RÓWNOWAGA SOLOWA PRZY ALTERNATYWNYCH TRAJEKTORIACH LICZBY PRACUJĄCYCH

A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 6(36) 06 hp://dx.doi.org/0.8778/008-608.36. Kaarzya Filipowicz *, Macij Grodzici ** Tomaz Toari *** RÓWNOWAGA SOLOWA PRZY ALTERNATYWNYCH TRAJEKTORIACH LICZBY PRACUJĄCYCH Srzczi. Clm opracowaia j zbadai rówowagi modlu wzrou gopodarczgo Solowa przy zmodyfiowaym założiu doyczącym opy wzrou liczby pracujących. W pirwzym wariaci przyjmuj ię, ż liczba pracujących zmiia ię po rajorii orśloj przz fucję logiową. Naomia w drugim wariaci załada ię, ż opa wzrou liczby pracujących j pwą maljącą fucją wydajości pracy (zw. po-maluzjańa ściża wzrou). Przy logiowj ściżc wzrou liczby pracujących rajori chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy orślo ą przz pw fucj złożo z fucją hiprgomryczą Gaua. Naomia przy po-maluzjańij ściżc wzrou liczby pracujących rozwiązai rówaia Solowa zalż j od przyjęj warości paramru α (layczości producji względm aładów apiału) moż oo i poiadać żadgo puu acjoargo, poiadać jd lub dwa irywial puy acjoar. W przprowadzoych w opracowaiu ymulacjach umryczych layczość producji względm aładów apiału alibrowao a poziomi rówym 0,686. W wzyich ymulowaych wariaach óp iwycji, przy adardowj, logiowj oraz po-maluzjańij rajorii liczby pracujących, wydajość pracy rośi do pwj aympoy. Aympoy fucji wydajości pracy dla rajorii logiowj i po-maluzjańij położo ą a zbliżoym (izaczi wyżzym dla rajorii logiowj) poziomi. Obi położo ą zdcydowai wyżj iż aympoa fucji wydajości pracy z orygialgo modlu wzrou gopodarczgo Solowa. Słowa luczow: opa wzrou liczby pracujących, rówowaga modlu Solowa. JEL: O40. WPROWADZENIE Clm iijzj pracy j zbadai rówowagi modlu wzrou gopodarczgo Solowa przy zmodyfiowaym założiu doyczącym opy wzrou liczby pracujących. Auorzy przyjmują, ż liczba pracujących moż roąć do pwj aympoy po rzywj logiowj lub ż opa wzrou liczby pracujących * Kadra Eoomii Mamayczj Uiwryu Jagillońigo,.filipowicz@uj.du.pl ** Kadra Eoomii Mamayczj Uiwryu Jagillońigo, macij.grodzici@uj.du.pl *** Kadra Eoomii Mamayczj Uiwryu Jagillońigo, omo67@l.pl Opracowai powało w ramach grau NCN p. Cyl wzrou dyamicz modl oiuury i wzrou gopodarczgo r OPUS8 UMO-04/5/B/HS4/0464. [8]

8 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari L / L (przy wydajości pracy y roącj do 0 przz do + ) pada coraz wolij od + przz do 0. Przy przyjęych alraywych założiach o rajoriach liczby pracujących w pracy pozuuj ię ściż wzrou chiczgo uzbrojia pracy oraz wydajości pracy, a aępi porówuj ię j z ściżami wzrou ych zmiych marooomiczych z orygialgo modlu Solowa. Waro zazaczyć, ż rozważaia a zbliżoy ma były już podjmowa w liraurz. Zgodi z wpływową ocpcją Malhua gomryczy wzro liczby ludości uimożliwiał zwięzai wydajości pracy w długim ori. Wpółczśi zrg oomiów próbuj wyjaśić a gruci modli formalych wolucję liczby pracujących (maljąc mpo przyrou) i poziomu wydajości pracy w gopodarach po-malhuzjańich. Gurrii (006) (por. ż Zawadzi 007 lub Bucci, Gurrii 009) wyazał, ż jśli w modlu Solowa przyjmi ię założi, ż opa wzrou liczby pracu- L / L chararyzuj ię ym, ż dla dowolgo iujmgo jących * momu 0 oraz lim 0,, * o rówai różiczow: f opiując proc aumulacji chiczgo uzbrojia pracy w modlu Solowa poiada aympoyczi abily, irywialy pu acjoary. Sruura przowago opracowaia j aępująca. W puci zajduj ię przgląd liraury. W puci 3 zaprzowao rozwiązaia modlu Solowa przy alraywych założiach doyczących rajorii liczby pracujących. W puci 4 alibrowao paramry modlu oraz przdawioo ymulacj umrycz ściż wzrou wydajości pracy przy różych opach iwycji. Opracowai ończy pu 5, w órym zbra zoały ajważijz wioi płyąc z rozważań podjęych w pracy.. PRZEGLĄD LITERATURY Między zjawiami wzrou gopodarczgo i zmia liczby pracujących wyępują złożo, dwuro zalżości, będąc przdmiom zairowaia m.i. oomii populacji oraz orii wzrou gopodarczgo (por. Iaac, Lui 997). W oomii olayczj, óra abrahuj od wii bzrobocia w długoorowych aalizach wzrou gopodarczgo, liczba pracujących wiąż ię blio z liczbą ludości ogółm w daym raju. Sąd zjawia zmia dmograficzych i wzrou gopodarczgo ą łączo oryczi i formali w poób dogiczy za prawą aich mchaizmów ja: zmiay płodości i długości życia, migracj, czy iwycj w apiał ludzi.

