Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego o niepewnych parametrach

AUTOMATYKA 2007 Tom 11 Zeszyt 1 2 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz* Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego o niepewnych parametrach 1. System paraboliczny o niepewnych parametrach i jego model matematyczny Rozwa any obiekt doœwiadczalny jest obiektem typu cieplnego, którego uproszczony schemat pokazany jest na rysunku 1. Jest to metalowy prêt ogrzewany na jednym z koñców elementem grzejnym o d³ugoœci x u, a którego temperatura jest odczytywana przez czujnik pomiarowy o d³ugoœci Δx = x 2 x 1. Sterowaniem obiektu jest sygna³ pr¹dowy podawany poprzez wzmacniacz na element grzejny, a sygna³em wyjœciowym jest temperatura odczytywana przez czujnik pomiarowy. Rys. 1. Uproszczony schemat rozwa anego obiektu cieplnego Podstawowym modelem dynamiki rozwa anego obiektu jest równanie przewodnictwa cieplnego w oœrodku jednowymiarowym, z warunkami brzegowymi Neumanna na koñcach * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie 203

204 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz prêta, wymian¹ ciep³a wzd³u d³ugoœci oraz roz³o onym sterowaniem i obserwacj¹. Jest to równanie ró niczkowe cz¹stkowe, typu parabolicznego o nastêpuj¹cej postaci 2 Θ( xt, ) Θ( xt, ) = a R (, ) ( ) ( ),0 1, 0 2 aθ x t + b x u t x t t x Θ (0, t) 0, t 0 = x Θ (1, t) = 0, t 0 x 1 yt () = y0 Θ( xtcxdx, ) ( ) 0 (1) gdzie: 0, 1, R a, a > 0 wspó³czynnik przewodnictwa cieplnego oraz wymiany ciep³a, b(x) funkcja sterowania, opisuj¹ca element grzejny, c(x) funkcja wyjœcia, opisuj¹ca czujnik pomiarowy. Θ(x, t) temperatura prêta w chwili t > 0 i w punkcie x [ ] Wartoœci wspó³czynników R a i a nie s¹ dok³adnie znane i mog¹ one byæ zapisane jako liczby przedzia³owe: a = a, a, R a Ra, R = a, które buduj¹ przestrzeñ niepewnych parametrów obiektu Q, która mo e byæ zapisana nastêpuj¹co { ( 2 ) : [, ],, } a a a a Q = I R = a R a a a R R R (2) Wierzcho³ki obszaru niepewnych parametrów Q s¹ zdefiniowane nastêpuj¹co: ll = a, R a lh hl = a, Ra = a, Ra (2a) hh = a, Ra Powy sze równanie ciep³oprzewodnictwa mo e byæ zapisane w postaci abstrakcyjnego problemu pocz¹tkowego w przestrzeni Hilberta X = L 2 (0, 1) ze standardowym iloczynem skalarnym. W rozwa anym przypadku równanie abstrakcyjne mo e byæ zapisane nastêpuj¹co (zob. [5]):

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 205 Θ & () t = A( ) Θ () t + Bu(), t Θ (0) = 0 yt () = CΘ() t (3) gdzie: A ( ) Θ= aθ RQ a, 2 { } { } DA ( ) = u H (0,1) : Θ (0) = 0, Θ (1) = 0, 2 2 2 H (0, 1) = u L (0,1) : u, u L (0, 1), CΘ () t = c, Θ(), t Bu() t = bu(), t 1 < u, v >= u( x) v( x) dx (4) 0 Baza ortonormalna przestrzeni stanu budowana jest przez nastêpuj¹cy zestaw wektorów w³asnych macierzy stanu A h i 1, i = 0 = 2cos( i π x), i = 1, 2, 3,... (5) Widmo systemu jest zbiorem pojedynczych, przedzia³owych wartoœci w³asnych, które mog¹ byæ zapisane nastêpuj¹co { i ( 2 ) i 2 2 a} Λ ( ) = Λ ( ) I R : Λ ( ) = π i a R (6) Geometryczna interpretacja widma systemu (6) jest taka, e poszczególne wartoœci w³asne s¹ powierzchniami w przestrzeni R 3 (zob. [5]). Przedzia³owy operator stanu A() jest tak e funkcj¹ niepewnych parametrów obiektu i ma on nastêpuj¹c¹ postaæ { } A( ) = diag Λ0( ), Λ1( ), Λ 2( ),... (7) Poniewa parametry geometryczne grzejnika i czujnika temperatury s¹ dok³adnie znane, to operatory sterowania i wyjœcia s¹ liczbami rzeczywistymi { } B b, b, b,... T = 0 1 2 (8)

