Wkł 8 Równni ruchu Bjc ruch mienn ilnsowlim min pu. Bilns okłn w csie skoconm rko jes moliw. Np. erjce si ciło nje uernm cskom powojon wro włsnej prkoci le sm prko włnie wskuek ego mleje. Procenow min w rkcie krókiego ocink csu kiej prkoci jes niewielk grnic sosunku / pr -> uskn kiego prlionego ilnsu jes n sccie upełnie cisł. W roprwnm prpku / S ρ / M. Tk pojwij si równni wierjce pochone. osrok W prpku rkie wnclim prko jko unkcj ms m mienijcej si wskuek splni pliw. W m wpku nlelim /m -w/m. Z ch wóch prkłów rugi prpek wje si pross. Prwo iki powieiło nm ile wnosi pochon konkrenej wielkoci lenej o innej wielkoci wron pre mienn nielen. Ale prpek pierws sprow si w isocie o ego rugiego g pisem owron sosunek prrosów / M / Sρ osrok. Tk npisne równnie wr pochon unkcji pre mienn nielen. Jeli nuclim si rónickow pewn lic rónch unkcji o lko prm c wró wników rónickowni jes k jk ns. G njiem k unkcj o mm pewno e ns leno róni si o niej lko o sł. W ochcsowch prkłch wsrcł nm njomo pochonej unkcji pogowej n n n logrmu pr poswie e: ln / e e. i unkcji wkłnicej: Ale cie nie jes kie prose. Nwe g prolem sprowi nm si o wnceni ej w. unkcji pierwonej jej nleienie moe nie moliwe w nej nnej nm lic pochonch rónch unkcji. Nie porim soie nwe prosmi równnimi g pochon le i o miennej lenej i nielenej. G chcie rowi n prkł równnie α / kórm pog oporu mieni si w rkcie ruchu jkich powoów o wroci n pocku o wroci smpocnie wór ni ni jko miennej nielenej nic nm nie pomoe. N osnim wkłie sporo uwgi powicilim niu prkłu w kórm pojwi si sił len o połoeni. W kim wpku mm F / m gie nie jes wcle nne jenie wiomo e. Mm wic wie sukne wielkoci. Mon u wprwie po si jenej T w
posukiwnch wielkoci prkoci le cen wproweni rugiej pochonej połoeni rkownego jko wielko sukn: F / m. G rug pochon ł wron pre mienn nielen prolem sprowł si o wukronego sukni unkcji pierwonej le u k nie jes!. Owrono rugiej pochonej nie jes niese rug pochon unkcji owronej! No i wrescie opis ruchu nwe pojencego punku merilnego wmg wproweni wicej współrnch ni lko. N płscnie porene jes jesce. Prw Newon wic ukłem wielu równ n wiele niewiomch unkcji. Isniej romie sposo i romie kls równ kóre mon rowi nlicnie o nc po konkrene wor n osecne lenoci wsskich współrnch o csu:... ec. Biecie je ponw w scególnoci n mechnice eorecnej le re ucciwie powieie e lic prpków rowiwlnch w sensie wrch worów jes kropl w moru wsskich prolemów!!! Legen kr o w. prolemie rech cił oiłujcch grwicjnie. Funowno królewskie ngro jego rowinie jenk poosje ono nierowine o seregu suleci. C ro nle cierpie ego powou? S e nie. Posrm si pok isij jk proso i nurlnie mon rowiw równni pochonmi równni rónickowe pojwijce si w wiku prolemem ruchu meo numercn. Zjmiem si mi innmi ruchem hrmonicnm kór nle o ch łwch prpków le jenm prosm opisniem rech lierek mienim go w ruch whł icnego wchlonego o c nwe 79 prpek nie mjc nic wspólnego ruchem hrmonicnm. I wcle nie ki łw. Inn le ropocci row numercnch prpkiem łwo rowiwlnm poleg n łwoci konroli smego mechnimu numercnego. Prjmijm powsechn konwencj e pochon nej wielkoci po csie pisujem swijc kropk n wielkoci. I k jeli połoenie jes o prko prspiesenie Wsskie omwine ochcs równni j si pis w posci To sokujc proso!!!!
