Laboratorium Elektromechanicznych Systemów Napędowych

Laboratorium Elektromechanicznych Systemów Napędowych Ćwiczenie 2 Badanie stanów dynamicznych w obwodach elektrycznych z liniowym i nieliniowym elementem indukcyjnym, indukcyjności: statyczna i dynamiczna, funkcje stanu: energia i koenergia magnetyczna Wprowadzenie W ćwiczeniu będą równolegle badane dwa układy elektryczne z liniowym i nieliniowym elementem indukcyjnym rys.1. Rozpatrywane będą dwa stany dynamiczne: 1 i 2 R L d R d U U d Rys. 1. Obwód elektryczny z nieliniowym elementem indukcyjnym do badania stanów załączenia napięcia i zwarcia 1. Załączenie napięcia stałego U=5V, realizowane przez przełączenie przełącznika w poz. 1. 2. Zwarcie obwodu, w którym płynie prąd ustalony, przez nieskończenie szybkie przełączenie przełącznika z pozycji 1 do pozycji 2. Pierwszy modelowany stan dynamiczny ma miejsce np. przy załączaniu napięcia na uzwojenie wzbudzenia w maszynie prądu stałego lub maszynie synchronicznej. Zjawiska podobne do modelowanych w drugim stanie dynamicznym występują, przy przełączaniu fragmentów uzwojeń twornika dołączonych do wycinków komutatora w maszynie prądu stałego lub w maszynach reluktancyjnych przełączalnych i maszynach z magnesami trwałymi, zasilanych przez układy energoelektroniczne. Rezystancje obydwu obwodów są takie same R=0,5 Ω. Indukcyjność obwodu liniowego L=0,2 H.. Charakterystyka nieliniowego elementu indukcyjnego jest określona zależnością 3 i = aψ + bψ (a=1, b=1). (1) Z zależności tej wynika, że w stanie ustalonym strumienie skojarzone liniowego i nieliniowego elementu indukcyjnego są takie same ψ =2Wb. Charakterystyki elementu liniowego i nieliniowego oraz punkt odpowiadający stanowi ustalonemu pokazano na rys.2 Obydwa obwody elektryczne są opisane równaniem różniczkowym, wynikającym z prawa Kirchhoffa, odnoszącego się do napięć w oczku obwodu. 1

d ( U ( = ψ + Ri( (2) dt dψ gdzie U napięcie źródła, napięcie na elemencie indukcyjnym napięcie dt samoindukcji traktowane, jako napięcie odbiornikowe lub spadek napięcia, Ri spadek napięcia na rezystancji R, i prąd płynący w obwodzie. Rys. 2. Charakterystyki liniowego i nieliniowego elementu indukcyjnego Nieliniowy element indukcyjny jest określony funkcją i (ψ ) o postaci (1). Z zależności (1) wynika, że nie można metodą przekształceń algebraicznych uzyskać formuły opisującej funkcję odwrotną ψ (i). Z tego powodu, jako zmienną niezależną w równaniu przyjmiemy strumień skojarzony. Równanie (2) dla obwodu liniowego ma postać. d ψ ( ψ ( = U( R (3) dt L dla obwodu nieliniowego dψ ( = U( R( aψ ( + bψ 3 ( t )) (4) dt Równania te przekształcono do postaci wygodnej, przy modelowaniu cyfrowym (pochodne po lewej stronie równań). Podczas modelowania załączenia napięcia, w pewnej chwili tu następuje skokowa zmiana napięcia od 0 do U (ustawienie przełącznika w położenie 1 rys.1). Przed załączeniem napięcia prądy i strumienie w obwodzie liniowym i nieliniowym są równe zero. Przy modelowaniu stanu zwarcia (nieskończenie szybkie przełączenie przełącznika z pozycji 1 do pozycji 2 rys.1), w chwili zwarcia w obwodach płyną prądy ustalone i z = U / R = 10A. Rozpatrywane będą trzy przypadki zwarcia: zwarcie gałęzią o rezystancji równej zero Rd=0 U d =0, zwarcie gałęzią z rezystancją dodatkową R d porównywalną z rezystancją obwodu, zwarcie gałęzią aktywną, ze źródłem U d skierowanym przeciwnie do płynącego prądu. Stan zwarcia będzie modelowany, jako następny stan po skokowym załączeniu napięcia. Czas, w którym następuje zwarcie powinien być tak dobrany żeby w obwodach występował już stan ustalony. Praktycznie ma to miejsce po ośmiu stałych czasowych obwodu liniowego. Uwzględniając powyższe uwagi równania (3 i 4) przy 2

modelowaniu stanu zwarcia będą miały postać: dla obwodu liniowego dψ ( ψ ( = U( ( R + Rd ( ) (5) dt L dla obwodu nieliniowego dψ ( = U( ( R + R ( )( a ( b 3 ( t d ψ + ψ )) (6) dt W przypadku zwarcia gałęzią o rezystancji równej zero w chwili zwarcia następuje skokowa zmiana napięcia źródła od wartości U do 0. Rezystancja dodatkowa jest równa zero. W drugim przypadku, w chwili zwarcia oprócz skokowego spadku napięcia następuje skokowy wzrost rezystancji od 0 do R d. W trzecim przypadku rezystancja R d jest równa zero, ale napięcie zmienia się od wartości U do U d. Rozpatrywane będą różne wartości napięcia U d z przedziału (0,U). Indukcyjność dynamiczna i statyczna Do uzasadnienia przebiegu prądów, w modelowanych stanach rozpatrywanych obwodów, wygodnie jest posługiwać się równaniem (2), z którego wyeliminowano strumień i jako niewiadoma występuje prąd i (. Jest to możliwe tylko, przy znanej zależności ψ (i). ( i) di( U ( = ψ + Ri( (7) i dt W przypadku liniowego elementu indukcyjnego ψ ( i) ψ = L = (8) i i W elemencie nieliniowym pochodna strumienia po prądzie jest funkcją prądu i przez analogie do elementu liniowego, nazywana jest indukcyjnością dynamiczną. ψ ( i) = Ld ( i) (9) i Natomiast stosunek strumienia do prądu określa tzw. indukcyjność statyczną. ψ ( i) = Ls ( i) (10) i Przy modelowaniu układu z nieliniowym elementem indukcyjnym należy w równaniach, jako parametru używać indukcyjności dynamicznej. Korzystanie w tym przypadku z indukcyjności statycznej, która dla elementu nieliniowego jest również funkcją prądu, komplikuje tylko wyrażenie na napięcie indukowane w elemencie indukcyjnym Zamiast prostej zależności d ( di Ui ( = ψ = Ld ( i) (11) dt dt otrzymujemy wyrażenie, d ( d Ls ( i) di di Ui ( = ψ = Ls ( i) i = i + Ls ( i), (12) dt dt i dt dt w którym oprócz indukcyjności statycznej (będącej funkcją prądu) występuje dodatkowo jej L i pochodna po prądzie s ( ) (również, jako funkcja prądu) i Po wyznaczeniu z (7) pochodnej prądu po czasie, równanie z niewiadomym prądem, w przypadku obwodu liniowego przybiera postać di ( U( Ri( =, (13) dt L natomiast dla obwodu nieliniowego jest określone zależnością 3

