Wspomagane komputerowo projektowanie przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej krzywe przejściowe

DOMAŃSKI Janusz 1 BAJKOWSKI Marcin 2 Wspomagane komputerowo projektowanie przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej krzywe przejściowe WSTĘP Przekładnie zębate podczas pracy podlegają różnego rodzaju obciążeniom. Charakter i zakres tych obciążeń zależy przede wszystkim od przeznaczenia przekładni zębatych stosowanych w różnych rodzajach urządzeń. Źródłem obciążeń elementów przekładni zębatej są nie tylko wymuszenia zewnętrzne, tj. wartości sił i momentów działających na przekładnię, częstokroć zmienne w czasie, ale także inne, różnorodne czynniki. Mogą to być czynniki związane z: 1) technologią wytwarzania oraz dokładnością wykonania (np. błędy podziałki uzębienia), 2) bezpośrednio wynikające z samej konstrukcji przekładni lub mechanizmu, którego podzespołem jest przekładnia zębata, 3) warunkami eksploatacyjnymi (np. stosowanie odpowiedniego smarowania) i 4) innymi. Wpływ konstrukcji przekładni i jej kół na siły działające na zęby kół zębatych uwidacznia się szczególne w przekładniach zębatych specjalnych, nietypowych w stosunku do przekładni powszechnie stosowanych. 1. MODEL PRZEKŁADNI W artykule przedstawiono przekładnię zębatą służącą do napędzania członów pewnego mechanizmu poruszających się prostoliniowym ruchem postępowo-zwrotnym w dwóch prostopadłych do siebie kierunkach, przy czym w jednym kierunku jest to ruch okresowy. W przekładni (rysunek 1) zastosowano walcowe koło zębate o zębach prostych zębnik oraz listwę zębatą o uzębieniu wewnętrznym specjalnego kształtu. Moment obrotowy działający na zębnik powoduje obieganie zębnika po uzębieniu listwy zębatej. Zębnik jest prowadzony w prowadnicach (nie pokazanych na rysunku 1), w ten sposób, że oś zębnika wyznacza trajektorię odsuniętą od krzywej tocznej listwy zębatej o wartość d w /2, gdzie d w średnica toczna zębnika. ( Krzywą toczną listwy zębatej nazywana jest tu krzywa, po której odtacza się zębnik.) Kształt uzębienia listwy zębatej zapewnić ma żądaną zmianę kierunku ruchu osi zębnika. W tak zaprojektowanym mechanizmie zębatkowym muszą powstawać obciążenia związane ze zmianą kierunku ruchu postępowego osi zębnika, nawet jeśli w ustalonych warunkach pracy urządzenia zębnik porusza się ze stałą prędkością kątową (i liniową). 1 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel. +48 608 402 445, +48 22 234 8472 jdomanski@wip.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Produkcji, Instytut Mechaniki i Poligrafii. Tel. +48 22 234 8668 granada@pompy.pl 3004

Rys. 1. Schemat przekładni składającej się z zębnika i tzw. listwy zębatej. W najprostszym rozwiązaniu konstrukcyjnym uzębienie listwy zębatej z rysunku 1 mogłoby składać się jedynie z dwóch zębatek prostych oraz dwóch połówek walcowego koła zębatego o uzębieniu wewnętrznym. Jednakże takie rozwiązanie powoduje powstawanie znacznych sił dynamicznych na skutek występowania nagłego przyrostu przyśpieszenia dośrodkowego (a co za tym idzie i sił bezwładności) w chwili przejścia osi zębnika z prostoliniowego odcinka trajektorii ruchu na fragment trajektorii w postaci półokręgu. Celem zmniejszenia wartości obciążeń wynikających ze zmiany kierunku ruchu postępowego zębnika pomiędzy prostoliniowe odcinki krzywej tocznej a łuki okręgu wprowadzono tzw. krzywą przejściową, tu klotoidę (rysunek 2). Linia toczna uzębienia listwy zębatej składa się zatem (rysunek 1) z: odcinków prostych JA i EF, początkowych fragmentów klotoidy AB, ED, FG i JI oraz łuków okręgu BD i GI. Wszystkie wymienione fragmenty linii tocznej (krzywe podstawowe: odcinki proste, fragmenty klotoidy oraz łuki okręgów) są do siebie styczne w punktach styku. W rozwiązaniu alternatywnym linia toczna uzębienia listwy zębatej może być wykonana bez łuków okręgów, a zatem zawierać jedynie odcinki proste i fragmenty klotoidy (w liczbie 4). Wówczas, zgodnie z rysunkiem 1, fragmenty klotoid zawierają się pomiędzy punktami A C, E C, F H i J H. 2. UZASADNIENIE STOSOWANIA KLOTOIDY W DEFINICJI KRZYWEJ TOCZNEJ LISTWY ZĘBATEJ Zastosowanie klotoidy do definiowania fragmentów krzywej tocznej listwy zębatej wynika z kształtu klotoidy [2]. Jej krzywizna wzrasta wprost proporcjonalnie do długości łuku mierzonej od jej punktu początkowego. Jeśli punkt materialny porusza się ze stałą prędkością liniową po klotoidzie, to siła odśrodkowa na niego działająca wzrasta liniowo od zera do wartości wynikającej z położenia punktu na klotoidzie mierzonej długością fragmentu klotoidy od jej początku do miejsca położenia punktu na tej krzywej. 3005

