Wykład 19: Elementy fizyki współczesnej Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31 szkla@ag.edu.pl ttp://layer.uci.ag.edu.pl/z.szklarski/ 1
Promieniowanie ciała doskonale czarnego W 180 roku William Wollaston zauważył ciemne prążki w widmie słonecznym, ale nie przywiązał wagi do tego spostrzeżenia. W 1814 roku Josep von Fraunofer podjął badania widma słonecznego - najważniejsze linie oznaczył literami od A do G (od czerwieni do fioletu). W 1859 roku Gustav Kircoff sformułował prawo mówiące, że atom może pocłaniać (absorbować) promieniowanie takic długości, jaki jest sam wstanie emitować.
Dla każdej substancji istnieje rodzina takic krzywyc, odpowiednic w różnyc temperaturac. Własności emitowanego promieniowania nie zależą od rodzaju substancji. Model idealnego ciała stałego - ciało doskonale czarne. Całkowita intensywność promieniowania u tot u tot T 4 Odbicie i absorpcja Ludwig Boltzmann (1835-1893) stała Stefana-Boltzmanna σ = 5.68 10-8 W/(m K 4 ) 3
Prawo przesunięć Wien a maxt.910 3 m K Przykłady Dwie jednakowe planety krążą (jako ciała doskonale czarne) w odległościac r oraz r od swojego słońca. Na planecie bliższej słońca średnia temperatura wynosi 350 K. Jaka średnia temperatura panuje na planecie o większym promieniu orbity? (Odp.: 47,5 K ) 7.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 4
Temperatura powierzcni Słońca wynosi ok. 5500-6000 K. Jaki kolor ma więc Słońce (dla jakiej długości fali przypada maksimum promieniowania)? maxt.910 3 m K 3.910 m K max 0, 57m 5500K Dla jakiej długości fali przypada maksimum promieniowania ciała doskonale czarnego, którego temperatura odpowiada temperaturze ludzkiego ciała (37 0 C)? t 37 0 C T 310 K 3.910 m K max 9, 35m 310 K (zakres IR: 0,78 1000 μm) 7.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 5
Temperatura powierzcni Słońca wynosi ok. 6000 K, jego promień 695,6 10 3 km, a odległość od Ziemi jest równa ok. 1,405 10 8 km. Oblicz jaką energię wysyła Słońce w ciągu 1 minuty i jaką ilość energii otrzymuje w tym czasie powierzcnia 1 m w górnej warstwie atmosfery Ziemi. Moc emitowana=intens.promieniowania*powierzcnia Słońca P u S T 4 4 r tot energia emitowana w 1 min. 8 E P t T 4 4 r 3 4 6 8 610 1,57 695,6 10 60,686 10 J E 5,6810 t energia otrzymana w 1 min. przez 1m E r 4 5 E' T t E' 1,08 10 J 4R R m (żarówka 100 W z odległości 1 m: E = 476 J/m ) 7.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 6
Wyjaśnienie widma promieniowania W opisie widma promieniowania termicznego opartego na klasycznyc teoriac termodynamiki i elektromagnetyzmu (Rayleig Jeans) pojawiła się zasadnicza rozbieżność dla fal krótkic. Wynik ten znany jest jako katastrofa w nadfiolecie bowiem w obszarze tym gęstość promieniowania rośnie w myśl tyc rozważań do nieskończoności. 7
Wilelm Wien (1864-198) W 1896 Wien zaproponował: b e Wien (, T) exp( a / T) 5 Posłużył się analogią do rozkładu Boltzmanna, który dotyczy rozkładu energii klasycznego gazu w równowadze. W 1900 Max Planck zaproponował empiryczny wzór: e b (, T ) 5 1 exp( a / T ) 1 Max Planck zaproponował model ciała doskonale czarnego zakładając, że atomy ścian wnęki zacowują się jak oscylatory elektromagnetyczne, z któryc każdy ma carakterystyczną częstotliwość drgań. 8
Atomy te emitują do wnęki i absorbują z niej energię. Własności powstałego promieniowania we wnęce wynikają z własności oscylatorów, z którymi wnęka jest w równowadze. Zastosował fizykę statystyczną Boltzmanna i wprowadził dwa radykalne założenia: oscylator ma tylko energię opisaną wzorem: E n oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły lecz porcjami kwantami E n Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze stanów kwantowyc nie emituje ani nie absorbuje energii. W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić wzoru Planck a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Plancka oznacza koniec fizyki klasycznej. 9