di( U ( Ri( = (14) dt L ( i) d Energia i koenergia magnetyczna elementu indukcyjnego Przy omawianiu energetycznej metody formułowania modeli matematycznych układów elektrycznych i elektromechanicznych, czyli tzw. formalizmu Lagrange a, w sposób formalny wprowadza się funkcje stanu elementów konserwatywnych magazynujących energię. W przypadku elementu indukcyjnego definiuje się funkcję energii magnetycznej, będącej funkcją strumienia skojarzonego ψ E m ( ψ ) = i( ψ ) dψ (15) 0 i koenergii magnetycznej, będącej funkcją prądu i E = d m( i) ψ ( i ) i (16) 0 W równanich (15 i 16) rozróżniono współrzędne bieżące i, ψ od zmiennych i, ψ argumentów funkcji energii i koenergii magnetycznej, określających granice całkowania. Z definicji tych funkcji wynika, że dla każdego punktu ( i, ψ ) charakterystyki elementu indukcyjnego ψ (i) spełniona jest zależność Em + E m = ψi (17) Przy określaniu funkcji Lagrange a układu eklektycznego lub elektromechanicznego dokonuje się formalnego wyboru jednej albo drugiej funkcji stanu. Zależy to od tego, czy opis matematyczny części elektrycznej układu ma być zbiorem równań opartych na bilansowaniu napięć w oczkach z niewiadomymi prądami oczkowymi (funkcja koenergii) lub układem równań równowagi prądów w węzłach z niewiadomymi potencjałami węzłowymi (funkcja energii) W elemencie indukcyjnym liniowym wartości obydwu funkcji dla danego punktu charakterystyki ( i, ψ ) są takie same 2 2 1 ψ Li Em = E m = ψ i = = (18) 2 2L 2 W przypadku elementu nieliniowego w danym punkcie charakterystyki wartości obydwu funkcji stanu są różne, obowiązuje tyko zależność (17). Pojawia się pytanie, która funkcja stanu spełnia zasadę zachowania energii. Aby się o tym przekonać obliczymy energię zgromadzoną w elemencie indukcyjnym z bilansu mocy, przy skokowym załączeniu napięcia. Jeżeli równanie (2) pomnożymy przez prąd i( to otrzymamy równanie bilansu mocy. d ( U ( i( = ψ i( + Ri 2 ( (19) dt Lewa strona równania określa chwilową moc elektryczną, dostarczaną do obwodu ze źródła. Jest to pochodna po czasie energii elektrycznej prędkość energii elektrycznej dostarczanej do obwodu. Drugi składnik prawej strony określa moc czynną, wydzielaną na rezystancji R. Moc ta określa zamianę w czasie, części dostarczanej energii elektrycznej, na ciepło powstające w rezystorze i rozpraszane do otoczenia. Pierwszy składnik prawej strony definiuje chwilową moc bierną elementu indukcyjnego. Moc ta określa szybkość dostarczanej do elementu indukcyjnego energii elektrycznej, która jest w nim gromadzona w postaci energii magnetycznej. Po scałkowaniu stronami równania (19), po czasie w zakresie od 0 do czasu t, w którym nastąpi stan ustalony otrzymamy równanie bilansu energii. 4

t 0 dψ ( i( dt dt ψ = 0 i( ψ ) dψ = E m = t 0 2 ( U ( i( Ri ( ) dt Z powyższego równania wynika jednoznacznie, że funkcją stanu, która spełnia zasadę zachowania energii jest funkcja energii magnetycznej. Zostanie to potwierdzone w obliczeniach ilościowych. W drugim zadaniu ćwiczenia energia magnetyczna elementu liniowego i nieliniowego zostanie policzona na podstawie prawej strony równania (20) i będzie porównana z energią obliczoną z definicji na podstawie (15). Dla elementu nieliniowego z zależności ψ ψ i ψ ) dψ ' = ( aψ + (20) 3 E m = ( bψ ) dψ ' (21) 0 Merytoryczne cele ćwiczenia: 0 Wyznaczenie i porównanie, w obydwu obwodach, chwilowych przebiegów prądów i strumieni podczas ich narastania do wartości ustalonej przy skokowym załączeniu napięcia obliczenie czasów narastania prądów Porównanie energii magnetycznej zgromadzonej w liniowym i nieliniowym elemencie indukcyjnym obliczonej z bilansu energii w stanie nieustalonym, przy przejściu ze stanu ψ = 0, i = 0 do stanu ustalonegoψ = ψ z,i = iz z energią obliczoną na podstawie charakterystyk elementów indukcyjnych Porównanie chwilowych przebiegów prądów i strumieni podczas ich zanikania przy trzech wariantach zwarcia obwodów, w których płynie prąd ustalony obliczenie i porównanie czasów zanikania prądów, przy zwarciu: gałęzią o rezystancji równej zero, gałęzią z dodatkową rezystancją, gałęzią z dodatkowym źródłem spolaryzowanym przeciwnie do płynącego prądu. Ocena skuteczności gaszenia prądów w obwodzie liniowym i nieliniowym dodatkową rezystancją lub dodatkowym źródłem. Warsztatowe cele ćwiczenia: Zamodelowanie liniowego i nieliniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu. Umieszczanie grupy bloków w podsystemie. Modelowanie warunków logicznych. Wykorzystanie własności wektorowych bloków. Badanie wpływu kroku czasu na poprawność rozwiązania. Zadanie 1. Zbudować sparametryzowany model symulacyjny umożliwiający: Wyznaczenie wartości chwilowych prądów i strumieni skojarzonych, przy skokowym załączeniu napięcia w układach elektrycznych opisanych równaniami (3 i 4). Obliczenie w obydwu obwodach czasów narastania prądów do wartości różniącej się od prądu ustalonego o ε = 0.1%. Uzasadnić różnice czasów narastania prądów w obwodzie liniowym i nieliniowym Po przesłaniu wyników symulacji do pliku skryptowego sporządzić: Wykres prądów i strumieni w funkcji czasu, na którym oprócz wyników symulacji zostanie przedstawione rozwiązanie dokładne obwodu liniowego. Wykres prądów i sygnałów logicznych z wpisanymi czasami, w których prądy w poszczególnych obwodach osiągnęły wartości ustalone. 5

Zbadać wpływ kroku czasu, w procedurze całkującej, na przebiegi prądów i strumieni. Określić wartość minimalnego kroku całkowania, powyżej której rozwiązanie staje się fizycznie jakościowo niepoprawne. W którym obwodzie rozwiązanie jest bardziej wrażliwe na dobór kroku całkowania? Problem do samodzielnego rozwiązania: W celu wyjaśnienia przebiegów prądów w układzie liniowym i nieliniowym rozbudować model symulacyjny tak żeby wyznaczyć zależności pochodnych prądów po czasie w obydwu układach. Skorzystać z równań (13 i 14). W równaniu 14, zależność indukcyjności dynamicznej od prądu zastąpić zależnością od strumienia. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej mamy dψ ( i) 1 1 L d ( i) = = ψ ( i) = = = L ( ψ ) ( ψ ) di( ψ ) d (22) di i dψ Umieścić na jednym wykresie przebiegi pochodnych prądów po czasie chwilowe prędkości prądów oraz średnie prędkości prądów i(/t. Znaleźć przedziały czasu, w których chwilowa i średnia prędkość prądu w układzie nieliniowym jest większa, od prędkości w układzie liniowym. Uzasadnić przebiegi prędkości prądów. Zadanie 2. Zmodyfikować model z zadania 1: Bloki modelujące poszczególne równania obwody umieścić o oddzielnych podsystemach. Rozbudować model tak, aby umożliwiał obliczenie z bilansu mocy, energie zgromadzone w liniowym i nieliniowym elemencie indukcyjnym. Umieścić część modelu do obliczania energii w oddzielnym podsystemie Po przesłaniu wyników do pliku skryptowego sporządzić wykresy w funkcji czasu: prądów, strumieni i energii Na podstawie charakterystyki nieliniowego elementu indukcyjnego: Obliczyć wartość energii magnetycznej zgromadzonej w elemencie w stanie ustalonym Sporządzić wykres ψ (i) i przedstawić interpretację graficzną energii i koenergii magnetycznej Obliczyć i wykreślić w funkcji prądu charakterystyki indukcyjności statycznej i dynamicznej oraz charakterystykę indukcyjności elementu liniowego. Problem do samodzielnego rozwiązania: Na podstawie (10 i 1) wyrazić indukcyjność statyczną elementu nieliniowego, jako funkcję strumienia. Na podstawie (22) wyrazić indukcyjność dynamiczną, jako funkcję strumienia. Przekształcić równania w taki sposób żeby uzyskać zależność algebraiczną na indukcyjność dynamiczną w zależności tylko od stałej a i indukcyjności statycznej. Sprawdzić wyprowadzoną zależność (zapisać ją w kodzie Matlaba). Po obliczeniu wartości indukcyjności dynamicznej na podstawie wyprowadzonej zależności, dla sprawdzenia dorysować na istniejącej charakterystyce punktami wybrane wartości, (co 50 elemen. Zadanie 3. Zmodyfikować model z zadania 2, tak, aby umożliwiał: Zamodelowanie trzech wariantów stanu zwarcia po osiągnięciu stanu ustalonego: zwarcie gałęzią o rezystancji równej zero, zwarcie gałęzią o rezystancji R d =R, 2R, 3R, 4R, 5R, zwarcie gałęzią o rezystancji równej zero z dodatkowym źródłem napięcia o kierunku przeciwnym do płynącego prądu U d =-0,2U, -0,4U, -0,6U, -0,8U, -1U 6

