Ćwiczenie 71. Dyfrakcja światła na szczelinie pojeynczej i powójnej Cel ćwiczenia Pomiar natęŝenia światła w obrazie yfrakcyjnym pojeynczej szczeliny i ukłau wu szczelin. Wyznaczenie rozmiaru szczelin. Wprowazenie W zjawiskach yfrakcji i interferencji ujawnia się falowy charakter światła zjawisk tych niesposób zrozumieć przy pomocy pojęć optyki geometrycznej. Mówimy o yfrakcji na pojeynczej szczelinie, interferencji na ukłazie wu szczelin, i siatce yfrakcyjnej, gy liczba szczelin jest barzo uŝa. Opis teoretyczny zjawisk yfrakcji i interferencji światła jest zasaniczo jenakowy i sprowaza się o superpozycji fal cząstkowych, wysyłanych, zgonie z zasaą Huygensa, z obszaru szczelin. Interferencja na wu wąskich szczelinach Rysunek 1 przestawia wyiealizowany przypaek interferencji na wu szczelinach S 1, S o szerokości a małej w porównaniu o oległości mięzy szczelinami (a << ). Oległość L szczelin o ekranu jest uŝa w porównaniu z oległością mięzy szczelinami b. Interesuje nas natęŝenie światła obserwowane w punkcie P ekranu, którego połoŝenie określa kąt θ wzglęnie wzglęnie oległość o śroka ekranu. Rys. 1. Interferencja światła na wu szczelinach o małej szerokości Rys. 1. Interferencja światła na szczelinach o małej szerokości.
Interferencja na wu wąskich szczelinach stanowi przypaek najprostszy o opisu ilościowego latego, Ŝe wystarczy rozpatrywać superpozycję wu fal wychozących ze śroków szczelin. Na postawie przybliŝonego poobieństwa trójkątów SPO oraz S 1 S D stwierzamy, Ŝe istnieje róŝnica róg optycznych równa PS PS = S D = sin θ. (1) 1 W konsekwencji fale interferujące w punkcie P ekranu są przesunięte w fazie o kąt ϕ związany z róŝnicą róg optycznych a sin θ proporcją sin θ ϕ =, λ π π zatem ϕ = sin θ. () λ Fala wypakowa w punkcie P ekranu po jest sumą wu fal cząstkowych E = E0 sin ωt + E0 sin( ωt + ϕ) (3) o jenakowych amplituach E 0, przesuniętych w fazie o kąt ϕ. Obliczenie sumy sinusoi (3) jest prostym zaganieniem trygonometrycznym, równowaŝnym oawaniu wu liczb zespolonych przesuniętych w fazie o kąt ϕ. W rezultacie fala wypakowa E = E 1 + E wynosi E = [ E0 cos( ϕ / )]sin( ωt + β). (4) NatęŜenie promieniowania jest proporcjonalne o kwaratu wypakowej amplituy rgań równej E 0 cos( ϕ / ) ϕ I cos. (5) PoniewaŜ rozmiary obrazu interferencyjnego (kilkanaście mm) są małe w porównaniu o oległości szczelina ekran l (kilkaziesiąt cm) przyjąć moŝna, Ŝe sin θ / L. Wykorzystując to ostatnie przybliŝenie i wzór (), otrzymujemy końcową formułę na natęŝenie światła w funkcji oległości w postaci π ( ) 0 cos I = I. L λ (6) NatęŜenie światła na ekranie tworzy zatem równo oalone prąŝki których maksima jasności opowiaają maksimom funkcji cos (rys. a). PoniewaŜ maksima kwaratu cosinusa występują la wartości kąta mπ, gzie m jest liczbą całkowitą, maksymalne natęŝenie światła I 0 obserwuje się na ekranie w połoŝeniach równych ma mλ L =. (7)
Rys.. NatęŜenie światła w obrazach yfrakcyjnych la: a) wu barzo wąskich szczelin; b) pojeynczej szczeliny; c) wu szczelin o skończonej szerokości, la stosunku a/ = 0,3. Rysunki z lewej strony określają geometrię szczelin Dyfrakcja na pojeynczej szczelinie Rozpatrujemy pojeynczą szczelinę o skończonej szerokości a. W celu obliczenia natęŝenia promieniowania obserwowanego po kątem θ naleŝy szczelinę pozielić na uŝą liczbę ocinków i obliczyć sumę uŝej liczby fal cząstkowych pochozących o kaŝej części szczeliny. Problem jest więc matematycznie truniejszy o przypaku wu wąskich szczelin. Szczegóły obliczenia wyjaśnione są w poręcznikach (Halliay Resnick-Walker, część 4). Przy tym samym załoŝeniu o małych rozmiarach kątowych obrazu yfrakcyjnego, ( << L) rozkła natęŝenia światła I() wyraŝa się wzorem sin α πa πa I ( ) = I 0, gzie α = sin θ. (8) α λ λ L Rysunek b przestawia wykres natęŝenia światła. Jego charakterystyczną cechą jest występowanie silnego maksimum głównego, otoczonego prąŝkami o znacznie słabszych natęŝeniach, malejących ze wzrostem numeru prąŝka m.