Gie ocwicie le pies pogren. Niewinnie wgljce o nie jes jen mienn licow iór kilu miennch: }. Ile ich jes? To le. Dl równni oporem kwrowm wsrc lko. Dl równni oporem lenm o csu pore wie mienne: T T / gie } } / } } } α α Wrescie równnie Newon ogóln sił len i o csu i o połoeni i o prkoci: m F F / gie } } } } } Dl punku n płscnie ie: m F m F F F / / gie } } } } } O iore wielkoci i mon mle jk o współrnch pewnego punku w srkcjnej presreni wnej presreni ow. Równnie mówi nm e g roprwne wielkoci opisujce ruch i cs i połoeni i prkoci mj okrelone wroci cli g sn ukłu opowi okrelonemu punkowi w presreni owej równnie kcnie ukł równ wnc chwilow sko premiescni si ego punku. W młm preile csu punk preniesie si o. Ale ego nowego punku nów wiem ok si preniesiem po kolejnm. I k mon ewoluow e koc!
Roienie kiej ewolucji pre wpiswnie kolejnch worów nie m jenk prsłoci. Ale proceur jes niesłchnie łw o reliowni n owolnm ureniu liccm. Wsrc powsechnie nn rkus klkulcjn. G si chce osi kompuer prolem musi lece skonkreown. Jk oiecwłem n pocek jmiem si ruchem po wpłwem sił proporcjonlnej o wchleni. m k Konkrecj prolemu musi le nie jes k le m musieli ecow si jk konkrenie ms i jk sł sprsoci wierm. Dl poci si ch słch wprowim mis wkłego csu wielko o niego proporcjonln ω. Sł ω wierem chwil. Dielc równnie einiujce prko pre ωmm ω ω Wswijc prkoci o równni prspieseniem mm ω m mω k cli: k mω Ter wi jk opłci si wr ω. Ocwicie k k mω ω cli : k m Równni rónickowe: sj si ro smpcne!!!! Róne icne osclor sprowilim o jenego równni. Njpross lgorm ewolucji: uwn jes w owoch wiere o isnieniu i jenoncnoci rowini ukłu równ rónickowch. Nie srjc si o wielk precj uwm e po poieleniu porenego kresu n n kwłków wielko prrosu sje si owronie proporcjonln o n. Prros e jes proporcjonln o /n ł wgln prrosu jes e /n ł ewgln prrosu proksmownego ilocnem pochonej jes /n. Sum łów po oniu n skłników jes /n wic mon j ucni owolnie mł pre wicie osecnie uego n.
Jeli chcem lic np. okłnoci cr o koniecno rowni kroków moe nie wgl chcjco. Isnieje nlnie pros sposó ulepseni lgormu. Precie uo lism prw jes unnie e prko w roku preiłu j. w punkcie: / / / lepiej nje si o okreleni prrosu ek n cłm preile ni prko n pocku preiłu!!!! Zem ecujem si n lgorm ewolucji: /. Słowmi: N pocku nm lko wro pockow wsskich skłowch. Znm wic prko włcnie pockow jko poc. Z jej pomoc prlim gie ie po połowie ocink csu nspnie w m punkcie licm jesce r cli sko min i opiero wro mnom pre unjc o lepse prlienie kcnego prrosu. Pre prspieniem o olice uslm jesce jeen k kór ie niełm sprwinem okłnoci. Oó rónickujm sum kwrów: Jes on sł w csie ewolucji. N pocek jm en emln lgorm. Krok wiłem rin. Wi e sum kwrów ronie. Ale wgl ruchu jes cłkiem cłkiem... Zmin nku nspuje pomi. G ko słsł o licie π powinien owolon. Poonie wkres lenoci wgl jk osclcj.
