"Maemac ą jak Facuzi: cokolwiek im ię powie od azu pzekładają o a wój wła jęzk i wówcza aje ię o czmś zupełie im." Joha Wola Goehe Weźm : Jeżeli zdeiiujem ukcje pomocicze j : j dla j = o = dzie = Czli wacz pzeaalizowad ukcję : De. Niech cią =. Mówim że cią ma aicę = oz. = ε > : < ε Np. Wkaż że : Tw. WKW zbieżości ciąu i : i i
Np. Oblicz Odp.: e De. Niech Ooczeiem puku o pomieiu > azwam K = * : < + Sąiedzwem puku o pomieiu > azwam S = K \{ + De. Mówim że ukcja : ma w pukcie aicę oz. de. Cauche o ε > δ > K δ : < ε de. Heieo > S : = = zauważm że dla jeżeli pzjmiem wpółzęde bieuowe = = coα = iα o = + = = + coα + iα jeżeli + coα + iα ie zależ od wbou α π Np. Oblicz. e
. Odp.: ukcja ie ma aic w pukcie. i co i co co i co co i co
i co i De. Niech : Gaicami ieowami ukcji w pukcie azwam każdą z aic - oaz -. Tw. o aicach ieowach Jeżeli iieje = oaz > + : = φ [ lub > + : = φ ] o iieje aica ieowaa - = [ lub - = ] Np. Oblicz aice ieowae dla w.
Wioek: Jeżeli aice ieowae ukcji w pukcie ie ą ówe o ukcja ie ma aic w m pukcie. De. Mówim że ukcja : je ciąła w pukcie D = Mówim że ukcja : je ciąła w zbioze X D je ciąła w każdm pukcie zbiou X Wioek: Suma ilocz iloaz złożeie ukcja odwoa o ile iieje z ukcji ciąłch ą ciąłe w zbioach w kóch ą okeśloe. Np. Zbadaj ciąłośd. je ciąła w \{}. je ciąła w \{: = =-}
De. Niech :. pochodą cząkową wzlędem zmieej ukcji w pukcie azwam liczbę oz. pochodą cząkową wzlędem zmieej ukcji w pukcie azwam liczbę pochodą cząkową wzlędem zmieej ukcji w pukcie oz. azwam liczbę oz. Wioek: Wzkie właości pochodej ukcji jedej zmieej ouje ię do pochodch cząkowch ukcji wielu zmiech. Np. Oblicz pochode cząkowe.. ac l
+. = + = dla = + + + dla = = = = = = = + = + + + ie iieje De. Niech : ma wzkie pochode cząkowe w Różiczką ukcji w pukcie azwam odwzoowaie czli d = i= d : i i i= i i Np. Napiz óżiczkę w pukcie - ukcji = l+ d - = 5 5 = + = + = 5 = 5
De. Mówim że : je óżiczkowala w iieje d oaz d = dzie = + + + je pzoem zupełm ukcji dla pzou Tw. Jeżeli : ma wzkie pochode cząkowe ciąłe w o je óżiczkowala w Np. Zbadaj óżiczkowalośd w pukcie ukcji = + + + = + + + + = = co α + co αi α coαi α = = = czli ie je ciąła aaloiczie dla dla = coα = iα
zbadajm cz mimo o ukcja je óżiczkowala d + = + + ukcja ie je óżiczkowala = + = + = + = Iepeacja eomecza óżiczki Fukcja : je óżiczkowala w iieje powiezchia cza do wkeu = w pukcie Tw. Jeżeli : je óżiczkowala w o powiezchia cza do wkeu = w pukcie ma ówaie - = d dzie Δ= Np. Napiz ówaie płazczz czej do = l w pukcie = = = = : z = : z =
Tw. Jeżeli i : m dla i = m mają wzkie pochode cząkowe w pukcie =... o m oaz : ma wzkie pochode cząkowe w pukcie = o: Np. Oblicz pochode cząkowe ukcji złożoej dla = l = = De. Gadieem w pukcie ukcji : kóa ma wzkie pochode cząkowe w pukcie azwam weko De. Niech : v v =. Pochodą kieukową ukcji w pukcie w kieuku wekoa v azwam liczbę... j i j i j i m l 6 l 6 v v v '
De. -ą pochodą cząkową pochodą cząkową -eo zędu z ukcji : w pukcie azwam pochode cząkowe z dowolej - pochodej cząkowej ukcji w pukcie. Np. Oblicz pochodą kieukową ukcji w pukcie w kieuku wekoa v v Tw. Jeżeli : k je óżiczkowala w pukcie v E k i v = o Np. Oblicz pochodą kieukową ukcji z wekoa v = 5 5 5 5 = l z = = z = l z w pukcie = w kieuku = v v v = 5 + 5 + 5 5 = + 5 5
Np. Wlicz pochode cząkowe zędu z ukcji dla > Tw. Schwaza Jeżeli ukcja : k ma pochode cząkowe zędu -eo ciąłe w o o waośd pochodch cząkowch miezach zędu ie zależ od kolejości wliczaia kolejch pochodch cząkowch. aci 8 8
Np. ; ip. De. Jeżeli : ma pochode cząkowe -eo zędu w pukcie o ą óżiczką zupełą ukcji w pukcie azwam óżiczkę z - óżiczki ukcji w pukcie oz. d Tw. Jeżeli : ma pochode cząkowe zędu -eo ciąłe w o d = + + - Np. Oblicz d dla = d = + + = 6 = = 6 = 6 = = 6 + d Tw. Taloa Jeżeli ukcja : ma w pewm ooczeiu K puku ciąłe pochode cząkowe do zędu + włączie o K θ : = + d! + d! + + d! + + d + +! +θ - eza Laae a =
Np. Napiz wzó Taloa dla ukcji = w pukcie = = = = = = = = = d = + = + d d = 6 d = = + + + + + De. Mówim że ukcja : ma makimum albo miimum lokale w > S : < > Tw. WK iieia ekemum Jeżeli : ma w ooczeiu puku ciąłe pochode cząkowe wzkie oaz ma w ekemum lokale o i = : i = De. Puk w kóm ukcja : może mied ekemum azwam pukem acjoam Np. Wzacz puk acjoae ukcji z = + z + + 6z + 5 = + + = = z = z = + 6 = = 6 = z = 8 pukem acjoam je puk P = 6 8
Tw. WW iieia ekemum Jeżeli : ma w ooczeiu puku ciąłe pochode cząkowe -o zędu i d = dla dowoleo oaz > < o ma w miimum makimum lokale. Np. >. Wzacz ekema ukcji = + D = = = puk acjoa: = = = = = =. wzacz ekema ukcji = D = = = = = = = = = = = puk acjoae: w pukcie ma miimum = = = > <
= = dla = ma ekemum dla = ie ma ekemum dla = : = : = : = ie ma ekemum = = = = = w pukcie ie = w pukcie = w pukcie dla = : = = makimum = w pukcie ma. wlicz waośd ajwiękzą i ajmiejzą ukcji = w zbioze D = * : + + zukam puków acjoach wewąz zbiou D: = = puk acjoa: zukam puków acjoach a bzeu zbiou D: + = = ± dla = = puk acjoae: -
dla = = puk acjoae: - - = -=8 =8 -=- =- waośd ajwiękza 8 waośd ajmiejza -