Dualizm korpuskularno-falowy Radykalna propozycja kwantyzacji energii: w limicie małyc częstości - obraz falowy (Maxwell), w limicie dużyc częstości - o promieniowaniu należy myśleć jak o gazie kwantów E energia cząstki częstotliwość fali Promieniowanie należy w pewnyc przypadkac traktować jak fale a w innyc eksperymentac jak cząstki 10
Przykład 1. Astronauta pozostawił w przestrzeni świecącą latarkę o masie 100g zasilaną akumulatorem o pojemności 1 A i napięciu V. Latarka emituje przez 10 godzin światło o średniej długości 600 nm. Oblicz o jaki odcinek przesunie się, początkowo nierucoma względem statku kosmicznego latarka, od miejsca jej porzucenia.. Stuwatowa żarówka emituje izotropowo 3% swojej energii jako światło widzialne (o średniej długości 550 nm). Oblicz ile fotonów na sekundę trafia do źrenicy (o średnicy 4 mm) oka człowieka znajdującego się w odległości 1 km od żarówki. N/t 83 10 6 fotonów/s 11
Fale materii 194- Louis de Broglie teoria fal materii, 199- nagroda Nobla Hipoteza de Broglie głosi, że dwoiste korpuskularno falowe zacowanie jest cecą nie tylko promieniowania, lecz również materii. W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu fizycznego jest związaną z częstotliwością fali stowarzyszonej, opisującej jego ruc, następującą relacją: E 1
Pęd tego obiektu związany jest z długością przypisanej mu fali następującą relacją: stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o częstotliwości Definiujemy: k c k E p i długości E c c p gdzie jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o długości. Wówczas związek (1) ma postać: p k p mv 1 13
Wielkości carakterystyczne dla cząstki : energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą Plancka z wielkościami które są carakterystyczne dla rucu falowego: częstotliwość, oraz długość fali. Wyrażenie: opisuje długość fali de Broglie. czyli długość fali materii stowarzyszonej z rucem cząstki o pędzie p. p 14
Przykłady Obiekt mikroskopowy: Elektron o masie 9,1 10-31 kg, przyspieszony różnicą potencjałów U = 150 V: m v 7 eu Ue v 10 m 10 m s a zatem 10 m emu Obiekt makroskopowy: Piłka o pędzie 10kgm/s: p mv 10kg m s p 6,6 10 35 m 15
W pewnym mikroskopie elektronowym korzysta się z wiązki elektronów o energii 0 kev. Jeżeli zdolność rozdzielcza mikroskopu jest równa długości fali elektronu, oblicz rozmiar najmniejszego obiektu jaki można przez ten mikroskop obserwować. Porównaj zdolność rozdzielczą mikroskopu elektronowego i optycznego. Rozwiązanie E k p E mv p p m e e E Em stąd p Em 8,67 10 e 1 m W mikroskopie optycznym zdolność rozdzielcza min zatem opt 500 nm = 5 10-7 m e = 8,6 10-1 m 5 rzędów wielkości lepsza rozdzielczość!!! 16
Długość fali stowarzyszonej z rucem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ fizyczny, który umożliwiłby zaobserwowanie aspektów falowyc (interferencja, dyfrakcja) związanyc z tym rucem. Natomiast aby zaobserwować fale związane z elektronem należy dysponować układem o przesłonac posiadającyc rozmiary porównywalne z λ 0.1 nm Takim układem jest sieć krystaliczna. diament 17
Doświadczenie Davissona Germera 197 18
0,165nm warunek Bragga: d sin dla niklu d = 0,091 nm Ni φ = 50 więc 0 90 65 0 zatem 0,165nm ze wzoru de Broglie a, dla napięcia przyspieszającego 54 V: mue 0,165 nm Zgodność wyników potwierdzająca falową naturę elektronów! 19
Ruc elektronu w atomie Ruc elektronów w wiązce nie jest niczym ograniczony. Natomiast w przypadku elektronów związanyc z atomami, ruc elektronów może być opisany przez stojące fale materii. Ruc ten jest kwantowany energia elektronów może przyjmować tylko określone wartości. 0
Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić następująco: Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę fal materii: r n r A więc moment pędu: n p L r p n gdzie n = 1,,.. jest to warunek kwantyzacji Bora! 1
Korpuskularna natura promieniowania Doświadczalnie : Efekt fotoelektryczny (uwalnianie elektronów z metalicznej powierzcni pod wpływem promieniowania o określonej długości) Efekt Comptona (rozpraszanie promieniowania X i zmiana częstotliwości) Te zjawiska, podobnie jak promieniowanie ciała doskonale czarnego, nie mogą być wyjaśnione przy użyciu modelu falowego.
