Department of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WAU. Department of Hydraulics and Hydrology Technical University of Gdańsk

Transkrypt

1 Janusz KUBRAK 1, Michał SZYDŁOWSKI 2 1 Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW Department o Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WAU 2 Katedra Hydrauliki i Hydrologii Politechniki Gdańskiej Department o Hydraulics and Hydrology Technical University o Gdańsk Zastosowanie modelu Singha i Quiroga do prognozowania hydrogramu wypływu wody przez prostokątną wyrwę w zaporze ziemnej Singh and Quiroga model application or prediction o hydrograph or earth dam rectangular reach outlow Wprowadzenie Przelanie się wody nad koroną zapory ziemnej jest częstą przyczyną katastro zapór. Dlatego też w prognozach awarii zapór ziemnych rozważa się skutki przejścia ali powodziowej w dolinie powstałej w następstwie wypływu wody przez wyrwę w zaporze. Przelewanie się wody nad koroną zapoczątkowuje proces tworzenia się wyrwy w zaporze, który trwa do momentu całkowitego opróżnienia ziornika lu do chwili sztucznego lu samoczynnego powstrzymania rozmywania wyrwy. Proces tworzenia się wyrwy w zaporze jest ardzo złożony i do dziś nie doczekał się pełnego wyjaśnienia. Charakterystykę modeli tworzenia się wyrwy w zaporze ziemnej znaleźć można w pracach Singha i Scarlatosa (1988, Singha i Quirogi (1988. Cechą wspólną tych modeli jest opis przepływu w ziorniku pełnymi równaniami hydrodynamicznymi (Lou 1981, Ponce i Tsivoglou 1981 lu ich uproszczoną ormą (Benoist 1983, Brown i Rogers 1981, Cristoano 1973, Fread 1977, 1984, Singh i Scarlatos 1988 i stosowanie warunku ruchu krytycznego lu równania przepływu przez przelew o szerokiej koronie jako prawego warunku rzegowego zadawanego w przekroju wyrwy. Początkowy kształt wyrwy przyjmowany ył zwykle jako prostokątny, trójkątny, trapezowy (Cristoano 1973, Fread 1977, Fread 1984, Singh i Scarlatos 1988 lu paraoliczny (Brown i Rogers Niektórzy autorzy w swoich modelach uwzględniali położenie wody dolnej (Fread 1977, Lou 1981, Ponce i Tsivoglou 1981, Singh i Scarlatos 1988 oraz stailność ścian wyrwy w warunkach raku (Fread 1984, 1985 lu występowania wody w gruncie zapory (Singh i Scarlatos Zastosowanie większości modeli wymaga określenia wymiarów ziornika i zapory, jak również izycznych cech gruntu w korpusie