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 83 Wpływow dla wolucji orii w ym obzarz były ualia oomiów layczych, w ym Thomaa Malhua i Davida Ricardo (za Iaac, Lui 997). Kocpcja Malhua, rozwiięa dalj w modlach ricardiańich, wazywała, w jai poób rzczywi mpo przyrou auralgo, w odróżiiu od mpa pocjalgo, zalży od au gopodari. Malhu argumował bowim, ż połczńwa mają pocjał oraz auralą łoość do oiągaia wzrou populacji w mpi gomryczym (j. wg ałj opy wzrou). Jda w rzczywiości liczba ludości i rośi do iończoości, gdyż j ograiczaa przz zmiiając ię warui oomicz związa przd wzyim z poziomm płac i podażą żywości. Obrwacja mpirycza łoiła go do uzaia, iż producja żywości moż roąć jdyi w poób arymyczy za prawą ograiczoj ilości doępj zimi i wolgo poępu chiczgo w rolicwi. Zmiay podaży żywości w połącziu z dyamią liczby ludości oddziałują a płac ral. Ich pad poiżj poziomu gzycji (ag. ubic wag) aowi bodzic do ograiczia mpa przyrou auralgo w pirwzj oljości za prawą padu dziości. W ujęciu Malhua dzici były raowa jao dobra iwycyj, zaś pad płac umijzał orzyści z ich poiadaia. Naomia w rajych przypadach liczba ludości j rgulowaa od góry przz wzro śmirlości wywołay głodm, wojami lub pidmiami. Ualia Malhua moża podumować aępująco: a. Pocjaly wzro liczby ludości, N(), j day roącą fucją wyładiczą: N N0, gdzi N 0, 0, przy czym N 0 j liczbą ludości w momci = 0, zaś (ałą w czai) opą wzrou liczby ludości. b. Podaż żywości, F(), j orśloa roącą fucją liiową: F F 0 a, gdzi F 0, a 0, przy czym F 0 ozacza podaż żywości w momci = 0, aomia a wzro owj podaży w oljych momach. c. Sąd, ilość żywości przypadająca a mizańca j rówa: F0 a f N. o Ni moż jda oa rwal paść poiżj pwgo miimalgo poziomu f mi. Przyładowy przbig fucji f() przdawioo a wyri. Po przrocziu momu * doępa podaż żywości i zapwi gzycji roącj populacji, co wymui zmiay w poziomi lub mpi wzrou N(). Na u ych dooowań po pwym czai warości fucji f() powrócą powyżj f mi. Powyżz zalżości, ór fayczi przyają mpiryczi do hiorii ludzości aż do czaów rwolucji przmyłowj, prowadzą do zw. pułapi maluzjańij. Woly poęp chiczy w rolicwi i pozwala a zwięzi producji żywości zybz od przyrou ludości. W rzulaci długoorowy poziom życia ludości j ały, a obrwowa mogą być jdyi fluuacj woół poziomu rówowagi.

84 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari Wyr. Zmiay podaży żywości pr capia a gruci orii Malhua Źródło: opracowai wła. Przwidywaia Malhua przały paować do rzczywiych zmia populacji i poziomu życia w XIX wiu. W rajach uprzmyłowioych o zdolości producyj, aż doycząc podaży żywości, roły gomryczi, podcza gdy przyro auraly wyhamował, a liczba ludości wilu pańw wręcz uabilizowała ię. Z jdj roy wyąpiły io zmiay w aurz gopodarowaia, a aumulacja apiału i poęp chiczy umożliwiły wzro gopodarczy. Z drugij roy wyąpiły zw. przjścia dmograficz, ór polgały a padu śmirlości, a aępi a zaczym ograicziu dziości w rajach uprzmyłowioych. W odróżiiu od orii Malhua po 800 rou obrwowao zam maljącą dziość i wyoi mpo wzrou gopodarczgo. W oomii podjmuj ię próby wyjaśiia wpółczych powiązań między ymi zjawiami, ja i oryczgo połączia obu apów rozwoju ludzości: malhuzjańigo i po-malhuzjańigo (Galor 005). W olayczych modlach wzrou gopodarczgo (p. Solow 956; Maiw, Romr i Wil 990) przyro liczby pracujących j orśloy gzogiczi liczba pracujących rośi wdług ałj opy wzrou 0. Przyjmowai fucji producji o ałych fach ali powoduj, ż paramr i wpływa a opę wzrou wydajości pracy w długoorowj rówowadz modlu. Ta oaia j bowim rówa opi poępu chiczgo g. Tmpo wzrou liczby pracujących oddziałuj aomia gaywi a poziom chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy w daym momci czau. W orii wzrou dogiczgo liczba pracujących j ściśl związaa z dyamią gopodari. Dzij ię a za prawą fów ali (por. Luca 988; Romr 990; Toari 0) lub mchaizmów odwołujących ię xplici do zjawi dmograficzych. W pirwzym przypadu mpo wzrou liczby pracu-

