WYKORZYSTANIE TEORII GIER DO OKREŚLANIA BEZPIECZEŃSTWA MAKING USE OF GAME THEORY DETERMINIG SAFETY

Transkrypt

1 ZESZYTY NUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 993 Seria GÓRNICTWO z. 0 Nr kol. 94 Stanisław KOWLIK Katedra Organizacji i Ekonomiki Górnictwa Politechniki Śląskiej WYKORZYSTNIE TEORII GIER DO OKREŚLNI EZPIECZEŃSTW Streszczenie. Praca dotyczy wyznaczania strategii optymalnych przy wykorzystaniu teorii gier. Strategia optymalna ma zagwarantować możliwie największy poziom bezpieczeństwa pracy górników. Partnerem naszym w tej grze jest Natura. Natura stwarza sytuacje niebezpieczne dla górników pracujących pod ziemią w kopalni. Naszym zadaniem jest tak zorganizować pracę przez odpowiedni wybór strategii działania, aby uniknąć tych niebezpieczeństw albo zagwarantować górnikom odpowiednio duże bezpieczeństwo pracy. Celem tej publikacji jest wskazanie, że do tak ważnego czynnika związanego z pracą górnika jak bezpieczeństwo można zastosować teorię gier. MKING USE OF GME THEORY DETERMINIG SFETY Summary. The paper concerns determining the optimum strategies while making use of game theory. Optimum strategy is to guarantee the highest possible safety level of miner s work. Nature is our partner in this game. It creates dangerous situations for miners working in an underground mine. Our task is to organize work properly by a suitable choice of operation strategies so as to avoid these dangers or to guarantee miners enough work safety. The object of this work is to show that game theory can be used for such an important factor connected with a miner s job as safety. ИСПОЛЬЗОВАНИE ТЕОРИИ ИГР ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ Резюме. Рабoта касается к определения оптимальных стратегий при использовании теории игр. Oптимальнaя стратегия дoлжнa обеспечить caмый урoвень безопасности pабoты шахтеров. Нашим партнером в данной игрe является Природа. Природа создaeт опасные ситуации для pабoтaющих под землей горняков. Нашим заданием является выбрать тaкую стратегию действия, каторая позвoлит организовать pабoты так, чтобы избежать горнякaм соответственно большую безопасность pабoты. Целью настоящей pабoты является показать, что для пешения к столь существенного бопроса связанного c pабoтoй горняков, как безопасность, можно использовать теорию игр.

2 S. Kowalik. WSTĘP My w tej pracy będziemy się zajmowali sytuacjami konfliktowymi między Naturą albo przyrodą a nami. ędziemy traktowali przyrodę jako naszego rywala, o którego działaniu nie zawsze wszystko wiemy. Możemy jedynie spodziewać się albo przypuszczać, jak postąpi Natura, ale którą z możliwych dróg wybierze nie wiemy. My z kolei też możemy w różny sposób oddziaływać na przyrodę. Gdyby wynik naszego działania zależał tylko od nas, to bylibyśmy całkowicie pewni, jak mamy postąpić. Zakładamy jednak, ze Natura jest naszym partnerem w pewnej grze. Wynik naszego działania zależy w równym stopniu od nas, jak i od Natury. Przyjmujemy też, że między nami a Naturą jest pewien konflikt interesów. My z tej gry chcemy dla siebie wyciągnąć jak najwięcej korzyści, a Natura broni się przed tym i chce te korzyści zminimalizować. Sytuacji konfliktowych w życiu jest bardzo wiele. Mogą one dotyczyć rodzaju uczestników, np. współzawodnictwo sportowe, walki zbrojne, konkurencja ekonomiczna, działania dyplomatyczne. Konflikt może też dotyczyć charakteru dóbr, np. dobra materialne, władza, prestiż. Może on występować w innym kontekście jak np. nieporozumienie małżeńskie, napięte stosunki międzyludzkie w zakładzie pracy. Może to też być konflikt przekonań, konflikt wartości itp. [8]. My w swej pracy będziemy zajmowali się konfliktem interesów w kopalni, w którym jedną stroną będzie Natura reprezentowana przez górotwór, a drugą stroną górnicy operujący na tym górotworze. Ceną albo wartością gry pomiędzy Naturą a ludźmi będzie bezpieczeństwo górników pracujących na dole. Wyjaśnimy jeszcze, dlaczego będziemy traktowali górotwór jako naszego przeciwnika, a nie sprzymierzeńca. W kopalni na dole górnicy spotykają się z takimi zjawiskami jak wstrząsy, wycieki wody, ulatnianie się gazu itp. Te zjawiska są skierowane przeciw bezpieczeństwu górników, a naszym zadaniem będzie podejmowanie strategii maksymalizujących poziom bezpieczeństwa.. STRTEGIE ORZ MCIERZ EZPIECZEŃSTW Wszelkie nasze działania oraz działania Natury będziemy nazywali strategiami. Termin ten został wzięty z teorii gier. W terminologii teorii gier decydent podejmujący działania na dole w kopalni nazywany jest jednym graczem, a Natura, w tym przypadku górotwór, drugim graczem [7], [9].