Rys. 2. Klotoida w prostokątnym układzie współrzędnych [2]. Zgodnie z [2] naturalne równanie klotoidy (spirala Cornu) ma postać gdzie: l bieżąca długość łuku klotoidy, mierzona od punktu stałego do rozpatrywanego punktu P na klotoidzie (rysunek 2), k krzywizna, r promień krzywizny, a stały ustalony parametr klotoidy (współczynnik jednokładności). Zależności pomiędzy wielkościami, takimi jak : r promień krzywizny, l długość łuku oraz u kąt zwrotu stycznej do klotoidy w tym punkcie są następujące [2]: W rozwinięciu do czterech wyrazów szeregów rozwinięcia funkcji sin u i cos u współrzędne punktów klotoidy określają wzory: w zależności od kąta zwrotu stycznej do klotoidy: w zależności od położenia punktu na klotoidzie (mierzonej długością fragmentu klotoidy od jej początku do miejsca położenia punktu na tej krzywej): 3. PROJEKTOWANIE UZĘBIENIA LISTWY ZĘBATEJ Geometria listwy zębatej z rysunku 1 określona została poprzez dobór takich parametrów jak: wartość przesunięcia względnego zębnika w stosunku do listwy w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach L i W (rysunek 1), liczba zębów zębnika z, moduł m, parametr a klotoidy, przyjęty stosunek długości łuku klotoidy do długości łuku okręgu, liczba zębów listwy zębatej oraz sposób rozmieszczenia zębów na poszczególnych fragmentach linii tocznej listwy zębatej. Parametry te są 3006

wzajemnie ze sobą powiązane, a ich dobór wynikać może z różnych przesłanek. Sposób doboru niektórych z tych parametrów podano w pacy [1] dla przypadku, gdy okrąg toczny zębnika pokrywa się z okręgiem podziałowym. Przedstawiono tam również metodę wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy. Podstawą tej metody jest symulacja odtaczania zębatki odniesienia po łuku tocznym klotoidy. Geometria uzębienia listwy zębatej na odcinkach prostych i łukach okręgów krzywej tocznej może być zdefiniowana wg ogólnych metod kształtowania ewolwentowych zarysów zębów kół zębatych podanych w literaturze [3, 4, 5], ich wyznaczanie nie jest w niniejszej oraz w pracy [1] omawiane. W niniejszym artykule przedstawiono nową metodę wyznaczania zarysów zębów uzębienia o krzywej tocznej zawierającej klotoidę, metodę uwzględniającą również przesunięcie zarysów zębów. 4. PRZYJĘTA ZASADA WYZNACZANIA KSZTAŁTU ZĘBÓW LISTWY ZĘBATEJ ROZMIESZCZONYCH NA KLOTOIDZIE W literaturze dotyczącej projektowania kół zębatych udowodniono, że można wyznaczyć zarys koła zębatego na podstawie znanego zarysu zębów koła z nim współpracującego, jedną z takich metod jest m.in. metoda Reuleaux [5]. Podobnie, niniejszy sposób wyznaczenia zarysów zębów na fragmencie listwy zębatej o krzywej tocznej będącej początkowym fragmentem klotoidy (odcinek z rysunku 1) bazuje na wyznaczaniu kształtu zębów listwy zębatej na podstawie zarysów zębów zębnika będących w przyporze z zębami listwy. Zapis współrzędnych zarysu boków zęba uzębienia klotoidy dostosowany jest przy tym do tworzenia krzywych opisanych równaniami parametrycznymi za pomocą systemów CAD. W przedstawianej metodzie korzystamy z podstawowego prawa zazębienia, które sformułowano następująco [5]: prosta prostopadła do boku zęba w punkcie styku zębów kół współpracujących musi przechodzić przez punkt styku kół toczących się po sobie bez poślizgu (tzw. kół tocznych). Metoda składa się z dwóch głównych etapów: 1) zdefiniowania współrzędnych punktów zarysu zęba zębnika w funkcji kąta odtaczania się zębnika po jego okręgu tocznym, w układzie współrzędnych związanym z zębnikiem oraz 2) wyznaczenia zarysów zębów uzębienia listwy na podstawie trajektorii ruchu punktu przyporu współpracujących par zębów listwy i zębnika podczas odtaczania zębnika po krzywej tocznej listwy, współrzędne zarysu boków zębów zapisywane są w układzie współrzędnych związanym z listwą. Podstawy metody można odnieść do przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym (rysunek 3). Na rysunku 3 punkt przyporu (zetknięcia się) kół przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym oznaczono literą A, zaś biegun zazębienia, tzn. punkt styku okręgów tocznych, literą C. Podczas wzajemnego odtaczania się kół punkt A zawsze leży na linii przyporu, która nachylona jest do linii O 1 C oraz pokrywającej się z nią linii O 2 C pod stałym kątem (π/2 α w ), gdzie α w toczny kąt przyporu. 3007

