Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d., niezależne od zmiennej N. Rozkład K Y N ( 0,] i ma wartość wartości pojedynczej szkody określony jest na przedziale oczekiwaną równą Ε( Y ) =. Ubezpieczyciel wystawia na to ryzyko polisę z sumą ubezpieczenia, z pokryciem każdej kolejnej szkody proporcjonalnym do nieskonsumowanej do tej pory części sumy ubezpieczenia, a więc: za (ewentualną) szkodę wypłaca odszkodowanie w pełnej wysokości Y Y za (ewentualną) szkodę Y wypłaca odszkodowanie w wysokości ( Y ) Y za (ewentualną) szkodę wypłaca odszkodowanie w wysokości [ Y ( Y ) Y ] Y, co równe jest ( Y ) ( Y ) Y Y za (ewentualną) szkodę Y 4 wypłaca odszkodowanie w wysokości Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y, itd. [ ( ) ( )( ) ] 4, to znaczy ( )( )( ) 4 Oczekiwana wartość odszkodowań z tego ubezpieczenia wynosi: (A) (B) (C) (D) (E) 8 9 0
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) <. k =,,..., t > 0. k k t σ Jeśli μ <, wtedy istnieje taka liczba t, że: 4 dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo Pr X > μ + t σ otrzymujemy przyjmując k =, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k =. σ < oraz t < ( ) Wiemy, że zmienna losowa X jest sumą pięciu niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach: z zerową wartością oczekiwaną, wariancją równą 4, oraz momentem centralnym czwartego rzędu równym 4. Liczba t dla zmiennej losowej X wynosi: (A) (B) 5 (C) (D) 5 (E)
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. = u + ct, gdzie: Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki ( ) () t u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ =, () n S n = Y i jest sumą wypłat, i= pojedyncze wypłaty są zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie, niezależnymi nawzajem i od procesu Y i U N ( t). Niech L oznacza maksymalną stratę, L jej dystrybuantę, zaś Ψ u prawdopodobieństwo ruiny przy nadwyżce początkowej u. Wtedy dla każdego u 0 zachodzi F L ( u) = Ψ( u). Gęstość rozkładu wartości pojedynczej szkody jest na półosi dodatniej dana wzorem: 5 t S N F ( ) 4 f Y ( y) = + y Niech c oznacza najmniejszą z takich wartości parametru intensywności składki c, przy której E L. Parametr c wynosi: (A) 4/ (B) 5/4 (C) 6/5 (D) 7/6 (E) 8/7 ( ) 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 4. W procesie nadwyżki U (t) c oznacza intensywność składki na jednostkę czasu, U (0) oznacza nadwyżkę początkową, zaś para T, oznacza moment zajścia i u = ( ) wartość n-tej szkody. Oznaczmy przez ΔT n = Tn Tn czas oczekiwania na n-tą szkodę (oczywiście ΔT = T ). Przyjmujemy, że: ΔT Y, ΔT, Y, ΔT,,... są niezależne,, Y T, ΔT, ΔT,..., Y, Y,... n Y n Δ mają ten sam rozkład (mówić będziemy o rozkładzie Δ ma rozkład Gamma z parametrami ( ) Y ma rozkład Gamma z parametrami (, β ) Δ T ), Y mają ten sam rozkład (mówić będziemy o rozkładzie Y). Rozważmy model, gdzie: Δ T ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej λ, Y ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej β ; oraz model, gdzie: T,λ o wartości oczekiwanej λ, o wartości oczekiwanej β ; Oznaczmy współczynnik dopasowania oraz funkcję prawdopodobieństwa ruiny w pierwszym modelu przez R oraz Ψ ( ), zaś w drugim przez R oraz Ψ ( u ). u Załóżmy, że c > λβ. Spośród poniższych zdań wybierz zdanie prawdziwe: (A) (B) (C) (D) (E) R = R oraz Ψ( u) < Ψ ( u) u 0 R = R oraz Ψ( u) > Ψ ( u) u 0 R > R oraz Ψ( u) < Ψ ( u) u 0 R < R oraz Ψ( u) > Ψ ( u) u 0 Żadne z powyższych zdań nie jest prawdziwe 4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 5. W pewnym ubezpieczeniu liczba szkód, które w ciągu t lat wygeneruje ubezpieczony charakteryzujący się wartością λ parametru ryzyka Λ ma rozkład warunkowy Poissona z wartością oczekiwaną λ t. Zakładamy, że rozkład wartości parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczonych dany jest na półosi dodatniej gęstością: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ), Γ( α) z pewnymi nieznanymi dodatnimi parametrami ( α, β ). Na podstawie próbki ubezpieczonych wylosowanych z tej populacji obserwowanych przez dwa kolejne lata oszacowane zostały dwa parametry: prawdopodobieństwo p 0 iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu jednego roku nie zgłosi szkody (uzyskano ocenę 0.8) prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu dwóch p 0,0 kolejnych lat nie zgłosi szkody (uzyskano ocenę /). Wszystkie pozostałe informacje z próbki zostały zagubione, poza tym że wiemy iż była to próbka o wielkich rozmiarach. Jeśli więc przyjmiemy iż prawdziwe wartości parametrów i równają się ich oszacowaniom, to wartości parametrów ( α, β ) wynoszą: p0 p 0, 0 (A) α, β ) = (, ) ( (B) ( α, β ) = (, 5) (C) ( α, β ) = (, 4) (D) ( α, β ) = (, 5) (E) ( α, β ) = (, 4) 5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 6. Łączna wartość szkód z pewnego kontraktu X = Y +... + YN ma złożony rozkład Poisson z rozkładem wartości pojedynczej szkody danym w tabeli: k Pr( Y = k) 0.4 0. 