3 Wykorzystanie teorii gier 3 Przykład Gracz, tzn. my, mamy do dyspozycji dwie strategie:. Wiercimy otwór w ścianie węglowej w ustalonym miejscu,. Wiercimy otwór o 50 metrów dalej. Gracz, tj. Natura, ma następujące strategie:. W otworze pojawi się wyciek wody,. Z otworu zacznie wydobywać się gaz. My przy wyborze naszej strategii musimy wziąć pod uwagę prawdopodobieństwo występowania tych zjawisk niekorzystnych zjawisk. Innymi słowy, należy kierować się stopniem bezpieczeństwa pracujących górników dla każdej naszej strategii w odniesieniu do sytuacji niebezpiecznych określonych strategiami Natury. Ten stopień bezpieczeństwa będziemy określali w procentach. Np. 00% oznacza, że dane zjawisko niekorzystne w określonej naszej strategii nie wystąpi, czyli bezpieczeństwo górników ze względu na to niekorzystne zjawisko jest całkowite, tj. stuprocentowe. by zilustrować to zagadnienie, przyjmujemy konkretne wartości liczbowe w naszej przykładowej grze. Nasze strategie oznaczamy symbolami,, a strategie Natury,. Natura My Otrzymaną tablicę nazywamy macierzą poziomów bezpieczeństwa. W teorii gier taką tablicę nazywa się macierzą wypłat. nalizując liczby w tej macierzy, stwierdzamy, że:. Gdy zastosujemy strategię, tzn., że wiercimy pierwszy otwór to, a) w otworze może pojawić się woda, ale prawdopodobieństwo pojawienia się wody jest bardzo małe. Stopień bezpieczeństwa jest bardzo duży i wynosi 95%; b) z otworu nie będzie wydobywał się gaz. ezpieczeństwo górników pod tym względem wynosi 00%.. Gdy zastosujemy strategię, tzn., że wiercimy otwór o 50 metrów dalej, to a) w otworze może pojawić się woda, ale stopień bezpieczeństwa jest duży i wynosi 90%;