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 85 jących j adal warością orśloą w poób gzogiczy wobc proców gopodarczych, jdaż wzro zarudiia moż wywołać roąc orzyści ali, ór przypizają wzro wydajości pracy. W modlu Lucaa (988) główym czyiim wzrou j aumulacja apiału ludzigo, óry gruj orzyści zwęrz. Grucu (za: Prr, Prawz 00) poazał, ż przyjęci w modlu Lucaa międzyorowj fucji użyczości ypu CES, prowadzi do aępującj opy wzrou wydajości pracy w rówowadz: * g y E, gdzi: ozacza międzyorową layczość ubyucji; E produywość ora duacji; opę dprcjacji apiału ludzigo; opę dyoa. Z powyżzj zalżości wyia, ż im zybz j mpo przyrou auralgo, ym zybzy j wzro wydajości pracy w rówowadz. Do podobych wioów prowadzi aaliza iych modli z dogiczi orśloym poępm chiczym. Zarówo w modlu Romra 990 (główym czyiim wzrou j działalość ora B+R), ja i Gromaa i Hlpmaa (działalość iowacyja pozczgólych firm) opa wzrou wydajości pracy w długoorowj rówowadz j roącą fucją zaobu liczby pracujących (por. Prr, Prawz 00). Ciaw rozwiięci modlu Romra o czyii dmograficz aowi praca Prra (009), óra dopuzcza arzi ię populacji. Wyiający z go wzro wydajości pracy w rówowadz zalży i ylo od liczby pracujących (dodaio), al rówiż od przcięj długości życia (rówiż dodaio). Przyjmuj ię bowim, ż dłużz ocziwa życi przyja wzroowi idywidualych ozczędości, ór ymulują wzro gopodarczy. Toari (008) rozwija olayczy modl Solowa o fy ali i poazuj, ż wpływ liczby pracujących a mpo wzrou wydajości pracy w długoorowj rówowadz zalży w ym od iruu fów ali w gopodarc. Przy roących fach ali, im wyżz j mpo wzrou liczby pracujących, ym zybzy j wzro wydajości pracy. Odwroy iru zalżości wyępuj aomia przy maljących fach ali (rozumowai o i płyąc z igo wioi moża ławo uogólić a więcj iż jdoapiałow, olaycz modl wzrou ypu Baiwa Romra Wila lub Nomaa Vahouda por. Toari 008, 0). Bardzij złożoych wioów doarczają modl, ór dogizują jdoczśi: wzro gopodarczy i zmiay liczby pracujących. Barro i Sala-i- -Mari (004) przdawiają rzy przyłady aich mchaizmów związa

86 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari z migracjami, płodością i wyborm podaży pracy jdoi. W pirwzym przypadu, zmiay liczby pracujących zalżą od międzyarodowych różic w wyagrodziach pracowiów. Pracowicy migrują do rajów o wyoich płacach, przoząc z obą zaumuloway apiał ludzi. Auorzy poazują, m.i. rozzrzając modl Solowa oraz aalizując da mpirycz, ż międzyarodow przpływy pracowiów przyjają wyrówywaiu poziomu rozwoju między rajami. W drugim wariaci Barro i Sala-i-Mari uwzględiają dcyzj doycząc liczby dzici, aby wyjaśić wolucję gopodar po-malhuzjańich. W ym modlu, poiadai dzici aowi oz alraywy względm uzyiwaia dochodów ryowych. W owcji, wraz z wzrom gopodarczym, óry prowadzi do bogacia ię połczńw, rodziy będą dcydowały ię a poiadai mijzj liczby dzici. Naomia w wariaci rzcim, padając mpo wzrou zaobu pracy moża przypiać maljącj aywości zawodowj. Wraz z bogacim ię rośi prfrcja czau wolgo względm dochodów, co powoduj ograiczi przcięj liczby godzi pracy. Spad zachodzi jda ylo do pwgo momu, w órym użyczość czau wolgo i dochodów zrówuj ię a długoorowj ściżc wzrou. Opiywa modl wzrou gopodarczgo paują do pcyfii gopodarowaia wpółczgo apializmu. Tymczam przdawicil zw. jdolij orii wzrou podjmują próby jdoczgo wyjaśiia złożoych i woluujących a przrzi wiów zalżości między zmiaami populacji a wzrom gopodarczym (Malaga 03). W ramach ocpcji Galora (005) ploracji podlgają ai zjawia ja: pułapa malhuzjańa, przypizi wzrou w ori idurializacji, przjścia dmograficz oraz rwały wzro gopodarczy od XIX wiu. W modlu wyępuj urya zmia au, órą j popy a apiał ludzi. Oddziałuj oa a zachowai uładu dyamiczgo, czmu odpowiadają przjścia do oljych rżimów wzrou: od malhuzjańigo, przz pomalhuzjańi do wpółczgo. Wzro populacji, począowo aowiący barirę dla zmia poziomu rozwoju, w pwym momci wyzwala poęp chiczy, za prawą podziału pracy, iowacji, czy wzrou popyu. Dzięi mu aępuj przjści do apu po-malhuzjańigo, óry cchuj ię jdoczśi wyoą dyamią wzrou gopodarczgo i przyrou auralgo. Z czam, pojawia ię popy a wywalifiowaych pracowiów, co ozacza, ż rodzicom opłaca ię iwować w rozwój apiału ludzigo woich dzici (a i, ja doąd, w liczbę dzici). Maljąca, w rzulaci, przcięa liczba dzici w rodziach aowi przjści dmograficz i prowadzi do wpółczgo rżimu wzrou, z wyoimi iwycjami w apiał ludzi i łabym przyrom auralym.