0. 4 0. Wyznaczono częściowo (z dokładnością do 4 miejsc dziesiętnych) rozkład zmiennej X: k Pr( X = k) 0 0.5 0.08 0.45 0.06 Wobec tego Pr( X = 4) wynosi (z przybliżeniem do miejsc dziesiętnych): (A) 0. (B) 0.6 (C) 0.9 (D) 0. (E) 0.5 6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 7. Poniższa tabela reprezentuje tzw. trójkąt danych, zawierając w odpowiednich klatkach wartości szkód zaszłych w ciągu roku t i zlikwidowanych w ciągu roku ( t + j), dla: t = 00,00,004,005 ; j = 0,,, ; t + j 005 : Łączna wartość Liczby lat opóźnienia likwidacji (j) szkód według: 0 Roku 00 8 59 8 0 zajścia 00 98 75 5 szkody 004 9 9 (t) 005 0 Wyznacz wartość rezerwy na szkody niezlikwidowane na koniec roku 005 dotyczącej szkód zaszłych w latach 00-005 najprostszym wariantem metody Chain Ladder (bez uwzględnienia inflacji, nie poprzedzając obliczeń ważeniem poszczególnych wierszy, zakładając że wszystkie szkody likwidowane są z opóźnieniem nie większym niż trzy lata, itd.) (A) 5 (B) 0 (C) 0 (D) 5 (E) 0 7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 8. Łączna wartość szkód X = Y + K+ YN ma złożony rozkład Poissona, gdzie rozkład wartości pojedynczej szkody Y jest określony na półosi nieujemnej, i ma dodatnie i skończone momenty zwykłe pierwszych trzech rzędów. Przy powyższych założeniach iloraz współczynnika skośności i współczynnika zmienności zmiennej X daje się ograniczyć od dołu. Efektywne ograniczenie to najmniejsza liczba c spośród takich liczb c, że dla dowolnego rozkładu zmiennej X spełniającego założenia zachodzi: γ c V XX gdzie γ X to współczynnik skośności (stosunek trzeciego momentu centralnego do sześcianu odchylenia standardowego) a V X to stosunek odchylenia standardowego do wartości oczekiwanej. (A) (B) c = c = (C) c = (D) c = (E) c = Wskazówka: Potrzebną nierówność dotyczącą momentów zwykłych zmiennej losowej Y otrzymasz rozważając wartość oczekiwaną iloczynu Ε ( ZW ( Z W ) ), gdzie Z,W to niezależne zmienne losowe o rozkładzie takim jak rozkład zmiennej Y 8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 9. Mamy trzy zmienne losowe dotyczące szkody, do której doszło w ciągu danego roku: T - czas zajścia szkody w ciągu tego roku kalendarzowego, o rozkładzie jednostajnym na odcinku ( 0, ), D - czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji, także o rozkładzie jednostajnym na odcinku ( 0, ), Y wartość szkody. Jednostką pomiaru czasu (tak dla zmiennej T, jak i dla zmiennej D) jest rok. Zmienne T oraz D są nawzajem niezależne. Wartość szkody jest rosnącą funkcją czasu zajścia szkody, a także występuje tendencja do szybkiej likwidacji małych szkód i dłużej trwającej likwidacji dużych szkód. Oba te zjawiska razem wyraża następujące założenie: E ( Y D, T ) = + T ( + D) 5 Warunkowa oczekiwana wartość szkody pod warunkiem, że szkoda ta na koniec roku pozostaje jeszcze nie zlikwidowana, a więc: E Y T + D > wynosi: (A) 5 5 (B) 5 9 (C) 5 5 (D) 5 0 (E) 5 ( ) 9
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie 0. Łączna wartość roszczeń z jednego wypadku X = Y +... + YM ma rozkład złożony, przy czym: wartość oczekiwana pojedynczego roszczenia wynosi E ( Y ) = ln6, liczba roszczeń z jednego wypadku M ma rozkład o niezerowych prawdopodobieństwach na zbiorze liczb naturalnych (bez zera), spełniających zależność rekurencyjną: Pr( M = k) =, k =,,4,... Pr( M = k ) k Wobec tego oczekiwana wartość roszczeń z jednego wypadku ( X ) (A) 4 (B) E wynosi: (C) (D) (E) ln 4 ln 4 (ln ) 0
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Egzamin dla Aktuariuszy z 0 marca 006 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja D B B 4 B 5 E 6 A 7 C 8 C 9 D 0 A Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.