Rys. 3. Przekładnia zębata o zazębieniu wewnętrznym podstawowe wymiary geometrii. 5. ZAPIS KSZTAŁTU ZARYSU BOKU ZĘBNIKA W FUNKCJI KĄTA JEGO ODTACZANIA PO OKRĘGU TOCZNYM Wyznaczymy współrzędne punktu A na ewolwencie tworzącej zarys boku zęba zębnika w układzie współrzędnych zorientowanym jak na rysunku 4. Uwzględnimy zakres ewolwenty od średnicy zasadniczej d b1 do średnicy wierzchołków d a1. Czynny zakres boku zęba najczęściej jest mniejszy, przyjęte założenie nie ma jednak wpływu na ostateczny wynik, a pozwala na uproszczenie obliczeń. W trakcie toczenia się zębnika po okręgu tocznym współpracującego koła zębatego, dla każdej pary zębów współpracujących kół, zębnik odtacza się po łukach o długości leżących na okręgu tocznym zębnika (rysunek 4a,b,c,d). Rysunek 4a przedstawia przypadek, w którym punkt A ewolwenty boku zęba pokrywa się z biegunem zazębienia C. Przypadek ten będzie odniesieniem do określenia położenia zarysu boków zębów uzębienia klotoidy, z którym zębnik się zazębia. Punkt D na rysunkach 4a,b,c,d oznacza punkt styczności linii przyporu z kołem zasadniczym zębnika. Kąt (rysunek 4b) oznaczający kąt rozwinięcia ewolwenty od średnicy zasadniczej d b1 do średnicy tocznej d w1 określony jest tzw. funkcją ewolwentową: gdzie: toczny kąt przyporu w radianach, średnica okręgu zasadniczego zębnika, średnica toczna zębnika. 3008

Rys. 4. Zależności geometryczne uwzględnione w zastosowanej metodzie wyznaczania zarysów boków zębów zębnika. Rysunek 4b odpowiada początkowi rozwijania ewolwenty odwijanej z koła zasadniczego o średnicy d b1. Punkt A pokrywa się w tym przypadku z punktem D (A 1 =D 1 ). W tym położeniu określany jest skrajny punkt G łuku tocznego oraz odpowiadający mu kąt : Rysunek 4c przedstawia przypadek, gdy punt ewolwenty A znajduje się pomiędzy średnicą zasadniczą zębnika d b a średnicą toczną d w. Punkt A 2 ewolwenty znajduje się wówczas pomiędzy punktami C 2 i D 2. Rysunek 4d przedstawia położenie punktu A ewolwenty na średnicy wierzchołków d a. W tym przypadku punkt C 3 (biegun zazębienia) znajduje się pomiędzy punktami A i D (dokładnie na rysunku 4d są to punkty A 3 i D 3 ). Położenie skrajnego punktu H łuku tocznego położonego na okręgu tocznym zębnika można określić kątem : gdzie: kąt odwijania ewolwenty z koła zasadniczego konieczny do wykreślenia ewolwenty w zakresie od koła zasadniczego d b do średnicy wierzchołków d a zębnika, przy czym: 3009

