- laboratorium Ćwiczenie 3 Instrukcja laboratoryjna Człowiek - najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Warszawa 013
Ćwiczenie 3 3. odelowanie układu wykonawczego w środowisku ATLAB / SIULINK 3.1. WPROWADZENIE Wykorzystanie różnorodnych technik modelowania jest jednym z wyróżników procesu projektowania urządzeń i systemów mechatronicznych [, 3, 4, 11]. odelowanie może mieć na celu np. sprawdzenie nowych koncepcji konstrukcyjnych lub dobór cech projektowanego urządzenia pod kątem spełnienia określonych wymagań funkcjonalnych. Geometryczne trójwymiarowe modelowanie podsystemu mechanicznego umożliwia m.in. wyeliminowanie ewentualnych kolizji miedzy częściami. Ważnym fragmentem prac jest modelowanie i symulacja działania poszczególnych układów wykonawczych i pomiarowych umożliwiająca badanie zjawisk dynamicznych w projektowanych układach. Na tej podstawie inżynier dobiera ich cechy konstrukcyjne, ograniczając prawdopodobieństwo popełnienia błędów i optymalizując konstrukcję według przyjętych kryteriów. 3.1.1. Układy wykonawcze urządzeń mechatroniki Układy wykonawcze są najważniejszą częścią (rys. 3.1), gdyż to one realizują główne funkcje tych urządzeń. W ogólnym ujęciu układ wykonawczy składa się z mechanizmu oraz układu napędowego dostarczającego do niego niezbędną energię mechaniczną (rys. 3.). W typowych zadaniach inżynierskich projektowanie wykonawczych układów urządzeń mechatroniki można sprowadzić do dwóch zadań: skonstruowania mechanizmu i doboru układu napędowego. Rys. 3.1. Schemat urządzenia mechatronicznego wg []
Ćwiczenie 3 3 Sygnały sprzężenia zwrotnego Sygnał sterujący Układ napędowy oc mechaniczna Napędzany mechanizm Ociążenie mechaniczne Energia pomocnicza Rys. 3.. Schemat układu wykonawczego Do analizy działania zespołu wykonawczego np. w celu właściwego zaprojektowania układu napędowego konieczna jest znajomość charakterystyk zarówno mechanizmu, jak i samego układu. Prowadzenie takich badań z zastosowaniem symulacji komputerowej wymaga, aby charakterystyki te miały postać akceptowaną przez wykorzystywane oprogramowanie. Z reguły oznacza to potrzebę korzystania z matematycznych modeli zespołów. odel matematyczny jest to uproszczony obraz danego układu lub procesu fizycznego, wyrażający w języku matematycznym najistotniejsze z punktu widzenia zastosowań cechy układu rzeczywistego [10]. odele te mają zazwyczaj wiele wejść i wiele wyjść, dlatego zależności od dostępnych danych oraz cech używanego oprogramowania modele te przedstawia się na ogół za pomocą [15]: układów równań różniczkowych, transmitancji operatorowych, równań stanu. Symulacja może mieć na celu badanie przebiegu zjawisk występujących w modelowanych podzespołach, bądź też dobór właściwych sposobów ich sterowania. Pierwszy przypadek wymaga posłużenia się tzw. poznawczymi modelami podzespołów tj. modelami, których współczynniki są parametrami analizowanych zjawisk. W drugim przypadku wystarczające jest korzystanie z tzw. modeli zastępczych, wiernie oddających zachowanie rzeczywistych obiektów w odpowiedzi na określone wymuszenia [1, 5]. 3.1.. odelowanie układu wykonawczego Najbardziej uzasadnioną drogą tworzenia matematycznego modelu układu wykonawczego jest modelowanie, które polega na podziale rozpatrywanego systemu na podzespoły o znanych lub dogodnych do wyznaczenia modelach i późniejszym połączeniu tych modeli [7]. O takim podejściu przesądza m.in. korzystanie przez konstruktora układu napędowego w znacznym zakresie z gotowych podzespołów. W ogólnym przypadku elektryczny układ napędowy można przedstawić w postaci szeregowego połączenia trzech elementów: układu sterującego, silnika elektrycznego, zespołu przeniesienia napędu,
