gdzie wielko±ci: 0 < g 1 g 2 < 1, (47) g 1 = 1 d r 1, g 2 = 1 d r 2 nazywane s parametrami g rezonatora. Wykres g 1 (g 2 ) dla ró»nych rezonatorów przedstawia si w postaci tzw. diagramu stabilno±ci (Rys. 17).
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 21 B. Mody podªu»ne i poprzeczne rezonatora laserowego Rezonator laserowy dziaªa jak ltr cz stotliwo±ci tak samo jak interferometry, w szczególno±ci interferometr Fabry-Perot'a. W przypadku rezonatorów laserowych zastosowanie maj takie poj cia jak przedziaª dyspersji ν F = c/(2nd) czy nezja F = π r /(1 r ); gdzie c pr dko± ±wiatªa oraz R amplitudowy wspóªczynnik odbicia zwierciadeª. Poj cie przedziaªu dyspersji w peªni charakteryzuje jakie cz stotliwo±ci ±wiatªa powstaj w rezonatorze. Finezja natomiast okre±la ich szeroko± spektraln. W rezonatorze o odlegªo±ci d pomi dzy zwierciadªami i wspóªczynniku zaªamania o±rodka wypeªniaj cego n mo»liwa jest generacji ±wiatªa dla szeregu ró»nych cz stotliwo±ci równoodlegªych od siebie o wielko± ν F. Ka»dej z tych cz stotliwo±ci odpowiada konkretny rozkªad pola elektromagnetycznego fali ±wietlnej, który nazywamy modem podªu»nym rezonatora. Dla ka»dego modu podªu»nego mog równie» istnie stabilne konguracje pola elektromagnetycznego w pªaszczy¹nie prostopadªej do osi optycznej rezonatora. S to mody poprzeczne. Ich liczba zale»y gªównie od wymiarów poprzecznych o±rodka czynnego, a w ogólno±ci od geometrii rezonatora. C. Wªasno±ci wi zki laserowej Wi zka ±wiatªa nigdy nie jest dokªadnie równolegªa. Gªównym ograniczeniem równolegªo±ci wi zki laserowej jest dyfrakcja. Dyfrakcyjn rozbie»no± wi zki laserowej mierzon w k cie bryªowym wyznaczamy ze wzoru: Ω λ2 A, gdzie A jest apertur wyj±cia lasera. Jest to wielko± rz du pojedynczych sekund k ta, wi zka laserowa nie jest wi c idealnie równolegªa i nie mo»na jej skupi w punkcie o niesko«czenie maªym promieniu, tak jak wynikaªoby to z optyki geometrycznej. Efektywnie stopie«nieidealno±ci wi zki laserowej mo»na okre±li przez rozmiar plamki w miejscu ogniska. Wi zka gaussowska przechodz ca przez soczewk ulega w rzeczywi±ci przew -»eniu i przybiera ksztaªt przedstawiony jak na Rys. 24. Rys. 24. Ukªad optyczny redukuj cy rozbie»no± wi zki. rednica plamki, gaussowskiej wi zki laserowej, po skupieniu przez soczewk zale»y od rozbie»no±ci wi zki ( Θ) oraz ogniskowej soczewki (f) i w przybli»eniu wynosi: w 0 f Θ. Powy»sza zale»no± pozwala na skonstruowanie ukªadu redukuj cego rozbie»no± wi zki jak przedstawiono na Rys. 24. Odst pstwo od idealnej wi zki gaussowskiej dla rzeczywistej wi zki laserowej okre±l si parametrem jako±ci wi zki M 2 : M 2 = w r tan Θ r = w r tan Θ r, (48) w G tan Θ G λ/π
II Pracownia Fizyczna IFUJ Laser Nd:YAG 22 Parametr ten jest wielko±ci bezwymiarow i wyznacza si go odnosz c przew»enie rzeczywistej wi zki w r i jej rozbie»no± Θ r do przew»enia w G i rozbie»no±ci Θ G wyidealizowanej wi zki gaussowskiej. Parametr M 2 jest równy 1 dla idealnej wi zki gaussowskiej i im wi ksz przyjmuje warto± tym sªabsza jako± emitowanej wi zki.