4 4 S. Kowalik b) szansa na pojawienie się gazu jest minimalna. Stopień bezpieczeństwa wynosi 99%. W teorii gier taką tablicę nazywa się macierzą wypłat dla gracza pierwszego. Wartości podane w tej macierzy gracz drugi płaci graczowi pierwszemu. Graczowi pierwszemu zależy na maksymalizowaniu wygranej. Gracz drugi stara się, aby straty jego były jak najmniejsze. 3. PUNKT SIODŁOWY I ZSD MKSYMINU (MINIMKSU) Przy wyborze strategii lub kierujemy się zasadą, aby jak najmniej stracić. Stosując strategię bezpieczeństwo górników wynosi 95%, gdy Natura podejmie strategię lub 00%, gdy Natura zastosuje strategię. Wybieramy mniejszą liczbę tzn. 95%. Jest to najmniejszy poziom bezpieczeństwa górników przy zastosowaniu strategii. Tak samo analizujemy strategię. Z liczb 90 i 99 wybieramy mniejszą. Stosując strategię możemy zagwarantować górnikom bezpieczeństwo na poziomie 90%. Następnie ze znalezionych minimów wybieramy większe, tj. z liczb 95 i 90 wybieramy liczbę 95 występującą strategii. Co przez to osiągnęliśmy? Stwierdzamy, że strategia jest lepsza, bo gwarantuje nam poziom bezpieczeństwa wynoszący 95% niezależnie od zastosowanych strategii, Natury. Ten poziom może być większy (=00%), gdy Natura zastosowała strategię. Strategia gwarantuje nam jedynie bezpieczeństwo wynoszące 90%. Strategię nazywamy w tym przypadku strategią maksymalizującą poziom bezpieczeństwa dla gracza pierwszego, tzn. dla nas. Liczbę 95 oznaczmy przez V i nazywamy dolną ceną lub wartością gry. Zajmiemy się teraz graczem drugim tj. Naturą. Zakładamy, że Natura działa na naszą niekorzyść. Stosując strategię maksymalnie Natura pozwoli nam osiągnąć bezpieczeństwo 95%, a stosując 00%. Z tych dwóch liczb wybieramy mniejszą, tj. 95% występującą w strategii. Z punktu widzenia Natury strategia jest lepsza, bo pozwala osiągnąć poziom bezpieczeństwa tylko 95% - więcej nie, niezależnie od zastosowanych przez nas strategii czy. Stosując strategię Natura mogłaby osiągnąć rezultat jeszcze lepszy dla niej, tj. 90%, gdybyśmy nie zastosowali swojej wybranej strategii, lecz. Liczbę 95 wybraną ze strategii oznaczmy przez V i nazywamy górną ceną gry.

5 Wykorzystanie teorii gier 5 Jeżeli V = V, to punkt leżący na skrzyżowaniu wybranych strategii i nazywa się punktem siodłowym gry. Termin ten został zaczerpnięty z teorii gier. Jest to punkt, dla którego wszystkie pozostałe liczby w wierszu macierzy są nie mniejsze i jednocześnie wszystkie liczby w kolumnie są nie większe od niego [], [3], [4], [5], [9]. Przejdziemy teraz do ogólnego omówienia poszukiwania punktu siodłowego dla macierzy poziomów bezpieczeństwa o wymiarach m - wierszy i n - kolumn. Dana jest macierz {a ij }, gdzie i=,..., m; j=,..., n. Dla gracza pierwszego, tzn. dla nas, stosujemy zasadę maksyminu. Mówi ona, że dolną cenę gry należy obliczyć według wzoru: V max min {a } dla i=,..., m; j=,..., n. () i j ij Strategię wyznaczoną w ten sposób nazywa się makyminową dla gracza pierwszego. Dla gracza drugiego, tj. dla Natury, stosujemy zasadę minimaksu. Mówi ona, że górną cenę gry należy obliczyć według wzoru: V min max {a } dla i=,..., m; j=,..., n. () j i ij Strategia wyznaczona w ten sposób nazywa się minimaksową dla gracza drugiego. Jeżeli V = V, to gra posiada punkt siodłowy, a gracze powinni stosować strategie wyznaczone przez ten punkt. W tym przypadku strategie maksyminowa i minimaksowa są strategiami optymalnymi dla graczy. Ceną gry jest tutaj liczba V=V =V. Według terminologii Steinhausa [] takie gry nazywamy zamkniętymi. Natomiast gdy V V, to gry nazywamy otwartymi. W naszym przykładzie punkt siodłowy występuje. Cena gry wynosi V=V =V =95%. Strategią optymalną dla nas jest, a dla Natury. Oznacza to, że powinniśmy podjąć decyzję o wierceniu otworu w pierwszym wyznaczonym miejscu. Mamy tu pewną przewagę nad Naturą, ponieważ Natura może nie zastosować swojej optymalnej decyzji, lecz. Wtedy uzyskamy poziom bezpieczeństwa wynoszący 00%. Gdyby Natura potrafiła rozumować tak jak my, to na pewno wybrałaby strategię.