4 Ćwiczenie 3 oraz sygnałów sprzężenia zwrotnego, co zilustrowano na schemacie blokowym (rys. 3.3). Praktyka pokazuje, że łączenie modeli poszczególnych podzespołów realizowane jest na ogół dopiero na poziomie oprogramowania symulacyjnego. Budowanie modeli tą metodą nosi także nazwę modelowania strukturalnego [13]. Zaproponowano [14], aby podczas opracowywania symulacyjnych modeli układów wykonawczych z napędem elektrycznym posługiwać się schematem, który w postaci graficznej przedstawiono na rys. 3.4. UKŁAD NAPĘDOWY Sygnały sterujące Sygnały sprzężenia zwrotnego Układ zasilający Obciążenie elektryczne ikrosilnik Zredukowane obciążenie Układ przeniesienia napędu Obciążenie mechaniczne Napędzany mechanizm oc elektryczna oc elektryczna oc mechaniczna oc mechaniczna Rys. 3.3. Schemat blokowy układu wykonawczego z elektrycznym układem napędowym Punktem wyjścia do budowy modelu jest model ruchu obrotowego lub liniowego w zależności od rodzaju ruchu realizowanego przez zastosowany siłownik elektryczny. W dalszym ciągu ograniczono się do układów napędowych o ruchu obrotowym, którego model matematyczny ma postać klasycznego równania równowagi momentów [14] d J s s s s Jred KD F Fred sgn red e dt d dt d dt, (3.1) gdzie: J l masowy moment bezwładności obciążenia zredukowany do wałka silnika, J m moment bezwładności wirnika, K D. współczynnik oporów lepkościowych, e moment elektromagnetyczny silnika, F moment tarcia suchego w silniku, Fred tarciowy moment obciążenia zredukowany do wałka silnika, red czynny moment obciążenia zredukowane do wałka silnika, φ s kąt obrotu wirnika silnika. Powyższe równanie służy przede wszystkim do analizy układów pozycjonujących, ponieważ w jawnej postaci występuje tu kąt obrotu wirnika. Gdy rozpatrujemy układ o pracy ciągłej, można przekształcić je do bardziej dogodnej postaci z prędkością kątową jako zmienną d dt s J s Jred KDs F Fred sgn s red e, (3.) gdzie ω s oznacza prędkość kątową wirnika silnika. Budowa pozostałych fragmentów modelu polega na podstawieniu do tego równania wszystkich składników istotnych ze względu na cel badań. Są to: - moment elektromagnetyczny silnika, - zredukowane obciążenie inercyjne, - zredukowane momenty tarcia, - zredukowane momenty czynne.
Ćwiczenie 3 5 odel mechanizmu odel układu sterującego Obciążenia odel układu przeniesienia napędu Sygnał sterujący odel silnika Obciążenie elektryczne Zredukowane obciążenia oment elektromagnetyczny odel ruchu obrotowego Kąt obrotu wirnika odel układu przeniesienia napędu Sygnały sprzężenia zwrotnego Kąt obrotu wałka wyjściowego Rys. 3.4. Zasada budowy symulacyjnego modelu elektrycznego układu napędowego Do wyznaczenia tych wielkości służą zależności opisujące modele: napędzanego mechanizmu, przekładni mechanicznych oraz silnika napędowego i jego układu sterującego wraz z torami sprzężeń zwrotnych. 3.1.3. Symulacja pracy układu Pod pojęciem symulacji działania systemu rozumiane jest rozwiązanie zadania zapisanego w postaci modelu matematycznego z użyciem symulatora, najczęściej w dziedzinie czasu [10]. W przypadku układów napędowych symulacja dotyczy z reguły czasowych odpowiedzi układu na wymuszenia w postaci sygnałów sterujących, które są funkcją czasu i zdarzeń w systemie, oddziaływujących na wejścia poprzez pętle sprzężenia zwrotnego. Symulacja komputerowa wymaga wcześniejszego zapisania modelu matematycznego w postaci symbolicznej za pomocą operatorów wybranego języka symulacyjnego. Układ ten jest następnie rozwiązywany metodami numerycznymi, przy czym symulatorem jest program komputerowy, który obecnie bardzo często stanowi element większego pakietu matematycznego. Wyniki symulacji w postaci liczbowej (np. szeregów czasowych) lub zależności graficznych stanowią podstawę do formułowania wniosków dotyczących zamodelowanego układu. 3.1.4. Cel ćwiczenia 1. Praktyczne zapoznanie się z zasadami modelowania mechanizmów i zespołów przeniesienia napędu.. Poznanie możliwości wykorzystania symulacji komputerowej w pracach inżynierskich.