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 87 3. ŚCIEŻKI WZROSTU W MODELU SOLOWA PRZY ALTERNATYWNYCH TRAJEKTORIACH LICZBY PRACUJĄCYCH W prowadzoych dalj rozważaiach przyjmuj ię aępując założia doycząc fucjoowaia gopodari ypu Solowa : I. Proc producyjy opiuj dwuczyiowa fucja producji Cobba Douglaa daa wzorm 3 : K L Y, () gdzi Y ozacza wilość wyworzogo produu, K ałady apiału, L ałady pracy, 0; j zaś layczością producji względm aładów apiału. II. Proc aumulacji apiału opiuj aępując rówai różiczow: Y K K, () gdzi ozacza opę ozczędości/iwycji, δ zaś opę dprcjacji apiału. Rzcz jaa zmi oraz δ alżą do przdziału (0;). III. Liczba pracujących zmiia ię po jdj z rzch alraywych rajorii 4 :, L (3) L T m (4) O wzyich wyępujących dalj zmiych marooomiczych przyjmuj ię założ- 0;. Zapi x() i, ż ą przyajmij dwuroi różiczowalymi względm czau dx ozaczał będzi warość zmij x w momci. x o pirwza pochoda zmij x po d czai, czyli (oomiczi rzcz biorąc) przyro warości owj zmij w momci, zaś d x x druga pochoda x po. d 3 Orygiala fucja producji Comba-Douglaa opiaa j rówaim: Y AK L, gdzi A>0 ozacza łączą producyjość czyiów producji. Załadamy jda, ż Y i K (wyrażo w jdoach piiężych w pwych cach ałych) zdflowa ą aim dlaorm, ż w momci =0 Y i K (podobi ja L) rów ą i wówcza A=. Ni ograicza o jda w żad poób ogólości prowadzoych dalj rozumowań. 4 Rówowaga Solowa przy rajorii liczby pracujących opiaj przz rówai (4) aalizowaa była w opracowaiu Filipowicz, Syra, Toarigo 06.

88 lub Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari L L y, (5) gdzi: >0, m i T 0, zaś y=y/l ozacza wydajość pracy. Rówai (3) opiuj adardową ściżę wzrou z orygialgo modlu Solowa 956. Na j ściżc wzrou opa wzrou liczby pracujących L / L w ażdym momci 0; rówa j, zaś licza pracujących rośi od do +. Związ (4) wyzacza zaś logiową ściżę wzrou liczby pracujących. Na ściżc j: co powoduj, ż: L T 0 m, l m T. (6) Spłii waruu (6) gwarauj, ż a ściżc wzrou (4) liczba pracujących w momci =0 przyjmuj warość. Dlago ż przyjmujmy dalj, ż a logiowj rajorii (4) zachodzi rówiż zalżość (6). Poado z rówań (4) i (6) wyciągąć moża aępując wioi: (i) lim L m. T (ii) 0; L m 0. T T T (iii) 0; L 4 m T, co powoduj, ż L j 3 dodai dla 5 0;T oraz ujm dla T ;. (iv) LT m/. Ozacza o, ż jśli płio ą rówaia (4) i (6), o liczba pracujących rośi coraz zybcij od do m/ w przdzial czau 0 ;T, aomia w przdzial T ; liczba a rośi coraz wolij od m/ do m. A zam m j 5 T=0 w przypadu, w órym m=.

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 89 maymalą liczbą pracujących a rajorii (4), zaś T momm, w órym ściża a ma pu przgięcia. Rówai (5) orśla zaś po-maluzjańą ściżę wzrou liczby pracujących. Jśli liczba pracujących poruza ię po owj rajorii, o opa wzrou liczby pracujących L / L (przy wydajości pracy y roącj do 0 przz do + ) pada coraz wolij od + przz do 0. Ozaczmy ż przz =K/L chicz uzbroji pracy, aomia przz L / L opę wzrou liczby pracujących. Wówcza: przy adardowj rajorii liczby pracujących, przy rajorii logiowj oraz:, (7) T T, (8), (9) y w przypadu rajorii po-maluzjańij. Z rówaia () wyprowadzić moża rówai Solowa poaci (por. p. Toari 0): y, (0) zaś z fucji producji Cobba Douglaa () bzpośrdio uzyujmy fucję wydajości pracy: y. () Z związów (0 ) uzyujmy rówai różiczow Broulligo da wzorm:. ()

90 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari Całi rówaia różiczowgo () płiając waru (0)= wyzaczały będą ściżi wzrou chiczgo uzbrojia pracy przy alraywych rajoriach liczby pracujących płiających rówaia (7 9). Mając zaś ściżi wzrou wyzaczyć będzi moża z rówaia () rówiż ściżi wzrou wydajości pracy. Związi (7) i () prowadzą do aępującgo rówaia różiczowgo:, órgo cała płiająca waru (0)= daa j wzorm:. (3) Wawiając rówai (3) do fucji wydajości pracy () dochodzimy do wiou, iż ściżę wzrou owj zmij marooomiczj opiuj rówai: y. (4) Ściżi wzrou (3 4), opiując rajori chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy w modlu Solowa z fucją producji Cobba Douglaa, ą jawymi fucjami lmarymi. Zam ławo poazać, ż przy ( ) w ażdym iujmym momci pochod i y ą dodai (ujm), aomia przy y 0. Co więcj, w ażdym z wpomiaych przypadów lim oraz lim y. Płyą ąd dwa aępując wioi. Po pirwz, jżli ( ), o zarówo chicz uzbroji pracy (), ja i wydajość pracy y() rośi (malj) od do oraz. Po drugi, przy w ażdym iujmym momci ow zmi marooomicz przyjmują warości rów. Naomia z rówań (8) i () dochodzimy do aępującgo rówaia różiczowgo:

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 9 T T. (5) Moża poazać (Filipowicz, Syr, Toari 06), ż całę rówaia różiczowgo (5) orśla związ: m F m ; ;, m C, (6) gdzi z c b a F ; ;, ozacza fucję hiprgomryczą Gaua 6, zaś R C j ałą całowaia 7. Wawiając zaś całę (6) do fucji wydajości pracy () mamy: 6 Fucja hiprgomrycza z c b a F ; ;, j ilmarą fucją będącą rozwiązaim rówaia różiczowgo drugigo rzędu Gaua poaci: abw z dz dw z b a c dz w d z z, gdzi a, b ą dowolymi ałymi rzczywiymi, zaś 0 c. Fucję ę moża zapiać wzorm: ; ;, z z c b a F, przy: j j j j c j b j a!. Właściwości mamaycz owj fucji chararyzowa ą p. w pracach Kor i Kor 983,. 69 (i dalz) lub Caai 006. Naomia jj wyorzyai w modlowaiu proców wzrou gopodarczgo a gruci zw. modlu Lucaa Uzawy zajduj ię w opracowaiach Bouci, Ruiz-Tamari 004, 008 i Zawadzigo 05, a gruci modlu Solowa w pracy Gurriigo 006 lub a gruci modlu Maiwa, Romra, Wila w opracowaiu Krawca, Szydłowigo 00. 7 Sała całowaia C w rówaiach (6 7) dobraa będzi w przowaych dalj ymulacjach umryczych a, by płioy był waru (0) = y(0) =.

Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari 9 m F m y ; ;, m C. (7) Związi (6 7) wyzaczają ściżi wzrou chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy z logiową fucją liczby pracujących (4). Ściżi ą fucjami ilmarymi i z go względu ich zał aalizoway będzi w części opiującj wyii ymulacji umryczych. Nalży jda zauważyć, ż przy płioy j związ:, ;0 ;, ; ;, F m F co powoduj, ż zgodi z rówaiami (6 7) zachodzi: oraz y. Wilości i wyzaczają (odpowidio) długoorow chicz uzbroji pracy oraz wydajość pracy w modlu Solowa z ściżą wzrou liczby pracujących orśloą przz fucję logiową (4). Poiważ oraz, zam wilości ą wyżz, iż w aalogiczym, orygialym modlu Solowa (z fucją producji Comba Douglaa). Przjdźmy raz do aalizy modlu Solowa z po-maluzjańą ściżą wzrou liczby pracujących opiaą przz rówai (5). Wawiając fucję wydajości pracy () do związu (9), mamy:, co, po uwzględiiu rówaia Solowa (), daj aępując rówai różiczow:. (8)

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 93 Rówai różiczow będzi aalizowa w przrzi fazowj P 0;. Dla dowolgo P g g, gdzi:. (9) Właściwości zaś fucji (9) alży rozparywać dla 0; ; ' dla oljych P. Przy 0; mamy: (i) 0 0 ; (ii) lim ;, oraz, gdyż i ą wówcza zai wyrażń oraz a (ym amym) iaczj zachowują ię pochod (iii) P ' 0. a zam (zgodi z właością Darboux fucji ciągłj) iij wówcza doładi jdo P, ai, ż 0; 0, 0 oraz ; 0. Płyi ąd wio, ż owo j irywialym, abilym pum acjoarym rówaia różiczowgo (8). Co więcj, jśli, o 0 0 i wówcza w ażdym momci 0; 0 0, co impliuj, ż ściża wzrou chiczgo uzbrojia pracy () dąży do z lwj (prawj) roy 8. Naomia przy zachodzi 0, co powoduj, ż wówcza w ażdym iujmym momci. fucję Przy Wówcza: (i) 0 ; (ii) lim ; (iii) P ' 0. możmy zapiać aępująco:. 8 Poiważ z rówaia () wyia, ż g g y, zam ściża wzrou wydajości pracy y() zachowuj ię aalogiczi do ściżi wzrou (), z ą różicą, ż przy y y.

94 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari Dlago ż: (i) Jżli, o rówai różiczow (8) i ma puu acjoargo w przrzi fazowj P, gdyż przy roącym od 0 do + warości fucji padają od 0 do. Dlago ż w ym przypadu P 0, czyli warości chiczgo uzbrojia pracy padają wówcza od do 0 9. (ii) Naomia przy > iij doładi jd irywialy, abily pu acjoary P i ściżi wzrou chiczgo uzbrojia pracy oraz wydajości pracy zachowują ię ja przy 0;. Wźmy raz ;. W ym przypadu mamy: (i) lim ; 0 (ii) lim ; (iii) oraz: ' co powoduj, ż dla 0 ;, gdzi: pochoda ' j dodaia, przy,, (0) rówa j 0, zaś dla ; ' j ujma. Dlago ż w przdzial 0 ; fucja pochoda j fucją roącą, zaś w przdzial ; fucją maljącą. (iv) Jżli 0, o dla ażdgo P 0 i wówcza chicz uzbroji pracy oraz wydajość pracy padają (wraz z upływm czau) od do 0. (v) Jśli 0 o P j pum acjoarym rówaia różiczowgo (8). Wówcza, jśli, o () pada od do, aomia y() pada od do. Przy w ażdym iujmym momci y 0 i () = y() =. Naomia przy zachodzi, y 0 i warości chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy padają od do 0. 9 Rzcz jaa, aalogiczi załują ię wówcza rówiż warości wydajości pracy y().