6 6 S. Kowalik 4. ZSD DOMINCJI Może się okazać, że pewne strategie są lepsze. Pozwalają osiągnąć większy zysk niezależnie od posunięć przeciwnika. nalizując nasz przykład widzimy, że strategia jest lepsza od, ponieważ odpowiednie liczby wiersza pierwszego macierzy wypłat mają większe wartości niż wiersza drugiego. W przypadku wystąpienia strategii jest 95>90, a w przypadku wystąpienia strategii jest 00>99. Mówimy wtedy, że strategia jest zdominowana przez strategię. Strategię dominującą zostawiamy, a strategię zdominowaną eliminujemy. Rozważymy to teraz z punktu widzenia Natury. Strategią lepszą dla Natury jest ta, która zawiera mniejsze liczby przy porównaniu z inną strategią. Dla Natury lepszą strategią jest, ponieważ - w przypadku użycia przez nas strategii jest 95<00, - w przypadku użycia przez nas strategii jest 90<99. Strategią dominującą jest, a zdominowaną. Rozważania te doprowadziły do tego samego rezultatu co poprzednio, że bezpiecznymi strategiami są i. Zapiszemy to teraz w postaci ogólnej dla macierzy o m wierszach i n kolumnach. Mówimy, że strategia k dominuje nad strategią l gracza pierwszego, gdy: a kj a lj (j=,..., n) (3) j Mówimy, że strategia r dominuje nad strategią s Natury, gdy: i a ir a is (i=,..., m) (4) Zasada dominacji pomaga upraszczać gry eliminując z rozważań strategie, które nie będą używane [], [6], [8], [9]. Przykład Dana jest następująca macierz poziomów bezpieczeństwa Natura My

7 Wykorzystanie teorii gier 7 Strategia 3 dominuje nad naszymi strategiami i. Natomiast Natura nie posiada strategii dominującej. My wybieramy więc strategię 3 jako optymalną. Gwarantuje nam ona 85% bezpieczeństwa. Gdyby natura potrafiła analizować tę macierz tak jak my, zastosowałaby strategię przeciw naszej 3. Gdy zastosuje inną, to my zyskamy. W przypadku zastosowania osiągniemy poziom bezpieczeństwa 00%, a gdy 3, to 95%. 5. STRTEGIE MIESZNE Te strategie stosujemy do gier nie posiadających punktu siodłowego [], [8], [9]. Przykład 3 Dana jest macierz: Strategii dominujących tu nie ma. Obliczamy górną i dolną cenę gry: V = max min {a ij }= max(60,80) = 80 (5) i j V = min max {a ij }= min (00,90) = 90 (6) j i Okazuje się, że V V. Strategią maksyminową jest strategia, a strategią minimaksową jest strategia. Stosując naszą strategię przeciw strategii, dostajemy poziom bezpieczeństwa równy 80%. Czy nie da się go jednak podnieść, skoro cena gry zawiera się między 80% a 90%? Gdyby tę grę można przeprowadzać wielokrotnie, to nie zawsze musielibyśmy stosować strategię. Zastosowanie strategii przeciw daje nam bezpieczeństwo 90%. Zachodzi pytanie: jak często zmieniać poszczególne strategie? Dla gier typu, tzn. takich, gdzie występuje dwóch graczy i każdy z nich ma dwie strategie, zagadnienie jest rozwiązane. Opiera się ono na następującym twierdzeniu [].