206 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz Gdzie: bi = b, hi, b(x) jest funkcj¹ elementu grzejnego: [ x0 ] [ x ] 1, x 0, bx ( ) = 0, x 0, 0 (9) {,,,...} C = c0 c1 c2 (10) gdzie ci = c, hi, c(x) jest funkcj¹ czujnika temperatury: [ ] y, x x, x cx ( ) = 0, x x1, x2 0 1 2 [ ] (11) Przez odciêcie dalszych wyrazów operatorów A, B i C otrzymujemy skoñczenie wymiarow¹ aproksymacjê modelu (3) (11), która tak e dobrze opisuje rozwa any system. Wtedy operatory A(), B oraz C mog¹ byæ interpretowane jako macierze. Analiza podstawowych w³asnoœci systemu o niepewnych parametrach (3) (11) zosta³a dok³adnie omówiona w pracach [5 9]. System ten jest uogólnieniem systemu parabolicznego o znanych dok³adnie parametrach I zachowuje wiêkszoœæ jego zasadniczych cech. W wyniku dyskretyzacji modelu ci¹g³ego (3) (11) otrzymujemy model w postaci dyskretnego równania stanu o postaci nastêpuj¹cej + Θ ( k+ 1) = A ( ) Θ ( k) + B ( )( k) (12) y ( k) = C Θ( k) gdzie: k dyskretna chwila czasu, Θ + (k) temperatura w k-tym momencie, A + (), B + (), C + operatory systemu dyskretnego, przy czym operator wyjœcia C + jest operatorem rzeczywistym C = c 0, c1, c2,... (13) a operatory A + () oraz B + () s¹ operatorami przedzia³owymi, opisanymi nastêpuj¹co (zob. [7]): gdzie: { 0 1 2 } A ( ) = diag Λ ( ), Λ ( ), Λ ( ),... (14) + AT ( ) A ( ) = e s, T + ( ) ( ) At B = e Bdt, + C = C (15) 0

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 207 W relacji (15) T s oznacza okres próbkowania, Q, k = 1, 2, 3,... oznacza dyskretne chwile czasu. Elementy operatora sterowania B + s¹ funkcjami niepewnych parametrów i mog¹ byæ zapisane nastêpuj¹co gdzie B ( ) = b 0 ( ), b1 ( ), b2 ( ),... T (16) bi( ) = b i, bi (17) Wartoœci wierzcho³kowe (17) s¹ wyra one nastêpuj¹co: 2 2 ( a) + bi Ts i π a+ R bi ( ) = e 1 2 2 i π a+ R a 2 2 ( a) + bi Ts i π a+ R bi ( ) = e 1 2 2 i π a+ R a (18) Widmo systemu dyskretnego jest opisane analogicznie jak systemu ci¹g³ego (6): Λ = Λ R Λ = 2 2 ( a) 2 + Ts i a R ( ) i ( ) I( ): Q, i e π + (19) 2. Dyskretny kompensator skoñczenie wymiarowy Dyskretne dynamiczne sprzê enie zwrotne dla systemu parabolicznego o znanych parametrach zosta³o omówione m.in. w pracy [1]. Podejœcie opisane w tych pracach mo e byæ te uogólnione na rozwa any system o niepewnych parametrach pod warunkiem, e system spe³nia warunki o dekompozycji widma, które s¹ podane w pracy [5]. Najogólniej, warunki o dekompozycji widma dla rozwa anego systemu s¹ spe³nione, jeœli dekompozycja jest jednoznaczna w ca³ym obszarze niepewnych parametrów (zob. [5]). W przypadku, gdy warunki te s¹ spe³nione, system mo e byæ zdekomponowany na trzy podsystemy, analogicznie jak system o znanych parametrach: Θ 1 ( k+ 1) A 1 ( ) 0 0 Θ 1 ( k) B 1 ( ) + Θ 2( k+ 1) = 0 A2 ( ) 0 Θ 2( k) + B2 ( ) u ( i) Θ 3( k+ 1) 0 0 A3 ( ) Θ3( k) B3 ( ) (20) + = 1 Θ 1 + 2Θ 2 + 3Θ3 y ( k) C ( k) C ( k) C ( k)