2 zapory, np. średniej średnicy ziaren gruntu, kąta tarcia wewnętrznego i kohezji. Jednym z najtrudniejszych zadań jest zdeiniowanie początkowej wielkości i kształtu wyrwy. Nie iorąc nawet pod uwagę stopnia uproszczenia modelu, istnieje znaczna rozieżność uzyskiwanych z nich wyników wskutek szerokiej zmienności wartości wprowadzonych parametrów. Natężenie ruchu rumowiska w przekroju wyrwy w trakcie jej rozmywania olicza się za pomocą empirycznych zależności (Cristoano 1965, Lou 1981, jak i ogólnie znanych wzorów na natężenie ruchu rumowiska, takich jak Schoklitscha (Brown i Rogers 1977, 1981, Meyera Petera i Muellera (Fread 1984, Ponce i Tsivoglou 1981, Smarta (Fread 1985 lu Einsteina i Browna (Scarlatos i Singh 1986, Singh i Scarlatos Doświadczenia na modelach izycznych z rozmywalną wyrwą w zaporze (Singh i Scarlatos 1985, Quiroga i Singh 1987 wykazały, że stosowanie ormuł na intensywność ruchu rumowiska wleczonego, takich jak Browna, Einsteina i Bagnolda jest rozszerzeniem ich ważności poza warunki przyjmowane przy ich wyprowadzeniu. Ekstrapolacja taka powinna yć potwierdzona doświadczalnie, lecz z raku odpowiednich danych zwykle się jej nie przeprowadza, dlatego wiarygodność inormacji uzyskiwana z wszystkich tak udowanych modeli udzi uzasadnione wątpliwości. Celowym yło zdeiniowanie prędkości rozmywania zapory w unkcji ogólnych parametrów (wysokości zapory, pojemności i głęokości ziornika, charakterystyk materiału, co pozwoliłoy uprościć matematyczny opis procesu rozmywania zapory i podać jego analityczne rozwiązania. Singh i Quiroga (1988 podali ezwymiarowe rozwiązanie do oliczania czasu tworzenia się wyrw prostokątnych i trójkątnych oraz wznoszącej się części hydrogramu wypływu przez wyrwę. W artykule wyprowadzono zależności do oliczania czasu rozmywania prostokątnej wyrwy w zaporze dla dwu różnych wartości parametru n, charakteryzującego szykość tworzenia się wyrwy. Oliczony czas tworzenia się wyrwy i zmian jej krawędzi w czasie, wykorzystano do przykładowych oliczeń hydrogramu wypływu przez wyrwę w zaporze. Rozwiązanie Singha i Quiroga (1988 Model rozmywania wyrwy w zaporze ziemnej oparto na założeniu, że wyrwa jest prostokątna i dopływ wody do ziornika jest równy odpływowi z niego przez urządzenia upustowe (rys.1. W oszarze ziornika oowiązuje równanie ciągłości: A dh = (1 dt s va w

3 korona zapory krawędź wyrwy w czasie t = Z H H - H h-z krawędź wyrwy po czasie t z krawędź wyrwy po czasie T H RYSUNEK 1. Schemat do oliczania czasu tworzenia się prostokątnej wyrwy w zaporze ziemnej FIGURE 1. Idealized reach section or calculation o reach ormulation time o earth dam A s - powierzchnia ziornika [m 2 ], h rzędna zwierciadła wody w ziorniku [m], A w powierzchnia przekroju strumienia w wyrwie [m 2 ], v średnia prędkość przepływu wody wyrwie [m/s], t czas [s]. Średnią prędkość przepływu wody w wyrwie wyrażono jak prędkość wypływu wody przez niezatopiony otwór: v = C (2 a v (h z C v współczynnik prędkości zależny od kształtu wyrwy, którego wartość Singh i Quiroga przyjmują zmienną w granicach 1,2 1,7 [m 1/2 s], a wykładnik równy,5, z rzędna krawędzi wyrwy [m]. Prędkość oniżania się krawędzi wyrwy w czasie zdeiniowano jako proporcjonalną do średniej prędkości wypływu wody z wyrwy w potędze "n" oraz stałego dla danego gruntu współczynnika proporcjonalności E, nazwanego dalej współczynnikiem erozyjności i uzależnionego od parametrów gruntu, z którego zudowana jest zapora: dz dt n = E v (3 E współczynnik erozyjności, n ezwymiarowy wykładnik, od którego zależą jednostki E.