6 Ćwiczenie 3 3.. PRZEDIOT ĆWICZENIA I POOCE 3..1. Przedmiot ćwiczenia Przedmiotem ćwiczenia jest matematyczny model siłownika liniowego napędzanego silnikiem prądu stałego. Budowę takiego siłownika przedstawiono schematycznie na rys. 3.5. Rys. 3.5. Budowa siłownika liniowego ze śrubowym mechanizmem zamiany ruchu [wg 17] Silnik napędowy za pośrednictwem reduktora zębatego i przekładni cięgnowej z paskiem uzębionym napędza ułożyskowaną śrubę. Śruba współpracuje z nakrętką zabezpieczoną przed obrotem, która dzięki temu wykonuje ruch posuwisty. Nakrętka jest połączona z popychaczem służącym do przenoszenia napędu na zewnętrzne elementy. Potencjometr liniowy współpracuje z nakrętką generując sygnał bieżącego położenia popychacza. Na rysunku 3.6 przedstawiono blokowy schemat siłownika stanowiący podstawę do opracowania jego modelu matematycznego. Rys. 3.6. Schemat blokowy siłownika
Ćwiczenie 3 7 odel mechanizmu Ze względu na przyjętą koncepcję modelowania napędzany mechanizm jest reprezentowany przez momenty siły i masowy moment bezwładności, które mogą być funkcjami czasu, kąta obrotu, prędkości lub innych wielkości mech f t,,,..., gt,,,... J mech. (3.3) Funkcje te opracowywane są na podstawie znajomości koncepcji konstrukcyjnej lub dokumentacji technicznej układu napędowego. W śrubowym mechanizmie zamiany ruchu (rys. 3.7) zewnętrzna siła F przyłożona do popychacza obciąża czynny element mechanizmu momentem sr [1] d sr F tg ' (3.4) gdzie: d średnica podziałowa gwintu, γ kąt pochylenia linii śrubowej, ρ pozorny kąt tarcia pary gwintowej. Rys. 3.7. Schemat mechanizmu śrubowego Pozorny kąt tarcia w mechanizmie oblicza się ze wzoru ' arc tg, (3.5) cos / w którym α oznacza kąt zarysu gwintu. Wzór (3.4) opisuje tylko jeden przypadek obciążenia mechanizmu tzn. taki, gdy siła przyłożona do popychacza działa przeciwnie do kierunku jego ruchu. Aby model uwzględniał także przypadek odwrotny (tzn. gdy zewnętrzna siła działa zgodnie z napędem), konieczne jest zmodyfikowanie wzoru przez uzależnienie znaku pozornego kąta tarcia od zwrotu prędkości sr d d F tg 'sgn dt, przy czym przez φ sr oznaczono kąt obrotu śruby. Przedstawiony opis jest jednym z najczęściej używanych w pracach inżynierskich, ma jednak pewną wadę. Obliczany moment łączy w sobie zarówno moment tarcia mechanizmu, jak i moment czynny od przyłożonej siły. Przy modelowaniu mechanizmów samohamow- sr (3.6)
8 Ćwiczenie 3 nych, w których moment tarcia zawsze jest większy od momentu czynnego, moment sr modeluje się w całości jako tarciowy. Inercyjne obciążenie siłownika w postaci masy m elementów napędzanych przez popychacz (nakrętkę) ulega w mechanizmie śrubowym zamianie na masowy moment bezwładności J msr zredukowany do śruby, który oblicza się ze wzoru J P msr m. (3.7) Funkcję przeniesienia ruchu w mechanizmie śrubowym opisuje zależność pomiędzy kątem φ sr obrotu śruby i liniowym przemieszczeniem x nakrętki 4 P x sr, (3.8) przy czym P oznacza skok śruby. Analogiczną postać ma zależność pomiędzy prędkościami: kątową ω sr śruby i liniową v nakrętki odel sprzęgła przeciążeniowego P sr. (3.9) Zadaniem sprzęgła przeciążeniowego jest ograniczenie przenoszonego momentu obrotowego p do wartości dopuszczalnej dop np. ze względu na wytrzymałość przekładni. atematyczny model sprzęgła ciernego tzn. takiego w którym przy wystąpieniu poślizgu wartość momentu pozostaje na stałym poziomie można więc zapisać w sposób następujący p sr dla sr dop, (3.10) p dop dla sr dop. (3.11) Jednocześnie trzeba pamiętać, że z chwilą wystąpienia poślizgu zanika sztywne sprzęgnięcie układu napędowego z mechanizmem, zatem ulega odłączeniu inercyjne obciążenie pochodzące z tego mechanizmu, co można zapisać jako J p Jmsr dla sr dop, (3.1) odele reduktora i przekładni sprzęgającej J p 0 dla sr dop. (3.13) Z punktu widzenia zasad modelowania każdy układ przeniesienia napędu spełnia dwie funkcje opisywane oddzielnymi zależnościami: - redukcji obciążeń mechanicznych związanych z napędzanym mechanizmem do wałka silnika, - redukcji prędkości wałka silnika do mechanizmu. Redukcja momentów siły potrzebnych do napędzania mechanizmu i redukcja masowego momentu bezwładności następują zgodnie z klasycznymi zależnościami [14] Fmech Fred, (3.14) p i p