208 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz gdzie: 1 2 k = 0, 1, 2,..., A + ( )i A + ( ) operatory skoñczenie wymiarowe, A + 3 ( ) operator nieskoñczenie wymiarowy. Operator A + 1 ( ) reprezentuje s³abo t³umion¹ (wyk³adniczo niestabiln¹) czêœæ systemu, operatory A2 + ( )i A3 + ( ) s¹ wyk³adniczo stabilne. Kompensator skoñczenie wymiarowy dla systemu o znanych dok³adnie parametrach lub dla jednej, ustalonej wartoœci wektora niepewnych parametrów ma postaæ nastêpuj¹c¹: (zob [1]): w1 ( i+ 1) w 1 ( i) = Ak + B k y () i + M r w2( i+ 1) w2( i) gdzie: () = 1 1 () + u i K w i N r A = = + A1 G1 C1 B1 K1 G1 C + + + 2 + G, 1 k B + k B 0 2 K1 A2 (21) Uk³ad sterowania z kompensatorem pokazany jest na rysunku 2. Rys. 2. Uk³ad sterowania z kompensatorem W uk³adzie z rysunku 2 blok przetwornika A/C realizuje funkcjê impulsatora idealnego opisanego nastêpuj¹co: y + (n) = y(nt s ), a blok przetwornika C/A realizuje funkcjê ekstrapolatora zerowego rzêdu opisanego nastêpuj¹co: u(t) = u + (n), t [nt s,(n + 1)T s ). Macierze G1 + oraz K1 + dobiera siê tak, aby wartoœci w³asne A 1 + G 1 + C 1 + oraz A 1 B 1 + K 1 + le a³y we- A 1 ; B 1 jest sterowalna wn¹trz ko³a jednostkowego. Takie macierze istniej¹, jeœli para ( )

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 209 oraz para ( C1 ; A1 ) jest obserwowalna. Dodatkowo, wartoœci w³asne operatora A 1 () musz¹ spe³niaæ warunek (dla n): ( ) n ( ) TsIm λs λi 2π dla Re λs λ i = 0 (22) Dobór macierzy kompensatora mo e byæ dokonany na podstawie nastêpuj¹cego warunku (zob. [1]): Je eli para ( A1 ; B1 ) oraz para ( C1 ; A1 ) jest sterowalna jest obserwowalna, to macierze G 1 + oraz K 1 + mo na dobraæ tak, + + aby wartoœci w³asne A1 G1 C1 oraz A1 + B1 K1 by³y równe zero. Z powy szych rozwa añ wynika, e kompensator dyskretny jest opisany dwójk¹ macierzy ( G 1 + (); K 1 + ()). Je eli za³o ymy, e spe³niony jest warunek (23), dla ustalonej wartoœci opis ten jest jednoznaczny. Formalnie mo na to zapisaæ nastêpuj¹co ( 1 1 ) (23) + s ( ) = G ( ); K ( ) (24) Kompensator dynamiczny w postaci (21) i zapisany w postaci (24) mo e byæ wyznaczony na podstawie wartoœci parametrów macierzy A + () oraz B + () dla ustalonej wartoœci wektora niepewnych parametrów. W przypadku gdy ich wartoœci nie s¹ dok³adnie znane, nale y zastosowaæ inne podejœcia. Jednym z nich jest konstrukcja kompensatora odpornego, której propozycja zostanie przedstawiona poni ej. 3. Kompensator odporny dla rozwa anego systemu Kompensator s + () opisany przez (23) jest zdefiniowany dla pojedynczej, ustalonej wartoœci wektora niepewnych parametrów i dla tej wartoœci zapewnia kompensacjê wyk³adniczo niestabilnej czêœci widma systemu. Nale y zwróciæ uwagê, e kompensator zbudowany na podstawie jednej, konkretnej wartoœci wektora zapewnia kompensacjê niestabilnej czêœci widma tylko dla tej wartoœci, a dla innych wartoœci wektora mo e nie zapewniæ tej kompensacji, a w skrajnym wypadku mo e nie zapewniæ nawet stabilnoœci uk³adu zamkniêtego. W przypadku ca³ej przestrzeni niepewnych parametrów Q mo na okreœliæ nieskoñczony zbiór kompensatorów S + S + { s + ( ) ( G1 + ( ); K1 + ( ) ) : Q} = = (25)