4 Założenie to jest stosunkowo proste, aczkolwiek poprawne, ponieważ erozja wyrwy jest zależna od naprężeń stycznych i w konsekwencji do średniej prędkości przepływu w wyrwie. Z wyprowadzonych w ten sposó zależności określić można położenie dolnej krawędzi wyrwy w trakcie opróżniania ziornika i całkowity czas tworzenia się wyrwy. W celu określenia jednoznacznego rozwiązania prolemu określono warunki początkowe: h( = H, z( = Z (4 H rzędna zwierciadła wody w ziorniku w chwili awarii [m], Z początkowa rzędna spodu wyrwy [m]. Wprowadzono zależności normalizacyjne określone równaniami (5, (6, (7: h' h H H H = (5 h' ezwymiarowa rzędna zwierciadła wody w ziorniku, H rzędna posadowienia zapory [m]. Dla h = H, wartość ezwymiarowej rzędnej jest równa odpowiednio równa h' = ; z' z H Z H h' = 1, zaś dla h = H jest = (6 z' - ezwymiarowa rzędna spodu wyrwy. Dla z = Z ta ezwymiarowa rzędna przyjmuje wartość z'= 1, a dla z = H wartość z' = ; t t ' = (7 T t' ezwymiarowa wielkość reprezentująca czas, T całkowity czas tworzenia się wyrwy liczony od chwili zaistnienia wypływu przez wyrwę do osiągnięcia rzędnej podłoża zapory przez krawędź wyrwy [s]. Dla t =, wartość t' =, zaś dla t = T, ezwymiarowa wartość t' = 1. Wartości rzędnych H, Z i H stanowią znane dane wysokościowe zapory. Jak pokazano poniżej możliwe jest wyprowadzenie zależności dla T na podstawie zdeiniowanych ilorazów ezwymiarowych. Najpierw podano ogólną metodę otrzymania ezwymiarowego analitycznego rozwiązania procesu erozji wyrwy w zaporze ziemnej. Następnie podano szczegółowe rozwiązania. W czasie analiz przyjęto, że A s w równaniu (1 pozostaje stałe i wykładnik a =,5. Założenie to oznacza niezmienność pola przekroju ziornika wraz z głęokością i oliczanie średniej prędkości przepływu w wyrwie jak dla wypływu przez mały niezatopiony otwór. Pole przekroju strumienia w prostokątnej wyrwie olicza się z zależności:

5 A w = (h z (8 gdzie szerokość wyrwy [m]. Wprowadzając równania (8 i (2 do równania (1 otrzymano: dh dt C A v 1,5 = (h z (9 s Podstawiając v z równania (2 do równania (3 otrzymano: dz dt = E (1 n,5n Cv (h z W celu uogólnienia rozwiązania, wyprowadzono wyrażenie, które wiąże h od z, a następnie wyrażenie uzależniające h od z i t. Dzieląc równanie (9 przez (1 otrzymuje się: dh dt dz dt skąd dh dz = E Cv As n Cv (h z 1,5 (h z,5n (3 n / 2 = (h z (11 n 1 AsE Cv Wyznaczając h z równania (5 oraz z z równania (6 otrzymano: h = h' (H-H +H z = z' (Z-H +H i podstawiając oie zależności do równania (11, tzn. dh = (H -H d h ' dz = (Z -H d z ' uzyskano: dh dz (H H dh' (3 n / 2 = (h z [(H H h' (Z H z ] (12 (Z (3 n / 2 = = ' n 1 n 1 H dz' AsE Cv AsE Cv Podstawiając dalej: H Z 2 3 n ( (H H (13 n 1 A E C = s v 2 3 n ( (Z H (14 n 1 A E C = s v równanie (12 przekształcono do postaci: dh' dz' Z H (3 n / 2 = (Hh' Zz' (15 Najpierw zróżniczkowano wyrażenie w nawiasie (H h '-Zz, ' tzn.