8 8 S. Kowalik Twierdzenie Składowe optymalnej strategii partnera () są odwrotnie proporcjonalne do bezwzględnych wartości różnic elementów odpowiednich wierszy (kolumn) macierzy. Powracamy do przykładu 3. Znajdujemy optymalną strategię mieszaną składającą się ze strategii i. Obliczamy różnice bezwzględne elementów w wierszach macierzy Są to liczby 30 i 0. Częstotliwość występowania strategii i jest odwrotnie proporcjonalna do tych liczb. Znaczy to, że na 50 rozegranych gier gracz powinien zastosować 0 razy strategię i 30 razy strategię. Kolejność występowania tych strategii jest zupełnie przypadkowa. Sprawdzamy teraz, jak to się ma dla drugiego gracza dysponującego strategiami i Odejmując elementy w kolumnach macierzy i biorąc ich moduły otrzymujemy liczby 40 i 0. Częstotliwość występowania strategii i jest odwrotnie proporcjonalna do tych liczb. Oznacza to, że na 50 gier należy zastosować 0 razy strategię i 40 razy strategię. Obliczamy cenę tej gry. a) Jeżeli gracz stosuje strategię mieszaną przeciw strategii V = (/5) 60 + (3/5) 00 = = 84 b) Jeżeli gracz stosuje strategię mieszaną przeciw strategii V = (/5) 90 + (3/5) 80 = = 84 c) Jeżeli gracz stosuje strategię mieszaną przeciw strategii V = (/5) 60 + (4/5) 90 = + 7 = 84

9 Wykorzystanie teorii gier 9 d) Jeżeli gracz stosuje strategię mieszaną przeciw strategii V = (/5) 00 + (4/5) 80 = = 84 Cena gry jest więc jednakowa dla obydwu partnerów. Porównując tę liczbę z ceną V = 80 zagwarantowaną przez strategię makyminową widzimy, że zastosowanie strategii mieszanej pozwoliło nam zwiększyć poziom bezpieczeństwa o 4%. yła to interpretacja częstotliwościowa strategii mieszanej. Podamy teraz interpretację udziałową strategii mieszanej. Przykład 4 Kopalnia ma zainwestować swój kapitał w obiekt O lub O, przy czym dochodowość tej inwestycji zależy od tego, czy nastąpią warunki W lub W zgodnie z podaną macierzą wypłat. O O W 55 0 W 5 30 Zagadnienie to traktujemy jak grę dwuosobową. Kopalnia może sobie zagwarantować minimalny zysk wynoszący 5%, gdy zainwestuje kapitał w obiekt O lub 0%, gdy zainwestuje kapitał w obiekt O. Kopalnia ma też inne wyjście. Część kapitału może zainwestować w obiekt O, a resztę w O. Pytanie, jakie się nasuwa, to w jakich proporcjach? Kopalni zależy w tym przypadku na maksymalizacji zysku. Podobnie jak w przykładzie 3 obliczmy częstotliwość występowania strategii O i O. Otrzymujemy następujące liczby dla O : 0 30 = 0 dla O : 55 5 = 40 Należy więc zainwestować /5 kapitału w obiekt O i 4/5 kapitału w obiekt O. Zysk, jaki uzyskamy, gdy zostaną spełnione warunki W, wynosi V = (/5) 55 + (4/5) 0 = + 6 = 7 Przy zajściu warunków W zysk wyniesie V = (/5) 5 + (4/5) 30 = = 7 Zastosowanie strategii mieszanej spowodowało, że minimalny gwarantowany zysk będzie większy.