210 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz Dla zbioru kompensatorów S + mo na zdefiniowaæ cztery kompensatory wierzcho³kowe: ll s ( ) = s ( ) ll lh s ( ) = s ( ) hl lh s ( ) = s ( ) hl (25a) hh s ( ) = s ( ) hh Widmo uk³adu zamkniêtego, zawieraj¹cego obiekt o niepewnych parametrach i kompensator, jest równie widmem przedzia³owym, którego interpretacja geometryczna jest analogiczna jak widma systemu przedzia³owego o niepewnych parametrach. Oznaczmy to widmo poprzez Λ z + (). Jest ono zdefiniowane nastêpuj¹co { 0 1 2 } Λ z( ) = Λ z( ), Λ z( ), Λ z( )... (26) Zauwa my, e ustalona wartoœæ wektora niepewnych parametrów generuje okreœlony kompensator s + () oraz w konsekwencji, okreœlone widmo Λ + z (). Widmo to mo e byæ wyk³adniczo stabilne w ca³ym obszarze niepewnych parametrów, w czêœci tego obszaru lub te mo e byæ w ca³ym obszarze niestabilne. Oznaczmy stabiln¹ czêœæ widma uk³adu zamkniêtego przez Λ + zs (), a czêœæ wyk³adniczo niestabiln¹ poprzez Λ + zns (). Z kolei oznaczmy zadany wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego przez η +, przy czym 0 η + < 1. Wtedy obie czêœci widma mog¹ byæ zdefiniowane nastêpuj¹co: Definicja 1. (Wyk³adniczo stabilna czêœæ widma uk³adu zamkniêtego) { } + Λ zs ( ) = λzi ( ) Λz ( ): λ zi ( ) < η (27) Wyk³adniczo niestabilna czêœæ widma mo e byæ zdefiniowana analogicznie: Definicja 2. (Wyk³adniczo niestabilna czêœæ widma uk³adu zamkniêtego) { } + Λ zs ( ) = λzi ( ) Λz ( ): λzi ( ) η (28) Obie czêœci widma uk³adu zamkniêtego maj¹ nastêpuj¹ce podstawowe w³asnoœci: + Λzs ( ) Λ zs ( ) =Λz ( ) Λzs ( ) Λ zs ( ) = 0 (29)