Efekt fotoelektryczny 1887 Hertz; 1888 Stoletow 190 von Lenard Metal plate Collector e - Vacuum camber Potoelectrons A 3
I c b Inny metal c katody niż a i b, Natężenie oświetlenia jak b a Silniejsze b oświetlenie niż a - 0 Różnica potencjałów U [V] + Co się nie zgadza z teorią falową? 1. Energia kinetyczna fotoelektronu jest niezależna od natężenia padającego promieniowania. Dla danej częstości światła, silny strumień i słaba wiązka dostarczają wybijanym elektronom tyle samo energii. 4
Max. energia kinetyczna. Zjawisko fotoelektryczne nie występuje, jeżeli częstość światła jest niższa od częstości progowej (lub długości granicznej) bez względu na to jak intensywne jest światło padające na tarczę. E k Li Na 3. Nie obserwuje się żadnego upływu czasu pomiędzy oświetleniem metalu i emisją fotoelektronu. Klasycznie, energia jest gromadzona i dostarczana w sposób ciągły. 0 f 0 f 1 f częstotliwość Wiadomo, że metal zawiera dużą ilość swobodnyc elektronów (m e masa elektronu, -e - ładunek elektronu), około 1 lub na atom. Te elektrony są quasi-swobodne czyli nie są związane z atomami lecz mogą, po dostarczeniu pewnej energii, opuścić metal. Energia ta nosi nazwę pracy wyjścia W z metalu. Praca wyjścia jest różna dla różnyc metali i zależy od stanu powierzcni. Typowe wartości W zmieniają się od do 8 ev. 5
Wyjaśnienie Einsteina: W 1905 r. Einstein wysunął ipotezę, że światło jest skwantowane (pojęcie wprowadzone przez M.Plancka) i istnieje w porcjac zwanyc fotonami. Energia kwantu E f ν a jego pęd Einstein zaproponował mecanizm efektu fotoelektrycznego. Założył, że foton może zostać zaabsorbowany przez elektron jeżeli energia fotonu przekracza konkretną wartość: p E c ν c λ ν W praca wyjścia z metalu Pojedynczy foton jest absorbowany przez pojedynczy elektron, który może uzyskać energię kinetyczną E k ν W 6
Minimalna energia fotonu f dla wybicia elektronu o energii kinetycznej E k =½ mv E E k =½ mv W Energia kinetyczna elektronu Padający foton wnętrze metalu na zewnątrz metalu Elektrony emitowane z metalu pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego noszą nazwę fotoelektronów. Jest to zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Efekt nie zacodzi na swobodnyc elektronac. 7
Wykorzystanie zasady zacowania energii. = W + E k Jeżeli E k = 0 to gr c gr W gr c W jest to graniczna długość światła, przy której zacodzi zjawisko fotoelektryczne. E k U e U W e e U tg e tg e W e o Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka. 8
Przykład 1: Eksperyment wykazał, że gdy promieniowanie elektromagnetyczne o długości fali 70 nm pada na powierzcnię Al, są emitowane fotoelektrony. Elektrony o największej energii kinetycznej są zatrzymywane przez przyłożenie odpowiedniego pola elektrycznego o różnicy potencjałów 0.406 V. Oblicz pracę wyjścia z metalu. Rozwiązanie: E k eu (1.6 10 19 19 C)(0.405 V) 0.6510 J E f W c f 34 ( 6.6310 Js)(3.00 10 m/s) 19 7.37 10 9 70 10 m 19 6.7 10 J E f Ek 6.7 10 J 4. 19 1.610 J / ev 8 19 ev J 9
Przykład : Długość fali de Broglie a najszybszyc elektronów emitowanyc z powierzcni metalu w zjawisku fotoelektrycznym wynosi B =, nm. Obliczyć długość fali padającego światła, jeżeli praca wyjścia z tego metalu wynosi W = 1,75 ev. Rozwiązanie: c mv W E k E k B mv V m B E k m m B mb W c m B 600nm 30