Ćwiczenie 3 9 J J, (3.15) red mech i p w których: Fmech moment tarcia w mechanizmie, Fred zredukowany moment tarcia w mechanizmie i p przełożenie przekładni, J mech - masowy moment bezwładności napędzanych elementów mechanizmu, J red zredukowany masowy moment bezwładności napędzanych elementów mechanizmu, η p sprawność przekładni. Redukcja momentów czynnych jest bardziej złożona ponieważ zachodzą tu dwa odmienne przypadki: - gdy moment czynny mech działa przeciwnie do momentu s silnika napędowego, jego wartość ulega klasycznej redukcji przez przełożenie i p oraz dodatkowo zwiększeniu w następstwie zjawisk tarciowych w przekładni opisanych sprawnością η p mech red sgn mech sgn s, (3.16) i p p - gdy moment czynny mech działa zgodnie z momentem s silnika napędowego, dodatkowe opory ruchu zmniejszają jego oddziaływanie na napęd red mech i p p sgn sgn mech s. (3.17) W tej samej przekładni zachodzi redukcja prędkości obrotowej zgodnie z definicyjnym wzorem mech, (3.18) i przy czym ω mech oznacza prędkość wyjściowego wałka przekładni, a ω prędkość kątową wejściowego wałka tej przekładni. W przekładniach o zakładanym stałym przełożeniu w rzeczywistości występują wahania zarówno przełożenia, jak i sprawności, które na ogół są funkcją kąta obrotu [1]. W takich sytuacjach spotyka się modelowanie tych wielkości jako okresowych funkcji kąta [14]. Jeśli nie jest to konieczne przyjmuje się stałe, średnie wartości obu wielkości. atematyczny model mikrosilnika prądu stałego W pracach inżynierskich najczęściej wykorzystywany jest matematyczny model mikrosilnika prądu stałego obejmujący dwa równania równowagi [6]: równanie napięć di u Rti L K E, (3.19) dt równanie momentów d KT i Js Jred KD F Fred sgn red, (3.0) dt w których: u - napięcie zasilania, i - prąd twornika, ω - prędkość kątowa wirnika, J red - zredukowany masowy moment bezwładności napędzanych zespołów, J s - masowy moment bez- p
10 Ćwiczenie 3 władności wirnika, K D - współczynnik tarcia lepkiego w silniku, K E - stała napięcia, K T - stała momentu, L - indukcyjność uzwojenia twornika, F - moment tarcia statycznego w silniku, Fred - zredukowany moment tarcia obciążenia, red - zredukowany moment czynny obciążenia, R t - całkowita rezystancja obwodu twornika. odel układu sterującego Typowym sposobem modelowania układów sterujących jest zapisanie właściwej funkcji napięcia lub układu napięć sterujących, w wyniku których powstaje moment elektromagnetyczny silnika. W najprostszym przypadku może to być jawna funkcja czasu np. t u u. (3.1) u U z U const. (3.) W urządzeniach mechatroniki układy napędowe z reguły pracują z pętlami sprzężeń zwrotnych: prędkościowych lub położeniowych, w zależności od funkcji danego zespołu wykonawczego. Jeśli siłownik liniowy napędzany silnikiem prądu stałego służy do pozycjonowania, wówczas konieczne jest wyposażenie układu w położeniowe sprzężenie zwrotne. ożna je zrealizować m.in. przez zastosowanie przetwornika położenia popychacza (nakrętki) np. w postaci potencjometru liniowego (rys. 3.5). Bieżący sygnał z potencjometru jest porównywany z sygnałem zadanego położenia, a ich sygnał różnicowy wzmacniany do poziomu niezbędnego do wysterowania silnika (rys. 3.8). Gdy popychacz osiąga zadane położenie, sygnał różnicowy maleje do zera, a wraz a nim zanika napięcie sterujące. Silnik zatrzymuje się. z Rys. 3.8. Schemat sterowania siłownika