Obliczenie w obydwu obwodach czasów zaniku prądów do wartości różniącej się od prądu ustalonego o ε = 0.1%. Automatyczne kończenie symulacji, gdy wolniej zanikający prąd osiągnie dopuszczalny poziom Uzasadnić różnice czasów zaniku prądów w obwodzie liniowym i nieliniowym Po przesłaniu wyników do pliku skryptowego sporządzić wykresy w funkcji czasu: prądów i strumieni, prądów i sygnałów logicznych sygnalizujących osiąganie przez zanikające prądy wartości dopuszczalnych. Problem do samodzielnego rozwiązania: Napisać dodatkowy plik skryptowy, w którym przy użyciu dotychczasowego, odpowiednio zmodyfikowanego skryptu zastaną obliczone i sporządzone wykresy czasów zanikania prądów w obwodzie liniowym i nieliniowym w zależności od rezystancji dodatkowej w gałęzi pasywnej lub napięcia źródła w gałęzi aktywnej. Na dodatkowych wykresach pokazać zależności czasów zaniku prądów odniesione odpowiednio do czasów bez rezystancji dodatkowej lub dodatkowego źródła napięcia Wskazówki do rozwiązania zadania 1 Budowa modelu sparametryzowanego polega na jednoczesnym tworzeniu pliku skryptowego w oknie edytora (ikona New M-File na pasku zdań głównego okna Matlaba) i modelu symulacyjnego w oknie graficznym nowego modelu (ikona Create a new model) na pasku zadań Simulinka). Wskazówki dotyczące pliku skryptowego Plik skryptowy powinien mieć strukturę: Część wspólna, Wybór poziomu zadania: Warunkowe wykonanie części dot. zadania 1, Warunkowe wykonanie części dot. zadania 2, Warunkowe wykonanie części dot. zadania 3. W części wspólnej powinny znajdować się elementy: - Ustalenie koloru okien graficznych i zamknięcie otwartych okien graficznych - Dane układów elektrycznych - Obliczenia w stanie ustalonym - Parametry symulacji i bloku napięcia Przykład wspólnej, dla wszystkich zadań, części pliku skryptowego podano poniżej. Ćwiczącym zostanie dostarczony szkielet pliku skryptowego z opisem komórek i fragmentami kodu dotyczącymi wybranych opisów rysunków %% 1.1.Ustalenie koloru okna, zamknięcie okien graficznych set(0,'defaultfigurecolor','w'); clear all %usuniecie wszystkich zmiennych z przestrzeni roboczej Matlaba close all %zamknięcie wszystkich okien graficznych %% 1.2.Dane układów elektrycznych U=5; %V Napięcie %W układzie nieliniowym i=a*psi+b*psi^3 i - prąd, psi - strumień skojarzony a=1; % współczynnik b=1; % współczynnik R=0.5; % Ohm Rezystancja L=0.2; % H Indukcyjność obwodu liniowego ep=0.1; % % odchyłka od wartości ustalonej prądu w procentach pr ustalonego 7

%% 1.3.Obliczenia w stanie ustalonym %W stanie ustalonym strumienie i prądy w układzie liniowym i nieliniowym są takie same iz=u/r; %Prąd w stanie ustalonym psz=l*iz; %Strumień w st. ustalonym epsi=iz*ep/100; % A odchyłka od wartości ustalonej prądu w A %% 1.4.Parametry symulacji i bloku napięcia tp=-0.1; %Początek symulacji tu=0; %Początek załączenia napięcia T=L/R; %Stała czasowa układu liniowego tk=round(tu+8*t); %Koniec symulacji dtmin=1e-2*t; %minimalny krok czasu dtmax=2*dtmin; %mksymalny krok czasu Po napisaniu powyższego fragmentu pliku skryptowego należy zapisać go w pliku (np. scw2.m). Plik skryptowy i pliki z modelami powinny znajdować się w jednym bieżącym katalogu Matlaba np. cw2 Wskazówki dotyczące budowy modelu symulacyjnego Zaczynamy od modelowania równania napięciowego (4) obwodu nieliniowego Z biblioteki Continous przeciągnąć blok integratora Integrator Z biblioteki Sources przeciągnąć blok skoku Step Z biblioteki User-Defined Functions przeciągnąć dwa bloki Fcn Z biblioteki Signal Routing dodajemy blok Mux Przed korzystaniem z bibliotek specjalistycznych, znajdowanie najczęściej używanych bloków można rozpocząć od przeglądania biblioteki Commonly Used Blocks Połączyć bloki i wpisać formuły w blokach Fcn jak na rys.3. Rys.3 Model równania napięciowego (4) obwodu nieliniowego. Blok Fcn zasilający wejście integratora oblicza pochodną strumienia po czasie według formuły zgodnej z prawą stroną równania (4). (sygnał u(1) odpowiada prądowi i, sygnał u(2) odpowiada napięciu U(). Należy zwrócić uwagę, że w formułach bloków Fcn oprócz synalów u(i) i=1,2, uszeregowanych w kolejności podłączenia (licząc od góry lub od prawej) do bloku Mux, skupiającego sygnały w wiązkę, można używać parametrów np. R wykreowanych w skrypcie. Wartości tych parametrów nie zmieniają się podczas symulacji. Drugi blok Fcn zawiera formułę określoną równaniem (1), która umożliwia obliczenie prądu na podstawie strumienia. W bloku Step wpisać parametry w polu Step time tu, w polu Final value U. Modelowanie drugiego równania zaczynamy od zaznaczenia połączonych bloków bez bloku Step i skopiowania (np. przeciągnięcie myszką z wciśniętym prawym przyciskiem) całego fragmentu modelu poniżej, jak to pokazano na rys. 4. 8