10 30 S. Kowalik Należy jeszcze rozstrzygnąć jak postąpić, gdy gra nie posiada punktu siodłowego, a rozgrywana jest tylko jeden raz i nie da się do niej zastosować interpretacji częstotliwościowej ani udziałowej. Pozostają dwa wyjścia.. Należy obliczyć, w jakich proporcjach powinny wystąpić strategie czyste w strategii mieszanej. Należy zastosować mechanizm losowy według tych proporcji i losowo wybrać strategię według tego mechanizmu.. Jeżeli ktoś nie chce zawierzyć losowi wyboru swojej strategii, to powinien zastosować strategię maksyminową wyznaczoną na podstawie macierzy poziomów bezpieczeństwa. 6. ZKOŃCZENIE W pracy wykorzystano jedynie niektóre elementy teorii gier. Do wyznaczania bezpieczeństwa związanego z pracami dołowymi górników wzorowano się na grach dwuosobowych o sumie zerowej. Określono sposób znajdywania strategii maksyminowych i minimaksowych i związanych z nimi dolną i górną ceną gry. Dla gier, w których przeciwnicy mają do dyspozycji po dwie strategie, przedstawiono sposób znajdywania strategii mieszanej. Strategie mieszane zilustrowano na przykładach za pomocą interpretacji częstotliwościowej i udziałowej. W pracy skoncentrowano się na tych podstawowych elementach teorii gier, ponieważ inne i bardziej skomplikowane gry wykraczają poza ramy przewidziane przez autora w tej publikacji. Celem tej pracy było wskazanie, że do tak ważnego czynnika związanego z pracą górnika jak bezpieczeństwo można zastosować teorię gier. Odpowiednie wykorzystanie tej teorii pomaga w podjęciu bezpiecznych strategii działania, a przez to podnosi poziom bezpieczeństwa pracy. LITERTUR [] Kofler E.: Wstęp do teorii gier. PZWS, Warszawa 963. [] Lesz M.: Ekonomiczne gry decyzyjne. PWE, Warszawa 979. [3] Luce R.D., Raiffa H.: Gry i decyzje. PWE, Warszawa 964. [4] Owen G.: Teoria gier. PWN, Warszawa 975. [5] Polkowski L.T.: Wstęp do teorii gier. WPW - Politechnika Warszawska, Warszawa 987.

11 Wykorzystanie teorii gier 3 [6] Szalek M.: Pojęcia i metody teorii gier. PN, Warszawa 963. [7] Świerniak.: Podejmowanie decyzji w sytuacjach konfliktowych. Skrypt Politechniki Śląskiej Nr 40, Gliwice 988. [8] Tyszka T.: Konflikty i strategie. WNT, Warszawa 978. [9] Williams J.D.: Strateg doskonały. Wprowadzenie do teorii gier. PWN, Warszawa 965. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Janusz Szopa Wpłynęło do Redakcji w maju 99 r. b s t r a c t This paper deals with the use of game theory for making decision at improving the work safety of miners. The decisions concern the choice of optimum operation strategy which guarantees the highest possible safety level of miners working underground. Miners meet at work with dangerous situations such a gas escape, water outflow and tremors. In our considerations we are making use of game theory. Nature is treated as our enemy. In the paper we deal with a conflict of interests in a mine between Nature represented by rock mass and the miners operating on that rock mass. The price or value of the game between Nature and people is the safety of miners working underground. We treat Nature as our enemy because it creates dangerous phenomena directed against people, and our task to make decisions maximizing the safety level. We have at our disposal some operation strategies. Nature can also create dangers of different kind. We wand to gain from the game as many advantages as possible whereas Nature defends itself against it and wants to minimize them. Safety matrix is used for considerations. The elements {a ij } of the matrix are items of safety expressed in percentage terms which inform us what safety level is secured for miners while using our i strategy and Nature s j strategy. Safety matrix in the game theory is called payment matrix [], [8], [9]. In the second section an example of such a matrix has been given and the meaning of particular elements has been discussed. In the third chapter the way of finding a saddle point of the game has been discussed and minimax principle has been presented. It has also been shown how the top and bottom prices of the game are determined. Formulas () and () show how to calculate

12 3 S. Kowalik the top and bottom prices of the game for safety matrix of m-lines and n-columns. These numbers have been determined for the given example. In the fourth chapter like in the work [], [3], [4], [6], [9] domination principle has been discussed and illustrated by examples. Formulae (3) and (4) which determine the dominant and dominated strategies for the matrix of m-lines and n-columns have been given. The fifth chapter presents the way of finding optimum mixed strategy for two-person games, each person having two pure strategies. Frequency and participation interpretations of the mixed strategy have been presented. The object of this work is to show that the game theory can be used for such an important factor connected with a miner s job as safety.