Ćwiczenie 3 11 3.3. WYKONANIE ĆWICZENIA 3.3.1. Opracowanie symulacyjnego modelu siłownika Korzystając z bibliotek modeli programu Simulink zapisać model siłownika liniowego służący do wyznaczania chwilowego położenia i chwilowej prędkości jego popychacza. Zamodelowanie silnika Otworzyć nowe okno robocze, nadać mu nazwę i zapisać na dysku. W oknie umieścić opracowany w ramach ćwiczenia nr blok mikrosilnika prądu stałego. Wprowadzić parametry silnika wskazanego przez prowadzącego. Sprawdzić poprawność działania modelu. Zamodelowanie obciążeń zewnętrznych Przyjąć, że siłownik obciążony jest inercyjnie elementami o łącznej masie m i siłą F rosnącą liniowo od zera w funkcji przemieszczenia popychacza zgodnie z zależnością F F x, (3.3) w której: x liniowe przemieszczenie popychacza [mm], λ F współczynnik narastania siły [N/mm]. Na początek przyjąć zerowe wartości: masy m i współczynnika λ F. Zamodelowanie mechanizmu zamiany ruchu Zamodelować obciążenia na śrubie przez redukcję obciążeń zewnętrznych zgodnie z zależnościami (3.6) i (3.7). Dodatkowo założyć występowanie w mechanizmie stałego momentu tarcia Fsr obciążającego śrubę. Wartości wielkości charakteryzujących mechanizm 6 przyjąć zgodnie z tabl. 3.1. Tab. 3.1. Parametry mechanizmu śrubowego 6 d średnica podziałowa gwintu 5,35 mm P skok gwintu 1 mm γ kąt wzniosu linii śrubowej 3,4 α kąt zarysu gwintu 30 μ współczynnik tarcia pary śruba-nakrętka 0, Fsr stały moment tarcia śruby 50 N mm Wielkości opisujące ruch tj. położenie i prędkość popychacza obliczyć zgodnie ze wzorami (3.8) i (3.9). Zamodelowanie sprzęgła przeciążeniowego Sprzęgło przeciążeniowe zamodelować na podstawie zależności (3.10) do (3.13). ożna przy tym skorzystać z funkcji Saturation umieszczonej w bibliotece Discontinuities. Dopuszczalną wartość momentu przyjąć równą
1 Ćwiczenie 3 dop 150 Nmm Zamodelowanie przekładni sprzęgającej i reduktora Redukcję obciążeń w przekładniach zamodelować posługując się zależnościami (3.14) i (3.15) zakładając upraszczająco jedynie tarciowy charakter obciążenia momentami siły. Jako wejściowe wielkości do redukcji przyjąć wyniki przetworzenia sygnałów: momentu siły i masowego momentu bezwładności przez sprzęgło przeciążeniowe tj. p i J p. W przypadku przekładni sprzęgającej przyjąć przełożenie i ps oraz sprawność ps 90 %. Dobrać reduktor o takim przełożeniu, aby zredukowany do wałka silnika moment dop był równy w przybliżeniu połowie momentu rozruchowego silnika. Przy redukcji prędkości wykorzystać wzór (3.18). Zamodelowanie obciążenia silnika Zredukowane obciążenia doprowadzić do odpowiednich wejść modelu silnika napędowego: zredukowanego momentu tarcia i zredukowanego masowego momentu bezwładności. 3.3.. Uruchomienie modelu Sprawdzenie modelu siłownika Do modelu silnika doprowadzić napięcie sterujące o stałej wartości równej napięciu znamionowemu podanemu w katalogu. Za pomocą modeli oscyloskopów sprawdzić poprawność ruchu nieobciążonego popychacza. Zamodelowanie układu sterującego Zamodelować układ sterowania siłownika wg schematu z rys. 3.8 przez zastosowanie regulatora P (proporcjonalnego) wytwarzającego sygnał napięciowy sterujący silnik. Do wejścia regulatora doprowadzić sygnał różnicowy pomiędzy zadanym położeniem popychacza i jego chwilową wartością. Doświadczalnie dobrać wzmocnienie A x sygnału. Dodatkowo zamodelować układ ograniczający napięcie sterujące silnik do wartości znamionowej. Pomocny będzie przy tym blok Saturation, który można znaleźć w bibliotece Discontinuities Simulinka. 3.3.3. Badania modelu Eksperyment wstępny Przeprowadzić eksperyment symulacyjny polegający na wykonaniu przez siłownik ruchu przy docelowym położeniu popychacza wynoszącym x zad1, masowym obciążeniu siłownika m i współczynniku narastania siły λ F o wartościach zamieszczonych w tabl. 3..