Rys. 4. Model równania napięciowego (4) obwodu nieliniowego i jego kopia. Następnie zmieniamy nazwy bloków równania liniowego i wpis do bloku Fcn, który zamienia strumień na prąd w modelu liniowym. Po zmianach model obydwu równań powinien wyglądać jak na rys. 5. Rys. 5. Model równań napięciowych (4) i (3). Do oglądania wyników symulacji i przesłania ich do pliku skryptowego służą bloki Scope, To Workspace, Clock, które należy połączyć jak na rys. 6. Rys. 6. Model równań napięciowych (4) i (3) z blokami podglądu i przesyłania wyników. Obliczenie czasów narastania prądów w obwodzie liniowym i nieliniowym wymaga śledzenia wartości prądów. Model powinien na bieżąco porównywać wartości poszczególnych prądów z wartością prądu ustalonego pomniejszonego o zadaną dokładnośćε. Zostanie do tego wykorzystany blok operatorów logicznych. Blok ten generuje sygnały logiczne, których stan zależy od relacji pomiędzy wartościami doprowadzonych sygnałów. Do identyfikacji chwil czasu, w których poszczególne prądy osiągną określone 9

wartości potrzebne są: blok Constant z biblioteki Sources, blok Sum z biblioteki Math Operations oraz blok Relational Operator z biblioteki Logic and Bit Operations. Bloki te można również znaleźć w bibliotece Commonly Used Blocks. Fragment modelu realizujący to zadanie pokazano na dole, po prawej stronie rys. 7. W sumatorze następuje odjęcie od zadanego prądu ustalonego iz wprowadzonego do jednego bloku Constant, aktualnych wartości prądów w układzie liniowym i nieliniowym. Wykorzystywana jest tu wektorowa właściwość bloku Sum i automatyczne dopasowanie w górę ilości wyjść bloków Constant. Pozwala to na użycie jednego bloku Constant z wartością iz, od której odejmowane są dwa prądy. Na wyjściu sumatora są dwie różnice pomiędzy wartościami chwilowymi, a wartością ustaloną prądów. Porównywanie tych różnic, z zadaną wartością epsi (zależną od założonej dokładności), wpisaną do drugiego bloku Constant następuje w bloku Relational Operator. Podobnie jak w przypadku sumatora wykorzystywana jest również wektorowa właściwość bloku Relational Operator. Wychodzące z niego sygnały logiczne przekazywane są do przestrzeni roboczej Matlaba za pomocą drugiego bloku To Workspace. Z pomocą tego bloku zostanie stworzona w przestrzeni roboczej macierz dwukolumnowa z wartościami sygnałów logicznych. Sygnały logiczne, bez ich konwersji do wartości rzeczywistych, nie mogą być łączone w jednym bloku To Workspace (z opcją Array), z innymi sygnałami o wartościach rzeczywistych. Kompletny model symulacyjny do zadania pierwszego pokazano na rys. 7. Model ten należy zapisać w pliku (np. cw21.mdl). Rys. 7. Kompletny model symulacyjny do pierwszego zadania. Uruchomienie symulacji i graficzna prezentacja wyników Przed uruchomieniem symulacji trzeba ustawić parametry symulacji. W oknie dialogowym menu Simulation podmenu Configuration Parameters ustawić: początek czasu symulacji tp, koniec symulacji tk, maksymalny krok czasu dtmax, minimalny krok czasu dtmin, początkowy krok czasu dtmin. Poprawne uruchomienie symulacji modelu sparametryzowanego wymaga wcześniejszego stworzenia w przestrzenia roboczej zmiennych, które zostały wpisane do bloków. Odbywa się to przez uruchomienie pliku skryptowego w tym przypadku scw2. Rozpoczęcie symulacji z okna graficznego modelu odbywa się przez naciśnięcie ikony lub wybór pola Start w menu Simulation. Uruchomienie symulacji z poziomu pliku skryptowego odbywa się za pomocą funkcji sim( nazwa pliku z modelem ). Wskazówki dotyczące części pliku skryptowego do zadania pierwszego Poszczególne zadania wymagają opracowania rożnych modeli symulacyjnych. Aby jeden plik skryptowy służył do uruchomienia i graficznej prezentacji wyników poszczególnych zadań, fragmenty pliku dotyczące danego zadania muszą być uruchamiane 10

warunkowo, zależnie od wybranego zadania. Przykład warunkowej części pliku skryptowego, bez szczegółów dotyczących każdego zadania, w zapisie Matlaba przedstawiono poniżej %% 1.5.Warunkowe uruchamiane poszczególnych zadań poziom=1; %Wybór poziomu - zadania if poziom==1; %Tu wstawić fragment dotyczący 1 zadania %% 3.Uruchomienie drugiego zadania elseif poziom==2 %Tu wstawić fragment dotyczący 2 zadania %% 4.Uruchomienie trzeciego zadania else %Tu wstawić fragment dotyczący 3 zadania end Fragment pliku skryptowego do realizacji pierwszego zadania powinien zawierać następujące elementy: a) Uruchomienie symulacji Za pomocą funkcji sim( nazwa pliku z modelem ). b) Stworzenie zmiennych, które reprezentują wyniki symulacji Wyniki symulacji zawarte są w poszczególnych kolumnach macierzy stworzonej przez blok To Workspace (nazwa macierzy jest wpisana, jako parametr w tym bloku). Zamiast posługiwać się w dalszej części pliku poszczególnymi kolumnami macierzy wygodniej jest używać krótkich nazw zmiennych, zawierających poszczególne wyniki symulacji. Odpowiednio dobrane nazwy ułatwiają operowanie poszczególnymi wynikami. Przykładowo, polecenie In=ws(:,2); tworzy zmienną In zawierającą wartości prądu obwodu nieliniowego w poszczególnych chwilach czasu. c) Obliczenie czasów narastania prądów Do obliczenia czasów narastania prądów wykorzystujemy wartości sygnałów logicznych. Zmiana wartości sygnału z poziomu zera do poziomu jeden następuje w chwili, gdy różnica pomiędzy wartością danego prądu, a wartością ustaloną jest mniejsza od założonej dokładności epsi. Do identyfikacji tej chwili wystarczy znaleźć najmniejszą wartość indeksu tych elementów wektora sygnału logicznego, których wartości są równe jeden. W notacji Matlaba wykonuje się to jednym poleceniem. d) Dokładne rozwiązanie obwodu liniowego na podstawie zależności analitycznej Przebieg prądu jest określony zależnością t U τ i( = (1 e ), (23) R L gdzie: τ = stała czasowa obwodu RL R Strumień można obliczyć z zależności ψ ( t ) = Li( (24) Przed obliczeniem wartości prądu i strumienia w kolejnych chwilach należy zdefiniować wektor czasu np. od zera do czasu końca symulacji, co jedną setną sekundy. e) Wykresy prądów i strumieni w funkcji czasu, dodatkowo w przypadku obwodu liniowego porównanie wyników symulacji z rozwiązaniem analitycznym. Opracować wykresy wyników symulacji jak na rys. 8. 11

Rys. 8. Wyniki symulacji i porównanie z rozwiązaniem dokładnym (r.d.), skok napięcia, obwód liniowy (u.l.) i nieliniowy (u.nl.) f) Wykresy prądów w funkcji czasu i czasy narastania prądów Pokazać na wykresie przebiegi prądów w obydwu obwodach oraz przebiegi sygnałów logicznych odjętych od prądu ustalonego. Wpisać na rysunku czasy narastania prądu w układzie liniowym i nieliniowym, jak to pokazano na rys. 9. Rys. 9. Przebiegi prądów przy skokowym załączeniu napięcia z pokazaniem czasu narastania prądów trn czas narastania prądu w obwodzie nieliniowy, trl w obwodzie liniowym g) Badanie wpływu kroku całkowania na dokładność rozwiązania. 12