6 d dh' (Hh' Zz' = H Z dz' dz' i z wyrażenia tego wyznaczono dh ', tzn. dz' dh' 1 d(hh' Zz' = + Z dz' H Z (16 po czym porównano wyznaczoną w ten sposó wartość poprzedniego równania, tzn. Z 2 H 1 d(hh' Zz' H dz' ( ( 3 n / Hh' Zz' = + Z Po przekształceniach otrzymano: d( Hh' Zz' ( ( n Hh' Zz' / 2 = Z dz' 3 1 skąd po scałkowaniu uzyskano: d( Hh' Zz' ( ( n Hh' Zz' / 2 dh' dz' z wartością wyznaczoną z = Zz' + K ( Bezwymiarowe równanie (17 wiąże rzędną zwierciadła wody z rzędną krawędzi prostokątnej wyrwy. Równanie (17 jest zależne od dwóch parametrów: H i Z. Oa parametry są ezwymiarowe i oliczane na podstawie znanych wielkości początkowych. Podstawiając h wyznaczone z równania (5 oraz t z równania (7 do (9 otrzymano: dh' T = dt' H 1,5 ( Hh' Zz' 2 n 3 n n T E n 1 CvT AsE C = (19 v gdzie T jest ezwymiarowym parametrem. Dzieląc równanie (18 przez (15 otrzymano: dz' T,5n = ( Hh' Zz' (2 dt' Z Odejmując równanie (2 od (18 otrzymano: d( Hh' Zz',5 ( Hh' Zz' ( Hh' Zz' = Tt' + K (21 1,5n (18 Równanie (21 wiąże położenie zwierciadła wody z ziorniku H z rzędną krawędzi prostokątnej wyrwy Z. Ponieważ wartość T określana z równania (19 jest uzależnione od T, więc olicza się T z równania (21.

7 Badania własne Wykorzystując ogólne zależności podane przez Singha i Quiroga (1988 wyprowadzono wzory do oliczania czasu tworzenia się wyrwy T dla dwu wartości wykładnika, tzn. n=2 i n=4 (taela 1. Natężenie wypływu przez prostokątna wyrwę olicza się ze wzoru: Q = C v [ h '' (H-H ] 1.5 (36 Singh i Quiroga (1988 do oliczeń hydrogramu wypływu przez wyrwę w zaporze wykorzystali przykładowe dane dla zapory Teton w stanie Idaho (USA, która uległa katastroie 5 czerwca 1976 roku. W oliczeniach przyjęto: H = m, Z = m, H =1538 m, A s = m 2, C v =1.5 m.5 /s, szerokość wyrwy =65 m. Oliczenia wykonano dla wartości wykładnika n=2, E =.45 oraz n=4 oraz E =.45. Wartości parametru erozyjności E dorano tak, ay uzyskać zgodność oliczonych maksymalnych natężeń wypływu przez wyrwę z oserwowanymi. Oliczone czasy rozmywania prostokątnej wyrwy i maksymalne natężenia przepływu yły równe:

8 Taela 1. Zestawienie równań do oliczania czasu tworzenia się wyrwy w zaporze ziemnej Tale 1. Equations or calculation o reach ormulation time o the earth dam Dla n=2 równanie (17 ma postać: d ( Hh' Zz' = Zz' ( + K (22,5 Hh' Zz' 1 Skąd po scałkowaniu trzymano: 2 Hh' Zz' + ln Hh' Zz' 1 = Zz ' + (23 [ ( ] K Dla n=4 równanie (17 ma postać: d ( Hh' Zz' = ( + Zz' K (29,5 Hh' Zz' 1 Skąd po scałkowaniu otrzymano: Hh ' Zz' 2 Hh Zz' 2ln 1 Hh ' Zz' = Zz' + (3 ( ( K Z warunków początkowych dla z ' = 1, h ' = 1 wyznaczono stałą K: 2 H Z + ln H Z 1 Z = [ ( ] K a następnie przekształcono równanie (22 do postaci: 2 Hh' Zz' 1 z' = 1 + Hh' Zz' H Z + ln (24 Z H Z 1 Ponieważ h' jest zdeiniowane w unkcji z', więc należy uzależnić h ' - z ' od t '. W tym celu korzysta się z równania (21: d ( Hh ' Zz' = Tt' ( ( + 1, 5 K (25 Hh' Zz' Hh' Zz' Po oliczeniu całki otrzymano: Hh ' Zz' 2 ln = Tt' + K (26 Hh' Zz' 1 Czas T olicza się z równania (26 przy t ' = 1 i z ' = i przyjęciu h ' = h ", gdzie h " wyznacza się z równania (24: T 1 1/ H Z = 2ln (27 '' 1 1/ Hh Z warunków początkowych dla z ' = 1, h ' = 1 wyznaczono stałą K: K = H + Z 2 H Z 2ln 1 H Z ( Z a następnie przekształcono równanie (29 do postaci: H Hh' + 2 Hh' z Hh' Zz' + 2ln 1 H Z 2 ( ( ln ( 1 Hh' Zz' = Ponieważ h ' jest zdeiniowane w unkcji z', więc należy uzależnić h-z ' ' od t '. W tym celu korzysta się z równania (21: d ( Hh' Zz ' 1,5 ( Hh' Zz' ( Hh' Zz' = Tt' + 2 K (31 (32 Po oliczeniu całki otrzymano: 2 1 2ln 1 = Tt' + K (33 Hh' Zz' Hh' Zz' Czas T olicza się z równania (33 przy t ' = 1 i z ' = i przyjęciu h ' = h ", gdzie h " wyznacza się z równania (31: T = + 2ln 1 2ln 1 Hh" Hh" H Z H Z (34