Zauważmy, że w każdym z przedstawionych na rysunkach 4a,b,c,d przypadkach odcinek (także w wariantach,, ) ma zawsze taką samą długość wynoszącą: gdzie:. Długość odcinka określona jest funkcją: Kąt w [rad] zawiera się w przedziale [0, ]. Na podstawie powyższych uwag możemy wyciągnąć wniosek, że zarys danego boku zęba można wyznaczyć na podstawie położenia bieguna zazębienia na łuku w funkcji kąta odwijania ewolwenty z koła zasadniczego lub odpowiadającej jej funkcji drogi przemieszczania się punktu po łuku. Łuk musi być wcześniej wyznaczony wraz z położeniem punktów C, G i H. Na podstawie rysunku 4 mamy ( ): Wprowadźmy zgodnie z rysunkiem 5 oznaczenie kąta nachylenia linii przyporu z rysunków 4a,b,c,d (tj. odcinka ) do osi x układu współrzędnych. Na rysunku 5 odcinek oznaczony jest jako, gdzie indeks k oznacza chwilowy biegun zazębienia oraz chwilowy punkt zarysu zęba. Zatem kąt : Dla przypadku z rysunku 4b: oraz zakres kąta (wartość jest ): : Rys. 5. Kąt nachylenia odcinka do osi x układu współrzędnych. Na podstawie powyższych rozważań zapisano ewolwentowy kształt zarys boku zęba zębnika w postaci zestawu równań parametrycznych, podanych w tabeli 1. 3010

Tab. 1. Przykładowy zapis zarysu ewolwenty boku zęba zębnika w postaci zestawu równań parametrycznych. Lp. Wzór Komentarz 1. zmienna pomocnicza, przybiera wartość., wg rysunku 4. 2. Zmienna określająca kąt nachylenia odcinka z rysunku 4 (oraz,, i każdego innego) do osi x układu współrzędnych. 3. kąt nachylenia odcinka do osi x układu współrzędnych. 4.. zmienia się od wartości < 0, poprzez 0, do wartości >0. 5. Współrzędne punktów ewolwenty boku zęba. 6. WYZNACZENIE KSZTAŁTU ZARYSU BOKU ZĘBÓW UMIESZCZONYCH NA KLOTOIDZIE Uzyskany uprzednio opis zarysu boku zęba zębnika został użyty do wyznaczenia zarysu zębów klotoidy. Poniżej przedstawiono jedynie sposób wyznaczania zarysów zębów klotoidy odnoszących się do lewych boków zębów klotoidy (rysunek 6 i 7). Prawe boki zębów klotoidy mogą być wyznaczone w bardzo podobny sposób, po niewielkiej zmianie wybranych parametrów algorytmu stosowanego dla boków lewych. Rys. 6. Fragment listwy zębatej o uzębieniu wewnętrznym składającej się z krzywej tocznej zawierającej odcinek prosty, fragment (łuk) klotoidy oraz łuk okręgu. Załóżmy, że zdefiniowany jest początkowy fragment klotoidy będącej częścią krzywej tocznej listwy zębatej (rysunek 6), tzn. określono parametr a klotoidy oraz u k kąt zwrotu stycznej do klotoidy w końcowym punkcie rozważanego fragmentu klotoidy. Dobrano lub wyznaczono także parametry uzębienia takie jak: m moduł, z liczba zębów zębnika, w toczny kąt przyporu, x współczynnik przesunięcia zarysu zębów zębnika oraz d w średnicę toczną zębnika. Powyższe parametry uzębienia zostały określone z uwzględnieniem poprawności geometrii zazębienia walcowej przekładni zębatej o zazębieniu wewnętrznym odpowiadającej zazębieniu zębnika z zębami listwy zębatej rozmieszczonymi na łuku okręgu tocznego koła zębatego o uzębieniu wewnętrznym o średnicy. 3011