Badanie polega na zwiększaniu minimalnego kroku czasu w procedurze całkującej i śledzeniu poprawności rozwiązania, uzyskiwanego metodą całkowania numerycznego, przez porównanie go z rozwianiem dokładnym. W wyniku badania należy określić wartość minimalnego kroku całkowania, powyżej której rozwiązanie staje się fizycznie jakościowo niepoprawne. W którym obwodzie wcześniej wystąpi rozwiązanie niepoprawne? Poniżej zamieszczono przykładowy fragment pliku skryptowego do realizacji wymagań pierwszego zadania. Fragment ten należy umieścić w instrukcji warunkowej w miejscu pierwszego zadania %% 2.1.Uruchomienie symulacji sim('cw21'); %% 2.2.Zmienne zawierające wyniki symulacji t=ws(:,1); %wektor czasu In=ws(:,2); %wektor prądu u.nl. Psn=ws(:,4); %wektor strumienia u.nl. Il=ws(:,3); %wektor prądu u.l. Psl=ws(:,5); %wektor strumienia u.l. sn=wsl(:,1); %sygnał log. koniec narastania u.nl. sl=wsl(:,2); %sygnał log. koniec narastania u.l. %% 2.3.Obliczenie czasów narastania prądów trn=t(find(sn>0,1,'first'))-tu; %Czas narastania prądu w u.nl. trl=t(find(sl>0,1,'first'))-tu; %Czas narastania prądu w u.l. %% 2.4.Rozwiązanie dokładne obwodu liniowego tr=0:0.01:t(end); Id=U/R*(1-exp(-tr./T)); Psd=L*Id; %% 2.5.Graficzna prezentacja wyników symulacji: prądy i strumienie w funkcji czasu figure('name','wyniki symulacji w funkcji czasu','numbertitle','off'); h1=plot(t,il,'b',tr,id,'--c',t,in,'r'); hold on h2=plot(t,psl,'b',tr,psd,'--c',t,psn,'r','linewidth',1.5);grid hold off legend([h1;h2],'prąd u.l.','prąd u.l.r.d.','prąd u.nl.',... 'Strumień u.l.','strumień u.l.r.d.','strumień u.nl.',1) xlabel('czas, s') ylabel('prąd, A, Strumień, Wb'); %% 2.6.Graficzna prezentacja wyników symulacji - prądy, wyznaczanie czasów narastania figure('name','przebiegi prądów, wyznaczanie czasów narastania ',... 'numbertitle','off'); h1=plot(t,il,'b',t,in,'r'); hold on; h2=plot(t,iz-sl,':b',t,iz-sn,':r'); hold off; grid legend([h1;h2],'prąd u.l.','prąd u.nl.','koniec narastania u.l.',... 'koniec narastania u.nl.',4) text(trn,0.9*iz,['trn = ' num2str(trn,'%0.3f') ' s'],... 'BackgroundColor',[1 1 1],'margin',3 ); text(trl,0.9*iz,['trl = ' num2str(trl,'%0.3f') ' s'],... 'BackgroundColor',[1 1 1],'margin',3 ); xlabel('czas, s'); ylabel('prąd, A, Strumień, Wb'); 13

Wskazówki do rozwiązania problemu z 1 zadania Zmodyfikować model symulacyjny zgodnie z wymogami zadania. Przed modyfikacją zapisać go w nowym pliku np. cw21p.mdl. Pochodną prądu po czasie chwilową prędkość prądu w układzie nieliniowym zamodelować na podstawie (14 i 22) za pomocą jednego bloku Fcn zasilanego dwoma sygnałami strumieniem i pochodną strumienia po czasie. W układzie liniowym chwilową prędkość prądu modelujemy na podstawie równania (13) jeden blok Fcn zasilany pochodną strumienia po czasie. Sygnały pochodnych prądów po czasie doprowadzić do rozszerzonego o dwa porty bloku Mux, połączonego z blokiem To Workspace. Model cw21p.mdl pokazano na rys. 7a. W pliku skryptowym w komórce 2.2 dopisać fragment %Prędkości narastania prądów problem wywołać model 'cw21p' if size(ws,2)==7 din=ws(:,6); %wektor din/dt u.nl. chwilowa prędkość narastania prądu dil= ; %wektor dil/dt u.l. chwilowa prędkość narastania prądu ii=find(t>0); %Indeksy wektora czasu o wartościach większych od zera dils=il(ii)./t(ii); %Średnia prędkość narastania prądu u.l. dins= ; %Średnia prędkość narastania prądu u.nl. i1=find(din>dil,1,'first'); %indeks początek przedziału czasu w którym prędkość prądu w nieliniowym jest większa od prędkości w liniowym i2=find( ); %indeks koniec przedziału czasu w którym prędkość prądu w nieliniowym jest większa od prędkości w liniowym i3=ii(1)-1+find(dins>dils,1,'first'); %indeks początek gdy prędkość sr. prądu w u. niel. jest większa od prędkości w u. lin. end Dopisać komórkę 2.7 Rys. 7a. Model z rys. 7. po modyfikacjach do problemu z 1 zadania %% 2.7.Graficzna prezentacja wyników symulacji - chwilowe i średnie prędkości prądów if size(ws,2)==7 figure('name','chwilowe i średnie prędkości prądów ',... 'numbertitle','off'); h1=plot(t,dil,'b',,'r'); hold on 14

h2=plot(t(ii),dils,'b',,'r','linewidth',1.5); plot([t(i1:2:i2) t(i1:2:i2)]',[dil(i1:2:i2) ]',':r') plot([t(i3:2:end) t(i3:2:end)]',... [dils(i3-ii(1)+1:2:end) ]',':b') h3=stem(t(i1),din(i1),':^r','fill'); h4=stem(t(i2),din(i2), ); h5=stem(t(i3),dins(i3-ii(1)+1),':vb','fill'); hold off;grid legend([h1;h2;h3;h4;h5],'di/dt u.l.','di/dt u.nl.','i/t u.l.',... 'i/t u.nl.',['t1=' num2str(t(i1)) ' s'],... ['t2=' num2str(t(i2)) ' s'],['t3=' num2str(t(i3)) ' s'],1) xlabel('czas, s') ylabel('chwilowe i średnie prędkości prądu di/dt, A/s' ); end Poprawne wykonanie powyższego fragmentu kodu spowoduje narysowanie rys. 9a. Rys. 9a. Chwilowe i średnie prędkości narastania prądów w układzie liniowym i nieliniowym Wskazówki do rozwiązania zadania 2 Wskazówki dotyczące modyfikacji modelu symulacyjnego Rozwiązanie drugiego zadania należy rozpocząć od modyfikacji modelu symulacyjnego cw21.mdl. Przed modyfikacją należy zapisać go w nowym pliku np. cw22.mdl. Na początku kasujemy część modelu, która służyła do obliczania czasów narastania prądów. Zaznaczamy bloki należące do tej części modelu i usuwamy przyciskiem Delete. Zaznaczenia grupy bloków można dokonać klikając kolejno na poszczególne bloki z wciśniętym przyciskiem Shift. Innym sposobem jest zaznaczenie myszką (z wciśniętym lewym przyciskiem) obszaru prostokąta, w którym znajduje się grupa bloków. Przy tym sposobie zaznaczania oprócz bloków zaznaczane są również łączące je linie. Dla poprawy przejrzystości modelu można grupy bloków scalać, zamykać w postaci 15

podsystemu. Zrobimy to z grupami bloków, które modelują poszczególne równania obwody. Po zaznaczeniu grupy bloków modelujących równanie nieliniowe z menu Edit wybieramy Create subsystem. Po tych operacjach model wygląda jak na rys. 10. Postępujemy podobnie z grupą bloków drugiego równania. Po modyfikacjach polegających na zmianie nazw podsystemów i bloków portów wejścia wyjścia oraz uporządkowaniu i dołożeniu bloku wyjścia, z pochodną strumienia w każdym podsystemie, otrzymujemy model jak na rys. 11, z podsystemami pokazanymi na rys. 12. Następnie przystępujemy do modelowania równania (20) bilansu energii w poszczególnych obwodach. Wykorzystujemy do tego dodatkowy integrator, blok mnożący Product z biblioteki Math Operations oraz dwa bloki Mux. Po połączeniu, model wygląda jak na rys. 13. Wykorzystano tu wektorowe własności integratora i bloku mnożącego. W celu uproszczenia struktury modelu zamykamy bloki modelujące równania bilansu energii w podsystem i otrzymujemy model jak na rys. 14. Na rysunku tym pokazano również rozwinięty podsystem energii. Aby uprościć połączenia podsystemów, zmieniono kolejność portów wyjściowych w podsystemie równania liniowego. Rys. 10. Model po modyfikacjach, usunięciu grupy bloków i zamknięciu grupy bloków równania nieliniowego w podsystem Rys. 11. Model po modyfikacjach, zamknięciu grupy bloków obydwu równań w podsystemy Rys. 12. Podsystemy modelu z rys. 11. po lewej model obwodu nieliniowego po prawej obwodu liniowego 16