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 95 (vi) W przypadu, w órym 0 irywial puy acjoar: 0 ; i ; rówai różiczow (8) ma dwa. Wówcza dla dowolych 0; ;, y 0, zaś dla ażdgo ;, y 0. Płyi ąd wio, ż pu j iabilym pum acjoarym, zaś abilym pum acjoarym. Dlago ż wówcza: (a) jżli, o chicz uzbroji pracy i wydajość pracy padają od do 0; (b) przy warości owych zmiych marooomiczych w ażdym momci 0; rów ą ; (c) jśli () oraz y() roą od do (odpowidio) i ; (d) w przypadu, w órym w ażdym momci ()=y()=; () aomia przy chicz uzbroji pracy i wydajość pracy padają od do i. Z rówań (9 0) wyia zaś, ż: co powoduj, ż:, (i) jśli (8) ma dwa irywial puy acjoar;, o rówai różiczow (ii) przy rówai o ma jd irywialy pu acjoary; (iii) aomia przy i ma oo irywialych puów acjoarych.

96 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari 4. KALIBRACJA PARAMETRÓW MODELU I SYMULACJE NUMERYCZNE Podobi ja w pracach Filipowicz, Toarigo (05), Filipowicz, Wiły, Toarigo (05) lub Filipowicz, Syra, Toarigo (06) auorzy alibrowali layczość producji względm aładów apiału (czyli α) a aim poziomi, by przy rlacji chiczgo uzbrojia pracy w dwóch gopodarach rówj 5 ou wydajości pracy wyoił 3. Wówcza przy fucji wydajości pracy () mamy 0 : l y / y l 3 0,686. l / l 5 Poado arbirali przyjęo, ż δ=0,07, =0,0 oraz m=, gdzi j liczbą Eulra (, 7888 ). Wówcza mom T przy logiowj ściżc wzrou l liczby pracujących rówy j T 7,066. Sopę iwycji zmiiao co 0 puów procowych od 0% do 40%. 0% opy iwycji azy- 0,0 wa będą dalj iimi opami iwycji, 0% śrdimi, 30% wyoimi, 40% zaś bardzo wyoimi opami iwycji. Tablica. Symulacj wydajość pracy przy adardowj (y ), logiowj (y ) oraz pomaluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących i przy δ=0,07, =0,0, 0, 686 i m= Ro Sopa iwycji (%) 0 0 30 40 y y y 3 y y y 3 y y y 3 y y y 3 0,4,0,3,866,845,889,80,78,80 3,963 3,94 3,889 0,6,07,53,738,70,88 4,908 4,846 5,5 7,76 7,67 7,99 50,48,437,536 4,85 4,866 5,565 0,45 0,548,033 8,43 8,609,07 75,54,587,680 5,868 6,5 7,079 3,385 4,030 6,80 4,58 5,45 9, 00,56,76,76 6,463 7,090 8,08 5,093 6,548 8,83 7,686 30,345 34,54 50,60,9,8 6,970 8,30 8,880 6,565 9,73,358 30,655 36,503 39,69 00,6,033,83 7,7 8,969 9,47 6,990,399,88 3,56 39,68 4,346 +,66,53,896 7,75 9,56 9,33 7,6,870,573 3,860 4,459 4,63 Źródło: opracowai wła. 0 Gdyby (zgodi z dompozycją Solowa 957) przyjąć, ż 3, o przy / =5 orzymuj ię: 3 y 3 5, 70998, co wydaj ię wilością moco idozacowaą. y

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 97 W ablicy zajdują ię wyii ymulacji umryczych wydajości pracy w czrch wyróżioych wariaach óp iwycji przy założiu adardowj (y ), logiowj (y ) oraz po-maluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących. W wzyich wariaach ymulacyjych przyjęo, iż w momci począowym (=0) apiał a pracującgo i wydajość pracy j rówa. Poado a wyrach 5 przdawioo rajori odpowidich wydajości pracy przy 0%, 0%, 30% i 40% opi iwycji. Na podawi wyiów przprowadzoych przz auorów ymulacji umryczych moża wyciągąć aępując wioi: Jżli przyjmimy, ż gopodarę cchują ii opy iwycji (a poziomi 0%), długoorowa wydajość pracy w j gopodarc będzi o ooło 60% wyżza (przy założiu adardowj rajorii liczby pracujących), o ooło 90% wyżza (przy założiu po-maluzjańij rajorii liczy pracujących) i o ooło 5% wyżza iż w momci począowym (przy założiu logiowj rajorii liczby pracujących, por. wyr ). Wyr. Ściżi wzrou wydajości pracy przy adardowj (y ), logiowj (y ) oraz pomaluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących i =0% Źródło: opracowai wła. Jżli zaś założymy, ż gopodara chararyzuj ię śrdimi opami iwycji i w momci począowym cchowała ię wydajością pracy rówą, wówcza w długim ori w przypadu adardowj rajorii liczby pracują- Kzał ściż wzrou chiczgo uzbrojia pracy j bardzo zbliżoy do zału ściż wzrou wydajości pracy.

98 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari cych wydajość pracy uabilizuj ię a poziomi 7,75, w przypadu rajorii po-maluzjańij a poziomi 9,33 oraz w przypadu rajorii logiowj a poziomi 9,56 (por. wyr 3). Wyr 3. Ściżi wzrou wydajości pracy przy adardowj (y ), logiowj (y ) oraz po-maluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących i =0% Źródło: opracowai wła. Wyr 4. Ściżi wzrou wydajości pracy przy adardowj (y ), logiowj (y ) oraz po-maluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących i =30% Źródło: opracowai wła.