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 211 Na podstawie powy szych rozwa añ problem syntezy kompensatora odpornego mo - na sformu³owaæ nastêpuj¹co: Dla zadanego obszaru niepewnych parametrów Q nale y wybraæ taki kompensator s + s() ze zbioru wszystkich kompensatorów S + (), który zapewni wyk³adnicz¹ stabilnoœæ widma uk³adu zamkniêtego z zadanym wspó³czynnikiem t³umienia η + dla dowolnej wartoœci wektora niepewnych parametrów Q. Dla zadanego systemu o niepewnych parametrach mo na sformu³owaæ warunki istnienia kompensatora s + s(), bazuj¹ce na geometrycznej interpretacji widma systemu zamkniêtego i podejœciu omówionym w pracach [5 7]. Mog¹ one byæ zapisane jako nastêpuj¹ca uwaga: Uwaga 1. (WK i D wyk³adniczej stabilnoœci uk³adu zamkniêtego w ca³ym obszarze niepewnych parametrów obiektu Q) Za³o enia: 1. Rozwa my uk³ad o niepewnych parametrach opisany przez (1) (19). 2. Za³ó my, e system spe³nia warunki o dekomopozycji widma podane w pracy [5]. 3. Dla obszaru niepewnych parametrów jest zdefiniowany zbiór kompensatorów dynamicznych S +, okreœlony przez (25) i posiadaj¹cy cztery elementy wierzcho³kowe, zdefiniowane przez (25a). 4. Za³ó my, e wymagany wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego jest równy η +. 5. Ka da z wartoœci w³asnych uk³adu zamkniêtego generowana przez ka dy z kompensatorów posiada ekstremum wy³¹cznie na naro nikach obszaru niepewnych parametrów. Nastêpuj¹ce sformu³owania s¹ sobie równowa ne: 1. Rozwa any uk³ad o niepewnych parametrach jest wyk³adniczo stabilny ze wspó³czynnikiem t³umienia η + w ca³ym obszarze niepewnych parametrów Q. 2. Ka dy z kompensatorów wierzcho³kowych, zdefiniowanych przez (25a) generuje widmo uk³adu zamkniêtego stabilne wyk³adniczo w ca³ym obszarze Q z wspó³czynnikiem t³umienia η +. 3. + Λ ( ) =Λ ( ), Λ ( ) = 0. zs z zns Nale y zwróciæ uwagê, e w rozwa anym wypadku zbiór Λ zs + () nigdy nie jest zbiorem pustym, poniewa istnieje co najmniej 1 kompensator w zbiorze S + generuj¹cy stabilne widmo uk³adu zamkniêtego. Jest to kompensator skonstruowany w oparciu o za³o enie (23). W rozwa anym wypadku nale y podaæ tak e warunek, jaki musi byæ spe³niony, aby okreœlony kompensator s + () generowa³ widmo wyk³adniczo stabilne w ca³ym obszarze niepewnych parametrów Q. Warunek ten mo e byæ zapisany jako nastêpuj¹ca uwaga: Uwaga 2. (WK i D generowania wyk³adniczo stabilnego widma w ca³ym obszarze niepewnych parametrów Q)

212 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz Za³o enia: 1. Rozwa my uk³ad o niepewnych parametrach opisany przez (1) (19), dla którego przestrzeñ niepewnych parametrów jest okreœlona przez zbiór Q. 2. Za³ó my, e system spe³nia warunki o dekomopozycji widma podane w pracy [5]. 3. rozwa my kompensator s + r( r ) S + wygenerowany przez okreœlony wektor r Q ( r nie musi byæ naro nikiem obszaru Q). 4. Za³ó my, e wymagany wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego jest równy η +. 5. Ka da z wartoœci w³asnych uk³adu zamkniêtego posiada ekstremum wy³¹cznie na naro nikach obszaru niepewnych parametrów. Nastêpuj¹ce warunki s¹ sobie równowa ne: 1. Rozwa any kompensator s + r( r ) generuje widmo wyk³adniczo stabilne w ca³ym obszarze niepewnych parametrów Q. 2. Kompensator s + r dla ka dej z wartoœci wierzcho³kowych ll, lh, hl, hh obszaru Q generuje widmo stabilne wyk³adniczo. W przypadku gdy warunek 2 z Uwagi 1 nie jest spe³niony, nale y oczekiwaæ, e czêœæ kompensatorów ze zbioru S + bêdzie generowa³a widmo wyk³adniczo stabilne, a czêœæ widmo wyk³adniczo niestabilne. W takiej sytuacji mo na stabilizowaæ rozwa any system o niepewnych parametrach poprzez odpowiedni dobór macierzy G 1 + oraz K 1 +. Sformu³owanie warunków doboru tych macierzy bêdzie przedmiotem dalszych prac autorów. 4. Przyk³ad Dla przyk³adu rozwa my system paraboliczny o niepewnych parametrach, opisany równaniem stanu (3) z przestrzeni¹ niepewnych parametrów Q zdefiniowan¹ przez (2) i (2a), dla której: ll lh hl hh = = = [ 0,0005; 0,022 ], [ 0,0005; 0,032 ], [ 0,0012; 0,022 ], [ 0,0012; 0,032 ]. = Za³ó my, e chcemy zbudowaæ dla rozwa anego systemu kompensator dyskretny zapewniaj¹cy kompensacjê pierwszej wartoœci w³asnej uk³adu w ca³ym obszarze niepewnych parametrów Q. Za³ó my, e okres próbkowania podczas dzia³ania kompensatora dyskretnego jest równy 1 s.