Rys. 13. Model z rys. 11 po uzupełnieniu o model równań bilansu energii w obydwu obwodach Rys. 13. Ostateczna postać modelu do zadania drugiego z rozwiniętym podsystemem energii Wskazówki dotyczące części pliku skryptowego do zadania drugiego Fragment pliku skryptowego do realizacji zadania drugiego powinien zawierać następujące części: a) Uruchomienie symulacji Za pomocą funkcji sim( nazwa pliku z modelem ). b) Stworzenie zmiennych, które reprezentują wyniki symulacji W porównaniu do zadania pierwszego nie występują tu zmienne reprezentujące sygnały logiczne, natomiast tworzymy nowe zmienne, reprezentujące energie w obwodzie liniowym i nieliniowym. c) Graficzna prezentacja wyników symulacji: prądów, strumieni i energii w funkcji czasu. 17

Opracować wykresy wyników symulacji jak na rys. 15. d) Obliczenia energii magnetycznej w elemencie indukcyjnym nieliniowym na podstawie charakterystyki i(psi) Obliczyć wartość energii magnetycznej zgromadzonej w elemencie indukcyjnym w stanie ustalonym na podstawie zależności (21). Sporządzić wykres ψ (i) i przedstawić interpretację graficzna energii i koenergii magnetycznej nieliniowego elementu indukcyjnego jak pokazano to na rys 16. e) Obliczenia indukcyjności statycznej i dynamicznej nieliniowego elementu indukcyjnego Obliczyć na podstawie charakterystyki i(ψ ) i zależności (9 i 10) oraz wykreślić w funkcji prądu charakterystyki indukcyjności statycznej i dynamicznej oraz charakterystykę indukcyjności elementu liniowego jak to pokazano na rys. 17. g) W wyniku samodzielnego rozwiązania problemu narysować punktami wybrane wartości indukcyjności dynamicznej, obliczone według wyprowadzonej zależności rys. 17a. Rys. 15. Wyniki symulacji uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu drugim 18

Rys. 16. Charakterystyka ψ (i) nieliniowego elementu indukcyjnego i interpretacja graficzna energii i koenergii magnetycznej Rys. 17. Charakterystyki indukcyjności: statycznej i dynamicznej oraz charakterystyka indukcyjności elementu liniowego 19

Rys. 17a. Sprawdzenie wyprowadzonej zależności indukcyjności dynamicznej od indukcyjności statycznej w wyniku rozwiązania problemu z 2 zadania Poniżej zamieszczono przykładowy fragment pliku skryptowego do realizacji wymagań zadania drugiego. %% 3.1.Uruchomienie symulacji sim('cw24'); %% 3.2.Zmienne zawierające wyniki symulacji t=ws(:,1); %wektor czasu In=ws(:,2); %wektor prądu u.nl. Il=ws(:,3); %wektor prądu u.l. Psn=ws(:,4); %wektor strumienia u.nl. Psl=ws(:,5); %wektor strumienia u.l. En=ws(:,6); %wektor energii u.nl. El=ws(:,7); %wektor energii u.l. %% 3.3.Wyniki symulacji w funkcji czasu figure('name','wyniki symulacji w funkcji czasu','numbertitle','off'); h1=plot(t,il,'b',t,in,'r'); hold on h2=plot(t,psl,'b',t,psn,'r','linewidth',1.5); h3=plot(t,el,'--b',t,en,'--r','linewidth',1.5); hold off legend([h1;h2;h3],'prąd u.l.','prąd u.nl.','strumień u.l.',... 'Strumień u.nl.','energia u.l.','energia u.nl.',1) xlabel('czas, s') ylabel('prąd, A, Strumień, Wb, Energie, J'); grid %% 3.4.Obliczenia energii magnetycznej na podstawie charakterystyki i(psi) Em=a/2*psz^2+b/4*psz^4; %energia magnetyczna na podst.(21) Psi=(0:0.001:psz)'; %równomierny wektor kolumnowy strumienia I=a*Psi+b*Psi.^3; 20

nl=51; %liczba linii pionowych i poziomych Psir=linspace(Psi(1),Psi(end),nl)'; Ir=a*Psir+b*Psir.^3; Irr=linspace(I(1),I(end),nl)'; Psirr=interp1(I,Psi,Irr); %% 3.5.Zależność strumienia od prądu, Energia, Koenergia figure('name','zależność strumienia od prądu, Energia, Koenergia ',... 'numbertitle','off'); plot([zeros(nl,1) Ir]',[Psir Psir]','r',[Irr Irr]',... [zeros(nl,1) Psirr]','b') hold on; plot(i,psi,'k','linewidth',1.5); hold off; text(iz/5,0.85*psz,['energia = ' num2str(em) ' J'],... 'BackgroundColor',[1 1 1],'margin',3 ); text(iz/2,psz/2,['koenergia = ' num2str(iz*psz-em) ' J'],... 'BackgroundColor',[1 1 1],'margin',3 ); xlabel('prąd, A'); ylabel('strumień, Wb'); set(gca,'ticklength',[0 0]) %usuniecie znaczków %% 3.6.Obliczenia indukcyjności statycznej i dynamicznej elementu nieliniowego Ls=Psi(2:end)./I(2:end); Ld=diff(Psi)./diff(I); figure('name','indukcyjności statyczna i dynamiczna w funkcji prądu',... 'numbertitle','off'); h1=plot(0,0,'linestyle','non'); hold on h2=plot([i(1) I(end)],[L L],'c'); %indukcyjność w układzie liniowym h3=plot(i(2:end),ls,'b'); h4=plot(i(1:end-1),ld,'r'); hold off xlabel('prąd, A'); ylabel('indukcyjności, H'); legend([h1;h2;h3;h4],'indukcyjności:','układ l.','statyczna u.nl.',... 'dynamiczna u.nl.',1) grid Wskazówki do rozwiązania zadania 3 Wskazówki dotyczące modyfikacji modelu symulacyjnego W trzecim zadaniu będą badane różne warianty stanu zwarcia. Zwarcie będzie modelowane, jako stan następny po skokowym załączeniu napięcia i ustaleniu w obwodach prądów i strumieni. Czas, który w dotychczasowych zadaniach był czasem końca symulacji będzie czasem początku zwarcia. Przed modyfikacją modelu symulacyjnego należy zapisać go w nowym pliku np. cw23.mdl. W modelu należy zmienić źródło napięcia. Blok modelujący skok napięcia należy zastąpić blokiem, który umożliwi kształtowanie napięcia w czasie. Można to zrealizować na kilka sposobów. Dosyć wygodnym wydaje się użycie bloku Repeating Sequence z biblioteki Sources. Usuwamy z modelu blok Step i zastępujemy go blokiem Repeating Sequence. W bloku tym przebieg napięcia w funkcji czasu jest kształtowany przez dwa wektory. Wpisujemy w odpowiednie pola nazwy wektorów np. wt i wu, które następnie definiujemy w pliku skryptowym. Wektory te powinny zapewnić skokową zmianę napięcia w chwili tu, tak jak to było dotychczas i następnie skokową zmianę napięcia w chwili początku zwarcia. Zmiana ta zależy od wariantu zwarcia. Jeżeli obwód jest zwierany gałęzią pasywną to napięcie powinno spaść do zera. Gdy rozpatrywane jest zwarcie gałęzią aktywna, to napięcie zmienia się do wartości określonej przez dodatkową zmienną 21