Przykład 3 A. Wiedząc, że natężenie oświetlenia jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła światła, oszacuj jak zmieni się prędkość fotoelektronów gdy odległość źródła światła od powierzcni metalu zmniejszymy dwukrotnie. B. Jaki będzie efekt dwukrotnego zwiększenia częstotliwości światła padającego na powierzcnię metalu emitującego fotoelektrony? Przykład 4 Korzystając z wykresu przedstawiającego zależność energii kinetycznej fotoelektronów od częstotliwości padającego światła: wyznacz stałą Plancka, oblicz pracę wyjścia elektronu, 6 E k [ev] 1.0.45 [10 15 Hz] określ maksymalną długość fali elektromagnetycznej, dla której można zaobserwować zjawisko fotoelektryczne. 31
Efekt Comptona Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami). Compton (193) zaobserwował rozproszone promienie X o zmienionej długości fali. Klasyczna teoria fal elektromagnetycznyc zjawisko rozproszenia tłumaczyła jako pobudzenie do drgań elektronów ośrodka rozpraszającego, które stają się wtórnym źródłem fal ale bez zmiany długości! 3
Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotonu na quasiswobodnym elektronie e w metalicznej próbce (folii): Załóżmy, że początkowo : elektron jest w spoczynku, pęd wynosi 0, ale energia spoczynkowa m e c foton ma: energię oraz pęd o wartości /c Incident poton q Target electron at rest Recoil electron p Scattered poton e ' e' q 33
Po zderzeniu foton ma energię i pęd o wartości /c Zasada zacowania energii: c Zasada zacowania pędu dla osi OX m 0 c m0 c 1 c v ' m. elektronu m 0 v c v ' 1 c elektron cos cos foton Zasada zacowania pędu dla osi OY -foton v elektron -foton rozproszony 0 m 0 v v ' 1 c elektron sin sin foton 34
Przesunięcie Comptona (długości) Δλ=λ`-λ czyli różnica pomiędzy długością fali przed (λ`) i po (λ) rozproszeniu: ' m c 0 (1 cos) 1 cos m c jest to tzw. comptonowska długość fali równa,4610-1 m 0 W zjawisku Cmptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia. Dla = 0 0 = 0; dla = 180 0 = a dla = 90 0 = (rozproszenie wsteczne); 35
Obserwujemy dwa piki: jeden dla elektronów, drugi dla jonów dodatnic Ze wzrostem kąta rozpraszania, intensywność piku od elektronów rośnie 36
Przykład 1: Obliczyć kąt, pod jakim został rozproszony w zjawisku Comptona foton o energii początkowej 1, MeV, na elektronie swobodnym, jeżeli długość fali fotonu rozproszonego równa jest comptonowskiej długości fali Przykład : Promieniowanie X o długości fali jest rozpraszane pod kątem prostym na elektronie, który uzyskuje nie relatywistyczną prędkość V i zaczyna się poruszać pod kątem = 30 0 do pierwotnego kierunku wiązki X. Zapisz zasady zacowania energii i pędu dla tego przypadku. 37
Zasada komplementarności Nielsa Bora Modele falowy i korpuskularny wzajemnie się uzupełniają: jeżeli dany pomiar dostarcza dowodu falowego, to w tym samym pomiarze nie da się wykryć cec korpuskularnyc i na odwrót. W obrazie falowym natężenie promieniowania: I E czyli średnia wartość wektora Poyntinga jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali. W obrazie fotonowym korpuskularnym: I Nv gdzie N jest średnią liczbą fotonów przecodzącyc w jednostce czasu przez jednostkowa powierzcnię prostopadłą do kierunku rucu fotonów. 38