^^ 99 99 99 97 97 99 96 9 6 9 96 9 9 6 9 9 8 8 6 7 8 8 66 79 7 8 79 66 76 77 89 9 77 7 87 6 97 6 87 88 78 6 7 88 996 8 7 8 9 9878 886 68 89 988 67 898 8 9 7 7 87 9 87 6 7 86 6 6 8 7 8 9 76 7 6 8 8 8 8 8 66 96 9 67 88 8 8 9 7 7 96 8 6 96 968 6 7 6 97 88 77 7 7 8 7677 88 697 8 768 68 96 8 6 9 68 9 97 9 7 97 9 98 96 8 8 98 9 79 9 79 9 87 9 9 87 7 77 78 8 7 6 6 6 6 6 6 7 79 UWAGA Wroci ujemne wpiswne s e nku minus le o n cerwono! Mon si wi łwo smemu mniejsjc krok o. Arkus si włu re ukrw c wiers lo gni po rkusu w e i we we co n wkłie jes nieogone. Niewpliw onk polepseni okłnoci jes ncne mniejsenie rónic mie sum kwrów jenk. Prej o nowego rkus lepsm lgormem. Oo on: 6
^^ 99 99 99 98 97 8 96 9 9 9 98 9 6 8 877 6 8 6 88 7 797 67 6 76 8 7 68 78 698 9 66 7 78 6 8 8 8 9 97 869 89 7 9 99 66 9 96 6 7 978 986 677 8 8 99 9979 68 6 8 9997 9 6 7 8 998 99 7 8 8 98 97 9 79 96 9 6 7 99 98 9 6 887 867 8 86 866 96 6 6 777 7 669 6 76 7 677 7 6 77 66 9 89 6 6 8 89 7 7 88 69 96 7 8 97 78 7 9 7 9 96 8 7 97 7 98 86 6 99 8 6 998 87 6 9997 8 6 6 7 8 Ter sum kwrów róni si o opiero n -m miejscu po precinku. e wnc miejsce erowe unkcji opisujcej ruch mienim osni krok w rurce A k w rurce E mie ero. Wro csu ω wnosi 6. Troch mło jk n pi. Brkuje 6 cli prwie %. Zmniejsm krok o. Wikso wiers n ponism igrmie jes schown: Ujwnione s pockowe i kocowe wierse 7
^^ 9998 9996 999 9998 9999 9 9 6 Osni krok 9 jes orn k wro połoeni w komórce E7 oprowi o er. Wroci klucowego - jes 9.. ku i or w ie wicie9 o plonów niem e ruu... Mimo swej proso meo jes ro skuecn. Zuwm e pr kroku sum kwrów w okolicch 8 rónił si o o niecłe /. Ter sum róni si lewie o /. Zuwm e e po csie ω 9... ciło wróciło o połoeni pockowego prko jenie mienił nk. Cł proces okłnie si powór i po kolejnm ω 9 wrunki pockowe owor si łcnie e nkiem prkoci. Bn ruch jes preo ruchem okresowm. Ciło rg okresem T * 9 / ω A er oiecne whło icne. Jk pmicie e skoł ke jk mon o nchmis owor prspiesenie liniowe whł w kierunku scnm wnosi g sinϕ. Prspiesenie liniowe o ke l ϕ. Zem: ϕ g l sin ϕ ω Wprowjc cs ϕ sinϕ sin ϕ ω mm osecnie: Dl młch mpliu sinus k mon spi smm kem i mm o smo równnie co poprenio. A co umi mpliumi??? W isniejcm pliku klkulcjnm wsrc ron poprwk. Tre w ormułch n prros wpis SIN. I o wssko! Wpisujem A*F-A*SINE/ w pocji C i -A*SINEA*F/. Dl osclor hrmonicnego nie ło ego SIN. Nie ło o prspiesenie ło okrelone pre nie pre jego sinus. Prwo chowni energii wie er kw- 8