Ud. Napięcie to powinno mieć znak przeciwny do U. Oprócz modyfikacji źródła należy wprowadzić blok, który modeluje rezystancję gałęzi zwierającej. Można do tego użyć tego samego bloku Repeating Sequence. Oprócz takiego samego wektora czasu wt w bloku tym należy wpisać nazwę wektora rezystancji dodatkowej wrd. Wektor ten definiujemy w pliku skryptowym. Blok ten zapewnia skokową zmianę rezystancji obwodu w chwili zwarcia. Wprowadzenie do modelu rezystancji dodatkowej Rd zgodnie z równaniami (5,6) wymaga modyfikacji podsystemów modelujących równania napięciowe. Należy dodać dodatkowy port wejściowy, zmienić na trzy liczbę wejść bloków Mux oraz zmienić formułę w blokach Fcn modelujących prawe strony równań. Po tych zmianach otrzymujemy model jak na rys. 18, na którym przedstawiono również rozwinięte bloki podsystemów modelujących poszczególne równania napięciowe. Wyznaczenie czasów zaniku prądów podobnie jak w zadaniu pierwszym wymaga śledzenia wartości prądów. Podsystem, który to umożliwia przedstawiono na rys. 19. Oprócz badania relacji wartości prądów w stosunku do przyjętej dokładności epsi, badany jest również czas, aby warunek prądów odnosił się tylko do stanu zwarcia. Znajomość dłuższego czasu zaniku prądu pozwala na wykorzystanie go do warunkowego zakończenia symulacji. Użyto do tego dodatkowo bloku Selektor z biblioteki Signal Routing i bloku Stop Simulation z biblioteki Sinks. Kompletny model symulacyjny do zadania trzeciego pokazano na rys. 20. Rys. 18. Model symulacyjny do badania stanu zwarcia z rozwiniętymi podsystemami modelującymi równania napieciowe wersja niekompletna Rys. 19. Podsystem do badania czasu zaniku prądów 22

Rys. 20. Kompletny model symulacyjny do zadania trzeciego. Uwaga bardzo ważne!!! Przed rozpoczęciem symulacji należy w modelu zmodyfikować parametry symulacji. W dotychczasowych ustawieniach jest zbyt mała różnica pomiędzy krokiem maksymalnym i minimalnym. W związku z tym wystarczy zmienić minimalny i początkowy krok na auto. Pozostawienie niezmienionych parametrów symulacji powoduje bardzo duże wydłużenie czasu obliczeń, co w rezultacie prowadzi do konieczności restartu Matlaba i utraty niezapisanych danych Wskazówki dotyczące części pliku skryptowego do zadania trzeciego Fragment pliku skryptowego do realizacji zadania trzeciego powinien zawierać następujące części: a) Definicja dodatkowych parametrów bloków modelu symulacyjnego Zgodnie z wcześniejszymi uwagami w zależności od wybranego wariantu zwarcia definiujemy zmienne: Ud, Rd, wt, wu, wrd. Oprócz tego tworzymy zmienną tpw określającą chwilę zwarcia i z zapasem wydłużamy czas końca symulacji tk po to żeby zadziałało automatyczne zakończenie symulacji, w chwili zaniku wolniej zmieniającego się prądu. b) Uruchomienie symulacji Za pomocą funkcji sim( nazwa pliku z modelem ). c) Stworzenie zmiennych, które reprezentują wyniki symulacji W porównaniu do zadania drugiego występują tu zmienne reprezentujące sygnały logiczne. Zmiana wartości tych sygnałów z poziomu zera do poziomu jeden następuje w chwili, gdy różnica pomiędzy wartością danego prądu, a wartością ustaloną jest mniejsza od założonej dokładności epsi. d) Obliczenie czasów zanikania prądów Czasy obliczane są podobnie jak zostało to opisane w zadaniu pierwszym. Czas zanikania wolniej zmieniającego się prądu jest wykorzystywany jako warunek zakończenia symulacji, dlatego chwila końca symulacji jest używana do obliczania czasu zanikania tego prądu. e) Graficzna prezentacja wyników symulacji: prądy, strumienie i energie magnetyczne w funkcji czasu Opracować wykresy wyników symulacji dla trzech wariantów zwarcia: - Rd=0 Ud=0 jak na rys. 21 - Rd=5R Ud=0 jak na rys. 23 - Rd=0 Ud= 0,5U jak na rys. 25 23

f) Graficzna prezentacja wyników symulacji - prądy, wyznaczanie czasów zanikania Pokazać na wykresie przebiegi prądów w obydwu obwodach oraz przebiegi sygnałów logicznych. Wpisać na rysunku czasy zanikania prądów w układzie liniowym i nieliniowym dla powyższych wariantów zwarcia, jak to pokazano na rys. 22, 24, 26 Rys. 21. Wyniki symulacji uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią pasywną o rezystancji Rd=0 Rys. 22. Przebiegi prądów, uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią pasywną o rezystancji Rd=0, czasy zanikania prądów tzn czas zanikania prądu w obwodzie nieliniowy, tzl w obwodzie liniowym 24

Rys. 23. Wyniki symulacji uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią pasywną o rezystancji Rd=5R Rys. 24. Przebiegi prądów, uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią pasywną o rezystancji Rd=5R, czasy zanikania prądów tzn - czas zanikania prądu w obwodzie nieliniowy, tzl - czas zanikania prądu w obwodzie liniowym 25

Rys. 25. Wyniki symulacji uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią aktywną o napięciu źródła Ud = 0,5U i rezystancji Rd=0 Rys. 26. Przebiegi prądów, uzyskane z modelu opracowanego w zadaniu trzecim, zwarcie gałęzią aktywną o napięciu źródła Ud = 0,5U i rezystancji Rd=0, tzn - czas zanikania prądu w obwodzie nieliniowy, tzl - w obwodzie liniowym 26

Poniżej zamieszczono przykładowy fragment pliku skryptowego do realizacji wymagań zadania trzeciego. %% 4.1.Parametry dodatkowe Rd=0; %rezystancja dodatkowa Ud=0; %napięcie dodatkowe tpw=tk; %czas początku zwarcia tk=10*tk; %czas końca symulacji z nadmiarem żeby zadziałał Stop wt=[tp tu tu tpw tpw tk]; %wektor czasu do sterowania napięciem i rezystancją wu=[0 0 U U Ud Ud]; %wektor napięć wrd=[0 0 0 0 Rd Rd]; %wektor rezystancji dodatkowych %% 4.2.Uruchomienie symulacji sim('cw26'); %% 4.3.Zmienne zwierające wyniki symulacji t=ws(:,1); %wektor czasu In=ws(:,2); %wektor prądu u.nl. Il=ws(:,3); %wektor prądu u.l. Psn=ws(:,4); %wektor strumienia u.nl. Psl=ws(:,5); %wektor strumienia u.l. En=ws(:,6); %wektor energii u.nl. El=ws(:,7); %wektor energii u.l. sn=wsl(:,1); %sygnał log. koniec zanikania u.nl. sl=wsl(:,2); %sygnał log. koniec zanikania u.l. %% 4.4.Obliczenie czasów zanikania prądów tzn=t(end)-tpw; tzl=t(find(sl>0,1,'first'))-tpw; %% 4.5.Wyniki symulacji w funkcji czasu figure('name','wyniki symulacji w funkcji czasu','numbertitle','off'); h1=plot(t,il,'b',t,in,'r'); hold on h2=plot(t,psl,'b',t,psn,'r','linewidth',1.5); h3=plot(t,el,'--b',t,en,'--r','linewidth',1.5); hold off legend([h1;h2;h3],'prąd u.l.','prąd u.nl.','strumień u.l.',... 'Strumień u.nl.','energia u.l.','energia u.nl.',1); xlabel('czas, s') ylabel('prąd, A, Strumień, Wb, Energie, J'); grid %% 4.6.Wyniki symulacji - prądy, wyznaczanie czasów zanikania prądów figure('name','przebiegi prądów wyznaczanie czasów zaniku',... 'numbertitle','off'); h1=plot(t,il,'b',t,in,'r'); hold on h2=plot(t,sl,':b',t,sn,':r'); hold off legend([h1;h2],'prąd u.l.','prąd u.nl.','koniec zaniku u.l.',... 'Koniec zaniku u.nl.',1); text(tzn+tpw,0.1*iz,['tzn = ' num2str(tzn,'%0.3f') ' s'],... 'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 1]); text(tzl+tpw,0.2*iz,['tzl = ' num2str(tzl,'%0.3f') ' s'],... 'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 1]); xlabel('czas, s') ylabel('prąd, A, '); grid end 27