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 99 Przy rozważaiu wariau z wyoimi opami iwycji w dwuulim horyzoci czaowym wydajość pracy zwięzy ię do poziomu 6,990 (przy adardowj rajorii liczby pracujących), do poziomu,88 (przy po-maluzjańij rajorii) oraz do poziomu,399 (przy logiowj rajorii, por. wyr 4). Przy założiu, ż gopodara będzi wyróżiać ię bardzo wyoimi opami iwycji, dochodzimy do wiou, ż wydajość pracy uabilizuj ię wówcza a poziomi 3,860 przy adardowj ściżc wzrou liczby pracujących, a poziomi 4,63 przy ściżc po-maluzjańij oraz a poziomi 4,49 przy ściżc logiowj (por. wyr 5). Wyr 5. Ściżi wzrou wydajości pracy przy adardowj (y ), logiowj (y ) oraz po-maluzjańij (y 3 ) rajorii liczby pracujących i =40% Źródło: opracowai wła. 5. PODSUMOWANIE Podję w pracy aalizy moża podumować aępująco: I. W iijzym opracowaiu modyfiuj ię założi orygialgo modlu wzrou Solowa doycząc opy wzrou liczby pracujących. W pirwzym wariaci przyjmuj ię, ż liczba pracujących zmiia ię po rajorii orśloj przz fucję logiową. Naomia w drugim wariaci załada ię, ż opa wzrou liczby pracujących j pwą maljącą fucją wydajości pracy. II. Przy logiowj ściżc wzrou liczby pracujących rajori chiczgo uzbrojia pracy i wydajości pracy orślo ą przz pw fucj złożo z fucją hiprgomryczą Gaua. Naomia przy po-maluzjańij

00 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari ściżc wzrou liczby pracujących rozwiązai rówaia Solowa zalż j od przyjęj warości paramru α (layczości producji względm aładów apiału) moż oo i poiadać żadgo puu acjoargo, poiadać jd lub dwa irywial puy acjoar. III. W przprowadzoych w opracowaiu ymulacjach umryczych layczość producji względm aładów apiału alibrowao a poziomi rówym 0,686, zaś opy iwycji zmiiao co 0 puów procowych od 0% do 40%. IV. Porówując dwa modl z zmodyfiowaym założim doyczącym óp wzrou liczby pracujących z orygialym modlm Solowa, waro podrślić różic w rlacjach óp wzrou liczby pracujących pomiędzy ymi modlami w ymulowaym ori. Logiowa opa wzrou liczby pracujących przz począow 7 la j wyżza iż opa wzrou z orygialgo modlu Solowa, aępi w oljych laach obrwujmy odwróci rlacji. Z oli pomaluzjańa opa wzrou liczby pracujących j iżza iż adardowa opa wzrou przz cały ymuloway or. V. Przy porówaiu logiowj i po-maluzjańij opy wzrou liczby pracujących oazuj ię, ż w począowj fazi (or zalży od przyjęj opy iwycji) logiowa opa j wyżza od po-maluzjańij, aępi obrwujmy odwróci rlacji. VI. W wzyich ymulowaych wariaach óp iwycji, przy adardowj, logiowj oraz po-maluzjańij rajorii liczby pracujących, wydajość pracy rośi do pwj aympoy. Dyamia wydajości pracy przy adardowj oraz logiowj rajorii liczby pracujących przz począow 50 la j bardzo zbliżoa. Naępi obrwujmy zacz powolii mpa wzrou wydajości pracy w modlu z adardową rajorią liczby pracujących i oaczi wydajość pracy w ym modlu abilizuj ię a zdcydowai iżzym poziomi iż w przypadu dwóch pozoałych modli. Z oli wydajość pracy przy założiu po-maluzjańij ściżi wzrou liczby pracujących w ori począowym j zaczi wyżza iż w przypadu dwóch pozoałych ściż. Naępi po ooło 5 30 laach (w zalżości od przyjęych óp iwycji) wydajość pracy przy założiu logiowj ściżi wzrou dogaia wydajość pracy przy ściżc po-maluzjańij. Oaczi aympoy fucji wydajości pracy dla rajorii logiowj i pomaluzjańij położo ą a zbliżoym (izaczi wyżzym dla rajorii logiowj) poziomi. VII. Nizalżi od rozważaj rajorii liczby pracujących różic w przyjęych założiach o opach iwycji prowadzą do bardzo ioych różic w poziomi wydajości pracy. Koluzja a j zgoda z odpowidim wioim płyącym z orygialgo modlu Solowa. Przyjęci opy iwycji oljo a poziomi 0%, 0%, 30% i 40% pozwoli ocziwać zwięzia