Rys. 7. Oznaczenie boków zębów za pomocą punktów A i B z odpowiednimi indeksami. Położenie zarysów boków zębów klotoidy zdefiniowano punktami przecięcia zarysów lewych i prawych boków zębów z klotoidą na rysunku 7 są to punkty A 1, A 2, oraz B 1, B 2,. W punktach tych następuje zazębienie boków zębów zębnika (po odpowiednich stronach zębów zębnika) odpowiadające przypadkowi z rysunku 4a, tzn. punkt C z rysunku 4a pokrywa się z danym punktem A 1, A 2,, itd. Przypadek ten dla wybranej pary zębów przedstawiono na rysunku 8a,b. Położenie punktów A 1, A 2, B 1, B 2, na klotoidzie jest funkcją podziałki tocznej, grubości zęba oraz przyjętego sposobu rozmieszczenia zębów na listwie zębatej. Grubość zęba uzębienia klotoidy wyznaczono na podstawie grubości zęba zębnika dla teoretycznej przekładni bezluzowej. Grubość zęba zębnika po łuku okręgu tocznego zębnika dana jest wzorem [3, 4, 5]: gdzie: średnica okręgu tocznego zębnika, średnica okręgu podziałowego zębnika, funkcja ewolwentowa kąta,,, funkcja ewolwentowa kąta,, oraz: gdzie: moduł, współczynnik przesunięcia zarysu zębnika, kąt zarysu odniesienia. Jeśli określimy grubość zęba uzębienia klotoidy jako: gdzie: moduł toczny: to położenia punktów A 1, A 2, oraz B 1, B 2, z rysunku 7 mogą być zdefiniowane wzorami: dla boków lewych: dla boków prawych: Zębnik odtacza się po klotoidzie bez poślizgu swym okręgiem tocznym, przy czym w stosowanej tu metodzie wyznaczania zarysów lewych boków uzębienia klotoidy kierunek odtaczania zębnika skierowany jest do początku klotoidy. Zębnik odtacza się po klotoidzie bez poślizgu, a odpowiednie łuki toczne fragment okręgu tocznego zębnika oraz fragmentu klotoidy są sobie równe, na rysunku 8: i. Dla lewego boku każdego zęba n listwy zębatej leżącego na klotoidzie początek łuku odtaczania (punkt G na rysunku 8) leży w odległości równej: 3012

Podczas wykreślania zarysu zębów klotoidy może być wymagane zwiększenie długości łuku odtaczania zębnika (na rysunku 4 oznaczonego jako ) w stosunku do uprzednio obliczonej wartości, po to, by możliwe było wykreślenie ewolwenty do zakresu średnicy d f uzębienia klotoidy. Nie zmienia to w żaden sposób uzasadnienia stosowania przedstawianej metody wyznaczania kształtu zębów. Rys. 8. Schemat odtaczania zębnika po klotoidzie. Zębnik odtacza się po łuku klotoidy o długości od określonego punktu G n klotoidy w kierunku jej początku (rysunek 8). Na łuku tym znajdują się kolejne bieguny zazębienia zębnika i uzębienia listwy, na rysunku 8c,d oznaczone jako C k. Dla każdego bieguna zazębienia C k można wyznaczyć kąt u zwrotu stycznej do klotoidy w tym biegunie oraz kąt nachylenia odcinka (skierowanego od punktu C k do punktu A), równy różnicy kątów (rysunek 8d). Współrzędne punktu A określają położenie kolejnego punktu zarysu zęba listwy zębatej. Odległość punktu A od bieżącego bieguna zazębienia C k wyznaczana jest na podstawie kąta odtaczania zębnika, mierzonego długością łuku (patrz rysunek 8d): Kąt odcinka jest jednocześnie kątem odwijania ewolwenty z okręgu zasadniczego, stąd długość możemy zatem wyrazić jako: i ostatecznie: 3013