r prkoci wsokoci n cosinusem k. Wrunki pockowe wgonie jes er wi kie prko poc. k pockow ł u np. Pi*/8. ^*-COS 9 866 9 866 87 77 76 7 879 6 6 89 8 6 96 96 98 6 87 9 96 6 7 8 9 878 679 8 676 96 89 7 9 77 979 76 8 87 99 66 9 97 9 7 997 7 98 9 68 9 98 7 7 6 96 6 9 6 9 87 97 889 7 9 77 76 66 8 98 6 67 67 7 9 6 9 6769 9 698 8 69 77 7 8 968 7 7 766 7 77 6 9 78 7 9 96 689 66 8 88 66 6 66 69 76 77 7 8 7 9 98 9 8 9 88 6 7 9 7 899 8 6 6 79 99 8 8 98 9 7 8 996 78 98 66 9 88 99 7 87 78 98 88 76 6 687 96 87 69 7 9 9 97 7 8 98 96 98 9 6 98 6 6 89 7 7 8 88 7 8 87 89 97 866 99 99 9
Pows rkus jes olicon l wchleni j. l π. Tk ormuł jes wpisn 8 w pocji E cho n powsm wruku wiim jej wro 9. Po pół okresu prko wrc o pockowej wroci. M o miejsce l 7Pi. Onc o i okres wh jes łus o 7% o okresu młch rg. Wpisnie owolnego k wchleni pockowego powl n nchmisowe uielenie opowiei n wsskie pni. Wróm jenk o osclor hrmonicnego. Wnclim jego ruch. Pojwił si ciekwe unkcje csu reukownego ω okresowe mienijce si w preile o o o okresie *9... Nie m ch nikogo n ej sli ko nie nł ch unkcji lo ko nie omlł si e kie sme unkcje wspuj e w innch sucjch w scególnoci w rgonomerii. Z minuk en wiek usnowim. Prpomnijm i e wglu n równni: prros sum kwrów jes wklucon: C sm wro ej sum wncon jes pre wrunek pockow. N płscnie owej poosjem w csie ruchu n okrgu o promieniu C. Tre er okreli jk si en punk premiesc wr upłwem csu. To łwe. C Zem : φ ϕ φ C φ C Z rsunku ocujem : C sin φ C cos φ ω φ
Prechoc o wkłch miennch mm C sin ω φ ω ωc cos ω φ Korsjc e nnch worów n unkcje rgonomercne sum ków mm: C sin ω φ C sin φ cos ω C cos φ sin ω ω ωc cos ω φ ωc cos φ cos ω ωc sin φ sin ω Dwie owolne słe: mpliu i moem jeli wgoniej spi pockowmi wro- cimi połoeni i prkoci: C sin φ ωc cos φ cos ω C cos φ cos ω ωc sin φ sin ω sin ω cos ω sin ω ω cos ω ω sin ω Jes o komplene rowinie prolemu ruchu osclor. Powsje pnie c woec isnieni i o k sosunkowo prosego rowini nlicnego wro ło jmow si rowiniem numercnm? No có. To kwesi gusu. W powsm poejciu i głosem Fenmn. Jes sereg le uwiomieni soie jk prcuj równni ruchu. Jen korci ło nieml nchmisowe e nego wsiłku prejcie o osclor hrmonicnego o nhrmonicnego. Inn sprw o sme unkcje sinus i cosinus. Wje nm si e wiem cemu one s równe. Ale k nprw rgonomerii o m lko wiim n rsunku jki jes ich sens licow polic o soie moem l c 6 sopni. Włnie osnio mój wnuk mnie opuje o cuje si nieswojo no co o jes en sinus l le jkiego k? Ocwicie w presłoci mr luie roili lice isij w le klkulorku ocm wro sinus jm n o rin. A m soie smi policlim! Zglm o eli n sronie 7 krokiem i w rurce E mm wlicon pomoc opercji cso rmecnch wro 8. Tle smo co wsie! W wniku n ruch osclor wre s e wne wniki n pochone ch unkcji. Po prosu wiim e pochon sinus jes cosinus cosinus minus sinus. Dwukrone rónickownie kej ch unkcji ke ich owolnej komincji liniowej je powroem sm unkcj le minusem. Ziór włsnoci