Uogólnienie ipotezy de Broglie przez Scrödingera dało początek mecanice kwantowej. Fala de Broglie jest reprezentowana przez funkcje falową, która dla przypadku jednowymiarowego ma postać: x ( x, t) Asin ( t) Asin( kx t) Wyrażenie to jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego fali elektromagnetycznej E( x, t) Eo sin( kx t) podstawiając otrzymujemy k p E 1 ( x, t) Asin ( px Et) 39
1 ( x, t) Asin ( px Et) Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określić zarówno pęd p jak i położenie x cząstki? Albo w danym momencie określić dokładnie jej energię? Nie można ic określić dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności Heisenberga. 40
Zasada nieoznaczoności Heisenberga Pomiar w większości przypadków zmienia stan układu. Aby obserwować dany obiekt oświetlamy go fotonami. Im dokładniej ccemy zbadać położenie obiektu, tym krótsza musi być długość fali fotonów używanyc do obserwacji. Fotony o krótszej długości fali niosą większą energię i pęd, a przez to bardziej zaburzają badany układ. Dla przypadku jednowymiarowego: p x x Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowyc, ale odnosi się do samego procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie między obserwatorem i mierzonym obiektem 41
Przykłady Znając czas otwarcia migawki i przesunięcie obliczymy szybkość ale nie podamy dokładnego położenia bo obraz jest rozmyty. Dla krótszego czasu migawki - ostre zdjęcie znane położenie auta ale nie znana jest jego prędkość. 4
Rozpatrzmy dwa obiekty poruszające się z taką samą prędkością v= 300 m/s, wyznaczoną z dokładnością 0,01%. Z jaką dokładnością możemy wyznaczyć ic położenie? Obiekt makroskopowy; kula o masie m=50 g p = 15 kg m/s, p = 0,0001 15 = 1,5 10-3 kg m/s x p 310 3 m 310 3 nm Wielkość ta stanowi 10-17 średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Dla obiektów makroskopowyc istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na procedurę pomiarową żadnyc ograniczeń. 43
Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m=9,1 10-8 g p =,7 10-8 kg m/s p = m v=,7 10-3 kg m/s x p 0,cm 10 6 nm Wielkość ta stanowi ok. 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowyc występują w praktyce zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej. 44
Nieoznaczoność czasu i energii Hipoteza de Broglie odnosi się również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie energetycznym Skoro dp m dv więc dv dp dx mdv dx m dx dt m a dxdt F dxdt dt Stąd px Et Et de dt Stan o określonym czasie życia Δt nie może mieć dokładnie określonej energii. 45
Jeżeli stan wzbudzony atomu ma czas życia τ, to nieoznaczoność energii ujawnia się gdy podczas przejścia do stanu podstawowego o energii E 0 Częstotliwość promieniowania emitowanego w wyniku tego procesu: E Eo f 1 nie jest dokładnie określona f E 1 1 Poszerzenie linii spektralnyc jest zjawiskiem wynikającym z mecaniki kwantowej 46
47
Energia stanu podstawowego W pobliżu najniższej energii, gdzie klasycznie p=0 Energia oscylatora p p p 1 E( x) m x m E x E min 1 x E quantum x oraz 1 E( a) m a 8ma Najmniejsza energia nie jest zerowa Konsekwencją zasady Heisenberga jest występowanie resztkowego rucu w każdym systemie fizycznym. E min E classic x 48