9 n=2 n=4 T =4766 s T =581 s Q=59858 m 3 /s Q=65893 m 3 /s. Na podstawie oserwacji katastroy oszacowano maksymalne natężenie wypływu przez wyrwę równe Q=65 m 3 /s (Fread Z porównania widać, że oliczone wartości maksymalnego natężenia wypływu przez wyrwę są ardzo zliżone do oszacowanej na podstawie oserwacji. RYSUNEK 2. Prognozowany i oszacowany hydrogram wypływu przez wyrwę w zaporze Teton FIGURE 2. Predicted and oserved reach outlow hydrographs or the Teton Dam

10 Q [m 3 /s] t [s] rozw iązanie rów nań nieustalonego przepływ u w ziorniku rozwiązanie Singa i Quiroga dla n=2 Na rys.2 pokazano prognozowane części hydrogramu wypływu przez wyrwę w zaporze Teton oliczone podanymi w taeli 1 wzorami oraz dodatkowo z modelu opracowanego przez Freada (1985. Jak widać, wartość wykładnika n w omówionym rozwiązaniu wpływa na przeieg zmian położenia spodu wyrwy w czasie (rys.3 Rozwiązanie Singha i Quiroga pozwala wyznaczyć jedynie wznoszącą się gałąź hydrogramu podczas opróżniania ziornika przez wyrwę w zaporze w założeniu stałości powierzchni ziornika A s. Określenie całego hydrogramu wypływu przez wyrwę możliwe jest przy wykorzystaniu oliczonej zmienności rzędnej krawędzi wyrwy w czasie z zależności (24, (31 i rozwiązaniu równań nieustalonego przepływu w ziorniku (rys.3. Lewy warunek rzegowy rozwiązania równań ruchu stanowi hydrogram dopływu do ziornika, zaś prawy warunek - równanie przepływu przez przelew o szerokiej koronie. Nie wykonano takich oliczeń dla zapory Teton, gdyż nie dysponowano przekrojami poprzecznymi tego ziornika. W związku z tym wykonano je dla ziornika, dla którego posiadano niezędne dane. Ziornik opisano 8 przekrojami poprzecznymi. W oszarze ziornika rozwiązywano jednowymiarowe równania nieustalonego przepływu Kurak (1988. Otrzymany hydrogram wypływu ze ziornika dla wyrwy o szerokość =75.5 m pokazano na rys. 4. W oliczeniach przyjęto: H =16.5 m, Z =158.5 m, H =152.5 m, A s =5 m 2, C v =1.5 m.5 /s. Oliczenia wykonano dla wartości wykładnika n=2 i E =.45.