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 213 Widmo systemu przedzia³owego po dyskretyzacji jest widmem przedzia³owym, którego wierzcho³ki s¹ okreœlone nastêpuj¹co: Λ + ll = {0,9782, 0,9734, 0,9591, 0,9357, 0,9040, 0,8647, 0,8190 }, Λ + lh = { 0,9685, 0,9637, 0,9496, 0,9264, 0,8950, 0,8561, 0,8109 }, Λ + hl = { 0,9782, 0,9667, 0,9330, 0,8793, 0,8094, 0,7275, 0,6387 }, Λ + hh = { 0,9685, 0,9571, 0,9237, 0,8706, 0,8013, 0,7203, 0,6323 }. Z postaci powy szych systemów wierzcho³kowych widaæ, e wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego η + powinien byæ mniejszy od 0,9685, gdy taki jest najmniejszy wspó³czynnik t³umienia samego obiektu, bez kompensacji. Ustalmy wartoœæ η + = 0,96. Dalej za³ó my, e wymiar wyk³adniczo niestabilnej czêœci systemu opisanej przez macierze A1 +, B1 +, C1 + jest równy 1, a wymiar czêœci skoñczenie wymiarowej wyk³adniczo stabilnej opisanej przez macierze A2 +, B2 +, C2 + jest równy 2. Wtedy pary macierzy ( G ) 1, K1, wyznaczone zgodnie z warunkiem (23) dla ka dego z kompensatorów wierzcho³kowych s + oraz macierze stanu A + k kompensatorów wierzcho³kowych, wyznaczone zgodnie z (21) s¹ podane w tabeli 1. Tabela 1 Kompensatory wierzcho³kowe dla rozwa anego systemu Kompensator Macierz A + k G + 1 + 1 + C1 A ( ) = K + 1 + 1 + 1 A ( ) = B ( ) Macierz B + k s + ll s + lh s + hl s + hh 0, 9685 0 1,3663 1,3531 0,9637 0 1,3041 0 0,9496 0, 9685 0 1,3663 1,3531 0,9637 0 1,3041 0 0,9496 0,9782 0 1,3801 1,3620 0,9667 0 1, 2993 0 0,9330 0,9685 0 1,3663 1,3484 0,9571 0 1, 2864 0 0, 9237 0,9618 0,9523 0,9618 0,9523 12,8575 12,8575 0,0 0,0 12,7931 12,7931 0,0 0,0 12,8575 12,8575 0,0 0,0 12,7931 12,7931 0,0 0,0