Przykładowy matematyczny zapis wyznaczanego kształtu zarysu boków zębów uzębienia listwy opartego na klotoidzie przedstawiono w tabeli 2. Współrzędne zarysów boków zębów zapisywane są w układzie współrzędnych o początku pokrywającym się z początkiem klotoidy i zorientowanego jak na rysunkach 6 i 7. Poza kształtem klotoidy muszą być wcześniej określone: długość łuku, położenia początkowych punktów łuków odtaczania na klotoidzie (dla każdego boku zębów), promienie okręgu zasadniczego zębnika i okręgu tocznego zębnika, długość odcinka z rysunku 4 i rysunku 8, toczny kąt przyporu. Wartość średnicy (i promienia ) określana jest na podstawie modelu walcowej przekładni zębatej o uzębieniu wewnętrznym, odpowiadającej zazębieniu zębnika z fragmentem uzębienia na łuku z rysunku 1, o średnicy okręgu tocznego. Tab. 2. Przykładowy parametryczny zapis kształtu zarysu boku zęba uzębienia, którego krzywą toczną jest klotoidą (patrz również rysunek 8). Zapis ten jest przeznaczony do systemów CAD. Lp. Wzór Komentarz 1. zmienna pomocnicza, przybiera wartość, określa położenie bieżącego bieguna zazębienia C k na łuku klotoidy.. 2. zmienna pomocnicza, określa położenie bieżącego bieguna zazębienia C k na klotoidzie dana długością klotoidy do punktu G n. 3. u kąt zwrotu stycznej do klotoidy w punkcie C k obliczony wg wzoru (2a) 4. x k, y k współrzędne punktu C k 5. Długość odcinka. Wyraża długość odcinka odwijanego z koła zasadniczego zębnika w funkcji kąta odtaczania. 6.. zmienia się od wartości < 0, poprzez 0, do wartości >0. 7. kąt nachylenia odcinka (rysunek 8d) do osi x układu współrzędnych 8. Współrzędne punktu A ewolwenty boku zęba Przedstawiona metoda wyznaczania zarysów zębów uzębienia opartego na klotoidzie nie pozwala na pełne zdefiniowanie ich kształtu w przypadku zębów położonych na początku i końcu rozważanego fragmentu klotoidy, ponieważ w przypadku skrajnie położonych zębów klotoidy, zębnik odtaczając się po klotoidzie wykracza poza jej zakres. Gdy zębnik wtoczy się na prostoliniowy fragment krzywej tocznej listwy zębatej (odcinek rysunek 1), wówczas odpowiadająca mu część wyznaczanego zarysu zęba jest odcinkiem prostym równoległym do boków zębatki. Po przeciwnej stronie klotoidy, gdy zębnik wtoczy się na łuk okręgu o średnicy (rysunek 6), wówczas odpowiadająca mu część wyznaczanego zarysu zęba ma kształt zarysu boków koła walcowego o uzębieniu wewnętrznym i średnicy tocznej (na rysunku 1 jest to fragment uzębienia listwy zębatej na łuku ). WNIOSKI Opracowana metoda tworzenia zarysów zębów na krzywej tocznej klotoidzie została zastosowana do wykonania kilku wariantów geometrycznego komputerowego modelu przekładni pokazanej na rysunku 1. Wykonane zostały modele przekładni: bez przesunięcia zarysu, z 3014