ϕ ϕ ; ϕ ϕ ϕ einiuje jenoncnie unkcj. T unkcj wspuje w nsej kolumnie E. T unkcj nw si sinus. T sm unkcj powl wi współrn punku n okrgu ługoci opowieniego łuku. Funkcje rgonomercne grj k win rol w ice e wro ju er pok jesce jen ich włsno. Nie jes runo usk sereg pogow l sinus i cosinus. Punkem wjci niech ie sereg l unkcji wkłnicej: e!!!! Mon go usk wpros einicji lic e i woru n wumin Newon. Z rowinici ego wnik poswow włsno unkcji wkłnicej minowicie o i jej pochon równ si smej unkcji. To wi. K cłon rónickown m mniejs pog wkłnik n jejc o licnik skrc si osnim cnnikiem n! W minowniku. Tm smm k wr rowinici smej unkcji pojwi si w seregu pochonej le e cłon pog pochoi cłonu pog i. G seregu pogowego unkcji wkłnicej oswim soie sme pogi prse lo sme nieprse opiero wukrone rónickownie je nów unkcj wjciow. Nwj si one sinus hiperolicn i cosinus hiperolicn: sinh!!! cosh!! Mm sereg ocwisch relcji: cosh sinh sinh cosh sinhcoshe ; cosh- sinhe - ; sinh e - e - /; cosh e e - /; Jesem lisko! Pore nm lko nku minus pr preprowniu jeen unkcji w rug. Osig si o mienijc seregi l unkcji hiperolicnch n seregi npremienne.
7 sin!!! 7! 6 cos!! 6! Pr wukronm rónickowniu k cłon reproukuje en wceniejs le e k wce- niejs ssieni m preciwn nk! Elegncki wór osje si korsjc lic espolonch. Poniew i ; i i; i wic wi co si ieje po wswieniu i o seregu pogowego l poswowej unkcji wkłnicej. Wr o pogch poielnch pre nie mienij si e poosłe prse mienij nk. Grupuj si w sereg l cosinus. Wr o nk osj mnonik i e posci K osj mnonik i. Po włceniu i osjem sereg l sinus: Słnn wór Euler: e i cos i sin pisn l π rmi i wier njwniejsch lic: iπ e e π i! Jes e ocwicie Uupełnienie preen l enujsów e sin e cos i i e i e Dl osó ineresownch olicenimi numercnmi jcmi wł n rónmi nierowiwlnmi nimi mechniki poj e owou meo ncnego ulepseni olice. Zsnwijc si n lgormem ewolucji: / i i
mon oj o prekonni e skoro ju porim lepiej lic prros ni niwnie o cemu nie sosow ego lepsego prlieni o oliceni prkoci w roku preiłu? / / No có. W powsm wore roek preiłu jes wncon okłniej le rugiej sron wro prkoci w smm roecku cho njokłniej nnm wcle nie pokrw si wroci prkoci reniej jcej cisł wro prrosu. Dlego reci meo liceni prrosu m k sm wro priori jk meo rug. Jes jenk nieco inn i c mon ego wcign jk kor? Mr luie uwli i uowonili e jeli uupełni e meo liceni prrosów o jesce jeen pooru ro ł o prjmujc prko min wro prkoci n kocu preiłu wnconego reci meo: / / o ch cerech rónch sposoów urenijc opowienio mon usk reul super okłn Zpism o w sposó prejrs. Rowm