214 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz Nastêpnie dla ka dego z kompensatorów wierzcho³kowych wyznaczonych powy ej wyznaczmy wspó³czynniki t³umienia dla czterech widm wierzcho³kowych uk³adu zamkniêtego, generowanych przez ten kompensator. Tabela 2 Wspó³czynniki t³umienia uk³adu zamkniêtego dla wszystkich kompensatorów wierzcho³kowych i wszystkich systemów wierzcho³kowych Kompensator s + ll s + lh s + hl s + hh Wierzcho³ek Wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego (modu³ czêœci rzeczywistej najwiêkszej wartoœci w³asnej uk³adu zamkniêtego) generowany przez ll 0,9571 lh 0,9537 hl 0,9567 hh 0,9571 ll 0,9434 lh 0,9537 hl 0,9567 hh 0,9537 ll 0,9434 lh 0,9567 hl 0,9567 hh 0,9567 ll 0,9434 lh 0,9537 hl 0,9567 hh 0,9571 Na podstawie wyników przedstawionych w tabeli 2 mo na stwierdziæ, e w adnym z badanych przypadków wspó³czynnik t³umienia uk³adu zamkniêtego nie jest wiêkszy od wartoœci 0,9571, co stanowi wartoœæ mniejsz¹ od za³o onej wartoœci wspó³czynnika t³umienia uk³adu zamkniêtego η + = 0,96. Wynika st¹d, e zgodnie z uwagami 1 i 2 ka dy kompensator dyskretny s + ze zbioru S + zbudowany na podstawie dowolnego wektora niepewnych parametrów stabilizuje wyk³adniczo rozwa any system o niepewnych parametrach. 5. Uwagi koñcowe Uwagi koñcowe do pracy mog¹ byæ sformu³owane nastêpuj¹co: Metoda syntezy odpornego kompensatora skoñczenie wymiarowego dla rozwa anego systemu o niepewnych parametrach jest prosta, lecz wymaga wykonania du ej iloœci obliczeñ, co jednak nie stanowi wiêkszego problemu podczas u ycia MATLAB-a.

Odporny dyskretny kompensator dynamiczny dla systemu parabolicznego... 215 Przedstawione w pracy uwagi stanowi¹ propozycje twierdzeñ, do udowodnienia których zachêcaj¹ wyniki symulacyjne. Bêdzie to stanowi³o przedmiot dalszych prac autorów. Kolejnym zagadnieniem do dalszych badañ z zaprezentowanej tematyki jest podanie metody konstrukcji kompensatora odpornego w sytuacji, gdy widmo przedzia³owe uk³adu zamkniêtego zawiera obszary wyk³adniczo niestabilne. Literatura [1] Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT 1991 [2] Mitkowski W., Oprzêdkiewicz K.: A sample time assign for a discrete interval parabolic system with the two-dimensional uncertain parameter space. Systems Science, vol. 30, no. 1, 2004, 43 50 [3] Mitkowski W., Oprzêdkiewicz K.: Problemy sterowania pewnej klasy systemów liniowych o niepewnych parametrach. Pó³rocznik AGH w Krakowie Automatyka, t. 9, z. 1 2, 2005, 139 153 [4] Mitkowski W., Oprzêdkiewicz K.: Odporny uk³ad regulacji dla pewnej klasy systemów liniowych o niepewnych parametrach. In ynieria wiedzy i systemy ekspertowe. T. 1 pod red. Adama Grzecha. Wroc³aw: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, 2006 Ksi¹ ka zawiera teksty prac przedstawionych na VI Krajowej Konferencji Naukowej,,In ynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe (Wroc³aw, 21 23 czerwca 2006 roku), 203 212 [5] Oprzêdkiewicz K.: The interval parabolic system. Archives of Control Sciences, vol. 13, no. 4, 2003, 415 430 [6] Oprzedkiewicz K.: A controllability problem for a class of uncertain parameters linear dynamic systems. Archives of Control Sciences, vol. 14, no. 1, 2004, 85 100 [7] Oprzedkiewicz K.: A controllability problem for a class of uncertain parameters discrete-time linear dynamic systems. Archives of Control Sciences, vol. 14, no. 2, 2004, 161 177 [8] Oprzedkiewicz K.: An observability problem for a class of uncertain-parameter linear dynamic systems. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, vol. 15, no. 3, 2005, 331 338 [9] Oprzêdkiewicz K.: Stabilizowalnoœæ i wykrywalnoœæ pewnej klasy systemów parabolicznych o niepewnych parametrach. KKA 2005 : XV Krajowa Konferencja Automatyki : [Warszawa 27 30 czerwca 2005]. T. 1 / red. Zdzis³aw Bubnicki, Roman Kulikowski, Janusz Kacprzyk. Warszawa: Instytut Badañ Systemowych Polskiej Akademii Nauk, 2005 205 208

216 Wojciech Mitkowski, Krzysztof Oprzêdkiewicz