Wskazówki do rozwiązania problemu Należy napisać skrypt, który będzie nadrzędny nad skryptem sterującym symulacją. W skrypcie tym wygodnie jest zdefiniować wektory wartości rezystancji dodatkowych R d1 R d2 itd, oraz wartości napięć dodatkowych U d1 U d2, itd. Wartości parametrów zawarte w wektorach będą użyte do badania ich wpływu na wielkość czasu zaniku prądu. Badanie będzie polegało na kolejnej zmianie wybranego parametru i uruchomieniu skryptu podrzędnego - sterującego symulacja. W skrypcie tym należy wybrać poziom trzeci oraz zakomentować dwa wiersze, w których definiowane są wartości R d i U d Dla zapewnienia większej uniwersalności programu wektory powinny zawierać wartości względne odniesione do wartości parametrów elektrycznych użytych w obwodzie tzn. do R i U. W celu lepszego zobrazowania wpływu badanych parametrów na czas zaniku prądu proponuje się określenie wartości parametrów następującymi wektorami: dla rezystancji R dw =[0:10] co oznacza rezystancje zmieniające się od zera co R do 10R w przypadku napięcia U dw =[0 0.01 0.05 0.1:0.1:1]. Oczywiście należy pamiętać o przeciwnym znaku napięcia dodatkowego w gałęzi aktywnej Przykład skryptu, w którym zbadano wpływ rezystancji przedstawiono poniżej % Skrypt nadrzędny do badania wpływu dodatkowych rezystancji i napięć na % czas zaniku prądu %% 1.Parametry obwodów, wybór rezystancji lub napięcia U=5; % V Napięcie R=0.5; % Ohm Rezystancja bwrd=0; % 1 badanie wpływu rezystancji, 0 wpływu napięcia, na czasy zaniku % prądów %% 2.Badanie wpływu rezystancji na czasy zaniku prądów if bwrd==1 Ud=0; Rdw=[0:10]; wtzn=[];wtzl=[]; for i=1:length(rdw) Rd=Rdw(i)*R; scw2; wtzn=[wtzn tzn]; wtzl=[wtzl tzl]; end %% 2.1.Wykresy czasów zaniku prądu od rezystancji dodatkowej Rd figure('name','zależność czasu zaniku prądu od rezystancji dodatkowej Rd', 'numbertitle','off'); plot(rdw,wtzl,'b',rdw,wtzn,'r','linewidth',1.5); title('czas zaniku prądu w zależnpości od rezystancji dodatkowej') legend('układ liniowy','układ nieliniowy'); xlabel('rezystancja dodatkowa krotność R') ylabel('czas, s'); grid %% 2.2.Wykresy czasów zaniku prądu odniesionych do czasu bez rezystancji Rd figure('name','zależność wartości względnych czasu zaniku prądu od Rd', 'numbertitle','off'); plot(rdw,wtzl/wtzl(1),'b',rdw,wtzn/wtzn(1),'--r','linewidth',1.5); title('czas zaniku prądu odniesiony do czasu bez rezystancji Rd') legend('układ liniowy','układ nieliniowy'); ylabel('czas, odniesiony do czasu bez rezystancji'); xlabel('rezystancja dodatkowa krotność R'); grid %% 3.Badanie wpływu napięcia, na czasy zaniku prądów else % Napisać samodzielnie fragment skryptu realizujący badania wpływu napięcia % na czas zaniku prądów end Proponuje się nazwę skryptu scw2n 28

Rezultatem poprawnego funkcjonowania skryptu są następujące wyniki: Rys. 27. Zależność czasu zaniku prądów od rezystancji dodatkowej. Rys. 28. Czas zaniku prądów odniesiony do czasu bez rezystancji dod. w funkcji rezystancji dodatkowej. 29

Rys. 29. Zależność czasu zaniku prądów od napięcia dodatkowego. Rys. 30. Czas zaniku prądów odniesiony do czasu bez napięcia dod. w funkcji rezystancji dodatkowej. 30

Pytania kontrolne: 1. Obliczyć energię magnetyczną elementu indukcyjnego liniowego i nieliniowego o ψ 9 3 charakterystykachi = i i = 0.5ψ + ψ w dwóch punktach charakterystyk L 8 ψ 1 = 1, ψ 2 = 2 Wb, L=0,2 H 2. Obliczyć koenergię magnetyczną elementu indukcyjnego liniowego i nieliniowego o ψ 3 charakterystykachi = i i =ψ +ψ w dwóch punktach charakterystyk L ψ 1 = 1, ψ 2 = 2 Wb, L=0,2 H 3. Wyznaczyć charakterystykę indukcyjności dynamicznej nieliniowego elementu 3 indukcyjnego o charakterystyce i =ψ 4. Wyznaczyć charakterystyki indukcyjności statycznej L (ψ ) i dynamicznej 3 Ld (ψ ) nieliniowego elementu indukcyjnego o charakterystyce i = aψ + bψ. 5. Wyznaczyć zależność algebraiczną indukcyjności dynamicznej L d od indukcyjności 3 statycznej L s nieliniowego elementu indukcyjnego o charakterystyce i = aψ + bψ. 6. Jaka jest wartość indukcyjności dynamicznej nieliniowego elementu indukcyjnego o 3 charakterystyce i =ψ gdy i=0 7. Jak będzie usytuowana charakterystyka indukcyjności statycznej względem charakterystyki indukcyjności dynamicznej w nieliniowym elemencie indukcyjnym o 3 charakterystyce i =ψ 8. Jaki powinien być kształt charakterystyki nieliniowego elementu indukcyjnego, aby charakterystyka indukcyjności statycznej leżała nad charakterystyką indukcyjności dynamicznej? Podać przykład takiej charakterystyki nieliniowego elementu indukcyjnego. 9. Jaka jest zależność na stałą czasową obwodu RL i jaki jest jej sens fizyczny. 10. Na przykładzie rozpatrywanych w ćwiczeniu obwodów z liniowym i nieliniowym elementem indukcyjnym uzasadnić, dlaczego czas narastania prądu, przy skokowej zmianie napięcia w obwodzie nieliniowym jest krótszy, niż czas narastania prądu w obwodzie liniowym? 11. Na przykładzie rozpatrywanych w ćwiczeniu obwodów z liniowym i nieliniowym elementem indukcyjnym uzasadnić, dlaczego czas zanikania prądu, przy zwarciu obwodów pasywna gałęzią o rezystancji równej zero, w obwodzie nieliniowym jest dłuższy, niż czas zanikania prądu w obwodzie liniowym? 12. Dlaczego wzrost rezystancji gałęzi zwierającej wpływa na skrócenie czasów zanikania prądów? 13. Dlaczego przy zwarciu gałęzią aktywna, z odwrotnie spolaryzowanym źródłem, czasy zaniku prądów ulegają skróceniu? Opracował Jan Szczypior Warszawa październik 2009 s 31