róne prros p p p p : p ; p p/ ; p p / ; p p Wrescie wem reni won ch cerech prrosów: p p p p p / 6 O ile prros p je cisł wnik w jenm kroku lko we g rowinie jes unkcj liniow csu prros p we g rowinie jes owoln unkcj kwrow jk w ruchu jenosjnie prspiesonm o prros p okrelon powej jes cisł l kego rowini kóre ło wielominem -ego sopni w csie. Dl innch równ i innch rowi ł pojencego kroku jes sopni -ego w preile csu ł sum sopni -ego. Dlego wr e wrosem lic preiłów okłno ej meo ronie jk /n. A oo rkus klkulcjn l osclor uown w oprciu o en lgorm krokiem /
-^^ E - - - - 998 99 E-8-99 - 99-98 - 99-9867 987 8E-8 98-97 - 97-96 - 97-9 9 E-8 96-9 - 9-9 -9 9-89 96 E-8 9-9 9-9 - 88-8 9-79 8778 69E-8 6 88-8 8-8 - 8-6 8-66 8 8E-8 7 8-6 8-6 8-6 76-6 8-6 6 768 97E-8 8 76-6 7-68 7-68 7-7 7-68 776 6967 E-7 9 7-7 66-7 66-7 6-78 66-7 78 66 E-7 6-78 8-8 8-8 -8 8-8 87 E-7-8 -87-87 -89-87 89 6 E-7-89 -9-9 6-9 -9 9 66 7E-7 6-9 -9-9 7-96 -9 966 67 8E-7 7-96 -98-97 7-99 -98 98 6997 9E-7 7-99 -99-99 7 - -99 9979 77 E-7 6 7 - - - - - - 9997 9 E-7 7 - - -8 - -8 - - -99-8 - 9966 88 E-7 8 - -99-8 -99-8 -98 - -97-8 -98 978 7 E-7 9 - -97-8 -96-8 -96 - -9-8 -96 96 9 6E-7 - -9-7 -9-7 -9 - -9-7 -9 99 6 8E-7 - -9-6 -89-6 -89 - -86-6 -89 86 8 9E-7 - -86 - -8 - -8-9 -8 - -8 88 88 E-7-9 -8-6 -78-6 -78-67 -7-6 -78 77 6667 E-7-67 -7-7 -7-7 -7-7 -68-7 -7 676 779 E-7-7 -68-77 -6-77 -6-8 -6-77 -6 987 8 E-7 6-8 -6-8 -6-8 -6-86 - -8-6 8689 6E-7 7-86 - -88-7 -88-7 -9 - -88-7 78 97 7E-7 8-9 - -9-8 -9-8 -9 - -9-8 99 9 9E-7 9-9 - -96-9 -96-9 -97 - -96-9 9 9796 E-7-97 - -98-9 -98-9 -99 - -98-9 98999 E-7 9-99 - - -9-99 -9 - - - -9 8 999 E-7 9 - - - - - - - - - E-7 Mimo -kronie wiksego kroku okłno jes o r wielkoci leps ni w popreniej meoie. A porównujc popreni meo m smm krokiem wiim rewelcjn wros okłnoci. Lic pi mis 6 wchoi nm 9 woec prwiwej 9... Kolumn ngłówkmi i j okłne pon lic cr wroci sinus i cosinus w cłm preile o o 8 wlicone co rin. W rie pore k wro poreni moe e ruu e wlicon. Wsrc wpis opowieni prros w opowienie miejsce w kolumnie -sej.
6 Cłk oncon moe ocwicie uwn rowinie njprossego moliwch równ rónickowch w punkcie pr wrunku pockowm. Pon powej o wrinown meo njowni okłnego pojencego kroku wn meo Runge Ku -ego ru je si w m wpku wri sprw ro prosm worem: 6 Zocm co j omwine r meo l cłki n n n l kolejnch pog n. cisł wnik o kolejno. Meo niwn je: Jej uwnie m cech msochimu Meo nieco ulepson je:...7 Dl cci liniowej wnik jes cisł le cłon kwrow po scłkowniu c sopni owrn jes lko w 7% Meo R-K 6 je:. Wrnie wi porjc skuecno meo. Dopiero pi pog w wniku jes ocenin niecile jes prescown le i k lko o %!