przesunięciem zarysu P 0, z przesunięciem zarysu P X. We wszystkich przypadkach uwzględniono obwodowy luz międzyzębny. Po zdefiniowaniu ogólnych parametrów przekładni zębnik listwa zębata wyznaczono kształt uzębienia na fragmentach listwy, której krzywą toczną są klotoidy (np. fragment krzywej tocznej klotoidy z rysunku 1) oraz odcinki proste (np. odcinek na rysunku 1). W pierwszym etapie obliczono parametry przekładni walcowej wewnętrznej o zębach prostych, tj. przekładni odpowiadającej zazębieniu zębnika z łukiem (rysunek 1) uzębienia listwy zębatej. Do prawidłowego działania przekładni o uzębieniu wewnętrznym musi być spełnionych szereg wymogów [4], m.in. koniecznym jest sprawdzenie tzw. zakłóceń ruchu. Wymienić tu można [3]: zakłócenia ruchu przy współpracy kół w eksploatacji (zakłócenia przyporu), zakłócenia ruchu przy zabudowie kół, a także zakłócenia ruchu przy wytwarzaniu. Zakłócenia przyporu występować mogą wewnątrz strefy przyporu (między podstawą zęba zębnika a wierzchołkiem zęba koła, a także między wierzchołkiem zęba zębnika a podstawą zęba koła) oraz na zewnątrz strefy przyporu (uderzanie wierzchołków zęba przy odtaczaniu). Wszystkie niezbędne warunki poprawności współpracy kół przekładni walcowej o uzębieniu wewnętrznym, podane w [3], zostały spełnione. Na podstawie średnic d w2, d f2 i d a2 przekładni wewnętrznej (rysunek 6) wyznaczono krzywe określające stopy i wierzchołki uzębienia listwy zębatej na pozostałych fragmentach listwy zębatej. Tworząc krzywe stóp i wierzchołków zębów wykonano operację odsunięcia krzywej tocznej listwy zębatej o wartość odpowiednio i (patrz rysunek 6). Następnie dokonano wyznaczenia zarysów boków zębów uzębienia opartego na klotoidzie zgodnie z przedsatwioną tu metodą. Geometrię fragmentu uzębienia listy zębatej w postaci zębatki, tj. odcinka uzębienia z rysunku 1 zdefiniowano z uwzględnieniem takich parametrów jak (rysunek 6): toczny kąt przyporu, podziałka toczna równa oraz grubość zęba zębnika na okręgu tocznym zębnika obliczoną ze wzoru (19), po uwzględnieniu obwodowego luzu międzyzębnego. Sprawdzono również jeden z podstawowych warunków zazębienia jakim jest wskaźnik przyporu, obliczając go dla dwóch wartości, tj. przekładni zębatej wewnętrznej (zazębienie zębnik uzębienie fragmentu listwy zębatej na łuku (rysunek 1)) oraz przekładni zębnik zębatka (zazębienie zębnik uzębienie fragmentu listwy zębatej na odcinku prostym (rysunek 1)). Ostatecznie, celem sprawdzenia geometrii zębów listwy zębatej oraz poprawności bezkolizyjnej współpracy zębów zębnika i zębów listwy zębatej dokonano komputerowych symulacji toczenia się zębnika po listwie. Nie wykryto żadnych wzajemnych interferencji zębów zębnika i listwy zębatej. Otrzymane modele przekładni zostaną użyte do obliczeń wytrzymałościowych MES oraz do opracowania procesów technologicznych wytworzenia (nietypowego) uzębienia listwy zębatej. Streszczenie W artykule przedstawiono metodę wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej specjalnego przeznaczenia. W przekładni tej zębnik (walcowe koło zębate o zębach prostych) odtacza się bez poślizgu po wewnętrznie uzębionej listwie zębatej. Kształt uzębienia listwy oraz prowadnic osi zębnika zapewnia żądane przemieszczenia osi zębnika względem listwy. Krzywa toczna listwy zębatej stanowi zamkniętą pętlę zawierającą odcinki proste, łuki okręgów oraz początkowe fragmenty klotoidy. Celem zastosowania fragmentów klotoidy w definicji krzywej tocznej listwy zębatej jest zmniejszenie obciążeń dynamicznych związanych ze zmianą kierunku ruchu osi zębnika. W artykule przedstawiono metodę wyznaczania zarysów zębów na fragmencie uzębienia, którego krzywą toczną jest klotoida. Podano opisy matematyczne krzywych definiujących zarysy boków tych zębów. Poprawność metody zweryfikowano poprzez wykonanie modelu komputerowego przekładni oraz komputerową, kinematyczną symulację jej działania. Słowa kluczowe: mechanika, układy napędowe, przekładnie zębate Computer aided design of a gearbox with pitch curve containing transition curves Abstract In the paper, a method of defining a teeth profile of gearbox designed for a special purpose is presented. In the gearbox, a pinion (cylindrical gear with straight teeth, a spur) rolls without slipping on a internally toothed curved rack. The shape of the teeth of the rack and the shape of the pinion s slide provide the desired displacement of the pinion axle in relation to the rack. The pitch curve of the rack is a closed loop including 3015

straight segments, arcs of circles and initial fragments of the clothoid. The aim of using the clothoid as the fragments of the pitch curve of the rack is to reduce the dynamic loads associated with the change of direction of motion of the pinion axis. The article describes the method of determining the teeth profiles based on the clothoid pitch curve. A mathematical description of curves defining the profiles of these teeth is given. The validity of the method was verified with a computer model of the transmission and then virtual kinematic simulation of its operation. Keywords: mechanics, drive systems, gearbox BIBLIOGRAFIA 1. Domański J., Bajkowski M.: Metoda wyznaczania zarysów zębów przekładni zębatej o krzywej tocznej zawierającej łuki klotoidy. Logistyka, 6/2014. 2. Grabowski R.J.: Kształtowanie geometryczne krzywych przejściowych w drogach kołowych, kolejowych i trasach wodnych, Wydawnictwa Politechniki Białostockiej, Białystok 1996. 3. Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. Projektowanie, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa, 1995. 4. Müller L.: Przekładnie zębate: projektowanie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1979. 5. Ochęduszko K.: Koła zębate tom 1. Konstrukcja, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2010. 3016