Rówowaga Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących 0 wydajości pracy z w momci =0 do oljo,56,76, 6,463 8,08, 5,093 8,83 oraz 7,686 34,54 w ulim horyzoci czaowym przy adardowj, logiowj oraz po-maluzjańij rajorii liczby pracujących. BIBLIOGRAFIA Barro R.J., Sala-i-Mari X. (004), Ecoomic Growh, MA: MIT Pr, Cambridg. Bouci R., Ruiz-Tamari J.R. (004), Spcial Fucio for h Sudy of Ecoomic Dyamic: Th Ca of h Luca Uzawa Modl, CORE Dicuio Papr, r 84, hp://dx.doi.org/ 0.39/r.688904. Bouci R., Ruiz-Tamari J.R. (008), Spcial Fucio for h Sudy of Ecoomic Dyamic: Th Ca of h Luca Uzawa Modl, Joural of Mahmaical Ecoomic, vol. 44, p. 33 54. Caai E. (006), Thr lcur o hyprgomric fucio, Dparm of Mahmaic ad Saiic, Uivriy of Maachu, Maachu, hp://popl.mah.uma.du/ ~caai/ hyprgom_lcur.pdf. Filipowicz K., Syr R., Toari T. (06), Ściżi wzrou w modlu Solowa przy alraywych rajoriach liczby pracujących, rfra a VI Ogólopolą Kofrcję Mamaya i iformaya a uługach oomii im. prof. Zbigiwa Czrwińigo, Wydział Iformayi i Gopodari Elroiczj Uiwryu Eoomiczgo w Pozaiu, Pozań, 5 6 wiia 06 rou. Filipowicz K., Toari T. (05) Dwubiguowy modl wzrou gopodarczgo z przpływami iwycyjymi, Sudia Prawo-Eoomicz, om XCVI,. 97. Filipowicz K., Wiła R., Toari T. (05), Produywość apiału a iwycj zagraicz w dwubiguowym modlu wzrou gopodarczgo aaliza owrgcji, Przgląd Sayyczy R. LXII, Zzy,. 5 8. Galor O. (005), From Sagaio To Growh: Uifid Growh Thory, [w:] P. Aghio, S.N. Durlauf (rd.), Hadboo of Ecoomic Growh, Elvir, Amrdam, p. 7 93. Gurrii L. (006), Th Solow Swa modl wih h boudd populaio growh ra, Joural of Mahmaical Ecoomic, vol. 4, p. 4. Iaac E., Lui F. (997), Th problm of populaio ad growh: A rviw of h liraur from Malhu o comporary modl of dogou populaio ad dogou growh, Joural of Ecoomic Dyamic ad Corol, vol.,. 05 4. Kor G.A., Kor T.M. (983), Mamaya dla pracowiów auowych i iżyirów, część, PWN, Warzawa. Krawic A., Szydłowi M. (00), Właości dyamii modli owj orii wzrou, Przgląd Sayyczy R. XLVIII, Zzy,. 7 4. Luca R. (988) O h mchaic of coomic dvlopm, Joural of Moary Ecoomic, vol.,. 3 4. Malaga K. (03) Jdolia oria wzrou gopodarczgo a obcy i ow wyzwaia, wyąpii a IX Kogri Eoomiów Polich. Maiw N.G., Romr D., Wil D.N. (99), A Coribuio o h Empiric of Ecoomic Growh, Quarrly Joural of Ecoomic, May,. 079), p. 407 437. Prr K. (009), Populaio agig ad dogou coomic growh, Worig Papr. Via Iiu of Dmography,. 6(), p. 8 834. Prr K., Prawz A. (00), Dmographic chag i modl of dogou coomic growh. A urvy, Cral Europa Joural of Opraio Rarch, vol. 8(4),. 593 608. Romr P. (990), Edogou chological chag, Joural of Poliical Ecoomy, vol. 98(5),. 7 0.

0 Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari Solow R.M. (956), A Coribuio o h Thory of Ecoomic Growh, Quarrly Joural of Ecoomic, Fbruary,. 70(), p. 65 94. Solow R.M. (957), Tchical Chag ad h Aggrga Producio Fucio, Rviw of Ecoomic ad Saiic, o. 39, p. 3 30. Toari T. (008), Efy ali a wzro gopodarczy, Wydawicwo Uiwryu Jagillońigo, Kraów. Toari T. (0), Eoomia mamaycza. Modl marooomicz, Poli Wydawicwo Eoomicz, Warzawa. Zawadzi H. (05), Aaliza dyamii modli wzrou gopodarczgo za pomocą środowia oblicziowgo Mahmaica, Zzyy Nauow Uiwryu Eoomiczgo w Kraowi, r 4/940,. 59 69. Kaarzya Filipowicz, Macij Grodzici, Tomaz Toari EQUILIBRIUM OF SOLOW GROWTH MODEL WITH ALTERNATIVE TRAJECTORIES OF THE NUMBER OF WORKERS Abrac. Th aim of h udy i o xami h log-ru quilibrium of Solow growh modl wih a modifid aumpio for a ra of mploym growh. I h fir ca, i i aumd ha h umbr of worr chag i h rajcory dfid by h logiic fucio. I h cod ca, i i aumd ha h ra of growh of mploym i a dcraig fucio of labor produciviy (o calld po-malhuia growh pah). Th capial labor raio ad labor produciviy wih logiic growh pah of h umbr of worr ar dfid by crai fucio compod of hyprgomric fucio of Gau. Wh w coidr po-malhuia growh pah of mploym, oluio of h Solow quaio dpd o h valu of h paramr α (producio laiciy wih rpc o capial) i may hav o, o or wo o-rivial ady-a. I prformd umrical imulaio, w calibrad laiciy of producio wih rpc o capial a a lvl qual o 0.686. I all varia of imulad ivm ra, h adard, logiic ad po-malhuia rajcory of mploym, labor produciviy grow o a crai aympo. Aympo of labor produciviy for h logiic ad po-malhuia rajcory ar locad a a imilar (lighly highr for logiic rajcory) lvl. Boh ar locad far highr ha h aympo of labor produciviy fucio i h origial Solow growh modl. Kyword: growh ra of h umbr of worr, quilibrium of Solow modl. JEL: O40