ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły dowodzenia, twierdzenie o dedukcji. METOD TLIC NLITYCZNYCH Reguły tworzenia drzewa dowodowego. KRZ: ( ) ( ) ( ) ( ) Wykorzystując owyższe reguły budujemy tablicę (drzewo) dla formuły. Metoda tablic analitycznych dla KRZ wykorzystuje ostać an formuły w nastęujący sosób: każda z gałęzi drzewa rerezentuje koniunkcję formuł etykietujących znajdujące się na niej wierzchołki, tablica rerezentuje alternatywę formuł (koniunkcji) rerezentowanych rzez wszystkie jej gałęzie. Jeżeli każda gałąź tabeli zawiera ewną formułę wraz z jej negacją (gałąź zamknięta), to formuła rerezentowana rzez tablicę (dla KRZ równoważna logicznie formule wyjściowej) jest kontrtautologią. Zatem formuła jest tautologią. 1
ksjomatyczny system KRZ (system S). ksjomaty: odstawienia /, q /, r / C formuł (1) (12) I. ksjomaty imlikacji (1) ( q ) q r (2) [ ( ) [( q) ( r) II. ksjomat negacji q (3) ( ) ( q) III. ksjomaty koniunkcji (4) q (5) q q q r (6) ( ) [( ) ( q r) IV. ksjomaty alternatywy (7) q (8) q q r q r (9) ( ) [( ) ( q r) V. ksjomaty równoważności (10) ( q) ( q) (11) ( q) ( q ) q q (12) ( ) [( ) ( q) Reguła dowodzenia:, reguła odrywania MP (modus onens) 2
DEF. Dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń Γ jest to skończony ciąg formuł, w którym każda formuła jest a) aksjomatem systemu S lub b) dodatkowym założeniem lub c) wnioskiem z orzednich formuł na mocy MP. Formuła jest dowodliwa w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń Γ, jeżeli w tym systemie istnieje dowód, w którym ostatnią formułą jest formuła. Zais: Γ S Tezą (twierdzeniem) systemu S nazywamy formułę dowodliwą bez dodatkowych założeń. Zais: S TW. O odstawianiu w tezach systemu S. Jeżeli jest tezą systemu S, to [ 1 / 1, K, n / n jest tezą systemu S dla wszelkich zmiennych, K 1, i formuł n, K 1,. n DEF. Schemat wnioskowania, K 1, n nazywamy wtórną regułą dowodzenia systemu S, jeżeli, K 1,. n istnieje dowód formuły w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń { } Wtórnymi regułami dowodzenia systemu S są: a) reguła sylogizmu hiotetycznego b) reguła komutacji (SYL) C C (KOM) ( C) ( C) 3
TW. O dedukcji. Niech Γ będzie dowolnym zbiorem formuł oraz, będą dowolnymi formułami. Wtedy Γ, Γ S S Na twierdzeniu o dedukcji oierają się dowody założeniowe tez systemu S. Zamiast dowodzić, że S wystarczy dowieść, co zwykle jest łatwiejsze. Zatem każdej tezie ostaci S odowiada, zgodnie z definicją, reguła wtórna. W ten właśnie sosób dowodzimy twierdzenia warunkowe (jeżeli, to ) w matematyce: zakładamy orzednik imlikacji i wyrowadzamy stąd nastęnik imlikacji. 4
TEZY systemu S (T1) (T2) (T3) (T4) (T5) q q q q q q (T6) q q (T7) ( q) [ ( q r) ( r) rawo sylogizmu hiotetycznego (T8) ( q) rawo Dunsa Szkota (T9) [ ( q) ( q) rawo skracania (T10) [ ( q r) [ q ( r) (T11) ( q r) ( r) (T12) ( q r) ( q r) (T13) ( ) rawo Claviusa (T14) (T15) (T16) ( q) ( q ) rawo transozycji rostej (T17) ( q) [ ( q) q rawo wyczerywania (T18) [ q ( q) (T19) ( q q) (T20) ( q r) [ ( q) ( r) (T21) q ( q) (T22) q ( q) (T23) ( q) ( q) (T24) ( q) ( q) 5
Ćwiczenie 4: wiadomości i umiejętności 1. Po ćwiczeniu 4 student owinien znać definicje ojęć odanych w nagłówku ćwiczenia 2. Student owinien osiadać nastęujące umiejętności: udowodnić, że dana formuła jest tautologią za omocą metody tablic analitycznych okazać na wybranych rzykładach na czym olega dowodzenie w systemie S odać często stosowane reguły dowodzenia (orócz MP) i udowodnić, że faktycznie dana reguła dowodzenia jest wtórną regułą systemu S. rzerowadzać dowody założeniowe tez systemu S 6