11 Q [m 3 /s] t [s] rozw iązanie rów nań nieustalonego przepływ u w ziorniku rozwiązanie Singa i Quiroga dla n=2 RYSUNEK 4. Hydrogram wypływu przez wyrwę w zaporze oliczony na podstawie rozwiązania nieustalonego przepływu w ziorniku oraz oniżania się krawędzi wyrwy z rozwiązania Singha i Quiroga FIGURE 4. The predicted hydrograph or dam reach outlow otained rom the usteady low solution in reservoir and reach ottom elevation calculated ater Singh and Quiroga method Podsumowanie Stosunkowo proste rozwiązanie procesu rozmywania wyrwy w zaporze ziemnej powstałej wskutek przelania się wody nad koroną podane przez Singha i Quiroga pozwala oliczać czas rozmywania prostokątnej wyrwy, zmianę położenia krawędzi wyrwy w czasie i natężenie wypływu przez wyrwę. Porównanie wyników oliczeń natężenia wypływu z wartościami szacowanymi na podstawie oserwacji i uzyskanymi ze złożonego modelu zudowanego przez Freada (1987 potwierdza wysoką zieżność oliczanych wartości. Wykorzystano uzyskane z oliczeń wyprowadzonymi wzorami inormacje o zmienności położenia wyrwy w czasie do oliczania wypływ przez wyrwę w założeniu nieustalonego przepływu wody w ziorniku. Uzyskany z oliczeń hydrogram opróżniania ziornika wskutek powstania wyrwy może yć z powodzeniem stosowany do analiz hydraulicznych warunków przejścia ali powodziowej w dolinie poniżej zapory.

12 Adnotacje Artykuł powstał w ramach projektu adawczego 6P6S inansowanego przez KBN. Literatura BENOIST G. 1983: Calcul de l'erosion d'une digue par surverse. Departement laoratoire national d'hydraulique, Chatou. BROWN R.J., ROGERS D.C. 1977: A simulation o the hydraulics events during and ollowing the Teton Dam ailure. Proc. Dam-Break Flood Routing Model Workshop, Md., BROWN R J., ROGERS D.C. 1981: User manual or program Brdam. Engineering and Research Center, Bureau o Reclamation, Denver. CRISTOFANO E.A. 1973: Method o computing erosion rate or ailure o dams. Unpulished preliminary report to United States Bureau o Reclamation, Denver, Kolorado. FRAED D.L. 1984: DAMBRK, The NWS dam-reak lood orecasting model. National Weather Service, Maryland. FREAD D.L. 1985: BREACH, An erosion model or earthen dam ailures. NWS Report, Oceanic and Atmospheric Administration, Silver Spring. FREAD D.L. 1977: The development and testing o a dam-reak lood orecasting model. Proc. o Dam-Break Flood Routing Model Workshop, US Department o Commerce, National Technical Inormation Service. KUBRAK J. 1989: Modele numeryczne rozprzestrzeniania się ali wypływającej przez wyrwę w zaporze. Rozprawy Naukowe i Monograie SGGW, Warszawa. LOU W.C. 1981: Mathematical modeling o earth dam reaches. Thesis presented to Colorado State Univ., at Fort Collins, in partial ulillment o the requirements or the degree o Doctor o Philosophy. PONCE V.M., TSIVOGLOU A.J. 1981: Modeling gradual dam reaches. J.Hydraulic Division, Vol.17. no.7. SINGH V.P., QUIROGA A.C. 1988: Dimensional analytical solutions or dam-reak erosion. J.Hydraulic Research, Vol.26, no.2. SINGH V.P., SCARLATOS P.D. 1988: Analysis o gradual earth-dam ailure. J.Hydraulic Engineering, Vol.114, no.1. Summary The earth dams reach erosion is analyzed using dimensionless analytical solutions or rectangular reach given y Singh and Quiroga (1988. Data or the historical ailure o Teton Dam are used to test these solutions. The calculated changes o reach ottom elevation with time are used or prediction reach outlow hydrograph. The one-dimensional unsteady low model in reservoir was applied or prediction reach outlow hydrograph. Author's address: Janusz Kurak Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska Wydział Inżynierii i Kształtowania Środowiska SGGW

13 2-787 Warszawa, Nowoursynowska 166 Michał Szydłowski Katedra Hydrauliki i Hydrologii Wydział Budownictwa Wodnego i Inżynierii Środowiska Politechniki Gdańskiej 8-95 Gdańsk, ul. Narutowicza 11/12