Ćwiczenie 3 13 Tab. 3.. Parametry eksperymentu 1 x zad1 docelowe położenie popychacza 5 mm λ F współczynnik narastania siły 5 N/mm m masa napędzanych elementów 00 kg Zarejestrować przebieg siły obciążającej F, a także odpowiedzi prędkości v i położenia x popychacza. Porównać końcowe położenie popychacza z wartością zadaną. Wyznaczyć błąd pozycjonowania x x1 xzad1, (3.4) gdzie x 1 oznacza ustalone położenie popychacza. Badanie działania sprzęgła Zmienić zadane położenie popychacza na xzad 10 mm Zarejestrować przebiegi: siły obciążającej F, prędkości v i położenia x popychacza oraz momentu obciążającego silnik i inercyjnego obciążenia silnika. Na podstawie eksperymentu wyznaczyć wartość siły obciążającej F = F max, która spowodowała poślizg sprzęgła. Zapisanie wyników badań Zapisać na indywidualnym nośniku wyniki wykonanych prac, a w szczególności: symulacyjny model układu wykonawczego, uzyskane odpowiedzi układu. 3.4. SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA W sprawozdaniu z ćwiczenia należy zamieścić: a) matematyczny opis zadania - model siłownika (p. 3.3.1) (pamiętając, że określenie model oznacza zarówno kompletny zbiór równań, jak i pełny wykaz wartości współczynników w równaniach); b) kartę katalogową dobranego reduktora z zaznaczonym wybranym przełożeniem (p. 3.3.1), c) model matematyczny układu sterującego (p. 3.3.), d) symulacyjny model siłownika wraz z układem sterującym - schemat blokowy z programu SIULINK (p. 3.3.), e) odpowiedzi układu i uzyskane wyniki wraz z ich interpretacją (p. 3.3.3).
14 Ćwiczenie 3 3.5. LITERATURA 1. Gajda J., Szyper.: odelowanie i badania symulacyjne systemów pomiarowych. Wyd. Wydz. Elektrotechniki Automatyki Informatyki i Elektroniki AGH. Kraków 1998. Gawrysiak.: echatronika i projektowanie mechatroniczne. Politechnika Białostocka. Rozprawy naukowe nr 44. Białystok 1997 3. Heimann B., Gerth W., Popp K.: echatronika. Komponenty, metody, przykłady. Wydawnictwo Naukowe PWN. Warszawa 001 4. Isermann R.: echatronic Systems Fundamentals. Springer, 005 5. Janiszowski K.: Podstawy wyznaczania opisu i sterowania obiektów dynamicznych. WPW. Warszawa 1991 6. Kenjo T., Nagamori C.: Dvigateli postojannogo toka s postojannymi magnitami. Énergoatomizdat. oskva 1989 7. Ljung L.: System Identification: Theory for the User. Prentice Hall 1987 8. icromotor Horizons Brighten with Electronics. JEE. 198, Nr 19, v.19, str. 39-4 9. rozek B., rozek Z.: ATLAB i Simulink. Poradnik użytkownika. Wyd. Helion. Gliwice 004 10. Osowski S.: odelowanie układów dynamicznych z zastosowaniem języka Simulink. OWPW. Warszawa 1997 11. Pelz G.: echatronic systems. odelling and simulation with HDLs. John Wiley and Sons Ltd. Chichester 003 1. Praca zbiorowa pod red. W. Oleksiuka: Konstrukcja przyrządów i urządzeń precyzyjnych. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne. Warszawa, 1996. 13. Szyper.: odelowanie systemów pomiarowych i ich elementów. ateriały sympozjum "odelowanie i Symulacja Systemów Pomiarowych", Krynica 8-30 września 199, str. 65-74. Wydawnictwa AGH. Kraków 199 14. Wierciak J.: odelling of Electrical Drive Systems in the Process of Designing of echatronic Devices. Engineering echanics, Vol. 1, 005, No. 3, pp. 157-164 15. Żelazny.: Podstawy automatyki. PWN. Warszawa 1976 16. API Portescap. iniature High Performance otors & Peripheral Components for otion Solutions. Katalog 1999 17. ULTRA OTION. ini linear actuators. Katalog siłowników liniowych