Wszystkie przestawione poniŝej własności obrazu yfrakcyjnego pojeynczej szczeliny wyprowazić moŝna przez baanie funkcji (8). Minima natęŝenia światła, opowiaające miejscom zerowym funkcji (8), znajziemy la min λ L = m. (9) Natomiast w obrym przybliŝeniu maksima boczne, opowiaające maksimom funkcji (sinα), wypaają la wartości współrzęnej równych ma 1 λ L m +. (10) W obywu wzorach liczba m = ± 1,, 3... określa numer kolejnego minimum oraz numer kolejnego prąŝka bocznego. Stosunki wartości natęŝenia światła w maksimach bocznych o natęŝenia maksimum głównego wynoszą I ( I ma 0 ) 1 1 π m +. (11) Dwie szczeliny o skończonej szerokości W rzeczywistym oświaczeniu szerokość szczelin a stanowi znaczną część oległości mięzy szczelinami (rys. c). Rozkła natęŝenia sin α π π a I ( ) = I 0 (cosβ), gzie β, α. (1) α λ L λ L jest iloczynem wu czynników omawianych uprzenio. Czynnik cos β opisuje prąŝki interferencyjne obserwowane w połoŝeniach takich samych (wzór (7)) jak w przypaku wąskich szczelin. Maksymalne natęŝenia światła w tych prąŝkach nie jest juŝ stałe, lecz zmoulowane przez czynnik yfrakcyjny (sinα/α) pojeynczej szczeliny. Powouje to, Ŝe niewielką liczbę najjaśniejszych prąŝków obserwujemy tylko w obszarze śrokowego maksimum yfrakcyjnego, w rejonach bocznych maksimów yfrakcyjnych prąŝki są lewo wioczne. Obserwacja zjawiska z wykorzystaniem lasera Źrółem światła monochromatycznego i spójnego jest laser półprzewonikowy zasilany napięciem kilku V (wytwarzanym przez zasilacz sieciowy). Laser wytwarza wiązkę światła spójnego i monochromatycznego. Rysunek 3 przestawia schemat ukłau o pomiaru natęŝenia światła. Detektorem światła jest fotoioa. Jest to element półprzewonikowy w objętości którego fotony paającego światła wytwarzają swobone elektrony. Po ziałaniem przyłoŝonego napięcia U elektrony te płyną o obwou zewnętrznego jako prą I proporcjonalny o natęŝenia paającego światła. Prą ten z kolei wytwarza na oporniku R napięcie U = I R mierzone woltomierzem cyfrowym.
Rys. 3. Ukła pomiarowy o baania yfrakcji i interferencji (wiok w lierunku prostopałym o wiązki laserowej) Wyjaśnienia wymaga problem zolności rozzielczej naszego etektora. Fotoiozie naleŝy się przyjrzeć, by stwierzić, Ŝe we wnętrzu obuowy mamy krzemowy element czynny w kształcie kwaracika o boku około 0,8 mm. Detektor uśrenia zatem funkcję I() po tej ługości, co prowazi m.in. o obniŝenia natęŝenia światła w maksimach i powstania niezerowego sygnału w minimach (gzie natęŝenie światła powinno teoretycznie spaść o zera). Obliczony teoretycznie wpływ tego efektu na obserwowaną funkcję I() la pojeynczej szczeliny przestawia rysunek 4. RównieŜ inne ostępstwa eksperymentu o załoŝeń teorii, jak np. nierówne szczeliny czy teŝ niezupełna równoległość wiązki laserowej, przyczyniają się o rozmywania obrazów yfrakcyjnych i słabszego natęŝenia w prąŝkach bocznych. Rys. 4. Iealny obraz yfrakcyjny la pojeynczej szczeliny (wzór 8, linia przerywana) i efekt wpływu skończonej szerokości etektora (linia ciągła). W przeciwieństwie o rysunku b ten wykres wykonano we współrzęnych półlogarytmicznych